Theorem nn0o1gt2 16327

Description: An odd nonnegative integer is either 1 or greater than 2. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0o1gt2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

Proof of Theorem nn0o1gt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12420	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnnn0c 12463	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
3		1red 11151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
4		nn0re 12427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
5	3, 4	leloed 11293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ 𝑁 ↔ (1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁)))
6		1zzd 12540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
7		nn0z 12530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		zltp1le 12559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
9	6, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
10		1p1e2 12282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 1) = 2
11	10	breq1i 5109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 𝑁)
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 𝑁))
13		2re 12236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
15	14, 4	leloed 11293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
16	9, 12, 15	3bitrd 305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
17		olc 868	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 < 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
18	17	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
19		oveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 + 1) = (2 + 1))
20	19	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 = 2 → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
21	20	eqcoms 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 = 𝑁 → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
23		2p1e3 12299	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 + 1) = 3
24	23	oveq1i 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 + 1) / 2) = (3 / 2)
25	22, 24	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → ((𝑁 + 1) / 2) = (3 / 2))
26	25	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (3 / 2) ∈ ℕ0))
27		3halfnz 12589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ¬ (3 / 2) ∈ ℤ
28		nn0z 12530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (3 / 2) ∈ ℤ)
29	28	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (¬ (3 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
30	27, 29	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
31	26, 30	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
32	31	expcom 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
33	18, 32	jaoi 857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
34	33	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
35	16, 34	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
36	35	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
37		orc 867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
38	37	eqcoms 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
39	38	2a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
40	36, 39	jaoi 857	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
41	40	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
42	5, 41	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ 𝑁 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
43	42	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
44	2, 43	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
45		oveq1 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
46		0p1e1 12279	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
47	45, 46	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = 1)
48	47	oveq1d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) / 2) = (1 / 2))
49	48	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (1 / 2) ∈ ℕ0))
50		halfnz 12588	. . . . . 6 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
51		nn0z 12530	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (1 / 2) ∈ ℤ)
52	51	pm2.24d 151	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (¬ (1 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
53	50, 52	mpi 20	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
54	49, 53	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
55	44, 54	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
56	1, 55	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
57	56	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   < clt 11184   ≤ cle 11185   / cdiv 11811  ℕcn 12162  2c2 12217  3c3 12218  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-n0 12419  df-z 12506

This theorem is referenced by:  nno  16328  nn0o  16329