Theorem nn0le2is012 12655

Description: A nonnegative integer which is less than or equal to 2 is either 0 or 1 or 2. (Contributed by AV, 16-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nn0le2is012	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))

Proof of Theorem nn0le2is012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12508	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2		2re 12310	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
4	1, 3	leloed 11348	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 2 ↔ (𝑁 < 2 ∨ 𝑁 = 2)))
5		nn0z 12610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		2z 12621	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		zltlem1 12642	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
8	5, 6, 7	sylancl 597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
9		2m1e1 12360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − 1) = 1
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
11	10	breq2d 5121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (2 − 1) ↔ 𝑁 ≤ 1))
12	8, 11	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ 1))
13		1red 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
14	1, 13	leloed 11348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 ↔ (𝑁 < 1 ∨ 𝑁 = 1)))
15		nn0lt10b 12653	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))
16		3mix1 1349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
17	15, 16	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
18	17	com12 33	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 1 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
19		3mix2 1350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
20	19	a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
21	18, 20	jaoi 870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 1 ∨ 𝑁 = 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
22	21	com12 33	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 < 1 ∨ 𝑁 = 1) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
23	14, 22	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
24	12, 23	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
25	24	com12 33	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < 2 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
26		3mix3 1351	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
27	26	a1d 26	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
28	25, 27	jaoi 870	. . . 4 ⊢ ((𝑁 < 2 ∨ 𝑁 = 2) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
29	28	com12 33	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 < 2 ∨ 𝑁 = 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
30	4, 29	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 2 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
31	30	imp 411	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436  2c2 12290  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-z 12587

This theorem is referenced by:  xnn0le2is012  13267  2sq2  27597  exple2lt6  49144