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Theorem nnsum3primesle9 45246
Description: Every integer greater than 1 and less than or equal to 8 is the sum of at most 3 primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum3primesle9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ≤ 8) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
Distinct variable group:   𝑁,𝑑,𝑓,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primesle9
StepHypRef Expression
1 eluzelre 12593 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
2 8re 12069 . . . . . 6 8 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 8 ∈ ℝ)
41, 3leloed 11118 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 8 ↔ (𝑁 < 8 ∨ 𝑁 = 8)))
5 eluzelz 12592 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 7nn 12065 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℕ
76nnzi 12344 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℤ
8 zleltp1 12371 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 7 ↔ 𝑁 < (7 + 1)))
95, 7, 8sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 7 ↔ 𝑁 < (7 + 1)))
10 7re 12066 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 7 ∈ ℝ)
121, 11leloed 11118 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 7 ↔ (𝑁 < 7 ∨ 𝑁 = 7)))
13 7p1e8 12122 . . . . . . . . . 10 (7 + 1) = 8
1413breq2i 5082 . . . . . . . . 9 (𝑁 < (7 + 1) ↔ 𝑁 < 8)
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < (7 + 1) ↔ 𝑁 < 8))
169, 12, 153bitr3rd 310 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 8 ↔ (𝑁 < 7 ∨ 𝑁 = 7)))
17 6nn 12062 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℕ
1817nnzi 12344 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℤ
19 zleltp1 12371 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 6 ↔ 𝑁 < (6 + 1)))
205, 18, 19sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 6 ↔ 𝑁 < (6 + 1)))
21 6re 12063 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 6 ∈ ℝ)
231, 22leloed 11118 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 6 ↔ (𝑁 < 6 ∨ 𝑁 = 6)))
24 6p1e7 12121 . . . . . . . . . . . 12 (6 + 1) = 7
2524breq2i 5082 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 < (6 + 1) ↔ 𝑁 < 7)
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < (6 + 1) ↔ 𝑁 < 7))
2720, 23, 263bitr3rd 310 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 7 ↔ (𝑁 < 6 ∨ 𝑁 = 6)))
28 5nn 12059 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℕ
2928nnzi 12344 . . . . . . . . . . . . 13 5 ∈ ℤ
30 zleltp1 12371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 5 ↔ 𝑁 < (5 + 1)))
315, 29, 30sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 5 ↔ 𝑁 < (5 + 1)))
32 5re 12060 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℝ
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 5 ∈ ℝ)
341, 33leloed 11118 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 5 ↔ (𝑁 < 5 ∨ 𝑁 = 5)))
35 5p1e6 12120 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 + 1) = 6
3635breq2i 5082 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 < (5 + 1) ↔ 𝑁 < 6)
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < (5 + 1) ↔ 𝑁 < 6))
3831, 34, 373bitr3rd 310 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 6 ↔ (𝑁 < 5 ∨ 𝑁 = 5)))
39 4z 12354 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ∈ ℤ
40 zleltp1 12371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 4 ↔ 𝑁 < (4 + 1)))
415, 39, 40sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 4 ↔ 𝑁 < (4 + 1)))
42 4re 12057 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 4 ∈ ℝ)
441, 43leloed 11118 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 4 ↔ (𝑁 < 4 ∨ 𝑁 = 4)))
45 4p1e5 12119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 + 1) = 5
4645breq2i 5082 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 < (4 + 1) ↔ 𝑁 < 5)
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < (4 + 1) ↔ 𝑁 < 5))
4841, 44, 473bitr3rd 310 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 5 ↔ (𝑁 < 4 ∨ 𝑁 = 4)))
49 3z 12353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℤ
50 zleltp1 12371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 3 ↔ 𝑁 < (3 + 1)))
515, 49, 50sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 3 ↔ 𝑁 < (3 + 1)))
52 3re 12053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℝ
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 3 ∈ ℝ)
541, 53leloed 11118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 3 ↔ (𝑁 < 3 ∨ 𝑁 = 3)))
55 3p1e4 12118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 + 1) = 4
5655breq2i 5082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 < (3 + 1) ↔ 𝑁 < 4)
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < (3 + 1) ↔ 𝑁 < 4))
5851, 54, 573bitr3rd 310 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 4 ↔ (𝑁 < 3 ∨ 𝑁 = 3)))
59 eluz2 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
60 2re 12047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℝ
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
62 zre 12323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6361, 62leloed 11118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
64 3m1e2 12101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (3 − 1) = 2
6564eqcomi 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 = (3 − 1)
6665breq1i 5081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 < 𝑁 ↔ (3 − 1) < 𝑁)
67 zlem1lt 12372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 ≤ 𝑁 ↔ (3 − 1) < 𝑁))
6849, 67mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 ↔ (3 − 1) < 𝑁))
6968biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℤ → ((3 − 1) < 𝑁 → 3 ≤ 𝑁))
7066, 69syl5bi 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 → 3 ≤ 𝑁))
7152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
7271, 62lenltd 11121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 3))
73 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑁 < 3 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
7472, 73syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
7570, 74syldc 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
76 eqcom 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 = 𝑁𝑁 = 2)
7776biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 = 𝑁𝑁 = 2)
78772a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
7975, 78jaoi 854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
8079com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
8163, 80sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
8281imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
83 2lt3 12145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 < 3
84 breq1 5077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 = 2 → (𝑁 < 3 ↔ 2 < 3))
8583, 84mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = 2 → 𝑁 < 3)
8682, 85impbid1 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 = 2))
87863adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 = 2))
8859, 87sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 = 2))
8988orbi1d 914 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 3 ∨ 𝑁 = 3) ↔ (𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
9058, 89bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 4 ↔ (𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
9190orbi1d 914 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 4 ∨ 𝑁 = 4) ↔ ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4)))
9248, 91bitrd 278 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 5 ↔ ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4)))
9392orbi1d 914 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 5 ∨ 𝑁 = 5) ↔ (((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5)))
9438, 93bitrd 278 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 6 ↔ (((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5)))
9594orbi1d 914 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 6 ∨ 𝑁 = 6) ↔ ((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6)))
9627, 95bitrd 278 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 7 ↔ ((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6)))
9796orbi1d 914 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 7 ∨ 𝑁 = 7) ↔ (((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7)))
9816, 97bitrd 278 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 8 ↔ (((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7)))
9998orbi1d 914 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 8 ∨ 𝑁 = 8) ↔ ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8)))
10099biimpd 228 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 8 ∨ 𝑁 = 8) → ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8)))
1014, 100sylbid 239 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 8 → ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8)))
102101imp 407 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ≤ 8) → ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8))
103 2prm 16397 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℙ
104 eleq1 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 2 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 2 ∈ ℙ))
105103, 104mpbiri 257 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 2 → 𝑁 ∈ ℙ)
106 nnsum3primesprm 45242 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℙ → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
107105, 106syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 = 2 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
108 3prm 16399 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℙ
109 eleq1 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 3 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 3 ∈ ℙ))
110108, 109mpbiri 257 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 3 → 𝑁 ∈ ℙ)
111110, 106syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 = 3 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
112107, 111jaoi 854 . . . . . . 7 ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
113 nnsum3primes4 45240 . . . . . . . 8 𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘))
114 eqeq1 2742 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 4 → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘) ↔ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
115114anbi2d 629 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 4 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ (𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘))))
1161152rexbidv 3229 . . . . . . . 8 (𝑁 = 4 → (∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘))))
117113, 116mpbiri 257 . . . . . . 7 (𝑁 = 4 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
118112, 117jaoi 854 . . . . . 6 (((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
119 5prm 16810 . . . . . . . 8 5 ∈ ℙ
120 eleq1 2826 . . . . . . . 8 (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 5 ∈ ℙ))
121119, 120mpbiri 257 . . . . . . 7 (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ℙ)
122121, 106syl 17 . . . . . 6 (𝑁 = 5 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
123118, 122jaoi 854 . . . . 5 ((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
124 6gbe 45223 . . . . . . 7 6 ∈ GoldbachEven
125 eleq1 2826 . . . . . . 7 (𝑁 = 6 → (𝑁 ∈ GoldbachEven ↔ 6 ∈ GoldbachEven ))
126124, 125mpbiri 257 . . . . . 6 (𝑁 = 6 → 𝑁 ∈ GoldbachEven )
127 nnsum3primesgbe 45244 . . . . . 6 (𝑁 ∈ GoldbachEven → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
128126, 127syl 17 . . . . 5 (𝑁 = 6 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
129123, 128jaoi 854 . . . 4 (((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
130 7prm 16812 . . . . . 6 7 ∈ ℙ
131 eleq1 2826 . . . . . 6 (𝑁 = 7 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 7 ∈ ℙ))
132130, 131mpbiri 257 . . . . 5 (𝑁 = 7 → 𝑁 ∈ ℙ)
133132, 106syl 17 . . . 4 (𝑁 = 7 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
134129, 133jaoi 854 . . 3 ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
135 8gbe 45225 . . . . 5 8 ∈ GoldbachEven
136 eleq1 2826 . . . . 5 (𝑁 = 8 → (𝑁 ∈ GoldbachEven ↔ 8 ∈ GoldbachEven ))
137135, 136mpbiri 257 . . . 4 (𝑁 = 8 → 𝑁 ∈ GoldbachEven )
138137, 127syl 17 . . 3 (𝑁 = 8 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
139134, 138jaoi 854 . 2 (((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
140102, 139syl 17 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ≤ 8) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wrex 3065   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  m cmap 8615  cr 10870  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205  cn 11973  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  5c5 12031  6c6 12032  7c7 12033  8c8 12034  cz 12319  cuz 12582  ...cfz 13239  Σcsu 15397  cprime 16376   GoldbachEven cgbe 45197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-dvds 15964  df-prm 16377  df-even 45078  df-odd 45079  df-gbe 45200
This theorem is referenced by:  nnsum4primesle9  45247  bgoldbnnsum3prm  45256
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