MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivthle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ivthle 24066
Description: The intermediate value theorem with weak inequality, increasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivthle.9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ≤ 𝑈𝑈 ≤ (𝐹𝐵)))
Assertion
Ref Expression
ivthle (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝐹,𝑐,𝑥   𝜑,𝑐,𝑥   𝐴,𝑐,𝑥   𝑈,𝑐,𝑥

Proof of Theorem ivthle
StepHypRef Expression
1 ioossicc 12820 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2 ivth.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 ivth.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
54adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 ivth.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
76adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝑈 ∈ ℝ)
8 ivth.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 < 𝐵)
98adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝐴 < 𝐵)
10 ivth.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
1110adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
12 ivth.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
1312adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
14 ivth.8 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1514adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
16 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
173, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16ivth 24064 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
18 ssrexv 4020 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈))
191, 17, 18mpsyl 68 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
2019anassrs 471 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) < 𝑈) ∧ 𝑈 < (𝐹𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
212rexrd 10689 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
224rexrd 10689 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
232, 4, 8ltled 10786 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
24 ubicc2 12852 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2521, 22, 23, 24syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26 eqcom 2831 . . . . . . 7 ((𝐹𝑐) = 𝑈𝑈 = (𝐹𝑐))
27 fveq2 6661 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐵 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝐵))
2827eqeq2d 2835 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐵 → (𝑈 = (𝐹𝑐) ↔ 𝑈 = (𝐹𝐵)))
2926, 28syl5bb 286 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐵 → ((𝐹𝑐) = 𝑈𝑈 = (𝐹𝐵)))
3029rspcev 3609 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 = (𝐹𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
3125, 30sylan 583 . . . 4 ((𝜑𝑈 = (𝐹𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
3231adantlr 714 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) < 𝑈) ∧ 𝑈 = (𝐹𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
33 ivthle.9 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ≤ 𝑈𝑈 ≤ (𝐹𝐵)))
3433simprd 499 . . . . 5 (𝜑𝑈 ≤ (𝐹𝐵))
35 fveq2 6661 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
3635eleq1d 2900 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐵) ∈ ℝ))
3714ralrimiva 3177 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3836, 37, 25rspcdva 3611 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
396, 38leloed 10781 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ≤ (𝐹𝐵) ↔ (𝑈 < (𝐹𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹𝐵))))
4034, 39mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 < (𝐹𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹𝐵)))
4140adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) < 𝑈) → (𝑈 < (𝐹𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹𝐵)))
4220, 32, 41mpjaodan 956 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) < 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
43 lbicc2 12851 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4421, 22, 23, 43syl3anc 1368 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
45 fveqeq2 6670 . . . 4 (𝑐 = 𝐴 → ((𝐹𝑐) = 𝑈 ↔ (𝐹𝐴) = 𝑈))
4645rspcev 3609 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝐴) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
4744, 46sylan 583 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
4833simpld 498 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ≤ 𝑈)
49 fveq2 6661 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
5049eleq1d 2900 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐴) ∈ ℝ))
5150, 37, 44rspcdva 3611 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
5251, 6leloed 10781 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ≤ 𝑈 ↔ ((𝐹𝐴) < 𝑈 ∨ (𝐹𝐴) = 𝑈)))
5348, 52mpbid 235 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈 ∨ (𝐹𝐴) = 𝑈))
5442, 47, 53mpjaodan 956 1 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3134  wss 3919   class class class wbr 5052  cfv 6343  (class class class)co 7149  cc 10533  cr 10534  *cxr 10672   < clt 10673  cle 10674  (,)cioo 12735  [,]cicc 12738  cnccncf 23487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-ioo 12739  df-icc 12742  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-cncf 23489
This theorem is referenced by:  ivthicc  24068  volivth  24217
  Copyright terms: Public domain W3C validator