Theorem sbgoldbwt 48917

Description: If the strong binary Goldbach conjecture is valid, then the (weak) ternary Goldbach conjecture holds, too. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sbgoldbwt	⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))

Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Proof of Theorem sbgoldbwt

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 48771	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ ℤ)
2		5nn 12429	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ
3	2	nnzi 12720	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℤ
4		zltp1le 12746	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (5 < 𝑚 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑚))
5	3, 4	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (5 < 𝑚 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑚))
6		5p1e6 12489	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 1) = 6
7	6	breq1i 5109	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 + 1) ≤ 𝑚 ↔ 6 ≤ 𝑚)
8		6re 12433	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 6 ∈ ℝ)
10		zre 12697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
11	9, 10	leloed 11453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (6 ≤ 𝑚 ↔ (6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚)))
12	7, 11	bitrid 286	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((5 + 1) ≤ 𝑚 ↔ (6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚)))
13		6nn 12432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℕ
14	13	nnzi 12720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℤ
15		zltp1le 12746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (6 < 𝑚 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑚))
16	14, 15	mpan 703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (6 < 𝑚 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑚))
17		6p1e7 12490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 + 1) = 7
18	17	breq1i 5109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((6 + 1) ≤ 𝑚 ↔ 7 ≤ 𝑚)
19		7re 12436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 7 ∈ ℝ)
21	20, 10	leloed 11453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (7 ≤ 𝑚 ↔ (7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚)))
22	18, 21	bitrid 286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((6 + 1) ≤ 𝑚 ↔ (7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚)))
23		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → 𝑚 ∈ Odd )
24		3odd 48848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 3 ∈ Odd
25	23, 24	jctir 530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ))
26		omoeALTV 48825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑚 − 3) ∈ Even )
27		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 3) → (4 < 𝑛 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
28		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 3) → (𝑛 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
29	27, 28	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 3) → ((4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
30	29	rspcv 3572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 − 3) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
31	25, 26, 30	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
32		4p3e7 12496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (4 + 3) = 7
33	32	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 7 = (4 + 3)
34	33	breq1i 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (7 < 𝑚 ↔ (4 + 3) < 𝑚)
35		4re 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 4 ∈ ℝ
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 4 ∈ ℝ)
37		3re 12423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 3 ∈ ℝ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
39		ltaddsub 11790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((4 + 3) < 𝑚 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
40	39	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((4 + 3) < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
41	36, 38, 10, 40	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((4 + 3) < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
42	34, 41	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (7 < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
43	42	impcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 4 < (𝑚 − 3))
44	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → 4 < (𝑚 − 3))
45		pm2.27 43	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (4 < (𝑚 − 3) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
46	44, 45	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
47		isgbe 48891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ↔ ((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))))
48		3prm 16869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 3 ∈ ℙ
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 3 ∈ ℙ)
50		zcn 12698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
51		3cn 12424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 3 ∈ ℂ
52	50, 51	jctir 530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
53		npcan 11566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑚 − 3) + 3) = 𝑚)
54	53	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 3))
55	52, 54	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 3))
56		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (3 = 𝑟 → ((𝑚 − 3) + 3) = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
57	56	eqcoms 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑟 = 3 → ((𝑚 − 3) + 3) = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
58	55, 57	sylan9eq 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑟 = 3) → 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
59	49, 58	rspcedeqvd 3583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
60		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → ((𝑚 − 3) + 𝑟) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
61	60	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → (𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟) ↔ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
62	61	rexbidv 3186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
63	59, 62	imbitrid 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → (𝑚 ∈ ℤ → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
64	63	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑚 ∈ ℤ → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
65	64	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
66	65	ad4antlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
67	66	reximdva 3175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
68	67	reximdva 3175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
69	68, 23	jctild 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
70		isgbow 48892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
71	69, 70	imbitrrdi 255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
72	71	adantld 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
73	47, 72	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
74	31, 46, 73	3syld 61	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
75	74	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
76	75	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
77	76	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 < 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
78		7gbow 48912	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 7 ∈ GoldbachOddW
79		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (7 = 𝑚 → (7 ∈ GoldbachOddW ↔ 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
80	78, 79	mpbii 236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 = 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )
81	80	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (7 = 𝑚 → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
82	81	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 = 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
83	82	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 = 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
84	77, 83	jaoi 871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚) → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
85	84	com12 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
86	22, 85	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((6 + 1) ≤ 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
87	16, 86	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (6 < 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
88	87	com12 33	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 < 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
89		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 = 𝑚 → (6 ∈ Odd ↔ 𝑚 ∈ Odd ))
90		6even 48851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ Even
91		evennodd 48783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 ∈ Even → ¬ 6 ∈ Odd )
92	91	pm2.21d 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 ∈ Even → (6 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
93	90, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )
94	89, 93	biimtrrdi 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 = 𝑚 → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
95	94	a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 = 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
96	95	a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 = 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
97	88, 96	jaoi 871	. . . . . . . 8 ⊢ ((6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚) → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
98	97	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
99	12, 98	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((5 + 1) ≤ 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
100	5, 99	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (5 < 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
101	100	com24 96	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
102	1, 101	mpcom 39	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
103	102	impcom 413	. 2 ⊢ ((∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
104	103	ralrimiva 3154	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  1c1 11201   + caddc 11203   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541  3c3 12398  4c4 12399  5c5 12400  6c6 12401  7c7 12402  ℤcz 12693  ℙcprime 16846   Even ceven 48764   Odd codd 48765   GoldbachEven cgbe 48885   GoldbachOddW cgbow 48886

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-dvds 16423  df-prm 16847  df-even 48766  df-odd 48767  df-gbe 48888  df-gbow 48889

This theorem is used by:  sbgoldbm  48924  bgoldbnnsum3prm  48944