Theorem nnsum3primesle9 48443

Description: Every integer greater than 1 and less than or equal to 8 is the sum of at most 3 primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum3primesle9	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ≤ 8) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))

Distinct variable group:   𝑁,𝑑,𝑓,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primesle9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12869	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
2		8re 12333	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 8 ∈ ℝ)
4	1, 3	leloed 11349	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 8 ↔ (𝑁 < 8 ∨ 𝑁 = 8)))
5		eluzelz 12868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		7nn 12329	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12614	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℤ
8		zleltp1 12641	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 7 ↔ 𝑁 < (7 + 1)))
9	5, 7, 8	sylancl 597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 7 ↔ 𝑁 < (7 + 1)))
10		7re 12330	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 7 ∈ ℝ)
12	1, 11	leloed 11349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 7 ↔ (𝑁 < 7 ∨ 𝑁 = 7)))
13		7p1e8 12385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 1) = 8
14	13	breq2i 5118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < (7 + 1) ↔ 𝑁 < 8)
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < (7 + 1) ↔ 𝑁 < 8))
16	9, 12, 15	3bitr3rd 313	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 8 ↔ (𝑁 < 7 ∨ 𝑁 = 7)))
17		6nn 12326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℕ
18	17	nnzi 12614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℤ
19		zleltp1 12641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 6 ↔ 𝑁 < (6 + 1)))
20	5, 18, 19	sylancl 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 6 ↔ 𝑁 < (6 + 1)))
21		6re 12327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 6 ∈ ℝ)
23	1, 22	leloed 11349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 6 ↔ (𝑁 < 6 ∨ 𝑁 = 6)))
24		6p1e7 12384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 1) = 7
25	24	breq2i 5118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 < (6 + 1) ↔ 𝑁 < 7)
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < (6 + 1) ↔ 𝑁 < 7))
27	20, 23, 26	3bitr3rd 313	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 7 ↔ (𝑁 < 6 ∨ 𝑁 = 6)))
28		5nn 12323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 ∈ ℤ
30		zleltp1 12641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 5 ↔ 𝑁 < (5 + 1)))
31	5, 29, 30	sylancl 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 5 ↔ 𝑁 < (5 + 1)))
32		5re 12324	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 5 ∈ ℝ)
34	1, 33	leloed 11349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 5 ↔ (𝑁 < 5 ∨ 𝑁 = 5)))
35		5p1e6 12383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 + 1) = 6
36	35	breq2i 5118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 < (5 + 1) ↔ 𝑁 < 6)
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < (5 + 1) ↔ 𝑁 < 6))
38	31, 34, 37	3bitr3rd 313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 6 ↔ (𝑁 < 5 ∨ 𝑁 = 5)))
39		4z 12624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ∈ ℤ
40		zleltp1 12641	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 4 ↔ 𝑁 < (4 + 1)))
41	5, 39, 40	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 4 ↔ 𝑁 < (4 + 1)))
42		4re 12321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 4 ∈ ℝ)
44	1, 43	leloed 11349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 4 ↔ (𝑁 < 4 ∨ 𝑁 = 4)))
45		4p1e5 12382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (4 + 1) = 5
46	45	breq2i 5118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 < (4 + 1) ↔ 𝑁 < 5)
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < (4 + 1) ↔ 𝑁 < 5))
48	41, 44, 47	3bitr3rd 313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 5 ↔ (𝑁 < 4 ∨ 𝑁 = 4)))
49		3z 12623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℤ
50		zleltp1 12641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 3 ↔ 𝑁 < (3 + 1)))
51	5, 49, 50	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 3 ↔ 𝑁 < (3 + 1)))
52		3re 12317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℝ
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 3 ∈ ℝ)
54	1, 53	leloed 11349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 3 ↔ (𝑁 < 3 ∨ 𝑁 = 3)))
55		3p1e4 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (3 + 1) = 4
56	55	breq2i 5118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 < (3 + 1) ↔ 𝑁 < 4)
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < (3 + 1) ↔ 𝑁 < 4))
58	51, 54, 57	3bitr3rd 313	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 4 ↔ (𝑁 < 3 ∨ 𝑁 = 3)))
59		eluz2 12864	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
60		2re 12311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℝ
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
62		zre 12591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
63	61, 62	leloed 11349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
64		3m1e2 12364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (3 − 1) = 2
65	64	eqcomi 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 = (3 − 1)
66	65	breq1i 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 < 𝑁 ↔ (3 − 1) < 𝑁)
67		zlem1lt 12642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 ≤ 𝑁 ↔ (3 − 1) < 𝑁))
68	49, 67	mpan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 ↔ (3 − 1) < 𝑁))
69	68	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((3 − 1) < 𝑁 → 3 ≤ 𝑁))
70	66, 69	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 → 3 ≤ 𝑁))
71	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
72	71, 62	lenltd 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 3))
73		pm2.21 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (¬ 𝑁 < 3 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
74	72, 73	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
75	70, 74	syldc 49	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
76		eqcom 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 = 𝑁 ↔ 𝑁 = 2)
77	76	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 = 𝑁 → 𝑁 = 2)
78	77	2a1d 27	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
79	75, 78	jaoi 870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
80	79	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
81	63, 80	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
82	81	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
83		2lt3 12410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 < 3
84		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 < 3 ↔ 2 < 3))
85	83, 84	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 = 2 → 𝑁 < 3)
86	82, 85	impbid1 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 = 2))
87	86	3adant1 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 = 2))
88	59, 87	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 = 2))
89	88	orbi1d 929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 < 3 ∨ 𝑁 = 3) ↔ (𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
90	58, 89	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 4 ↔ (𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
91	90	orbi1d 929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 < 4 ∨ 𝑁 = 4) ↔ ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4)))
92	48, 91	bitrd 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 5 ↔ ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4)))
93	92	orbi1d 929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 < 5 ∨ 𝑁 = 5) ↔ (((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5)))
94	38, 93	bitrd 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 6 ↔ (((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5)))
95	94	orbi1d 929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 < 6 ∨ 𝑁 = 6) ↔ ((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6)))
96	27, 95	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 7 ↔ ((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6)))
97	96	orbi1d 929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 < 7 ∨ 𝑁 = 7) ↔ (((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7)))
98	16, 97	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 8 ↔ (((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7)))
99	98	orbi1d 929	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 < 8 ∨ 𝑁 = 8) ↔ ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8)))
100	99	biimpd 232	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 < 8 ∨ 𝑁 = 8) → ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8)))
101	4, 100	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 8 → ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8)))
102	101	imp 411	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ≤ 8) → ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8))
103		2prm 16746	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℙ
104		eleq1 2857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 2 ∈ ℙ))
105	103, 104	mpbiri 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 2 → 𝑁 ∈ ℙ)
106		nnsum3primesprm 48439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
107	105, 106	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 2 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
108		3prm 16748	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℙ
109		eleq1 2857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 3 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 3 ∈ ℙ))
110	108, 109	mpbiri 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 3 → 𝑁 ∈ ℙ)
111	110, 106	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 3 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
112	107, 111	jaoi 870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
113		nnsum3primes4 48437	. . . . . . . 8 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))
114		eqeq1 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 4 → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) ↔ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
115	114	anbi2d 641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 4 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ (𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))))
116	115	2rexbidv 3236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 4 → (∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))))
117	113, 116	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 4 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
118	112, 117	jaoi 870	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
119		5prm 17164	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℙ
120		eleq1 2857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 5 ∈ ℙ))
121	119, 120	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ℙ)
122	121, 106	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 5 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
123	118, 122	jaoi 870	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
124		6gbe 48420	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ GoldbachEven
125		eleq1 2857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 6 → (𝑁 ∈ GoldbachEven ↔ 6 ∈ GoldbachEven ))
126	124, 125	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 6 → 𝑁 ∈ GoldbachEven )
127		nnsum3primesgbe 48441	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ GoldbachEven → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
128	126, 127	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 6 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
129	123, 128	jaoi 870	. . . 4 ⊢ (((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
130		7prm 17166	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
131		eleq1 2857	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 7 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 7 ∈ ℙ))
132	130, 131	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 7 → 𝑁 ∈ ℙ)
133	132, 106	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 7 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
134	129, 133	jaoi 870	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
135		8gbe 48422	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ GoldbachEven
136		eleq1 2857	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 8 → (𝑁 ∈ GoldbachEven ↔ 8 ∈ GoldbachEven ))
137	135, 136	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 8 → 𝑁 ∈ GoldbachEven )
138	137, 127	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 = 8 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
139	134, 138	jaoi 870	. 2 ⊢ (((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
140	102, 139	syl 18	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ≤ 8) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   class class class wbr 5110  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8820  ℝcr 11095  1c1 11097   + caddc 11099   < clt 11239   ≤ cle 11240   − cmin 11437  ℕcn 12229  2c2 12291  3c3 12292  4c4 12293  5c5 12294  6c6 12295  7c7 12296  8c8 12297  ℤcz 12587  ℤ_≥cuz 12858  ...cfz 13531  Σcsu 15733  ℙcprime 16725   GoldbachEven cgbe 48394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734  df-dvds 16307  df-prm 16726  df-even 48275  df-odd 48276  df-gbe 48397

This theorem is referenced by:  nnsum4primesle9  48444  bgoldbnnsum3prm  48453