MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0o1gt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0o1gt2 16198
Description: An odd nonnegative integer is either 1 or greater than 2. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0o1gt2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

Proof of Theorem nn0o1gt2
StepHypRef Expression
1 elnn0 12349 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 elnnnn0c 12392 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
3 1red 11090 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
4 nn0re 12356 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
53, 4leloed 11232 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ 𝑁 ↔ (1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁)))
6 1zzd 12465 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
7 nn0z 12457 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
8 zltp1le 12484 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
96, 7, 8syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
10 1p1e2 12212 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 1) = 2
1110breq1i 5111 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 𝑁)
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 𝑁))
13 2re 12161 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
1514, 4leloed 11232 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
169, 12, 153bitrd 305 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
17 olc 867 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 < 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
18172a1d 26 . . . . . . . . . . . . 13 (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
19 oveq1 7357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 = 2 → (𝑁 + 1) = (2 + 1))
2019oveq1d 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = 2 → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
2120eqcoms 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 = 𝑁 → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
2221adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
23 2p1e3 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 + 1) = 3
2423oveq1i 7360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 + 1) / 2) = (3 / 2)
2522, 24eqtrdi 2794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → ((𝑁 + 1) / 2) = (3 / 2))
2625eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (3 / 2) ∈ ℕ0))
27 3halfnz 12513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ (3 / 2) ∈ ℤ
28 nn0z 12457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (3 / 2) ∈ ℤ)
2928pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (¬ (3 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3027, 29mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
3126, 30syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3231expcom 415 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
3318, 32jaoi 856 . . . . . . . . . . . 12 ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
3433com12 32 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
3516, 34sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
3635com12 32 . . . . . . . . 9 (1 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
37 orc 866 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
3837eqcoms 2746 . . . . . . . . . 10 (1 = 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
39382a1d 26 . . . . . . . . 9 (1 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
4036, 39jaoi 856 . . . . . . . 8 ((1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
4140com12 32 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
425, 41sylbid 239 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ 𝑁 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
4342imp 408 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
442, 43sylbi 216 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
45 oveq1 7357 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
46 0p1e1 12209 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
4745, 46eqtrdi 2794 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = 1)
4847oveq1d 7365 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) / 2) = (1 / 2))
4948eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (1 / 2) ∈ ℕ0))
50 halfnz 12512 . . . . . 6 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
51 nn0z 12457 . . . . . . 7 ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (1 / 2) ∈ ℤ)
5251pm2.24d 151 . . . . . 6 ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (¬ (1 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
5350, 52mpi 20 . . . . 5 ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
5449, 53syl6bi 253 . . . 4 (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
5544, 54jaoi 856 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
561, 55sylbi 216 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
5756imp 408 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  cr 10984  0cc0 10985  1c1 10986   + caddc 10988   < clt 11123  cle 11124   / cdiv 11746  cn 12087  2c2 12142  3c3 12143  0cn0 12347  cz 12433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-n0 12348  df-z 12434
This theorem is referenced by:  nno  16199  nn0o  16200
  Copyright terms: Public domain W3C validator