Theorem nn0o1gt2 16292

Description: An odd nonnegative integer is either 1 or greater than 2. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0o1gt2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

Proof of Theorem nn0o1gt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12383	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnnn0c 12426	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
3		1red 11113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
4		nn0re 12390	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
5	3, 4	leloed 11256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ 𝑁 ↔ (1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁)))
6		1zzd 12503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
7		nn0z 12493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		zltp1le 12522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
9	6, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
10		1p1e2 12245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 1) = 2
11	10	breq1i 5096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 𝑁)
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 𝑁))
13		2re 12199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
15	14, 4	leloed 11256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
16	9, 12, 15	3bitrd 305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
17		olc 868	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 < 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
18	17	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
19		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 + 1) = (2 + 1))
20	19	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 = 2 → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
21	20	eqcoms 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 = 𝑁 → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
23		2p1e3 12262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 + 1) = 3
24	23	oveq1i 7356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 + 1) / 2) = (3 / 2)
25	22, 24	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → ((𝑁 + 1) / 2) = (3 / 2))
26	25	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (3 / 2) ∈ ℕ0))
27		3halfnz 12552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ¬ (3 / 2) ∈ ℤ
28		nn0z 12493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (3 / 2) ∈ ℤ)
29	28	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (¬ (3 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
30	27, 29	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
31	26, 30	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
32	31	expcom 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
33	18, 32	jaoi 857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
34	33	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
35	16, 34	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
36	35	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
37		orc 867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
38	37	eqcoms 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
39	38	2a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
40	36, 39	jaoi 857	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
41	40	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
42	5, 41	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ 𝑁 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
43	42	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
44	2, 43	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
45		oveq1 7353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
46		0p1e1 12242	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
47	45, 46	eqtrdi 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = 1)
48	47	oveq1d 7361	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) / 2) = (1 / 2))
49	48	eleq1d 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (1 / 2) ∈ ℕ0))
50		halfnz 12551	. . . . . 6 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
51		nn0z 12493	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (1 / 2) ∈ ℤ)
52	51	pm2.24d 151	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (¬ (1 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
53	50, 52	mpi 20	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
54	49, 53	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
55	44, 54	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
56	1, 55	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
57	56	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   < clt 11146   ≤ cle 11147   / cdiv 11774  ℕcn 12125  2c2 12180  3c3 12181  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-n0 12382  df-z 12469

This theorem is referenced by:  nno  16293  nn0o  16294