Theorem nn0o1gt2 16465

Description: An odd nonnegative integer is either 1 or greater than 2. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0o1gt2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

Proof of Theorem nn0o1gt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12525	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnnn0c 12568	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
3		1red 11228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
4		nn0re 12532	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
5	3, 4	leloed 11372	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ 𝑁 ↔ (1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁)))
6		1zzd 12644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
7		nn0z 12634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		zltp1le 12663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
9	6, 7, 8	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
10		1p1e2 12383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 1) = 2
11	10	breq1i 5118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 𝑁)
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 𝑁))
13		2re 12334	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
15	14, 4	leloed 11372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
16	9, 12, 15	3bitrd 308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
17		olc 882	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 < 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
18	17	2a1d 27	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
19		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 + 1) = (2 + 1))
20	19	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 = 2 → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
21	20	eqcoms 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 = 𝑁 → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
22	21	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
23		2p1e3 12401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 + 1) = 3
24	23	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 + 1) / 2) = (3 / 2)
25	22, 24	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → ((𝑁 + 1) / 2) = (3 / 2))
26	25	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (3 / 2) ∈ ℕ0))
27		3halfnz 12695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ¬ (3 / 2) ∈ ℤ
28		nn0z 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (3 / 2) ∈ ℤ)
29	28	pm2.24d 152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (¬ (3 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
30	27, 29	mpi 21	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
31	26, 30	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
32	31	expcom 419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
33	18, 32	jaoi 871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
34	33	com12 33	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
35	16, 34	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
36	35	com12 33	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
37		orc 881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
38	37	eqcoms 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
39	38	2a1d 27	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
40	36, 39	jaoi 871	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
41	40	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
42	5, 41	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ 𝑁 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
43	42	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
44	2, 43	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
45		oveq1 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
46		0p1e1 12380	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
47	45, 46	eqtrdi 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = 1)
48	47	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) / 2) = (1 / 2))
49	48	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (1 / 2) ∈ ℕ0))
50		halfnz 12694	. . . . . 6 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
51		nn0z 12634	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (1 / 2) ∈ ℤ)
52	51	pm2.24d 152	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (¬ (1 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
53	50, 52	mpi 21	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
54	49, 53	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
55	44, 54	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
56	1, 55	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
57	56	imp 412	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  ℝcr 11118  0cc0 11119  1c1 11120   + caddc 11122   < clt 11262   ≤ cle 11263   / cdiv 11890  ℕcn 12252  2c2 12314  3c3 12315  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-n0 12524  df-z 12611

This theorem is used by:  nno  16466  nn0o  16467