Theorem ivthle 23750

Description: The intermediate value theorem with weak inequality, increasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivthle.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝐹‘𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
ivthle	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝐹,𝑐,𝑥   𝜑,𝑐,𝑥   𝐴,𝑐,𝑥   𝑈,𝑐,𝑥

Proof of Theorem ivthle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossicc 12631	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2		ivth.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ivth.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		ivth.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
7	6	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝑈 ∈ ℝ)
8		ivth.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
9	8	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝐴 < 𝐵)
10		ivth.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
11	10	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
12		ivth.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
13	12	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
14		ivth.8	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
15	14	adantlr 702	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
16		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
17	3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16	ivth 23748	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
18		ssrexv 3920	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈))
19	1, 17, 18	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
20	19	anassrs 460	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) < 𝑈) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
21	2	rexrd 10482	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
22	4	rexrd 10482	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
23	2, 4, 8	ltled 10580	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
24		ubicc2 12662	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 1351	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26		eqcom 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑐) = 𝑈 ↔ 𝑈 = (𝐹‘𝑐))
27		fveq2 6493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝐵))
28	27	eqeq2d 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝑈 = (𝐹‘𝑐) ↔ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)))
29	26, 28	syl5bb 275	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑐) = 𝑈 ↔ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)))
30	29	rspcev 3529	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
31	25, 30	sylan 572	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
32	31	adantlr 702	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) < 𝑈) ∧ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
33		ivthle.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝐹‘𝐵)))
34	33	simprd 488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ (𝐹‘𝐵))
35		fveq2 6493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
36	35	eleq1d 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ))
37	14	ralrimiva 3126	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
38	36, 37, 25	rspcdva 3535	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
39	6, 38	leloed 10575	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≤ (𝐹‘𝐵) ↔ (𝑈 < (𝐹‘𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹‘𝐵))))
40	34, 39	mpbid 224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < (𝐹‘𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)))
41	40	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) < 𝑈) → (𝑈 < (𝐹‘𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)))
42	20, 32, 41	mpjaodan 941	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) < 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
43		lbicc2 12661	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
44	21, 22, 23, 43	syl3anc 1351	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
45		fveqeq2 6502	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑐) = 𝑈 ↔ (𝐹‘𝐴) = 𝑈))
46	45	rspcev 3529	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
47	44, 46	sylan 572	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
48	33	simpld 487	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈)
49		fveq2 6493	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
50	49	eleq1d 2844	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ))
51	50, 37, 44	rspcdva 3535	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
52	51, 6	leloed 10575	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈 ↔ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∨ (𝐹‘𝐴) = 𝑈)))
53	48, 52	mpbid 224	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∨ (𝐹‘𝐴) = 𝑈))
54	42, 47, 53	mpjaodan 941	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∨ wo 833   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  ∃wrex 3083   ⊆ wss 3825   class class class wbr 4923  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  ℂcc 10325  ℝcr 10326  ℝ^*cxr 10465   < clt 10466   ≤ cle 10467  (,)cioo 12547  [,]cicc 12550  –cn→ccncf 23177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-sup 8693  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-rp 12198  df-ioo 12551  df-icc 12554  df-seq 13178  df-exp 13238  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-cncf 23179

This theorem is referenced by:  ivthicc  23752  volivth  23901