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Theorem fmul01lt1lem2 40387
Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value 𝐸 larger than any multiplicand, is larger than the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1lem2.1 𝑖𝐵
fmul01lt1lem2.2 𝑖𝜑
fmul01lt1lem2.3 𝐴 = seq𝐿( · , 𝐵)
fmul01lt1lem2.4 (𝜑𝐿 ∈ ℤ)
fmul01lt1lem2.5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
fmul01lt1lem2.6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
fmul01lt1lem2.7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
fmul01lt1lem2.8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
fmul01lt1lem2.9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
fmul01lt1lem2.10 (𝜑𝐽 ∈ (𝐿...𝑀))
fmul01lt1lem2.11 (𝜑 → (𝐵𝐽) < 𝐸)
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1lem2 (𝜑 → (𝐴𝑀) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐽   𝑖,𝐿   𝑖,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝐸(𝑖)

Proof of Theorem fmul01lt1lem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmul01lt1lem2.1 . . 3 𝑖𝐵
2 fmul01lt1lem2.2 . . . 4 𝑖𝜑
3 nfv 2009 . . . 4 𝑖 𝐽 = 𝐿
42, 3nfan 1998 . . 3 𝑖(𝜑𝐽 = 𝐿)
5 fmul01lt1lem2.3 . . 3 𝐴 = seq𝐿( · , 𝐵)
6 fmul01lt1lem2.4 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℤ)
76adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
8 fmul01lt1lem2.5 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
98adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
10 fmul01lt1lem2.6 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
1110adantlr 706 . . 3 (((𝜑𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
12 fmul01lt1lem2.7 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
1312adantlr 706 . . 3 (((𝜑𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
14 fmul01lt1lem2.8 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
1514adantlr 706 . . 3 (((𝜑𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
16 fmul01lt1lem2.9 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1716adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → 𝐸 ∈ ℝ+)
18 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → 𝐽 = 𝐿)
1918fveq2d 6378 . . . 4 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → (𝐵𝐽) = (𝐵𝐿))
20 fmul01lt1lem2.11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐽) < 𝐸)
2120adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → (𝐵𝐽) < 𝐸)
2219, 21eqbrtrrd 4832 . . 3 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → (𝐵𝐿) < 𝐸)
231, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 22fmul01lt1lem1 40386 . 2 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → (𝐴𝑀) < 𝐸)
245fveq1i 6375 . . 3 (𝐴𝑀) = (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀)
25 nfv 2009 . . . . . . . . 9 𝑖 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)
262, 25nfan 1998 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑𝑎 ∈ (𝐿...𝑀))
27 nfcv 2906 . . . . . . . . . 10 𝑖𝑎
281, 27nffv 6384 . . . . . . . . 9 𝑖(𝐵𝑎)
2928nfel1 2921 . . . . . . . 8 𝑖(𝐵𝑎) ∈ ℝ
3026, 29nfim 1995 . . . . . . 7 𝑖((𝜑𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
31 eleq1w 2826 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑎 → (𝑖 ∈ (𝐿...𝑀) ↔ 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)))
3231anbi2d 622 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑎 → ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) ↔ (𝜑𝑎 ∈ (𝐿...𝑀))))
33 fveq2 6374 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑎 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑎))
3433eleq1d 2828 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑎 → ((𝐵𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝐵𝑎) ∈ ℝ))
3532, 34imbi12d 335 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑎 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)))
3630, 35, 10chvar 2365 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
37 remulcl 10273 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑗) ∈ ℝ)
3837adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) → (𝑎 · 𝑗) ∈ ℝ)
398, 36, 38seqcl 13027 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) ∈ ℝ)
4039adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) ∈ ℝ)
41 fmul01lt1lem2.10 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (𝐿...𝑀))
42 elfzuz3 12545 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (𝐿...𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐽))
4341, 42syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝐽))
44 nfv 2009 . . . . . . . . 9 𝑖 𝑎 ∈ (𝐽...𝑀)
452, 44nfan 1998 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑𝑎 ∈ (𝐽...𝑀))
4645, 29nfim 1995 . . . . . . 7 𝑖((𝜑𝑎 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
47 eleq1w 2826 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑎 → (𝑖 ∈ (𝐽...𝑀) ↔ 𝑎 ∈ (𝐽...𝑀)))
4847anbi2d 622 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑎 → ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) ↔ (𝜑𝑎 ∈ (𝐽...𝑀))))
4948, 34imbi12d 335 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑎 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)))
506adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℤ)
51 eluzelz 11895 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ𝐿) → 𝑀 ∈ ℤ)
528, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5352adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
54 elfzelz 12548 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (𝐽...𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
5554adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝑖 ∈ ℤ)
5650, 53, 553jca 1158 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
576zred 11728 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
5857adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℝ)
59 elfzelz 12548 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (𝐿...𝑀) → 𝐽 ∈ ℤ)
6041, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
6160zred 11728 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
6261adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℝ)
6354zred 11728 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (𝐽...𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
6463adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ)
65 elfzle1 12550 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (𝐿...𝑀) → 𝐿𝐽)
6641, 65syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿𝐽)
6766adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝐿𝐽)
68 elfzle1 12550 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (𝐽...𝑀) → 𝐽𝑖)
6968adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝐽𝑖)
7058, 62, 64, 67, 69letrd 10447 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝐿𝑖)
71 elfzle2 12551 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (𝐽...𝑀) → 𝑖𝑀)
7271adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝑖𝑀)
7370, 72jca 507 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐿𝑖𝑖𝑀))
74 elfz2 12539 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (𝐿...𝑀) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑖𝑖𝑀)))
7556, 73, 74sylanbrc 578 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀))
7675, 10syldan 585 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
7746, 49, 76chvar 2365 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
7843, 77, 38seqcl 13027 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) ∈ ℝ)
7978adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) ∈ ℝ)
8016rpred 12069 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
8180adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐸 ∈ ℝ)
82 remulcl 10273 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
8382adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
84 simp1 1166 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
8584recnd 10321 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
86 simp2 1167 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
8786recnd 10321 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℂ)
88 simp3 1168 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑐 ∈ ℝ)
8988recnd 10321 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑐 ∈ ℂ)
9085, 87, 89mulassd 10316 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑐) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑐)))
9190adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ)) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑐) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑐)))
9260zcnd 11729 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
93 1cnd 10287 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
9492, 93npcand 10649 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐽 − 1) + 1) = 𝐽)
9594fveq2d 6378 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℤ‘((𝐽 − 1) + 1)) = (ℤ𝐽))
9643, 95eleqtrrd 2846 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘((𝐽 − 1) + 1)))
9796adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝑀 ∈ (ℤ‘((𝐽 − 1) + 1)))
986adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
9960adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐽 ∈ ℤ)
100 1zzd 11654 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 1 ∈ ℤ)
10199, 100zsubcld 11733 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
102 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ¬ 𝐽 = 𝐿)
103 eqcom 2771 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 = 𝐿𝐿 = 𝐽)
104102, 103sylnib 319 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ¬ 𝐿 = 𝐽)
10557, 61leloed 10433 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐿𝐽 ↔ (𝐿 < 𝐽𝐿 = 𝐽)))
10666, 105mpbid 223 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 < 𝐽𝐿 = 𝐽))
107106adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐿 < 𝐽𝐿 = 𝐽))
108 orel2 914 . . . . . . . . . . 11 𝐿 = 𝐽 → ((𝐿 < 𝐽𝐿 = 𝐽) → 𝐿 < 𝐽))
109104, 107, 108sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐿 < 𝐽)
110 zltlem1 11676 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐿 < 𝐽𝐿 ≤ (𝐽 − 1)))
1116, 60, 110syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿 < 𝐽𝐿 ≤ (𝐽 − 1)))
112111adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐿 < 𝐽𝐿 ≤ (𝐽 − 1)))
113109, 112mpbid 223 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐿 ≤ (𝐽 − 1))
114 eluz2 11891 . . . . . . . . 9 ((𝐽 − 1) ∈ (ℤ𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ (𝐽 − 1)))
11598, 101, 113, 114syl3anbrc 1443 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐽 − 1) ∈ (ℤ𝐿))
116 nfv 2009 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 ¬ 𝐽 = 𝐿
1172, 116nfan 1998 . . . . . . . . . . 11 𝑖(𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿)
118117, 25nfan 1998 . . . . . . . . . 10 𝑖((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀))
119118, 29nfim 1995 . . . . . . . . 9 𝑖(((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
12031anbi2d 622 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑎 → (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) ↔ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀))))
121120, 34imbi12d 335 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑎 → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ) ↔ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)))
12210adantlr 706 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
123119, 121, 122chvar 2365 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
12483, 91, 97, 115, 123seqsplit 13040 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) = ((seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) · (seq((𝐽 − 1) + 1)( · , 𝐵)‘𝑀)))
12594adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ((𝐽 − 1) + 1) = 𝐽)
126125seqeq1d 13013 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → seq((𝐽 − 1) + 1)( · , 𝐵) = seq𝐽( · , 𝐵))
127126fveq1d 6376 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq((𝐽 − 1) + 1)( · , 𝐵)‘𝑀) = (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀))
128127oveq2d 6857 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) · (seq((𝐽 − 1) + 1)( · , 𝐵)‘𝑀)) = ((seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) · (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀)))
129124, 128eqtrd 2798 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) = ((seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) · (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀)))
130 nfv 2009 . . . . . . . . . . 11 𝑖 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))
131117, 130nfan 1998 . . . . . . . . . 10 𝑖((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)))
132131, 29nfim 1995 . . . . . . . . 9 𝑖(((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
133 eleq1w 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑎 → (𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)) ↔ 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))))
134133anbi2d 622 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑎 → (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) ↔ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)))))
135134, 34imbi12d 335 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑎 → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ) ↔ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)))
1366adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝐿 ∈ ℤ)
13752adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
138 elfzelz 12548 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
139138adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
140136, 137, 1393jca 1158 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
141 elfzle1 12550 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)) → 𝐿𝑖)
142141adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝐿𝑖)
143138zred 11728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)) → 𝑖 ∈ ℝ)
144143adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
14561adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝐽 ∈ ℝ)
14652zred 11728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
147146adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
148 1red 10293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14961, 148resubcld 10711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
150149adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
151 elfzle2 12551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)) → 𝑖 ≤ (𝐽 − 1))
152151adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ≤ (𝐽 − 1))
15361lem1d 11210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐽 − 1) ≤ 𝐽)
154153adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) ≤ 𝐽)
155144, 150, 145, 152, 154letrd 10447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑖𝐽)
156 elfzle2 12551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ (𝐿...𝑀) → 𝐽𝑀)
15741, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐽𝑀)
158157adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝐽𝑀)
159144, 145, 147, 155, 158letrd 10447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑖𝑀)
160142, 159jca 507 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐿𝑖𝑖𝑀))
161140, 160, 74sylanbrc 578 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀))
162161, 10syldan 585 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
163162adantlr 706 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
164132, 135, 163chvar 2365 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
16537adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) → (𝑎 · 𝑗) ∈ ℝ)
166115, 164, 165seqcl 13027 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) ∈ ℝ)
167 1red 10293 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 1 ∈ ℝ)
168 eqid 2764 . . . . . . . . 9 seq𝐽( · , 𝐵) = seq𝐽( · , 𝐵)
16943adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐽))
170 eluzfz2 12555 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ𝐽) → 𝑀 ∈ (𝐽...𝑀))
17143, 170syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (𝐽...𝑀))
172171adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝑀 ∈ (𝐽...𝑀))
17376adantlr 706 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
17475, 12syldan 585 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
175174adantlr 706 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
17675, 14syldan 585 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
177176adantlr 706 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
1781, 117, 168, 99, 169, 172, 173, 175, 177fmul01 40382 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (0 ≤ (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) ∧ (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) ≤ 1))
179178simpld 488 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 0 ≤ (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀))
180 eqid 2764 . . . . . . . . 9 seq𝐿( · , 𝐵) = seq𝐿( · , 𝐵)
1818adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
182 1zzd 11654 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
18360, 182zsubcld 11733 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
1846, 52, 1833jca 1158 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 1) ∈ ℤ))
185184adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 1) ∈ ℤ))
186149, 61, 1463jca 1158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐽 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
187186adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ((𝐽 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
18861adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐽 ∈ ℝ)
189188lem1d 11210 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐽 − 1) ≤ 𝐽)
190157adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐽𝑀)
191189, 190jca 507 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ((𝐽 − 1) ≤ 𝐽𝐽𝑀))
192 letr 10384 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (((𝐽 − 1) ≤ 𝐽𝐽𝑀) → (𝐽 − 1) ≤ 𝑀))
193187, 191, 192sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐽 − 1) ≤ 𝑀)
194113, 193jca 507 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐿 ≤ (𝐽 − 1) ∧ (𝐽 − 1) ≤ 𝑀))
195 elfz2 12539 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 − 1) ∈ (𝐿...𝑀) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ (𝐽 − 1) ∧ (𝐽 − 1) ≤ 𝑀)))
196185, 194, 195sylanbrc 578 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐽 − 1) ∈ (𝐿...𝑀))
19712adantlr 706 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
19814adantlr 706 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
1991, 117, 180, 98, 181, 196, 122, 197, 198fmul01 40382 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (0 ≤ (seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) ∧ (seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) ≤ 1))
200199simprd 489 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) ≤ 1)
201166, 167, 79, 179, 200lemul1ad 11216 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) · (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀)) ≤ (1 · (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀)))
202129, 201eqbrtrd 4830 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) ≤ (1 · (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀)))
20379recnd 10321 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) ∈ ℂ)
204203mulid2d 10311 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (1 · (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀)) = (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀))
205202, 204breqtrd 4834 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) ≤ (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀))
2061, 2, 168, 60, 43, 76, 174, 176, 16, 20fmul01lt1lem1 40386 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) < 𝐸)
207206adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) < 𝐸)
20840, 79, 81, 205, 207lelttrd 10448 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) < 𝐸)
20924, 208syl5eqbr 4843 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐴𝑀) < 𝐸)
21023, 209pm2.61dan 847 1 (𝜑 → (𝐴𝑀) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wnf 1878  wcel 2155  wnfc 2893   class class class wbr 4808  cfv 6067  (class class class)co 6841  cr 10187  0cc0 10188  1c1 10189   + caddc 10191   · cmul 10193   < clt 10327  cle 10328  cmin 10519  cz 11623  cuz 11885  +crp 12027  ...cfz 12532  seqcseq 13007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-er 7946  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-n0 11538  df-z 11624  df-uz 11886  df-rp 12028  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008
This theorem is referenced by:  fmul01lt1  40388
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