Theorem ivthle 25690

Description: The intermediate value theorem with weak inequality, increasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivthle.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝐹‘𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
ivthle	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝐹,𝑐,𝑥   𝜑,𝑐,𝑥   𝐴,𝑐,𝑥   𝑈,𝑐,𝑥

Proof of Theorem ivthle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossicc 13490	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2		ivth.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ivth.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		ivth.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
7	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝑈 ∈ ℝ)
8		ivth.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝐴 < 𝐵)
10		ivth.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
12		ivth.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
13	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
14		ivth.8	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
15	14	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
16		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
17	3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16	ivth 25688	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
18		ssrexv 4004	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈))
19	1, 17, 18	mpsyl 69	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
20	19	anassrs 473	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) < 𝑈) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
21	2	rexrd 11287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
22	4	rexrd 11287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
23	2, 4, 8	ltled 11386	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
24		ubicc2 13522	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26		eqcom 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑐) = 𝑈 ↔ 𝑈 = (𝐹‘𝑐))
27		fveq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝐵))
28	27	eqeq2d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝑈 = (𝐹‘𝑐) ↔ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)))
29	26, 28	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑐) = 𝑈 ↔ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)))
30	29	rspcev 3579	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
31	25, 30	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
32	31	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) < 𝑈) ∧ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
33		ivthle.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝐹‘𝐵)))
34	33	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ (𝐹‘𝐵))
35		fveq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
36	35	eleq1d 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ))
37	14	ralrimiva 3156	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
38	36, 37, 25	rspcdva 3580	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
39	6, 38	leloed 11381	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≤ (𝐹‘𝐵) ↔ (𝑈 < (𝐹‘𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹‘𝐵))))
40	34, 39	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < (𝐹‘𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)))
41	40	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) < 𝑈) → (𝑈 < (𝐹‘𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)))
42	20, 32, 41	mpjaodan 973	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) < 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
43		lbicc2 13521	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
44	21, 22, 23, 43	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
45		fveqeq2 6891	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑐) = 𝑈 ↔ (𝐹‘𝐴) = 𝑈))
46	45	rspcev 3579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
47	44, 46	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
48	33	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈)
49		fveq2 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
50	49	eleq1d 2847	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ))
51	50, 37, 44	rspcdva 3580	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
52	51, 6	leloed 11381	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈 ↔ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∨ (𝐹‘𝐴) = 𝑈)))
53	48, 52	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∨ (𝐹‘𝐴) = 𝑈))
54	42, 47, 53	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℝcr 11127  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271   ≤ cle 11272  (,)cioo 13402  [,]cicc 13405  –cn→ccncf 25110

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-ioo 13406  df-icc 13409  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-cncf 25112

This theorem is used by:  ivthicc  25692  volivth  25841