Theorem sbgoldbwt 47758

Description: If the strong binary Goldbach conjecture is valid, then the (weak) ternary Goldbach conjecture holds, too. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sbgoldbwt	⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))

Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Proof of Theorem sbgoldbwt

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 47612	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ ℤ)
2		5nn 12331	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ
3	2	nnzi 12621	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℤ
4		zltp1le 12647	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (5 < 𝑚 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑚))
5	3, 4	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (5 < 𝑚 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑚))
6		5p1e6 12392	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 1) = 6
7	6	breq1i 5131	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 + 1) ≤ 𝑚 ↔ 6 ≤ 𝑚)
8		6re 12335	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 6 ∈ ℝ)
10		zre 12597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
11	9, 10	leloed 11383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (6 ≤ 𝑚 ↔ (6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚)))
12	7, 11	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((5 + 1) ≤ 𝑚 ↔ (6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚)))
13		6nn 12334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℕ
14	13	nnzi 12621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℤ
15		zltp1le 12647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (6 < 𝑚 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑚))
16	14, 15	mpan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (6 < 𝑚 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑚))
17		6p1e7 12393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 + 1) = 7
18	17	breq1i 5131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((6 + 1) ≤ 𝑚 ↔ 7 ≤ 𝑚)
19		7re 12338	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 7 ∈ ℝ)
21	20, 10	leloed 11383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (7 ≤ 𝑚 ↔ (7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚)))
22	18, 21	bitrid 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((6 + 1) ≤ 𝑚 ↔ (7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚)))
23		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → 𝑚 ∈ Odd )
24		3odd 47689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 3 ∈ Odd
25	23, 24	jctir 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ))
26		omoeALTV 47666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑚 − 3) ∈ Even )
27		breq2 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 3) → (4 < 𝑛 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
28		eleq1 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 3) → (𝑛 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
29	27, 28	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 3) → ((4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
30	29	rspcv 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 − 3) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
31	25, 26, 30	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
32		4p3e7 12399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (4 + 3) = 7
33	32	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 7 = (4 + 3)
34	33	breq1i 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (7 < 𝑚 ↔ (4 + 3) < 𝑚)
35		4re 12329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 4 ∈ ℝ
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 4 ∈ ℝ)
37		3re 12325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 3 ∈ ℝ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
39		ltaddsub 11716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((4 + 3) < 𝑚 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
40	39	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((4 + 3) < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
41	36, 38, 10, 40	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((4 + 3) < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
42	34, 41	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (7 < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
43	42	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 4 < (𝑚 − 3))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → 4 < (𝑚 − 3))
45		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (4 < (𝑚 − 3) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
47		isgbe 47732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ↔ ((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))))
48		3prm 16718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 3 ∈ ℙ
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 3 ∈ ℙ)
50		zcn 12598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
51		3cn 12326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 3 ∈ ℂ
52	50, 51	jctir 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
53		npcan 11496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑚 − 3) + 3) = 𝑚)
54	53	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 3))
55	52, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 3))
56		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (3 = 𝑟 → ((𝑚 − 3) + 3) = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
57	56	eqcoms 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑟 = 3 → ((𝑚 − 3) + 3) = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
58	55, 57	sylan9eq 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑟 = 3) → 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
59	49, 58	rspcedeq2vd 3614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
60		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → ((𝑚 − 3) + 𝑟) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
61	60	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → (𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟) ↔ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
62	61	rexbidv 3165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
63	59, 62	imbitrid 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → (𝑚 ∈ ℤ → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
64	63	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑚 ∈ ℤ → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
65	64	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
66	65	ad4antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
67	66	reximdva 3154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
68	67	reximdva 3154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
69	68, 23	jctild 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
70		isgbow 47733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
71	69, 70	imbitrrdi 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
72	71	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
73	47, 72	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
74	31, 46, 73	3syld 60	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
75	74	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
76	75	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
77	76	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 < 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
78		7gbow 47753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 7 ∈ GoldbachOddW
79		eleq1 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (7 = 𝑚 → (7 ∈ GoldbachOddW ↔ 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
80	78, 79	mpbii 233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 = 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )
81	80	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (7 = 𝑚 → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
82	81	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 = 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
83	82	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 = 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
84	77, 83	jaoi 857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚) → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
85	84	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
86	22, 85	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((6 + 1) ≤ 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
87	16, 86	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (6 < 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
88	87	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 < 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
89		eleq1 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 = 𝑚 → (6 ∈ Odd ↔ 𝑚 ∈ Odd ))
90		6even 47692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ Even
91		evennodd 47624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 ∈ Even → ¬ 6 ∈ Odd )
92	91	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 ∈ Even → (6 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
93	90, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )
94	89, 93	biimtrrdi 254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 = 𝑚 → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
95	94	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 = 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
96	95	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 = 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
97	88, 96	jaoi 857	. . . . . . . 8 ⊢ ((6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚) → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
98	97	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
99	12, 98	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((5 + 1) ≤ 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
100	5, 99	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (5 < 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
101	100	com24 95	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
102	1, 101	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
103	102	impcom 407	. 2 ⊢ ((∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
104	103	ralrimiva 3133	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  1c1 11135   + caddc 11137   < clt 11274   ≤ cle 11275   − cmin 11471  3c3 12301  4c4 12302  5c5 12303  6c6 12304  7c7 12305  ℤcz 12593  ℙcprime 16695   Even ceven 47605   Odd codd 47606   GoldbachEven cgbe 47726   GoldbachOddW cgbow 47727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-dvds 16278  df-prm 16696  df-even 47607  df-odd 47608  df-gbe 47729  df-gbow 47730

This theorem is referenced by:  sbgoldbm  47765  bgoldbnnsum3prm  47785