Theorem dnibndlem13 36709

Description: Lemma for dnibnd 36710. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem13.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem13.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem13.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem13.4	⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem13	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibndlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem13.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		dnibndlem13.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		dnibndlem13.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
7	1, 3, 5, 6	dnibndlem12 36708	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
8	2	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	4	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
11	10	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
12	1, 8, 9, 11	dnibndlem9 36705	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
14		halfre 12366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
16	2, 15	readdcld 11173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
17	16	flcld 13730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ)
18	4, 15	readdcld 11173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
19	18	flcld 13730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℤ)
20	17, 19	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℤ))
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℤ))
22		zltp1le 12553	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
24	13, 23	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
25		reflcl 13728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
26	16, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
27		peano2re 11318	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ∈ ℝ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ∈ ℝ)
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ∈ ℝ)
30	19	zred 12608	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
32	29, 31	leloed 11288	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))))
33	24, 32	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
34	17	peano2zd 12611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ∈ ℤ)
35	34, 19	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℤ))
36		zltp1le 12553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℤ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
38	26	recnd 11172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
39		1cnd 11139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
40	38, 39, 39	addassd 11166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) + 1) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 + 1)))
41		1p1e2 12277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + 1) = 2
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) = 2)
43	42	oveq2d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 + 1)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2))
44	40, 43	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) + 1) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2))
45	44	breq1d 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
46	37, 45	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
47	46	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
48	47	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
49	48	orim1d 968	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))))
50	33, 49	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
51	7, 12, 50	mpjaodan 961	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
52	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
53	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
54		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
55	54	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
56	1, 52, 53, 55	dnibndlem2 36698	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
57		dnibndlem13.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
58	26, 30	leloed 11288	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))))
59	57, 58	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
60	51, 56, 59	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376   / cdiv 11806  2c2 12212  ℤcz 12500  ⌊cfl 13722  abscabs 15169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171

This theorem is referenced by:  dnibnd  36710