Theorem nnsum3primesle9 47668

Description: Every integer greater than 1 and less than or equal to 8 is the sum of at most 3 primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum3primesle9	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ≤ 8) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))

Distinct variable group:   𝑁,𝑑,𝑓,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primesle9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12914	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
2		8re 12389	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 8 ∈ ℝ)
4	1, 3	leloed 11433	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 8 ↔ (𝑁 < 8 ∨ 𝑁 = 8)))
5		eluzelz 12913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		7nn 12385	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12667	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℤ
8		zleltp1 12694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 7 ↔ 𝑁 < (7 + 1)))
9	5, 7, 8	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 7 ↔ 𝑁 < (7 + 1)))
10		7re 12386	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 7 ∈ ℝ)
12	1, 11	leloed 11433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 7 ↔ (𝑁 < 7 ∨ 𝑁 = 7)))
13		7p1e8 12442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 1) = 8
14	13	breq2i 5174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < (7 + 1) ↔ 𝑁 < 8)
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < (7 + 1) ↔ 𝑁 < 8))
16	9, 12, 15	3bitr3rd 310	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 8 ↔ (𝑁 < 7 ∨ 𝑁 = 7)))
17		6nn 12382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℕ
18	17	nnzi 12667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℤ
19		zleltp1 12694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 6 ↔ 𝑁 < (6 + 1)))
20	5, 18, 19	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 6 ↔ 𝑁 < (6 + 1)))
21		6re 12383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 6 ∈ ℝ)
23	1, 22	leloed 11433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 6 ↔ (𝑁 < 6 ∨ 𝑁 = 6)))
24		6p1e7 12441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 1) = 7
25	24	breq2i 5174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 < (6 + 1) ↔ 𝑁 < 7)
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < (6 + 1) ↔ 𝑁 < 7))
27	20, 23, 26	3bitr3rd 310	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 7 ↔ (𝑁 < 6 ∨ 𝑁 = 6)))
28		5nn 12379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 ∈ ℤ
30		zleltp1 12694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 5 ↔ 𝑁 < (5 + 1)))
31	5, 29, 30	sylancl 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 5 ↔ 𝑁 < (5 + 1)))
32		5re 12380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 5 ∈ ℝ)
34	1, 33	leloed 11433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 5 ↔ (𝑁 < 5 ∨ 𝑁 = 5)))
35		5p1e6 12440	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 + 1) = 6
36	35	breq2i 5174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 < (5 + 1) ↔ 𝑁 < 6)
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < (5 + 1) ↔ 𝑁 < 6))
38	31, 34, 37	3bitr3rd 310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 6 ↔ (𝑁 < 5 ∨ 𝑁 = 5)))
39		4z 12677	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ∈ ℤ
40		zleltp1 12694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 4 ↔ 𝑁 < (4 + 1)))
41	5, 39, 40	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 4 ↔ 𝑁 < (4 + 1)))
42		4re 12377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 4 ∈ ℝ)
44	1, 43	leloed 11433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 4 ↔ (𝑁 < 4 ∨ 𝑁 = 4)))
45		4p1e5 12439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (4 + 1) = 5
46	45	breq2i 5174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 < (4 + 1) ↔ 𝑁 < 5)
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < (4 + 1) ↔ 𝑁 < 5))
48	41, 44, 47	3bitr3rd 310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 5 ↔ (𝑁 < 4 ∨ 𝑁 = 4)))
49		3z 12676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℤ
50		zleltp1 12694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 3 ↔ 𝑁 < (3 + 1)))
51	5, 49, 50	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 3 ↔ 𝑁 < (3 + 1)))
52		3re 12373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℝ
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 3 ∈ ℝ)
54	1, 53	leloed 11433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 3 ↔ (𝑁 < 3 ∨ 𝑁 = 3)))
55		3p1e4 12438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (3 + 1) = 4
56	55	breq2i 5174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 < (3 + 1) ↔ 𝑁 < 4)
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < (3 + 1) ↔ 𝑁 < 4))
58	51, 54, 57	3bitr3rd 310	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 4 ↔ (𝑁 < 3 ∨ 𝑁 = 3)))
59		eluz2 12909	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
60		2re 12367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℝ
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
62		zre 12643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
63	61, 62	leloed 11433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
64		3m1e2 12421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (3 − 1) = 2
65	64	eqcomi 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 = (3 − 1)
66	65	breq1i 5173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 < 𝑁 ↔ (3 − 1) < 𝑁)
67		zlem1lt 12695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 ≤ 𝑁 ↔ (3 − 1) < 𝑁))
68	49, 67	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 ↔ (3 − 1) < 𝑁))
69	68	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((3 − 1) < 𝑁 → 3 ≤ 𝑁))
70	66, 69	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 → 3 ≤ 𝑁))
71	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
72	71, 62	lenltd 11436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 3))
73		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (¬ 𝑁 < 3 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
74	72, 73	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
75	70, 74	syldc 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
76		eqcom 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 = 𝑁 ↔ 𝑁 = 2)
77	76	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 = 𝑁 → 𝑁 = 2)
78	77	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
79	75, 78	jaoi 856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
80	79	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
81	63, 80	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
82	81	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
83		2lt3 12465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 < 3
84		breq1 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 < 3 ↔ 2 < 3))
85	83, 84	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 = 2 → 𝑁 < 3)
86	82, 85	impbid1 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 = 2))
87	86	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 = 2))
88	59, 87	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 = 2))
89	88	orbi1d 915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 < 3 ∨ 𝑁 = 3) ↔ (𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
90	58, 89	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 4 ↔ (𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
91	90	orbi1d 915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 < 4 ∨ 𝑁 = 4) ↔ ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4)))
92	48, 91	bitrd 279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 5 ↔ ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4)))
93	92	orbi1d 915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 < 5 ∨ 𝑁 = 5) ↔ (((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5)))
94	38, 93	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 6 ↔ (((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5)))
95	94	orbi1d 915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 < 6 ∨ 𝑁 = 6) ↔ ((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6)))
96	27, 95	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 7 ↔ ((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6)))
97	96	orbi1d 915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 < 7 ∨ 𝑁 = 7) ↔ (((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7)))
98	16, 97	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 8 ↔ (((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7)))
99	98	orbi1d 915	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 < 8 ∨ 𝑁 = 8) ↔ ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8)))
100	99	biimpd 229	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 < 8 ∨ 𝑁 = 8) → ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8)))
101	4, 100	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 8 → ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8)))
102	101	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ≤ 8) → ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8))
103		2prm 16739	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℙ
104		eleq1 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 2 ∈ ℙ))
105	103, 104	mpbiri 258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 2 → 𝑁 ∈ ℙ)
106		nnsum3primesprm 47664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 2 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
108		3prm 16741	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℙ
109		eleq1 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 3 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 3 ∈ ℙ))
110	108, 109	mpbiri 258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 3 → 𝑁 ∈ ℙ)
111	110, 106	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 3 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
112	107, 111	jaoi 856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
113		nnsum3primes4 47662	. . . . . . . 8 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))
114		eqeq1 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 4 → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) ↔ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
115	114	anbi2d 629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 4 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ (𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))))
116	115	2rexbidv 3228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 4 → (∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))))
117	113, 116	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 4 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
118	112, 117	jaoi 856	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
119		5prm 17156	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℙ
120		eleq1 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 5 ∈ ℙ))
121	119, 120	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ℙ)
122	121, 106	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 5 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
123	118, 122	jaoi 856	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
124		6gbe 47645	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ GoldbachEven
125		eleq1 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 6 → (𝑁 ∈ GoldbachEven ↔ 6 ∈ GoldbachEven ))
126	124, 125	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 6 → 𝑁 ∈ GoldbachEven )
127		nnsum3primesgbe 47666	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ GoldbachEven → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
128	126, 127	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 6 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
129	123, 128	jaoi 856	. . . 4 ⊢ (((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
130		7prm 17158	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
131		eleq1 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 7 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 7 ∈ ℙ))
132	130, 131	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 7 → 𝑁 ∈ ℙ)
133	132, 106	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 7 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
134	129, 133	jaoi 856	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
135		8gbe 47647	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ GoldbachEven
136		eleq1 2832	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 8 → (𝑁 ∈ GoldbachEven ↔ 8 ∈ GoldbachEven ))
137	135, 136	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 8 → 𝑁 ∈ GoldbachEven )
138	137, 127	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 = 8 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
139	134, 138	jaoi 856	. 2 ⊢ (((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
140	102, 139	syl 17	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ≤ 8) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  ℝcr 11183  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℕcn 12293  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  5c5 12351  6c6 12352  7c7 12353  8c8 12354  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  Σcsu 15734  ℙcprime 16718   GoldbachEven cgbe 47619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-dvds 16303  df-prm 16719  df-even 47500  df-odd 47501  df-gbe 47622

This theorem is referenced by:  nnsum4primesle9  47669  bgoldbnnsum3prm  47678