Theorem sbgoldbwt 48253

Description: If the strong binary Goldbach conjecture is valid, then the (weak) ternary Goldbach conjecture holds, too. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sbgoldbwt	⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))

Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Proof of Theorem sbgoldbwt

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 48107	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ ℤ)
2		5nn 12267	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ
3	2	nnzi 12551	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℤ
4		zltp1le 12577	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (5 < 𝑚 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑚))
5	3, 4	mpan 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (5 < 𝑚 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑚))
6		5p1e6 12323	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 1) = 6
7	6	breq1i 5092	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 + 1) ≤ 𝑚 ↔ 6 ≤ 𝑚)
8		6re 12271	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 6 ∈ ℝ)
10		zre 12528	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
11	9, 10	leloed 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (6 ≤ 𝑚 ↔ (6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚)))
12	7, 11	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((5 + 1) ≤ 𝑚 ↔ (6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚)))
13		6nn 12270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℕ
14	13	nnzi 12551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℤ
15		zltp1le 12577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (6 < 𝑚 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑚))
16	14, 15	mpan 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (6 < 𝑚 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑚))
17		6p1e7 12324	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 + 1) = 7
18	17	breq1i 5092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((6 + 1) ≤ 𝑚 ↔ 7 ≤ 𝑚)
19		7re 12274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 7 ∈ ℝ)
21	20, 10	leloed 11289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (7 ≤ 𝑚 ↔ (7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚)))
22	18, 21	bitrid 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((6 + 1) ≤ 𝑚 ↔ (7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚)))
23		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → 𝑚 ∈ Odd )
24		3odd 48184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 3 ∈ Odd
25	23, 24	jctir 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ))
26		omoeALTV 48161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑚 − 3) ∈ Even )
27		breq2 5089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 3) → (4 < 𝑛 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
28		eleq1 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 3) → (𝑛 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
29	27, 28	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 3) → ((4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
30	29	rspcv 3560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 − 3) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
31	25, 26, 30	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
32		4p3e7 12330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (4 + 3) = 7
33	32	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 7 = (4 + 3)
34	33	breq1i 5092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (7 < 𝑚 ↔ (4 + 3) < 𝑚)
35		4re 12265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 4 ∈ ℝ
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 4 ∈ ℝ)
37		3re 12261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 3 ∈ ℝ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
39		ltaddsub 11624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((4 + 3) < 𝑚 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
40	39	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((4 + 3) < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
41	36, 38, 10, 40	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((4 + 3) < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
42	34, 41	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (7 < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
43	42	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 4 < (𝑚 − 3))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → 4 < (𝑚 − 3))
45		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (4 < (𝑚 − 3) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
47		isgbe 48227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ↔ ((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))))
48		3prm 16663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 3 ∈ ℙ
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 3 ∈ ℙ)
50		zcn 12529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
51		3cn 12262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 3 ∈ ℂ
52	50, 51	jctir 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
53		npcan 11402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑚 − 3) + 3) = 𝑚)
54	53	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 3))
55	52, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 3))
56		oveq2 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (3 = 𝑟 → ((𝑚 − 3) + 3) = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
57	56	eqcoms 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑟 = 3 → ((𝑚 − 3) + 3) = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
58	55, 57	sylan9eq 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑟 = 3) → 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
59	49, 58	rspcedeq2vd 3572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
60		oveq1 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → ((𝑚 − 3) + 𝑟) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
61	60	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → (𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟) ↔ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
62	61	rexbidv 3161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
63	59, 62	imbitrid 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → (𝑚 ∈ ℤ → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
64	63	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑚 ∈ ℤ → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
65	64	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
66	65	ad4antlr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
67	66	reximdva 3150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
68	67	reximdva 3150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
69	68, 23	jctild 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
70		isgbow 48228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
71	69, 70	imbitrrdi 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
72	71	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
73	47, 72	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
74	31, 46, 73	3syld 60	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
75	74	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
76	75	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
77	76	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 < 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
78		7gbow 48248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 7 ∈ GoldbachOddW
79		eleq1 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (7 = 𝑚 → (7 ∈ GoldbachOddW ↔ 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
80	78, 79	mpbii 233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 = 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )
81	80	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (7 = 𝑚 → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
82	81	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 = 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
83	82	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 = 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
84	77, 83	jaoi 858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚) → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
85	84	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
86	22, 85	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((6 + 1) ≤ 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
87	16, 86	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (6 < 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
88	87	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 < 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
89		eleq1 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 = 𝑚 → (6 ∈ Odd ↔ 𝑚 ∈ Odd ))
90		6even 48187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ Even
91		evennodd 48119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 ∈ Even → ¬ 6 ∈ Odd )
92	91	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 ∈ Even → (6 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
93	90, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )
94	89, 93	biimtrrdi 254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 = 𝑚 → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
95	94	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 = 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
96	95	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 = 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
97	88, 96	jaoi 858	. . . . . . . 8 ⊢ ((6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚) → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
98	97	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
99	12, 98	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((5 + 1) ≤ 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
100	5, 99	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (5 < 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
101	100	com24 95	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
102	1, 101	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
103	102	impcom 407	. 2 ⊢ ((∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
104	103	ralrimiva 3129	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  3c3 12237  4c4 12238  5c5 12239  6c6 12240  7c7 12241  ℤcz 12524  ℙcprime 16640   Even ceven 48100   Odd codd 48101   GoldbachEven cgbe 48221   GoldbachOddW cgbow 48222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-prm 16641  df-even 48102  df-odd 48103  df-gbe 48224  df-gbow 48225

This theorem is referenced by:  sbgoldbm  48260  bgoldbnnsum3prm  48280