Theorem dnibndlem13 37534

Description: Lemma for dnibnd 37535. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem13.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem13.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem13.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem13.4	⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem13	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibndlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem13.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		dnibndlem13.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		dnibndlem13.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
7	1, 3, 5, 6	dnibndlem12 37533	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
8	2	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	4	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
11	10	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
12	1, 8, 9, 11	dnibndlem9 37530	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
13		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
14		halfre 12586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
16	2, 15	readdcld 11365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
17	16	flcld 13965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ)
18	4, 15	readdcld 11365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
19	18	flcld 13965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℤ)
20	17, 19	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℤ))
21	20	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℤ))
22		zltp1le 12773	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
23	21, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
24	13, 23	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
25		reflcl 13963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
26	16, 25	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
27		peano2re 11510	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ∈ ℝ)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ∈ ℝ)
29	28	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ∈ ℝ)
30	19	zred 12830	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
31	30	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
32	29, 31	leloed 11480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))))
33	24, 32	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
34	17	peano2zd 12833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ∈ ℤ)
35	34, 19	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℤ))
36		zltp1le 12773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℤ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
38	26	recnd 11364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
39		1cnd 11329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
40	38, 39, 39	addassd 11358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) + 1) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 + 1)))
41		1p1e2 12493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + 1) = 2
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) = 2)
43	42	oveq2d 7459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 + 1)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2))
44	40, 43	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) + 1) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2))
45	44	breq1d 5116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
46	37, 45	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
47	46	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
48	47	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
49	48	orim1d 981	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))))
50	33, 49	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
51	7, 12, 50	mpjaodan 973	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
52	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
53	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
54		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
55	54	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
56	1, 52, 53, 55	dnibndlem2 37523	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
57		dnibndlem13.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
58	26, 30	leloed 11480	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))))
59	57, 58	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
60	51, 56, 59	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  1c1 11228   + caddc 11230   < clt 11370   ≤ cle 11371   − cmin 11568   / cdiv 12000  2c2 12424  ℤcz 12720  ⌊cfl 13957  abscabs 15430

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432

This theorem is used by:  dnibnd  37535