Theorem nnsum3primesle9 44312

Description: Every integer greater than 1 and less than or equal to 8 is the sum of at most 3 primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum3primesle9	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ≤ 8) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))

Distinct variable group:   𝑁,𝑑,𝑓,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primesle9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12242	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
2		8re 11721	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 8 ∈ ℝ)
4	1, 3	leloed 10772	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 8 ↔ (𝑁 < 8 ∨ 𝑁 = 8)))
5		eluzelz 12241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		7nn 11717	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℕ
7	6	nnzi 11994	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℤ
8		zleltp1 12021	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 7 ↔ 𝑁 < (7 + 1)))
9	5, 7, 8	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 7 ↔ 𝑁 < (7 + 1)))
10		7re 11718	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 7 ∈ ℝ)
12	1, 11	leloed 10772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 7 ↔ (𝑁 < 7 ∨ 𝑁 = 7)))
13		7p1e8 11774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 1) = 8
14	13	breq2i 5038	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < (7 + 1) ↔ 𝑁 < 8)
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < (7 + 1) ↔ 𝑁 < 8))
16	9, 12, 15	3bitr3rd 313	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 8 ↔ (𝑁 < 7 ∨ 𝑁 = 7)))
17		6nn 11714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℕ
18	17	nnzi 11994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℤ
19		zleltp1 12021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 6 ↔ 𝑁 < (6 + 1)))
20	5, 18, 19	sylancl 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 6 ↔ 𝑁 < (6 + 1)))
21		6re 11715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 6 ∈ ℝ)
23	1, 22	leloed 10772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 6 ↔ (𝑁 < 6 ∨ 𝑁 = 6)))
24		6p1e7 11773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 1) = 7
25	24	breq2i 5038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 < (6 + 1) ↔ 𝑁 < 7)
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < (6 + 1) ↔ 𝑁 < 7))
27	20, 23, 26	3bitr3rd 313	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 7 ↔ (𝑁 < 6 ∨ 𝑁 = 6)))
28		5nn 11711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ
29	28	nnzi 11994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 ∈ ℤ
30		zleltp1 12021	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 5 ↔ 𝑁 < (5 + 1)))
31	5, 29, 30	sylancl 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 5 ↔ 𝑁 < (5 + 1)))
32		5re 11712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 5 ∈ ℝ)
34	1, 33	leloed 10772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 5 ↔ (𝑁 < 5 ∨ 𝑁 = 5)))
35		5p1e6 11772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 + 1) = 6
36	35	breq2i 5038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 < (5 + 1) ↔ 𝑁 < 6)
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < (5 + 1) ↔ 𝑁 < 6))
38	31, 34, 37	3bitr3rd 313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 6 ↔ (𝑁 < 5 ∨ 𝑁 = 5)))
39		4z 12004	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ∈ ℤ
40		zleltp1 12021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 4 ↔ 𝑁 < (4 + 1)))
41	5, 39, 40	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 4 ↔ 𝑁 < (4 + 1)))
42		4re 11709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 4 ∈ ℝ)
44	1, 43	leloed 10772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 4 ↔ (𝑁 < 4 ∨ 𝑁 = 4)))
45		4p1e5 11771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (4 + 1) = 5
46	45	breq2i 5038	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 < (4 + 1) ↔ 𝑁 < 5)
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < (4 + 1) ↔ 𝑁 < 5))
48	41, 44, 47	3bitr3rd 313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 5 ↔ (𝑁 < 4 ∨ 𝑁 = 4)))
49		3z 12003	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℤ
50		zleltp1 12021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 3 ↔ 𝑁 < (3 + 1)))
51	5, 49, 50	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 3 ↔ 𝑁 < (3 + 1)))
52		3re 11705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℝ
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 3 ∈ ℝ)
54	1, 53	leloed 10772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 3 ↔ (𝑁 < 3 ∨ 𝑁 = 3)))
55		3p1e4 11770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (3 + 1) = 4
56	55	breq2i 5038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 < (3 + 1) ↔ 𝑁 < 4)
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < (3 + 1) ↔ 𝑁 < 4))
58	51, 54, 57	3bitr3rd 313	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 4 ↔ (𝑁 < 3 ∨ 𝑁 = 3)))
59		eluz2 12237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
60		2re 11699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℝ
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
62		zre 11973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
63	61, 62	leloed 10772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
64		3m1e2 11753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (3 − 1) = 2
65	64	eqcomi 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 = (3 − 1)
66	65	breq1i 5037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 < 𝑁 ↔ (3 − 1) < 𝑁)
67		zlem1lt 12022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 ≤ 𝑁 ↔ (3 − 1) < 𝑁))
68	49, 67	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 ↔ (3 − 1) < 𝑁))
69	68	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((3 − 1) < 𝑁 → 3 ≤ 𝑁))
70	66, 69	syl5bi 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 → 3 ≤ 𝑁))
71	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
72	71, 62	lenltd 10775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 3))
73		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (¬ 𝑁 < 3 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
74	72, 73	syl6bi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
75	70, 74	syldc 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
76		eqcom 2805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 = 𝑁 ↔ 𝑁 = 2)
77	76	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 = 𝑁 → 𝑁 = 2)
78	77	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
79	75, 78	jaoi 854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
80	79	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
81	63, 80	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
82	81	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
83		2lt3 11797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 < 3
84		breq1 5033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 < 3 ↔ 2 < 3))
85	83, 84	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 = 2 → 𝑁 < 3)
86	82, 85	impbid1 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 = 2))
87	86	3adant1 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 = 2))
88	59, 87	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 = 2))
89	88	orbi1d 914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 < 3 ∨ 𝑁 = 3) ↔ (𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
90	58, 89	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 4 ↔ (𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
91	90	orbi1d 914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 < 4 ∨ 𝑁 = 4) ↔ ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4)))
92	48, 91	bitrd 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 5 ↔ ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4)))
93	92	orbi1d 914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 < 5 ∨ 𝑁 = 5) ↔ (((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5)))
94	38, 93	bitrd 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 6 ↔ (((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5)))
95	94	orbi1d 914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 < 6 ∨ 𝑁 = 6) ↔ ((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6)))
96	27, 95	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 7 ↔ ((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6)))
97	96	orbi1d 914	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 < 7 ∨ 𝑁 = 7) ↔ (((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7)))
98	16, 97	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 < 8 ↔ (((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7)))
99	98	orbi1d 914	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 < 8 ∨ 𝑁 = 8) ↔ ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8)))
100	99	biimpd 232	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 < 8 ∨ 𝑁 = 8) → ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8)))
101	4, 100	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ 8 → ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8)))
102	101	imp 410	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ≤ 8) → ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8))
103		2prm 16026	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℙ
104		eleq1 2877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 2 ∈ ℙ))
105	103, 104	mpbiri 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 2 → 𝑁 ∈ ℙ)
106		nnsum3primesprm 44308	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 2 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
108		3prm 16028	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℙ
109		eleq1 2877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 3 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 3 ∈ ℙ))
110	108, 109	mpbiri 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 3 → 𝑁 ∈ ℙ)
111	110, 106	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 3 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
112	107, 111	jaoi 854	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
113		nnsum3primes4 44306	. . . . . . . 8 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))
114		eqeq1 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 4 → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) ↔ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
115	114	anbi2d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 4 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ (𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))))
116	115	2rexbidv 3259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 4 → (∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))))
117	113, 116	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 4 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
118	112, 117	jaoi 854	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
119		5prm 16434	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℙ
120		eleq1 2877	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 5 ∈ ℙ))
121	119, 120	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ℙ)
122	121, 106	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 5 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
123	118, 122	jaoi 854	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
124		6gbe 44289	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ GoldbachEven
125		eleq1 2877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 6 → (𝑁 ∈ GoldbachEven ↔ 6 ∈ GoldbachEven ))
126	124, 125	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 6 → 𝑁 ∈ GoldbachEven )
127		nnsum3primesgbe 44310	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ GoldbachEven → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
128	126, 127	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 6 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
129	123, 128	jaoi 854	. . . 4 ⊢ (((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
130		7prm 16436	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
131		eleq1 2877	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 7 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 7 ∈ ℙ))
132	130, 131	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 7 → 𝑁 ∈ ℙ)
133	132, 106	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 7 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
134	129, 133	jaoi 854	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
135		8gbe 44291	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ GoldbachEven
136		eleq1 2877	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 8 → (𝑁 ∈ GoldbachEven ↔ 8 ∈ GoldbachEven ))
137	135, 136	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 8 → 𝑁 ∈ GoldbachEven )
138	137, 127	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 = 8 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
139	134, 138	jaoi 854	. 2 ⊢ (((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
140	102, 139	syl 17	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ≤ 8) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑_m cmap 8389  ℝcr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕcn 11625  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  6c6 11684  7c7 11685  8c8 11686  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885  Σcsu 15034  ℙcprime 16005   GoldbachEven cgbe 44263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-dvds 15600  df-prm 16006  df-even 44144  df-odd 44145  df-gbe 44266

This theorem is referenced by:  nnsum4primesle9  44313  bgoldbnnsum3prm  44322