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Theorem sbgoldbwt 46904
Description: If the strong binary Goldbach conjecture is valid, then the (weak) ternary Goldbach conjecture holds, too. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
sbgoldbwt (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Proof of Theorem sbgoldbwt
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oddz 46758 . . . 4 (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ ℤ)
2 5nn 12305 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
32nnzi 12593 . . . . . . 7 5 ∈ ℤ
4 zltp1le 12619 . . . . . . 7 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (5 < 𝑚 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑚))
53, 4mpan 687 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℤ → (5 < 𝑚 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑚))
6 5p1e6 12366 . . . . . . . . 9 (5 + 1) = 6
76breq1i 5155 . . . . . . . 8 ((5 + 1) ≤ 𝑚 ↔ 6 ≤ 𝑚)
8 6re 12309 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℤ → 6 ∈ ℝ)
10 zre 12569 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
119, 10leloed 11364 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℤ → (6 ≤ 𝑚 ↔ (6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚)))
127, 11bitrid 283 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℤ → ((5 + 1) ≤ 𝑚 ↔ (6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚)))
13 6nn 12308 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℕ
1413nnzi 12593 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℤ
15 zltp1le 12619 . . . . . . . . . . . 12 ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (6 < 𝑚 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑚))
1614, 15mpan 687 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℤ → (6 < 𝑚 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑚))
17 6p1e7 12367 . . . . . . . . . . . . . 14 (6 + 1) = 7
1817breq1i 5155 . . . . . . . . . . . . 13 ((6 + 1) ≤ 𝑚 ↔ 7 ≤ 𝑚)
19 7re 12312 . . . . . . . . . . . . . . 15 7 ∈ ℝ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℤ → 7 ∈ ℝ)
2120, 10leloed 11364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℤ → (7 ≤ 𝑚 ↔ (7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚)))
2218, 21bitrid 283 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℤ → ((6 + 1) ≤ 𝑚 ↔ (7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚)))
23 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → 𝑚 ∈ Odd )
24 3odd 46835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 ∈ Odd
2523, 24jctir 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ))
26 omoeALTV 46812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑚 − 3) ∈ Even )
27 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = (𝑚 − 3) → (4 < 𝑛 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
28 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = (𝑚 − 3) → (𝑛 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
2927, 28imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = (𝑚 − 3) → ((4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
3029rspcv 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 − 3) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
3125, 26, 303syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
32 4p3e7 12373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 + 3) = 7
3332eqcomi 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 7 = (4 + 3)
3433breq1i 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (7 < 𝑚 ↔ (4 + 3) < 𝑚)
35 4re 12303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 ∈ ℝ
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ ℤ → 4 ∈ ℝ)
37 3re 12299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 ∈ ℝ
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
39 ltaddsub 11695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((4 + 3) < 𝑚 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
4039biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((4 + 3) < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
4136, 38, 10, 40syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 ∈ ℤ → ((4 + 3) < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
4234, 41biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 ∈ ℤ → (7 < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
4342impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) → 4 < (𝑚 − 3))
4443adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → 4 < (𝑚 − 3))
45 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 < (𝑚 − 3) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
47 isgbe 46878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ↔ ((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))))
48 3prm 16638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 ∈ ℙ
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑚 ∈ ℤ → 3 ∈ ℙ)
50 zcn 12570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
51 3cn 12300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 ∈ ℂ
5250, 51jctir 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ))
53 npcan 11476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑚 − 3) + 3) = 𝑚)
5453eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 3))
5552, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 3))
56 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (3 = 𝑟 → ((𝑚 − 3) + 3) = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
5756eqcoms 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑟 = 3 → ((𝑚 − 3) + 3) = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
5855, 57sylan9eq 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑟 = 3) → 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
5949, 58rspcedeq2vd 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑚 ∈ ℤ → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟))
60 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → ((𝑚 − 3) + 𝑟) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
6160eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → (𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟) ↔ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
6261rexbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑚 − 3) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
6359, 62imbitrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) → (𝑚 ∈ ℤ → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
64633ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑚 ∈ ℤ → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
6564com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 ∈ ℤ → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
6665ad4antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
6766reximdva 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
6867reximdva 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
6968, 23jctild 525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
70 isgbow 46879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
7169, 70imbitrrdi 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
7271adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
7347, 72biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
7431, 46, 733syld 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
7574ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
7675com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((7 < 𝑚𝑚 ∈ ℤ) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
7776ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (7 < 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
78 7gbow 46899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 7 ∈ GoldbachOddW
79 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (7 = 𝑚 → (7 ∈ GoldbachOddW ↔ 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
8078, 79mpbii 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (7 = 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW )
8180a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (7 = 𝑚 → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
8281a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 = 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
8382a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (7 = 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
8477, 83jaoi 854 . . . . . . . . . . . . 13 ((7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚) → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
8584com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℤ → ((7 < 𝑚 ∨ 7 = 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
8622, 85sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℤ → ((6 + 1) ≤ 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
8716, 86sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℤ → (6 < 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
8887com12 32 . . . . . . . . 9 (6 < 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
89 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . 12 (6 = 𝑚 → (6 ∈ Odd ↔ 𝑚 ∈ Odd ))
90 6even 46838 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ Even
91 evennodd 46770 . . . . . . . . . . . . . 14 (6 ∈ Even → ¬ 6 ∈ Odd )
9291pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . 13 (6 ∈ Even → (6 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
9390, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (6 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )
9489, 93syl6bir 254 . . . . . . . . . . 11 (6 = 𝑚 → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
9594a1d 25 . . . . . . . . . 10 (6 = 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
9695a1d 25 . . . . . . . . 9 (6 = 𝑚 → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
9788, 96jaoi 854 . . . . . . . 8 ((6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚) → (𝑚 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
9897com12 32 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℤ → ((6 < 𝑚 ∨ 6 = 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
9912, 98sylbid 239 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℤ → ((5 + 1) ≤ 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
1005, 99sylbid 239 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℤ → (5 < 𝑚 → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
101100com24 95 . . . 4 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ))))
1021, 101mpcom 38 . . 3 (𝑚 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW )))
103102impcom 407 . 2 ((∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) ∧ 𝑚 ∈ Odd ) → (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
104103ralrimiva 3145 1 (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  cc 11114  cr 11115  1c1 11117   + caddc 11119   < clt 11255  cle 11256  cmin 11451  3c3 12275  4c4 12276  5c5 12277  6c6 12278  7c7 12279  cz 12565  cprime 16615   Even ceven 46751   Odd codd 46752   GoldbachEven cgbe 46872   GoldbachOddW cgbow 46873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-dvds 16205  df-prm 16616  df-even 46753  df-odd 46754  df-gbe 46875  df-gbow 46876
This theorem is referenced by:  sbgoldbm  46911  bgoldbnnsum3prm  46931
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