Theorem sbgoldbwt 47778

Description: If the strong binary Goldbach conjecture is valid, then the (weak) ternary Goldbach conjecture holds, too. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sbgoldbwt	⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))

Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Proof of Theorem sbgoldbwt

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 47632	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ ℤ)
2		5nn 12272	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ
3	2	nnzi 12557	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℤ
4		zltp1le 12583	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (5 < 𝑚 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑚))
5	3, 4	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (5 < 𝑚 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑚))
6		5p1e6 12328	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 1) = 6
7	6	breq1i 5114	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 + 1) ≤ 𝑚 ↔ 6 ≤ 𝑚)
8		6re 12276	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 6 ∈ ℝ)
10		zre 12533	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
11	9, 10	leloed 11317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (6 ≤ 𝑚 ↔ (6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚)))
12	7, 11	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((5 + 1) ≤ 𝑚 ↔ (6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚)))
13		6nn 12275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℕ
14	13	nnzi 12557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℤ
15		zltp1le 12583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (6 < 𝑚 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑚))
16	14, 15	mpan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (6 < 𝑚 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑚))
17		6p1e7 12329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 + 1) = 7
18	17	breq1i 5114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((6 + 1) ≤ 𝑚 ↔ 7 ≤ 𝑚)
19		7re 12279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 7 ∈ ℝ)
21	20, 10	leloed 11317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (7 ≤ 𝑚 ↔ (7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚)))
22	18, 21	bitrid 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((6 + 1) ≤ 𝑚 ↔ (7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚)))
23		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → 𝑚 ∈ Odd )
24		3odd 47709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 3 ∈ Odd
25	23, 24	jctir 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ))
26		omoeALTV 47686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑚 − 3) ∈ Even )
27		breq2 5111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 3) → (4 < 𝑛 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
28		eleq1 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 3) → (𝑛 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
29	27, 28	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 3) → ((4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
30	29	rspcv 3584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 − 3) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
31	25, 26, 30	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
32		4p3e7 12335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (4 + 3) = 7
33	32	eqcomi 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 7 = (4 + 3)
34	33	breq1i 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (7 < 𝑚 ↔ (4 + 3) < 𝑚)
35		4re 12270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 4 ∈ ℝ
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 4 ∈ ℝ)
37		3re 12266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 3 ∈ ℝ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
39		ltaddsub 11652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((4 + 3) < 𝑚 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
40	39	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((4 + 3) < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
41	36, 38, 10, 40	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((4 + 3) < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
42	34, 41	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (7 < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
43	42	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 4 < (𝑚 − 3))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → 4 < (𝑚 − 3))
45		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (4 < (𝑚 − 3) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
47		isgbe 47752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ↔ ((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))))
48		3prm 16664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 3 ∈ ℙ
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 3 ∈ ℙ)
50		zcn 12534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
51		3cn 12267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 3 ∈ ℂ
52	50, 51	jctir 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
53		npcan 11430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑚 − 3) + 3) = 𝑚)
54	53	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 3))
55	52, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 3))
56		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (3 = 𝑟 → ((𝑚 − 3) + 3) = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
57	56	eqcoms 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑟 = 3 → ((𝑚 − 3) + 3) = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
58	55, 57	sylan9eq 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑟 = 3) → 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
59	49, 58	rspcedeq2vd 3596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
60		oveq1 7394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → ((𝑚 − 3) + 𝑟) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
61	60	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → (𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟) ↔ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
62	61	rexbidv 3157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
63	59, 62	imbitrid 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → (𝑚 ∈ ℤ → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
64	63	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑚 ∈ ℤ → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
65	64	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
66	65	ad4antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
67	66	reximdva 3146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
68	67	reximdva 3146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
69	68, 23	jctild 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
70		isgbow 47753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
71	69, 70	imbitrrdi 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
72	71	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
73	47, 72	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
74	31, 46, 73	3syld 60	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
75	74	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
76	75	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
77	76	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 < 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
78		7gbow 47773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 7 ∈ GoldbachOddW
79		eleq1 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (7 = 𝑚 → (7 ∈ GoldbachOddW ↔ 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
80	78, 79	mpbii 233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 = 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )
81	80	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (7 = 𝑚 → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
82	81	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 = 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
83	82	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 = 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
84	77, 83	jaoi 857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚) → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
85	84	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
86	22, 85	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((6 + 1) ≤ 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
87	16, 86	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (6 < 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
88	87	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 < 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
89		eleq1 2816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 = 𝑚 → (6 ∈ Odd ↔ 𝑚 ∈ Odd ))
90		6even 47712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ Even
91		evennodd 47644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 ∈ Even → ¬ 6 ∈ Odd )
92	91	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 ∈ Even → (6 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
93	90, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )
94	89, 93	biimtrrdi 254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 = 𝑚 → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
95	94	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 = 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
96	95	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 = 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
97	88, 96	jaoi 857	. . . . . . . 8 ⊢ ((6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚) → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
98	97	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
99	12, 98	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((5 + 1) ≤ 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
100	5, 99	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (5 < 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
101	100	com24 95	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
102	1, 101	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
103	102	impcom 407	. 2 ⊢ ((∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
104	103	ralrimiva 3125	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405  3c3 12242  4c4 12243  5c5 12244  6c6 12245  7c7 12246  ℤcz 12529  ℙcprime 16641   Even ceven 47625   Odd codd 47626   GoldbachEven cgbe 47746   GoldbachOddW cgbow 47747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-prm 16642  df-even 47627  df-odd 47628  df-gbe 47749  df-gbow 47750

This theorem is referenced by:  sbgoldbm  47785  bgoldbnnsum3prm  47805