Theorem dnibndlem13 36665

Description: Lemma for dnibnd 36666. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem13.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem13.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem13.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem13.4	⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem13	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibndlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem13.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		dnibndlem13.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		dnibndlem13.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
7	1, 3, 5, 6	dnibndlem12 36664	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
8	2	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	4	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
11	10	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
12	1, 8, 9, 11	dnibndlem9 36661	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
14		halfre 12358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
16	2, 15	readdcld 11165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
17	16	flcld 13722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ)
18	4, 15	readdcld 11165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
19	18	flcld 13722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℤ)
20	17, 19	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℤ))
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℤ))
22		zltp1le 12545	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
24	13, 23	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
25		reflcl 13720	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
26	16, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
27		peano2re 11310	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ∈ ℝ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ∈ ℝ)
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ∈ ℝ)
30	19	zred 12600	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
32	29, 31	leloed 11280	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))))
33	24, 32	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
34	17	peano2zd 12603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ∈ ℤ)
35	34, 19	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℤ))
36		zltp1le 12545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℤ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
38	26	recnd 11164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
39		1cnd 11131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
40	38, 39, 39	addassd 11158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) + 1) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 + 1)))
41		1p1e2 12269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + 1) = 2
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) = 2)
43	42	oveq2d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 + 1)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2))
44	40, 43	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) + 1) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2))
45	44	breq1d 5109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
46	37, 45	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
47	46	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
48	47	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
49	48	orim1d 968	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))))
50	33, 49	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
51	7, 12, 50	mpjaodan 961	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
52	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
53	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
54		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
55	54	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
56	1, 52, 53, 55	dnibndlem2 36654	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
57		dnibndlem13.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
58	26, 30	leloed 11280	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))))
59	57, 58	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
60	51, 56, 59	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  1c1 11031   + caddc 11033   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  2c2 12204  ℤcz 12492  ⌊cfl 13714  abscabs 15161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fl 13716  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163

This theorem is referenced by:  dnibnd  36666