Theorem dnibndlem13 37107

Description: Lemma for dnibnd 37108. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem13.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem13.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem13.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem13.4	⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem13	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibndlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem13.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		dnibndlem13.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		dnibndlem13.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		simpr 489	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
7	1, 3, 5, 6	dnibndlem12 37106	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
8	2	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	4	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
11	10	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
12	1, 8, 9, 11	dnibndlem9 37103	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) ∧ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
13		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
14		halfre 12463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
16	2, 15	readdcld 11244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
17	16	flcld 13838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ)
18	4, 15	readdcld 11244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
19	18	flcld 13838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℤ)
20	17, 19	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℤ))
21	20	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℤ))
22		zltp1le 12650	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
23	21, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
24	13, 23	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
25		reflcl 13836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
26	16, 25	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
27		peano2re 11389	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ∈ ℝ)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ∈ ℝ)
29	28	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ∈ ℝ)
30	19	zred 12706	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
31	30	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
32	29, 31	leloed 11359	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))))
33	24, 32	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
34	17	peano2zd 12709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ∈ ℤ)
35	34, 19	jca 520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℤ))
36		zltp1le 12650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℤ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
38	26	recnd 11243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
39		1cnd 11208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
40	38, 39, 39	addassd 11237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) + 1) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 + 1)))
41		1p1e2 12370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + 1) = 2
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) = 2)
43	42	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 + 1)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2))
44	40, 43	eqtrd 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) + 1) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2))
45	44	breq1d 5118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) + 1) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
46	37, 45	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
47	46	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
48	47	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
49	48	orim1d 980	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → ((((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))))
50	33, 49	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
51	7, 12, 50	mpjaodan 972	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
52	2	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
53	4	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
54		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
55	54	eqcomd 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
56	1, 52, 53, 55	dnibndlem2 37096	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
57		dnibndlem13.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
58	26, 30	leloed 11359	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ↔ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))))
59	57, 58	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) < (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
60	51, 56, 59	mpjaodan 972	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11249   ≤ cle 11250   − cmin 11447   / cdiv 11877  2c2 12301  ℤcz 12597  ⌊cfl 13830  abscabs 15292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fl 13832  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294

This theorem is used by:  dnibnd  37108