MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivthle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ivthle 25504
Description: The intermediate value theorem with weak inequality, increasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivthle.9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ≤ 𝑈𝑈 ≤ (𝐹𝐵)))
Assertion
Ref Expression
ivthle (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝐹,𝑐,𝑥   𝜑,𝑐,𝑥   𝐴,𝑐,𝑥   𝑈,𝑐,𝑥

Proof of Theorem ivthle
StepHypRef Expression
1 ioossicc 13469 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2 ivth.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 ivth.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 ivth.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
76adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝑈 ∈ ℝ)
8 ivth.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 < 𝐵)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝐴 < 𝐵)
10 ivth.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
12 ivth.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
14 ivth.8 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1514adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
16 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
173, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16ivth 25502 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
18 ssrexv 4064 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈))
191, 17, 18mpsyl 68 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
2019anassrs 467 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) < 𝑈) ∧ 𝑈 < (𝐹𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
212rexrd 11308 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
224rexrd 11308 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
232, 4, 8ltled 11406 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
24 ubicc2 13501 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2521, 22, 23, 24syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26 eqcom 2741 . . . . . . 7 ((𝐹𝑐) = 𝑈𝑈 = (𝐹𝑐))
27 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐵 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝐵))
2827eqeq2d 2745 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐵 → (𝑈 = (𝐹𝑐) ↔ 𝑈 = (𝐹𝐵)))
2926, 28bitrid 283 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐵 → ((𝐹𝑐) = 𝑈𝑈 = (𝐹𝐵)))
3029rspcev 3621 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 = (𝐹𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
3125, 30sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑈 = (𝐹𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
3231adantlr 715 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) < 𝑈) ∧ 𝑈 = (𝐹𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
33 ivthle.9 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ≤ 𝑈𝑈 ≤ (𝐹𝐵)))
3433simprd 495 . . . . 5 (𝜑𝑈 ≤ (𝐹𝐵))
35 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
3635eleq1d 2823 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐵) ∈ ℝ))
3714ralrimiva 3143 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3836, 37, 25rspcdva 3622 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
396, 38leloed 11401 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ≤ (𝐹𝐵) ↔ (𝑈 < (𝐹𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹𝐵))))
4034, 39mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 < (𝐹𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹𝐵)))
4140adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) < 𝑈) → (𝑈 < (𝐹𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹𝐵)))
4220, 32, 41mpjaodan 960 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) < 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
43 lbicc2 13500 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4421, 22, 23, 43syl3anc 1370 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
45 fveqeq2 6915 . . . 4 (𝑐 = 𝐴 → ((𝐹𝑐) = 𝑈 ↔ (𝐹𝐴) = 𝑈))
4645rspcev 3621 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝐴) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
4744, 46sylan 580 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
4833simpld 494 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ≤ 𝑈)
49 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
5049eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐴) ∈ ℝ))
5150, 37, 44rspcdva 3622 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
5251, 6leloed 11401 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ≤ 𝑈 ↔ ((𝐹𝐴) < 𝑈 ∨ (𝐹𝐴) = 𝑈)))
5348, 52mpbid 232 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈 ∨ (𝐹𝐴) = 𝑈))
5442, 47, 53mpjaodan 960 1 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067  wss 3962   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  (,)cioo 13383  [,]cicc 13386  cnccncf 24915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ioo 13387  df-icc 13390  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-cncf 24917
This theorem is referenced by:  ivthicc  25506  volivth  25655
  Copyright terms: Public domain W3C validator