Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivthle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ivthle 23750
 Description: The intermediate value theorem with weak inequality, increasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivthle.9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ≤ 𝑈𝑈 ≤ (𝐹𝐵)))
Assertion
Ref Expression
ivthle (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝐹,𝑐,𝑥   𝜑,𝑐,𝑥   𝐴,𝑐,𝑥   𝑈,𝑐,𝑥

Proof of Theorem ivthle
StepHypRef Expression
1 ioossicc 12631 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2 ivth.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 ivth.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
54adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 ivth.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
76adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝑈 ∈ ℝ)
8 ivth.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 < 𝐵)
98adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝐴 < 𝐵)
10 ivth.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
1110adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
12 ivth.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
1312adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
14 ivth.8 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1514adantlr 702 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
16 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
173, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16ivth 23748 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
18 ssrexv 3920 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈))
191, 17, 18mpsyl 68 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
2019anassrs 460 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) < 𝑈) ∧ 𝑈 < (𝐹𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
212rexrd 10482 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
224rexrd 10482 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
232, 4, 8ltled 10580 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
24 ubicc2 12662 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2521, 22, 23, 24syl3anc 1351 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26 eqcom 2779 . . . . . . 7 ((𝐹𝑐) = 𝑈𝑈 = (𝐹𝑐))
27 fveq2 6493 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐵 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝐵))
2827eqeq2d 2782 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐵 → (𝑈 = (𝐹𝑐) ↔ 𝑈 = (𝐹𝐵)))
2926, 28syl5bb 275 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐵 → ((𝐹𝑐) = 𝑈𝑈 = (𝐹𝐵)))
3029rspcev 3529 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 = (𝐹𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
3125, 30sylan 572 . . . 4 ((𝜑𝑈 = (𝐹𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
3231adantlr 702 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) < 𝑈) ∧ 𝑈 = (𝐹𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
33 ivthle.9 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ≤ 𝑈𝑈 ≤ (𝐹𝐵)))
3433simprd 488 . . . . 5 (𝜑𝑈 ≤ (𝐹𝐵))
35 fveq2 6493 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
3635eleq1d 2844 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐵) ∈ ℝ))
3714ralrimiva 3126 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3836, 37, 25rspcdva 3535 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
396, 38leloed 10575 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ≤ (𝐹𝐵) ↔ (𝑈 < (𝐹𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹𝐵))))
4034, 39mpbid 224 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 < (𝐹𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹𝐵)))
4140adantr 473 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) < 𝑈) → (𝑈 < (𝐹𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹𝐵)))
4220, 32, 41mpjaodan 941 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) < 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
43 lbicc2 12661 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4421, 22, 23, 43syl3anc 1351 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
45 fveqeq2 6502 . . . 4 (𝑐 = 𝐴 → ((𝐹𝑐) = 𝑈 ↔ (𝐹𝐴) = 𝑈))
4645rspcev 3529 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝐴) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
4744, 46sylan 572 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
4833simpld 487 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ≤ 𝑈)
49 fveq2 6493 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
5049eleq1d 2844 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐴) ∈ ℝ))
5150, 37, 44rspcdva 3535 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
5251, 6leloed 10575 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ≤ 𝑈 ↔ ((𝐹𝐴) < 𝑈 ∨ (𝐹𝐴) = 𝑈)))
5348, 52mpbid 224 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈 ∨ (𝐹𝐴) = 𝑈))
5442, 47, 53mpjaodan 941 1 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∨ wo 833   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  ∃wrex 3083   ⊆ wss 3825   class class class wbr 4923  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  ℂcc 10325  ℝcr 10326  ℝ*cxr 10465   < clt 10466   ≤ cle 10467  (,)cioo 12547  [,]cicc 12550  –cn→ccncf 23177 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-sup 8693  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-rp 12198  df-ioo 12551  df-icc 12554  df-seq 13178  df-exp 13238  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-cncf 23179 This theorem is referenced by:  ivthicc  23752  volivth  23901
 Copyright terms: Public domain W3C validator