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Theorem fmul01lt1lem2 41322
Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value 𝐸 larger than any multiplicand, is larger than the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1lem2.1 𝑖𝐵
fmul01lt1lem2.2 𝑖𝜑
fmul01lt1lem2.3 𝐴 = seq𝐿( · , 𝐵)
fmul01lt1lem2.4 (𝜑𝐿 ∈ ℤ)
fmul01lt1lem2.5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
fmul01lt1lem2.6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
fmul01lt1lem2.7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
fmul01lt1lem2.8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
fmul01lt1lem2.9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
fmul01lt1lem2.10 (𝜑𝐽 ∈ (𝐿...𝑀))
fmul01lt1lem2.11 (𝜑 → (𝐵𝐽) < 𝐸)
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1lem2 (𝜑 → (𝐴𝑀) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐽   𝑖,𝐿   𝑖,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝐸(𝑖)

Proof of Theorem fmul01lt1lem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmul01lt1lem2.1 . . 3 𝑖𝐵
2 fmul01lt1lem2.2 . . . 4 𝑖𝜑
3 nfv 1873 . . . 4 𝑖 𝐽 = 𝐿
42, 3nfan 1862 . . 3 𝑖(𝜑𝐽 = 𝐿)
5 fmul01lt1lem2.3 . . 3 𝐴 = seq𝐿( · , 𝐵)
6 fmul01lt1lem2.4 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℤ)
76adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
8 fmul01lt1lem2.5 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
98adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
10 fmul01lt1lem2.6 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
1110adantlr 702 . . 3 (((𝜑𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
12 fmul01lt1lem2.7 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
1312adantlr 702 . . 3 (((𝜑𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
14 fmul01lt1lem2.8 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
1514adantlr 702 . . 3 (((𝜑𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
16 fmul01lt1lem2.9 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1716adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → 𝐸 ∈ ℝ+)
18 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → 𝐽 = 𝐿)
1918fveq2d 6500 . . . 4 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → (𝐵𝐽) = (𝐵𝐿))
20 fmul01lt1lem2.11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐽) < 𝐸)
2120adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → (𝐵𝐽) < 𝐸)
2219, 21eqbrtrrd 4949 . . 3 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → (𝐵𝐿) < 𝐸)
231, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 22fmul01lt1lem1 41321 . 2 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → (𝐴𝑀) < 𝐸)
245fveq1i 6497 . . 3 (𝐴𝑀) = (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀)
25 nfv 1873 . . . . . . . . 9 𝑖 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)
262, 25nfan 1862 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑𝑎 ∈ (𝐿...𝑀))
27 nfcv 2926 . . . . . . . . . 10 𝑖𝑎
281, 27nffv 6506 . . . . . . . . 9 𝑖(𝐵𝑎)
2928nfel1 2940 . . . . . . . 8 𝑖(𝐵𝑎) ∈ ℝ
3026, 29nfim 1859 . . . . . . 7 𝑖((𝜑𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
31 eleq1w 2842 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑎 → (𝑖 ∈ (𝐿...𝑀) ↔ 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)))
3231anbi2d 619 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑎 → ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) ↔ (𝜑𝑎 ∈ (𝐿...𝑀))))
33 fveq2 6496 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑎 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑎))
3433eleq1d 2844 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑎 → ((𝐵𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝐵𝑎) ∈ ℝ))
3532, 34imbi12d 337 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑎 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)))
3630, 35, 10chvar 2326 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
37 remulcl 10418 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑗) ∈ ℝ)
3837adantl 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) → (𝑎 · 𝑗) ∈ ℝ)
398, 36, 38seqcl 13203 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) ∈ ℝ)
4039adantr 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) ∈ ℝ)
41 fmul01lt1lem2.10 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (𝐿...𝑀))
42 elfzuz3 12719 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (𝐿...𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐽))
4341, 42syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝐽))
44 nfv 1873 . . . . . . . . 9 𝑖 𝑎 ∈ (𝐽...𝑀)
452, 44nfan 1862 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑𝑎 ∈ (𝐽...𝑀))
4645, 29nfim 1859 . . . . . . 7 𝑖((𝜑𝑎 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
47 eleq1w 2842 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑎 → (𝑖 ∈ (𝐽...𝑀) ↔ 𝑎 ∈ (𝐽...𝑀)))
4847anbi2d 619 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑎 → ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) ↔ (𝜑𝑎 ∈ (𝐽...𝑀))))
4948, 34imbi12d 337 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑎 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)))
506adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℤ)
51 eluzelz 12066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ𝐿) → 𝑀 ∈ ℤ)
528, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5352adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
54 elfzelz 12722 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (𝐽...𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
5554adantl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝑖 ∈ ℤ)
5650, 53, 553jca 1108 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
576zred 11898 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
5857adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℝ)
59 elfzelz 12722 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (𝐿...𝑀) → 𝐽 ∈ ℤ)
6041, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
6160zred 11898 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
6261adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℝ)
6354zred 11898 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (𝐽...𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
6463adantl 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ)
65 elfzle1 12724 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (𝐿...𝑀) → 𝐿𝐽)
6641, 65syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿𝐽)
6766adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝐿𝐽)
68 elfzle1 12724 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (𝐽...𝑀) → 𝐽𝑖)
6968adantl 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝐽𝑖)
7058, 62, 64, 67, 69letrd 10595 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝐿𝑖)
71 elfzle2 12725 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (𝐽...𝑀) → 𝑖𝑀)
7271adantl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝑖𝑀)
7370, 72jca 504 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐿𝑖𝑖𝑀))
74 elfz2 12713 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (𝐿...𝑀) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑖𝑖𝑀)))
7556, 73, 74sylanbrc 575 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀))
7675, 10syldan 582 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
7746, 49, 76chvar 2326 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
7843, 77, 38seqcl 13203 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) ∈ ℝ)
7978adantr 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) ∈ ℝ)
8016rpred 12246 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
8180adantr 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐸 ∈ ℝ)
82 remulcl 10418 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
8382adantl 474 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
84 simp1 1116 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
8584recnd 10466 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
86 simp2 1117 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
8786recnd 10466 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℂ)
88 simp3 1118 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑐 ∈ ℝ)
8988recnd 10466 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑐 ∈ ℂ)
9085, 87, 89mulassd 10461 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑐) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑐)))
9190adantl 474 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ)) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑐) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑐)))
9260zcnd 11899 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
93 1cnd 10432 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
9492, 93npcand 10800 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐽 − 1) + 1) = 𝐽)
9594fveq2d 6500 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℤ‘((𝐽 − 1) + 1)) = (ℤ𝐽))
9643, 95eleqtrrd 2863 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘((𝐽 − 1) + 1)))
9796adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝑀 ∈ (ℤ‘((𝐽 − 1) + 1)))
986adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
9960adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐽 ∈ ℤ)
100 1zzd 11824 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 1 ∈ ℤ)
10199, 100zsubcld 11903 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
102 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ¬ 𝐽 = 𝐿)
103 eqcom 2779 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 = 𝐿𝐿 = 𝐽)
104102, 103sylnib 320 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ¬ 𝐿 = 𝐽)
10557, 61leloed 10581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐿𝐽 ↔ (𝐿 < 𝐽𝐿 = 𝐽)))
10666, 105mpbid 224 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 < 𝐽𝐿 = 𝐽))
107106adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐿 < 𝐽𝐿 = 𝐽))
108 orel2 874 . . . . . . . . . . 11 𝐿 = 𝐽 → ((𝐿 < 𝐽𝐿 = 𝐽) → 𝐿 < 𝐽))
109104, 107, 108sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐿 < 𝐽)
110 zltlem1 11846 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐿 < 𝐽𝐿 ≤ (𝐽 − 1)))
1116, 60, 110syl2anc 576 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿 < 𝐽𝐿 ≤ (𝐽 − 1)))
112111adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐿 < 𝐽𝐿 ≤ (𝐽 − 1)))
113109, 112mpbid 224 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐿 ≤ (𝐽 − 1))
114 eluz2 12062 . . . . . . . . 9 ((𝐽 − 1) ∈ (ℤ𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ (𝐽 − 1)))
11598, 101, 113, 114syl3anbrc 1323 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐽 − 1) ∈ (ℤ𝐿))
116 nfv 1873 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 ¬ 𝐽 = 𝐿
1172, 116nfan 1862 . . . . . . . . . . 11 𝑖(𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿)
118117, 25nfan 1862 . . . . . . . . . 10 𝑖((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀))
119118, 29nfim 1859 . . . . . . . . 9 𝑖(((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
12031anbi2d 619 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑎 → (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) ↔ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀))))
121120, 34imbi12d 337 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑎 → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ) ↔ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)))
12210adantlr 702 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
123119, 121, 122chvar 2326 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
12483, 91, 97, 115, 123seqsplit 13216 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) = ((seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) · (seq((𝐽 − 1) + 1)( · , 𝐵)‘𝑀)))
12594adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ((𝐽 − 1) + 1) = 𝐽)
126125seqeq1d 13188 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → seq((𝐽 − 1) + 1)( · , 𝐵) = seq𝐽( · , 𝐵))
127126fveq1d 6498 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq((𝐽 − 1) + 1)( · , 𝐵)‘𝑀) = (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀))
128127oveq2d 6990 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) · (seq((𝐽 − 1) + 1)( · , 𝐵)‘𝑀)) = ((seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) · (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀)))
129124, 128eqtrd 2808 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) = ((seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) · (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀)))
130 nfv 1873 . . . . . . . . . . 11 𝑖 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))
131117, 130nfan 1862 . . . . . . . . . 10 𝑖((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)))
132131, 29nfim 1859 . . . . . . . . 9 𝑖(((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
133 eleq1w 2842 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑎 → (𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)) ↔ 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))))
134133anbi2d 619 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑎 → (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) ↔ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)))))
135134, 34imbi12d 337 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑎 → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ) ↔ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)))
1366adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝐿 ∈ ℤ)
13752adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
138 elfzelz 12722 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
139138adantl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
140136, 137, 1393jca 1108 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
141 elfzle1 12724 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)) → 𝐿𝑖)
142141adantl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝐿𝑖)
143138zred 11898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)) → 𝑖 ∈ ℝ)
144143adantl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
14561adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝐽 ∈ ℝ)
14652zred 11898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
147146adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
148 1red 10438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14961, 148resubcld 10867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
150149adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
151 elfzle2 12725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)) → 𝑖 ≤ (𝐽 − 1))
152151adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ≤ (𝐽 − 1))
15361lem1d 11372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐽 − 1) ≤ 𝐽)
154153adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) ≤ 𝐽)
155144, 150, 145, 152, 154letrd 10595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑖𝐽)
156 elfzle2 12725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ (𝐿...𝑀) → 𝐽𝑀)
15741, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐽𝑀)
158157adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝐽𝑀)
159144, 145, 147, 155, 158letrd 10595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑖𝑀)
160142, 159jca 504 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐿𝑖𝑖𝑀))
161140, 160, 74sylanbrc 575 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀))
162161, 10syldan 582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
163162adantlr 702 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
164132, 135, 163chvar 2326 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
16537adantl 474 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) → (𝑎 · 𝑗) ∈ ℝ)
166115, 164, 165seqcl 13203 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) ∈ ℝ)
167 1red 10438 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 1 ∈ ℝ)
168 eqid 2772 . . . . . . . . 9 seq𝐽( · , 𝐵) = seq𝐽( · , 𝐵)
16943adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐽))
170 eluzfz2 12729 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ𝐽) → 𝑀 ∈ (𝐽...𝑀))
17143, 170syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (𝐽...𝑀))
172171adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝑀 ∈ (𝐽...𝑀))
17376adantlr 702 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
17475, 12syldan 582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
175174adantlr 702 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
17675, 14syldan 582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
177176adantlr 702 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
1781, 117, 168, 99, 169, 172, 173, 175, 177fmul01 41317 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (0 ≤ (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) ∧ (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) ≤ 1))
179178simpld 487 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 0 ≤ (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀))
180 eqid 2772 . . . . . . . . 9 seq𝐿( · , 𝐵) = seq𝐿( · , 𝐵)
1818adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
182 1zzd 11824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
18360, 182zsubcld 11903 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
1846, 52, 1833jca 1108 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 1) ∈ ℤ))
185184adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 1) ∈ ℤ))
186149, 61, 1463jca 1108 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐽 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
187186adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ((𝐽 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
18861adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐽 ∈ ℝ)
189188lem1d 11372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐽 − 1) ≤ 𝐽)
190157adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐽𝑀)
191189, 190jca 504 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ((𝐽 − 1) ≤ 𝐽𝐽𝑀))
192 letr 10532 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (((𝐽 − 1) ≤ 𝐽𝐽𝑀) → (𝐽 − 1) ≤ 𝑀))
193187, 191, 192sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐽 − 1) ≤ 𝑀)
194113, 193jca 504 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐿 ≤ (𝐽 − 1) ∧ (𝐽 − 1) ≤ 𝑀))
195 elfz2 12713 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 − 1) ∈ (𝐿...𝑀) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ (𝐽 − 1) ∧ (𝐽 − 1) ≤ 𝑀)))
196185, 194, 195sylanbrc 575 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐽 − 1) ∈ (𝐿...𝑀))
19712adantlr 702 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
19814adantlr 702 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
1991, 117, 180, 98, 181, 196, 122, 197, 198fmul01 41317 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (0 ≤ (seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) ∧ (seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) ≤ 1))
200199simprd 488 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) ≤ 1)
201166, 167, 79, 179, 200lemul1ad 11378 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) · (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀)) ≤ (1 · (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀)))
202129, 201eqbrtrd 4947 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) ≤ (1 · (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀)))
20379recnd 10466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) ∈ ℂ)
204203mulid2d 10456 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (1 · (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀)) = (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀))
205202, 204breqtrd 4951 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) ≤ (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀))
2061, 2, 168, 60, 43, 76, 174, 176, 16, 20fmul01lt1lem1 41321 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) < 𝐸)
207206adantr 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) < 𝐸)
20840, 79, 81, 205, 207lelttrd 10596 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) < 𝐸)
20924, 208syl5eqbr 4960 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐴𝑀) < 𝐸)
21023, 209pm2.61dan 800 1 (𝜑 → (𝐴𝑀) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833  w3a 1068   = wceq 1507  wnf 1746  wcel 2050  wnfc 2910   class class class wbr 4925  cfv 6185  (class class class)co 6974  cr 10332  0cc0 10333  1c1 10334   + caddc 10336   · cmul 10338   < clt 10472  cle 10473  cmin 10668  cz 11791  cuz 12056  +crp 12202  ...cfz 12706  seqcseq 13182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-rp 12203  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-seq 13183
This theorem is referenced by:  fmul01lt1  41323
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