MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0o1gt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0o1gt2 15582
Description: An odd nonnegative integer is either 1 or greater than 2. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0o1gt2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

Proof of Theorem nn0o1gt2
StepHypRef Expression
1 elnn0 11702 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 elnnnn0c 11747 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
3 1red 10432 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
4 nn0re 11710 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
53, 4leloed 10575 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ 𝑁 ↔ (1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁)))
6 1zzd 11819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
7 nn0z 11811 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
8 zltp1le 11838 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
96, 7, 8syl2anc 576 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
10 1p1e2 11565 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 1) = 2
1110breq1i 4930 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 𝑁)
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 𝑁))
13 2re 11507 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
1514, 4leloed 10575 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
169, 12, 153bitrd 297 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
17 olc 854 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 < 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
18172a1d 26 . . . . . . . . . . . . 13 (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
19 oveq1 6977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 = 2 → (𝑁 + 1) = (2 + 1))
2019oveq1d 6985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = 2 → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
2120eqcoms 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 = 𝑁 → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
2221adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
23 2p1e3 11582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 + 1) = 3
2423oveq1i 6980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 + 1) / 2) = (3 / 2)
2522, 24syl6eq 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → ((𝑁 + 1) / 2) = (3 / 2))
2625eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (3 / 2) ∈ ℕ0))
27 3halfnz 11867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ (3 / 2) ∈ ℤ
28 nn0z 11811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (3 / 2) ∈ ℤ)
2928pm2.24d 149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (¬ (3 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3027, 29mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
3126, 30syl6bi 245 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3231expcom 406 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
3318, 32jaoi 843 . . . . . . . . . . . 12 ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
3433com12 32 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
3516, 34sylbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
3635com12 32 . . . . . . . . 9 (1 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
37 orc 853 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
3837eqcoms 2780 . . . . . . . . . 10 (1 = 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
39382a1d 26 . . . . . . . . 9 (1 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
4036, 39jaoi 843 . . . . . . . 8 ((1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
4140com12 32 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
425, 41sylbid 232 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ 𝑁 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
4342imp 398 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
442, 43sylbi 209 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
45 oveq1 6977 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
46 0p1e1 11562 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
4745, 46syl6eq 2824 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = 1)
4847oveq1d 6985 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) / 2) = (1 / 2))
4948eleq1d 2844 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (1 / 2) ∈ ℕ0))
50 halfnz 11866 . . . . . 6 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
51 nn0z 11811 . . . . . . 7 ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (1 / 2) ∈ ℤ)
5251pm2.24d 149 . . . . . 6 ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (¬ (1 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
5350, 52mpi 20 . . . . 5 ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
5449, 53syl6bi 245 . . . 4 (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
5544, 54jaoi 843 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
561, 55sylbi 209 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
5756imp 398 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833   = wceq 1507  wcel 2048   class class class wbr 4923  (class class class)co 6970  cr 10326  0cc0 10327  1c1 10328   + caddc 10330   < clt 10466  cle 10467   / cdiv 11090  cn 11431  2c2 11488  3c3 11489  0cn0 11700  cz 11786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-n0 11701  df-z 11787
This theorem is referenced by:  nno  15583  nn0o  15584
  Copyright terms: Public domain W3C validator