Theorem ivthle 25394

Description: The intermediate value theorem with weak inequality, increasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivthle.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝐹‘𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
ivthle	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝐹,𝑐,𝑥   𝜑,𝑐,𝑥   𝐴,𝑐,𝑥   𝑈,𝑐,𝑥

Proof of Theorem ivthle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossicc 13343	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2		ivth.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ivth.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		ivth.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝑈 ∈ ℝ)
8		ivth.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝐴 < 𝐵)
10		ivth.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
12		ivth.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
14		ivth.8	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
15	14	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
16		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
17	3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16	ivth 25392	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
18		ssrexv 4001	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈))
19	1, 17, 18	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
20	19	anassrs 467	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) < 𝑈) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
21	2	rexrd 11172	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
22	4	rexrd 11172	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
23	2, 4, 8	ltled 11271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
24		ubicc2 13375	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26		eqcom 2740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑐) = 𝑈 ↔ 𝑈 = (𝐹‘𝑐))
27		fveq2 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝐵))
28	27	eqeq2d 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝑈 = (𝐹‘𝑐) ↔ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)))
29	26, 28	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑐) = 𝑈 ↔ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)))
30	29	rspcev 3574	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
31	25, 30	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
32	31	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) < 𝑈) ∧ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
33		ivthle.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝐹‘𝐵)))
34	33	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ (𝐹‘𝐵))
35		fveq2 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
36	35	eleq1d 2818	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ))
37	14	ralrimiva 3126	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
38	36, 37, 25	rspcdva 3575	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
39	6, 38	leloed 11266	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≤ (𝐹‘𝐵) ↔ (𝑈 < (𝐹‘𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹‘𝐵))))
40	34, 39	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < (𝐹‘𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)))
41	40	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) < 𝑈) → (𝑈 < (𝐹‘𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹‘𝐵)))
42	20, 32, 41	mpjaodan 960	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) < 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
43		lbicc2 13374	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
44	21, 22, 23, 43	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
45		fveqeq2 6840	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑐) = 𝑈 ↔ (𝐹‘𝐴) = 𝑈))
46	45	rspcev 3574	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
47	44, 46	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
48	33	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈)
49		fveq2 6831	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
50	49	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ))
51	50, 37, 44	rspcdva 3575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
52	51, 6	leloed 11266	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈 ↔ ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∨ (𝐹‘𝐴) = 𝑈)))
53	48, 52	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∨ (𝐹‘𝐴) = 𝑈))
54	42, 47, 53	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  ℝcr 11015  ℝ^*cxr 11155   < clt 11156   ≤ cle 11157  (,)cioo 13255  [,]cicc 13258  –cn→ccncf 24806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-sup 9336  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-rp 12901  df-ioo 13259  df-icc 13262  df-seq 13919  df-exp 13979  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153  df-cncf 24808

This theorem is referenced by:  ivthicc  25396  volivth  25545