Theorem wallispilem3 46022

Description: I maps to real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
wallispilem3.1	⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)

Assertion

Ref	Expression
wallispilem3	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem wallispilem3

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝑚 ≤ 𝑤 ↔ 𝑚 ≤ 0))
2	1	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚 ≤ 0 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
3	2	ralbidv 3175	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 0 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 0 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
4		breq2 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑚 ≤ 𝑤 ↔ 𝑚 ≤ 𝑦))
5	4	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
6	5	ralbidv 3175	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
7		breq2 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 + 1) → (𝑚 ≤ 𝑤 ↔ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)))
8	7	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 + 1) → ((𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
9	8	ralbidv 3175	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 + 1) → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
10		breq2 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝑚 ≤ 𝑤 ↔ 𝑚 ≤ 𝑁))
11	10	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
12	11	ralbidv 3175	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
13		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 𝑚 ≤ 0)
14		nn0ge0 12548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑚)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 0 ≤ 𝑚)
16		nn0re 12532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 𝑚 ∈ ℝ)
18		0red 11261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
19	17, 18	letri3d 11400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → (𝑚 = 0 ↔ (𝑚 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑚)))
20	13, 15, 19	mpbir2and 713	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 𝑚 = 0)
21	20	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → (𝐼‘𝑚) = (𝐼‘0))
22		wallispilem3.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
23	22	wallispilem2 46021	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘0) = π ∧ (𝐼‘1) = 2 ∧ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼‘𝑚) = (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2)))))
24	23	simp1i 1138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼‘0) = π
25		pirp 26517	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ+
26	24, 25	eqeltri 2834	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼‘0) ∈ ℝ+
27	21, 26	eqeltrdi 2846	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
28	27	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ≤ 0 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
29	28	rgen 3060	. . . 4 ⊢ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 0 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
30		nfv 1911	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑦 ∈ ℕ0
31		nfra1 3281	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
32	30, 31	nfan 1896	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
33		simpllr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
34		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
35		rsp 3244	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) → (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
36	33, 34, 35	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
37		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝐼‘𝑚) = (𝐼‘1))
38	23	simp2i 1139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼‘1) = 2
39		2rp 13036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ+
40	38, 39	eqeltri 2834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼‘1) ∈ ℝ+
41	37, 40	eqeltrdi 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 1 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
43	23	simp3i 1140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼‘𝑚) = (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2))))
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼‘𝑚) = (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2))))
45		eluz2nn 12921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑚 ∈ ℕ)
46		nnre 12270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
47		1red 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
48	46, 47	resubcld 11688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
49	45, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
50		1m1e0 12335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 − 1) = 0
51		1red 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
52		eluzelre 12886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑚 ∈ ℝ)
53		eluz2b2 12960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑚))
54	53	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑚)
55	51, 52, 51, 54	ltsub1dd 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 − 1) < (𝑚 − 1))
56	50, 55	eqbrtrrid 5183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (𝑚 − 1))
57	49, 56	elrpd 13071	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑚 − 1) ∈ ℝ+)
58	45	nnrpd 13072	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑚 ∈ ℝ+)
59	57, 58	rpdivcld 13091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑚 − 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
60	59	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑚 − 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
61		breq1 5150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 ≤ 𝑦 ↔ 𝑘 ≤ 𝑦))
62		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐼‘𝑚) = (𝐼‘𝑘))
63	62	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+ ↔ (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+))
64	61, 63	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+)))
65	64	cbvralvw 3234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+))
66	65	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+))
67	66	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+))
68		uznn0sub 12914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑚 − 2) ∈ ℕ0)
69	68	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) ∈ ℕ0)
70	67, 69	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+) ∧ (𝑚 − 2) ∈ ℕ0))
71		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
72		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
73		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2))
74		simp2 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
75	74	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) = ((𝑦 + 1) − 2))
76		nn0re 12532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℝ)
77	76	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
78	77	recnd 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
79		df-2 12326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 = (1 + 1)
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 2 = (1 + 1))
81	80	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − 2) = ((𝑦 + 1) − (1 + 1)))
82		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
83		1cnd 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
84	82, 83, 83	pnpcan2d 11655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − (1 + 1)) = (𝑦 − 1))
85	81, 84	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − 2) = (𝑦 − 1))
86	78, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑦 + 1) − 2) = (𝑦 − 1))
87	75, 86	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) = (𝑦 − 1))
88	77	lem1d 12198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑦 − 1) ≤ 𝑦)
89	87, 88	eqbrtrd 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) ≤ 𝑦)
90	71, 72, 73, 89	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) ≤ 𝑦)
91		breq1 5150	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 2) → (𝑘 ≤ 𝑦 ↔ (𝑚 − 2) ≤ 𝑦))
92		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 2) → (𝐼‘𝑘) = (𝐼‘(𝑚 − 2)))
93	92	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 2) → ((𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+ ↔ (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+))
94	91, 93	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 2) → ((𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+) ↔ ((𝑚 − 2) ≤ 𝑦 → (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+)))
95	94	rspccva 3620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+) ∧ (𝑚 − 2) ∈ ℕ0) → ((𝑚 − 2) ≤ 𝑦 → (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+))
96	70, 90, 95	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+)
97	60, 96	rpmulcld 13090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2))) ∈ ℝ+)
98	44, 97	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
99	98	adantllr 719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
100	99	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
101		simplll 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
102		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
103		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
104		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
105		nn0p1nn 12562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
106	105	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
107	104, 106	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
108		elnnuz 12919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘1))
109	107, 108	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘1))
110		uzp1 12916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))))
111		1p1e2 12388	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 1) = 2
112	111	fveq2i 6909	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℤ≥‘(1 + 1)) = (ℤ≥‘2)
113	112	eleq2i 2830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2))
114	113	orbi2i 912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) ↔ (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)))
115	110, 114	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)))
116	109, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)))
117	101, 102, 103, 116	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)))
118	42, 100, 117	mpjaod 860	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
119	118	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
120	119	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 = (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
121		simplll 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
122		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ≤ (𝑦 + 1))
123		simpl1 1190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
124		simpl2 1191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
125		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 < (𝑦 + 1))
126		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚 = 0)
127		nn0ge0 12548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑦)
128	127	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = 0) → 0 ≤ 𝑦)
129	126, 128	eqbrtrd 5169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚 ≤ 𝑦)
130	129	3ad2antl1 1184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚 ≤ 𝑦)
131		simpl1 1190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
132		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
133		simpl3 1192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 < (𝑦 + 1))
134		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 < (𝑦 + 1))
135		simp2 1136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
136		simp1 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
137		0red 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
138	48	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
139	76	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
140		nnm1ge0 12683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑚 − 1))
141	140	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 0 ≤ (𝑚 − 1))
142	46	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℝ)
143		1red 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
144	142, 143, 139	ltsubaddd 11856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → ((𝑚 − 1) < 𝑦 ↔ 𝑚 < (𝑦 + 1)))
145	134, 144	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 − 1) < 𝑦)
146	137, 138, 139, 141, 145	lelttrd 11416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 0 < 𝑦)
147	146	gt0ne0d 11824	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ≠ 0)
148		elnnne0 12537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ≠ 0))
149	136, 147, 148	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ)
150		nnleltp1 12670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑚 ≤ 𝑦 ↔ 𝑚 < (𝑦 + 1)))
151	135, 149, 150	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ↔ 𝑚 < (𝑦 + 1)))
152	134, 151	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ≤ 𝑦)
153	131, 132, 133, 152	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≤ 𝑦)
154		elnn0 12525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
155	154	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
156	155	orcomd 871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 = 0 ∨ 𝑚 ∈ ℕ))
157	156	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 0 ∨ 𝑚 ∈ ℕ))
158	130, 153, 157	mpjaodan 960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ≤ 𝑦)
159	158	orcd 873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
160	123, 124, 125, 159	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
161		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
162	161	olcd 874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
163		simp3 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ≤ (𝑦 + 1))
164	16	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℝ)
165	76	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
166		1red 11259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
167	165, 166	readdcld 11287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
168	164, 167	leloed 11401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) ↔ (𝑚 < (𝑦 + 1) ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1))))
169	163, 168	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 < (𝑦 + 1) ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
170	160, 162, 169	mpjaodan 960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
171	121, 34, 122, 170	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
172	36, 120, 171	mpjaod 860	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
173	172	exp31 419	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) → (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
174	32, 173	ralrimi 3254	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
175	174	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
176	3, 6, 9, 12, 29, 175	nn0ind 12710	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
177	176	ancri 549	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
178		nn0re 12532	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
179	178	leidd 11826	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ 𝑁)
180		breq1 5150	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ 𝑁))
181		fveq2 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐼‘𝑚) = (𝐼‘𝑁))
182	181	eleq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+ ↔ (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+))
183	180, 182	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑁 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+)))
184	183	rspccva 3620	. 2 ⊢ ((∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+))
185	177, 179, 184	sylc 65	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∀wral 3058   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292   ≤ cle 11293   − cmin 11489   / cdiv 11917  ℕcn 12263  2c2 12318  ℕ₀cn0 12523  ℤ_≥cuz 12875  ℝ⁺crp 13031  (,)cioo 13383  ↑cexp 14098  sincsin 16095  πcpi 16098  ∫citg 25666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-symdif 4258  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667  df-itg1 25668  df-itg2 25669  df-ibl 25670  df-itg 25671  df-0p 25718  df-limc 25915  df-dv 25916

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