Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsum3primesle9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsum3primesle9 46761
Description: Every integer greater than 1 and less than or equal to 8 is the sum of at most 3 primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum3primesle9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ≤ 8) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
Distinct variable group:   𝑁,𝑑,𝑓,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primesle9
StepHypRef Expression
1 eluzelre 12838 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
2 8re 12313 . . . . . 6 8 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 8 ∈ ℝ)
41, 3leloed 11362 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 8 ↔ (𝑁 < 8 ∨ 𝑁 = 8)))
5 eluzelz 12837 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 7nn 12309 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℕ
76nnzi 12591 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℤ
8 zleltp1 12618 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 7 ↔ 𝑁 < (7 + 1)))
95, 7, 8sylancl 585 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 7 ↔ 𝑁 < (7 + 1)))
10 7re 12310 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 7 ∈ ℝ)
121, 11leloed 11362 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 7 ↔ (𝑁 < 7 ∨ 𝑁 = 7)))
13 7p1e8 12366 . . . . . . . . . 10 (7 + 1) = 8
1413breq2i 5156 . . . . . . . . 9 (𝑁 < (7 + 1) ↔ 𝑁 < 8)
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < (7 + 1) ↔ 𝑁 < 8))
169, 12, 153bitr3rd 310 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 8 ↔ (𝑁 < 7 ∨ 𝑁 = 7)))
17 6nn 12306 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℕ
1817nnzi 12591 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℤ
19 zleltp1 12618 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 6 ↔ 𝑁 < (6 + 1)))
205, 18, 19sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 6 ↔ 𝑁 < (6 + 1)))
21 6re 12307 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 6 ∈ ℝ)
231, 22leloed 11362 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 6 ↔ (𝑁 < 6 ∨ 𝑁 = 6)))
24 6p1e7 12365 . . . . . . . . . . . 12 (6 + 1) = 7
2524breq2i 5156 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 < (6 + 1) ↔ 𝑁 < 7)
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < (6 + 1) ↔ 𝑁 < 7))
2720, 23, 263bitr3rd 310 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 7 ↔ (𝑁 < 6 ∨ 𝑁 = 6)))
28 5nn 12303 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℕ
2928nnzi 12591 . . . . . . . . . . . . 13 5 ∈ ℤ
30 zleltp1 12618 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 5 ↔ 𝑁 < (5 + 1)))
315, 29, 30sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 5 ↔ 𝑁 < (5 + 1)))
32 5re 12304 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℝ
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 5 ∈ ℝ)
341, 33leloed 11362 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 5 ↔ (𝑁 < 5 ∨ 𝑁 = 5)))
35 5p1e6 12364 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 + 1) = 6
3635breq2i 5156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 < (5 + 1) ↔ 𝑁 < 6)
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < (5 + 1) ↔ 𝑁 < 6))
3831, 34, 373bitr3rd 310 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 6 ↔ (𝑁 < 5 ∨ 𝑁 = 5)))
39 4z 12601 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ∈ ℤ
40 zleltp1 12618 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 4 ↔ 𝑁 < (4 + 1)))
415, 39, 40sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 4 ↔ 𝑁 < (4 + 1)))
42 4re 12301 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 4 ∈ ℝ)
441, 43leloed 11362 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 4 ↔ (𝑁 < 4 ∨ 𝑁 = 4)))
45 4p1e5 12363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 + 1) = 5
4645breq2i 5156 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 < (4 + 1) ↔ 𝑁 < 5)
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < (4 + 1) ↔ 𝑁 < 5))
4841, 44, 473bitr3rd 310 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 5 ↔ (𝑁 < 4 ∨ 𝑁 = 4)))
49 3z 12600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℤ
50 zleltp1 12618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 3 ↔ 𝑁 < (3 + 1)))
515, 49, 50sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 3 ↔ 𝑁 < (3 + 1)))
52 3re 12297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℝ
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 3 ∈ ℝ)
541, 53leloed 11362 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 3 ↔ (𝑁 < 3 ∨ 𝑁 = 3)))
55 3p1e4 12362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 + 1) = 4
5655breq2i 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 < (3 + 1) ↔ 𝑁 < 4)
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < (3 + 1) ↔ 𝑁 < 4))
5851, 54, 573bitr3rd 310 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 4 ↔ (𝑁 < 3 ∨ 𝑁 = 3)))
59 eluz2 12833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
60 2re 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℝ
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
62 zre 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6361, 62leloed 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
64 3m1e2 12345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (3 − 1) = 2
6564eqcomi 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 = (3 − 1)
6665breq1i 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 < 𝑁 ↔ (3 − 1) < 𝑁)
67 zlem1lt 12619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 ≤ 𝑁 ↔ (3 − 1) < 𝑁))
6849, 67mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 ↔ (3 − 1) < 𝑁))
6968biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℤ → ((3 − 1) < 𝑁 → 3 ≤ 𝑁))
7066, 69biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 → 3 ≤ 𝑁))
7152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
7271, 62lenltd 11365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 3))
73 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑁 < 3 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
7472, 73syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
7570, 74syldc 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
76 eqcom 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 = 𝑁𝑁 = 2)
7776biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 = 𝑁𝑁 = 2)
78772a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
7975, 78jaoi 854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
8079com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
8163, 80sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
8281imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
83 2lt3 12389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 < 3
84 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 = 2 → (𝑁 < 3 ↔ 2 < 3))
8583, 84mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = 2 → 𝑁 < 3)
8682, 85impbid1 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 = 2))
87863adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 = 2))
8859, 87sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 = 2))
8988orbi1d 914 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 3 ∨ 𝑁 = 3) ↔ (𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
9058, 89bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 4 ↔ (𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
9190orbi1d 914 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 4 ∨ 𝑁 = 4) ↔ ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4)))
9248, 91bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 5 ↔ ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4)))
9392orbi1d 914 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 5 ∨ 𝑁 = 5) ↔ (((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5)))
9438, 93bitrd 279 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 6 ↔ (((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5)))
9594orbi1d 914 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 6 ∨ 𝑁 = 6) ↔ ((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6)))
9627, 95bitrd 279 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 7 ↔ ((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6)))
9796orbi1d 914 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 7 ∨ 𝑁 = 7) ↔ (((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7)))
9816, 97bitrd 279 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 8 ↔ (((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7)))
9998orbi1d 914 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 8 ∨ 𝑁 = 8) ↔ ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8)))
10099biimpd 228 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 8 ∨ 𝑁 = 8) → ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8)))
1014, 100sylbid 239 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 8 → ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8)))
102101imp 406 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ≤ 8) → ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8))
103 2prm 16634 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℙ
104 eleq1 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 2 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 2 ∈ ℙ))
105103, 104mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 2 → 𝑁 ∈ ℙ)
106 nnsum3primesprm 46757 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℙ → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
107105, 106syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 = 2 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
108 3prm 16636 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℙ
109 eleq1 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 3 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 3 ∈ ℙ))
110108, 109mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 3 → 𝑁 ∈ ℙ)
111110, 106syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 = 3 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
112107, 111jaoi 854 . . . . . . 7 ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
113 nnsum3primes4 46755 . . . . . . . 8 𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘))
114 eqeq1 2735 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 4 → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘) ↔ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
115114anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 4 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ (𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘))))
1161152rexbidv 3218 . . . . . . . 8 (𝑁 = 4 → (∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘))))
117113, 116mpbiri 258 . . . . . . 7 (𝑁 = 4 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
118112, 117jaoi 854 . . . . . 6 (((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
119 5prm 17047 . . . . . . . 8 5 ∈ ℙ
120 eleq1 2820 . . . . . . . 8 (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 5 ∈ ℙ))
121119, 120mpbiri 258 . . . . . . 7 (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ℙ)
122121, 106syl 17 . . . . . 6 (𝑁 = 5 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
123118, 122jaoi 854 . . . . 5 ((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
124 6gbe 46738 . . . . . . 7 6 ∈ GoldbachEven
125 eleq1 2820 . . . . . . 7 (𝑁 = 6 → (𝑁 ∈ GoldbachEven ↔ 6 ∈ GoldbachEven ))
126124, 125mpbiri 258 . . . . . 6 (𝑁 = 6 → 𝑁 ∈ GoldbachEven )
127 nnsum3primesgbe 46759 . . . . . 6 (𝑁 ∈ GoldbachEven → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
128126, 127syl 17 . . . . 5 (𝑁 = 6 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
129123, 128jaoi 854 . . . 4 (((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
130 7prm 17049 . . . . . 6 7 ∈ ℙ
131 eleq1 2820 . . . . . 6 (𝑁 = 7 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 7 ∈ ℙ))
132130, 131mpbiri 258 . . . . 5 (𝑁 = 7 → 𝑁 ∈ ℙ)
133132, 106syl 17 . . . 4 (𝑁 = 7 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
134129, 133jaoi 854 . . 3 ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
135 8gbe 46740 . . . . 5 8 ∈ GoldbachEven
136 eleq1 2820 . . . . 5 (𝑁 = 8 → (𝑁 ∈ GoldbachEven ↔ 8 ∈ GoldbachEven ))
137135, 136mpbiri 258 . . . 4 (𝑁 = 8 → 𝑁 ∈ GoldbachEven )
138137, 127syl 17 . . 3 (𝑁 = 8 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
139134, 138jaoi 854 . 2 (((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
140102, 139syl 17 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ≤ 8) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wrex 3069   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412  m cmap 8824  cr 11113  1c1 11115   + caddc 11117   < clt 11253  cle 11254  cmin 11449  cn 12217  2c2 12272  3c3 12273  4c4 12274  5c5 12275  6c6 12276  7c7 12277  8c8 12278  cz 12563  cuz 12827  ...cfz 13489  Σcsu 15637  cprime 16613   GoldbachEven cgbe 46712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-dvds 16203  df-prm 16614  df-even 46593  df-odd 46594  df-gbe 46715
This theorem is referenced by:  nnsum4primesle9  46762  bgoldbnnsum3prm  46771
  Copyright terms: Public domain W3C validator