Theorem nn0o1gt2 16429

Description: An odd nonnegative integer is either 1 or greater than 2. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0o1gt2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

Proof of Theorem nn0o1gt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12555	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnnn0c 12598	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
3		1red 11291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
4		nn0re 12562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
5	3, 4	leloed 11433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ 𝑁 ↔ (1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁)))
6		1zzd 12674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
7		nn0z 12664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		zltp1le 12693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
9	6, 7, 8	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
10		1p1e2 12418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 1) = 2
11	10	breq1i 5173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 𝑁)
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 𝑁))
13		2re 12367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
15	14, 4	leloed 11433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
16	9, 12, 15	3bitrd 305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
17		olc 867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 < 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
18	17	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
19		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 + 1) = (2 + 1))
20	19	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 = 2 → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
21	20	eqcoms 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 = 𝑁 → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
23		2p1e3 12435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 + 1) = 3
24	23	oveq1i 7458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 + 1) / 2) = (3 / 2)
25	22, 24	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → ((𝑁 + 1) / 2) = (3 / 2))
26	25	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (3 / 2) ∈ ℕ0))
27		3halfnz 12722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ¬ (3 / 2) ∈ ℤ
28		nn0z 12664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (3 / 2) ∈ ℤ)
29	28	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (¬ (3 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
30	27, 29	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
31	26, 30	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
32	31	expcom 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
33	18, 32	jaoi 856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
34	33	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
35	16, 34	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
36	35	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
37		orc 866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
38	37	eqcoms 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
39	38	2a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
40	36, 39	jaoi 856	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
41	40	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
42	5, 41	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ 𝑁 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
43	42	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
44	2, 43	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
45		oveq1 7455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
46		0p1e1 12415	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
47	45, 46	eqtrdi 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = 1)
48	47	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) / 2) = (1 / 2))
49	48	eleq1d 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (1 / 2) ∈ ℕ0))
50		halfnz 12721	. . . . . 6 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
51		nn0z 12664	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (1 / 2) ∈ ℤ)
52	51	pm2.24d 151	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (¬ (1 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
53	50, 52	mpi 20	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
54	49, 53	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
55	44, 54	jaoi 856	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
56	1, 55	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
57	56	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  3c3 12349  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-n0 12554  df-z 12640

This theorem is referenced by:  nno  16430  nn0o  16431