Theorem ivthle 25624

Description: The intermediate value theorem with weak inequality, increasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivthle.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝐹‘𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
ivthle	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝐹,𝑐,𝑥   𝜑,𝑐,𝑥   𝐴,𝑐,𝑥   𝑈,𝑐,𝑥

Proof of Theorem ivthle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossicc 13464	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2		ivth.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ivth.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		ivth.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
7	6	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝑈 ∈ ℝ)
8		ivth.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
9	8	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝐴 < 𝐵)
10		ivth.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
11	10	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
12		ivth.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
13	12	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
14		ivth.8	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
15	14	adantlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
16		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
17	3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16	ivth 25622	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
18		ssrexv 4007	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈))
19	1, 17, 18	mpsyl 69	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
20	19	anassrs 472	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) < 𝑈) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
21	2	rexrd 11263	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
22	4	rexrd 11263	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
23	2, 4, 8	ltled 11362	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
24		ubicc2 13496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26		eqcom 2770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑐) = 𝑈 ↔ 𝑈 = (𝐹‘𝑐))
27		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝐵))
28	27	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝑈 = (𝐹‘𝑐) ↔ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)))
29	26, 28	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑐) = 𝑈 ↔ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)))
30	29	rspcev 3581	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
31	25, 30	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
32	31	adantlr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) < 𝑈) ∧ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
33		ivthle.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝐹‘𝐵)))
34	33	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ (𝐹‘𝐵))
35		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
36	35	eleq1d 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ))
37	14	ralrimiva 3157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
38	36, 37, 25	rspcdva 3582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
39	6, 38	leloed 11357	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≤ (𝐹‘𝐵) ↔ (𝑈 < (𝐹‘𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹‘𝐵))))
40	34, 39	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < (𝐹‘𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)))
41	40	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) < 𝑈) → (𝑈 < (𝐹‘𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)))
42	20, 32, 41	mpjaodan 973	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) < 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
43		lbicc2 13495	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
44	21, 22, 23, 43	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
45		fveqeq2 6890	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑐) = 𝑈 ↔ (𝐹‘𝐴) = 𝑈))
46	45	rspcev 3581	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
47	44, 46	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
48	33	simpld 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈)
49		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
50	49	eleq1d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ))
51	50, 37, 44	rspcdva 3582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
52	51, 6	leloed 11357	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈 ↔ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∨ (𝐹‘𝐴) = 𝑈)))
53	48, 52	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∨ (𝐹‘𝐴) = 𝑈))
54	42, 47, 53	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  ℝcr 11103  ℝ^*cxr 11246   < clt 11247   ≤ cle 11248  (,)cioo 13376  [,]cicc 13379  –cn→ccncf 25044

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-rp 13021  df-ioo 13380  df-icc 13383  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-cncf 25046

This theorem is used by:  ivthicc  25626  volivth  25775