Theorem ivthle 25576

Description: The intermediate value theorem with weak inequality, increasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivthle.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝐹‘𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
ivthle	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝐹,𝑐,𝑥   𝜑,𝑐,𝑥   𝐴,𝑐,𝑥   𝑈,𝑐,𝑥

Proof of Theorem ivthle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossicc 13451	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2		ivth.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ivth.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		ivth.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
7	6	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝑈 ∈ ℝ)
8		ivth.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
9	8	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝐴 < 𝐵)
10		ivth.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
11	10	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
12		ivth.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
13	12	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
14		ivth.8	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
15	14	adantlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
16		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
17	3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16	ivth 25574	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
18		ssrexv 4009	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈))
19	1, 17, 18	mpsyl 69	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
20	19	anassrs 472	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) < 𝑈) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
21	2	rexrd 11247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
22	4	rexrd 11247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
23	2, 4, 8	ltled 11346	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
24		ubicc2 13483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26		eqcom 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑐) = 𝑈 ↔ 𝑈 = (𝐹‘𝑐))
27		fveq2 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝐵))
28	27	eqeq2d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝑈 = (𝐹‘𝑐) ↔ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)))
29	26, 28	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑐) = 𝑈 ↔ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)))
30	29	rspcev 3584	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
31	25, 30	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
32	31	adantlr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) < 𝑈) ∧ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
33		ivthle.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝐹‘𝐵)))
34	33	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ (𝐹‘𝐵))
35		fveq2 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
36	35	eleq1d 2850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ))
37	14	ralrimiva 3157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
38	36, 37, 25	rspcdva 3585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
39	6, 38	leloed 11341	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≤ (𝐹‘𝐵) ↔ (𝑈 < (𝐹‘𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹‘𝐵))))
40	34, 39	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < (𝐹‘𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)))
41	40	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) < 𝑈) → (𝑈 < (𝐹‘𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)))
42	20, 32, 41	mpjaodan 973	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) < 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
43		lbicc2 13482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
44	21, 22, 23, 43	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
45		fveqeq2 6880	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑐) = 𝑈 ↔ (𝐹‘𝐴) = 𝑈))
46	45	rspcev 3584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
47	44, 46	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
48	33	simpld 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈)
49		fveq2 6871	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
50	49	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ))
51	50, 37, 44	rspcdva 3585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
52	51, 6	leloed 11341	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈 ↔ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∨ (𝐹‘𝐴) = 𝑈)))
53	48, 52	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∨ (𝐹‘𝐴) = 𝑈))
54	42, 47, 53	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232  (,)cioo 13363  [,]cicc 13366  –cn→ccncf 24996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ioo 13367  df-icc 13370  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-cncf 24998

This theorem is referenced by:  ivthicc  25578  volivth  25727