Theorem sbgoldbwt 48141

Description: If the strong binary Goldbach conjecture is valid, then the (weak) ternary Goldbach conjecture holds, too. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sbgoldbwt	⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))

Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Proof of Theorem sbgoldbwt

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 47995	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ ℤ)
2		5nn 12243	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ
3	2	nnzi 12527	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℤ
4		zltp1le 12553	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (5 < 𝑚 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑚))
5	3, 4	mpan 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (5 < 𝑚 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑚))
6		5p1e6 12299	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 1) = 6
7	6	breq1i 5107	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 + 1) ≤ 𝑚 ↔ 6 ≤ 𝑚)
8		6re 12247	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 6 ∈ ℝ)
10		zre 12504	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
11	9, 10	leloed 11288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (6 ≤ 𝑚 ↔ (6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚)))
12	7, 11	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((5 + 1) ≤ 𝑚 ↔ (6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚)))
13		6nn 12246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℕ
14	13	nnzi 12527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℤ
15		zltp1le 12553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (6 < 𝑚 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑚))
16	14, 15	mpan 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (6 < 𝑚 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑚))
17		6p1e7 12300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 + 1) = 7
18	17	breq1i 5107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((6 + 1) ≤ 𝑚 ↔ 7 ≤ 𝑚)
19		7re 12250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 7 ∈ ℝ)
21	20, 10	leloed 11288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (7 ≤ 𝑚 ↔ (7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚)))
22	18, 21	bitrid 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((6 + 1) ≤ 𝑚 ↔ (7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚)))
23		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → 𝑚 ∈ Odd )
24		3odd 48072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 3 ∈ Odd
25	23, 24	jctir 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ))
26		omoeALTV 48049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑚 − 3) ∈ Even )
27		breq2 5104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 3) → (4 < 𝑛 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
28		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 3) → (𝑛 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
29	27, 28	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 3) → ((4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
30	29	rspcv 3574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 − 3) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
31	25, 26, 30	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
32		4p3e7 12306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (4 + 3) = 7
33	32	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 7 = (4 + 3)
34	33	breq1i 5107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (7 < 𝑚 ↔ (4 + 3) < 𝑚)
35		4re 12241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 4 ∈ ℝ
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 4 ∈ ℝ)
37		3re 12237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 3 ∈ ℝ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
39		ltaddsub 11623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((4 + 3) < 𝑚 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
40	39	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((4 + 3) < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
41	36, 38, 10, 40	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((4 + 3) < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
42	34, 41	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (7 < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
43	42	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 4 < (𝑚 − 3))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → 4 < (𝑚 − 3))
45		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (4 < (𝑚 − 3) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
47		isgbe 48115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ↔ ((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))))
48		3prm 16633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 3 ∈ ℙ
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 3 ∈ ℙ)
50		zcn 12505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
51		3cn 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 3 ∈ ℂ
52	50, 51	jctir 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
53		npcan 11401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑚 − 3) + 3) = 𝑚)
54	53	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 3))
55	52, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 3))
56		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (3 = 𝑟 → ((𝑚 − 3) + 3) = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
57	56	eqcoms 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑟 = 3 → ((𝑚 − 3) + 3) = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
58	55, 57	sylan9eq 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑟 = 3) → 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
59	49, 58	rspcedeq2vd 3586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
60		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → ((𝑚 − 3) + 𝑟) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
61	60	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → (𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟) ↔ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
62	61	rexbidv 3162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
63	59, 62	imbitrid 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → (𝑚 ∈ ℤ → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
64	63	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑚 ∈ ℤ → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
65	64	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
66	65	ad4antlr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
67	66	reximdva 3151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
68	67	reximdva 3151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
69	68, 23	jctild 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
70		isgbow 48116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
71	69, 70	imbitrrdi 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
72	71	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
73	47, 72	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
74	31, 46, 73	3syld 60	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
75	74	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
76	75	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((7 < 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
77	76	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 < 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
78		7gbow 48136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 7 ∈ GoldbachOddW
79		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (7 = 𝑚 → (7 ∈ GoldbachOddW ↔ 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
80	78, 79	mpbii 233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 = 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )
81	80	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (7 = 𝑚 → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
82	81	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 = 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
83	82	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 = 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
84	77, 83	jaoi 858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚) → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
85	84	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
86	22, 85	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((6 + 1) ≤ 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
87	16, 86	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (6 < 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
88	87	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 < 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
89		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 = 𝑚 → (6 ∈ Odd ↔ 𝑚 ∈ Odd ))
90		6even 48075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ Even
91		evennodd 48007	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 ∈ Even → ¬ 6 ∈ Odd )
92	91	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 ∈ Even → (6 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
93	90, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )
94	89, 93	biimtrrdi 254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 = 𝑚 → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
95	94	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 = 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
96	95	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 = 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
97	88, 96	jaoi 858	. . . . . . . 8 ⊢ ((6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚) → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
98	97	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
99	12, 98	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((5 + 1) ≤ 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
100	5, 99	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (5 < 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
101	100	com24 95	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
102	1, 101	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
103	102	impcom 407	. 2 ⊢ ((∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
104	103	ralrimiva 3130	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  3c3 12213  4c4 12214  5c5 12215  6c6 12216  7c7 12217  ℤcz 12500  ℙcprime 16610   Even ceven 47988   Odd codd 47989   GoldbachEven cgbe 48109   GoldbachOddW cgbow 48110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-prm 16611  df-even 47990  df-odd 47991  df-gbe 48112  df-gbow 48113

This theorem is referenced by:  sbgoldbm  48148  bgoldbnnsum3prm  48168