MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0o1gt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0o1gt2 15722
Description: An odd nonnegative integer is either 1 or greater than 2. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0o1gt2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

Proof of Theorem nn0o1gt2
StepHypRef Expression
1 elnn0 11887 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 elnnnn0c 11930 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
3 1red 10631 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
4 nn0re 11894 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
53, 4leloed 10772 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ 𝑁 ↔ (1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁)))
6 1zzd 12001 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
7 nn0z 11993 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
8 zltp1le 12020 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
96, 7, 8syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
10 1p1e2 11750 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 1) = 2
1110breq1i 5037 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 𝑁)
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 𝑁))
13 2re 11699 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
1514, 4leloed 10772 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
169, 12, 153bitrd 308 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
17 olc 865 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 < 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
18172a1d 26 . . . . . . . . . . . . 13 (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
19 oveq1 7142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 = 2 → (𝑁 + 1) = (2 + 1))
2019oveq1d 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = 2 → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
2120eqcoms 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 = 𝑁 → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
2221adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
23 2p1e3 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 + 1) = 3
2423oveq1i 7145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 + 1) / 2) = (3 / 2)
2522, 24eqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → ((𝑁 + 1) / 2) = (3 / 2))
2625eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (3 / 2) ∈ ℕ0))
27 3halfnz 12049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ (3 / 2) ∈ ℤ
28 nn0z 11993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (3 / 2) ∈ ℤ)
2928pm2.24d 154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (¬ (3 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3027, 29mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
3126, 30syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3231expcom 417 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
3318, 32jaoi 854 . . . . . . . . . . . 12 ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
3433com12 32 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
3516, 34sylbid 243 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
3635com12 32 . . . . . . . . 9 (1 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
37 orc 864 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
3837eqcoms 2806 . . . . . . . . . 10 (1 = 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
39382a1d 26 . . . . . . . . 9 (1 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
4036, 39jaoi 854 . . . . . . . 8 ((1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
4140com12 32 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
425, 41sylbid 243 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ 𝑁 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
4342imp 410 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
442, 43sylbi 220 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
45 oveq1 7142 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
46 0p1e1 11747 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
4745, 46eqtrdi 2849 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = 1)
4847oveq1d 7150 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) / 2) = (1 / 2))
4948eleq1d 2874 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (1 / 2) ∈ ℕ0))
50 halfnz 12048 . . . . . 6 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
51 nn0z 11993 . . . . . . 7 ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (1 / 2) ∈ ℤ)
5251pm2.24d 154 . . . . . 6 ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (¬ (1 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
5350, 52mpi 20 . . . . 5 ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
5449, 53syl6bi 256 . . . 4 (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
5544, 54jaoi 854 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
561, 55sylbi 220 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
5756imp 410 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664  cle 10665   / cdiv 11286  cn 11625  2c2 11680  3c3 11681  0cn0 11885  cz 11969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970
This theorem is referenced by:  nno  15723  nn0o  15724
  Copyright terms: Public domain W3C validator