Theorem nn0le2is012 12314

Description: A nonnegative integer which is less than or equal to 2 is either 0 or 1 or 2. (Contributed by AV, 16-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nn0le2is012	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))

Proof of Theorem nn0le2is012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12172	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2		2re 11977	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
4	1, 3	leloed 11048	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 2 ↔ (𝑁 < 2 ∨ 𝑁 = 2)))
5		nn0z 12273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		2z 12282	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		zltlem1 12303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
8	5, 6, 7	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
9		2m1e1 12029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − 1) = 1
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
11	10	breq2d 5082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (2 − 1) ↔ 𝑁 ≤ 1))
12	8, 11	bitrd 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ 1))
13		1red 10907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
14	1, 13	leloed 11048	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 ↔ (𝑁 < 1 ∨ 𝑁 = 1)))
15		nn0lt10b 12312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))
16		3mix1 1328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
17	15, 16	syl6bi 252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
18	17	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 1 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
19		3mix2 1329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
20	19	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
21	18, 20	jaoi 853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 1 ∨ 𝑁 = 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
22	21	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 < 1 ∨ 𝑁 = 1) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
23	14, 22	sylbid 239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
24	12, 23	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
25	24	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < 2 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
26		3mix3 1330	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
27	26	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
28	25, 27	jaoi 853	. . . 4 ⊢ ((𝑁 < 2 ∨ 𝑁 = 2) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
29	28	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 < 2 ∨ 𝑁 = 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
30	4, 29	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 2 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
31	30	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∨ w3o 1084   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250

This theorem is referenced by:  xnn0le2is012  12909  2sq2  26486  exple2lt6  45588