MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0o1gt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0o1gt2 16415
Description: An odd nonnegative integer is either 1 or greater than 2. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0o1gt2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

Proof of Theorem nn0o1gt2
StepHypRef Expression
1 elnn0 12526 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 elnnnn0c 12569 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
3 1red 11260 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
4 nn0re 12533 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
53, 4leloed 11402 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ 𝑁 ↔ (1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁)))
6 1zzd 12646 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
7 nn0z 12636 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
8 zltp1le 12665 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
96, 7, 8syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
10 1p1e2 12389 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 1) = 2
1110breq1i 5155 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 𝑁)
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 𝑁))
13 2re 12338 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
1514, 4leloed 11402 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
169, 12, 153bitrd 305 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
17 olc 868 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 < 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
18172a1d 26 . . . . . . . . . . . . 13 (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
19 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 = 2 → (𝑁 + 1) = (2 + 1))
2019oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = 2 → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
2120eqcoms 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 = 𝑁 → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
2221adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
23 2p1e3 12406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 + 1) = 3
2423oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 + 1) / 2) = (3 / 2)
2522, 24eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → ((𝑁 + 1) / 2) = (3 / 2))
2625eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (3 / 2) ∈ ℕ0))
27 3halfnz 12695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ (3 / 2) ∈ ℤ
28 nn0z 12636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (3 / 2) ∈ ℤ)
2928pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (¬ (3 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3027, 29mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
3126, 30biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3231expcom 413 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
3318, 32jaoi 857 . . . . . . . . . . . 12 ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
3433com12 32 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
3516, 34sylbid 240 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
3635com12 32 . . . . . . . . 9 (1 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
37 orc 867 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
3837eqcoms 2743 . . . . . . . . . 10 (1 = 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
39382a1d 26 . . . . . . . . 9 (1 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
4036, 39jaoi 857 . . . . . . . 8 ((1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
4140com12 32 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
425, 41sylbid 240 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ 𝑁 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
4342imp 406 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
442, 43sylbi 217 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
45 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
46 0p1e1 12386 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
4745, 46eqtrdi 2791 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = 1)
4847oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) / 2) = (1 / 2))
4948eleq1d 2824 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (1 / 2) ∈ ℕ0))
50 halfnz 12694 . . . . . 6 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
51 nn0z 12636 . . . . . . 7 ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (1 / 2) ∈ ℤ)
5251pm2.24d 151 . . . . . 6 ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (¬ (1 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
5350, 52mpi 20 . . . . 5 ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
5449, 53biimtrdi 253 . . . 4 (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
5544, 54jaoi 857 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
561, 55sylbi 217 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
5756imp 406 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  0cn0 12524  cz 12611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612
This theorem is referenced by:  nno  16416  nn0o  16417
  Copyright terms: Public domain W3C validator