Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispilem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wallispilem3 45514
Description: I maps to real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wallispilem3.1 𝐼 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)
Assertion
Ref Expression
wallispilem3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (πΌβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐼(π‘₯,𝑛)   𝑁(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem wallispilem3
Dummy variables π‘˜ π‘š 𝑦 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5148 . . . . . 6 (𝑀 = 0 β†’ (π‘š ≀ 𝑀 ↔ π‘š ≀ 0))
21imbi1d 340 . . . . 5 (𝑀 = 0 β†’ ((π‘š ≀ 𝑀 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ↔ (π‘š ≀ 0 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)))
32ralbidv 3168 . . . 4 (𝑀 = 0 β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑀 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 0 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)))
4 breq2 5148 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑦 β†’ (π‘š ≀ 𝑀 ↔ π‘š ≀ 𝑦))
54imbi1d 340 . . . . 5 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((π‘š ≀ 𝑀 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ↔ (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)))
65ralbidv 3168 . . . 4 (𝑀 = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑀 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)))
7 breq2 5148 . . . . . 6 (𝑀 = (𝑦 + 1) β†’ (π‘š ≀ 𝑀 ↔ π‘š ≀ (𝑦 + 1)))
87imbi1d 340 . . . . 5 (𝑀 = (𝑦 + 1) β†’ ((π‘š ≀ 𝑀 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ↔ (π‘š ≀ (𝑦 + 1) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)))
98ralbidv 3168 . . . 4 (𝑀 = (𝑦 + 1) β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑀 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ (𝑦 + 1) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)))
10 breq2 5148 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑁 β†’ (π‘š ≀ 𝑀 ↔ π‘š ≀ 𝑁))
1110imbi1d 340 . . . . 5 (𝑀 = 𝑁 β†’ ((π‘š ≀ 𝑀 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ↔ (π‘š ≀ 𝑁 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)))
1211ralbidv 3168 . . . 4 (𝑀 = 𝑁 β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑀 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑁 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)))
13 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ 0) β†’ π‘š ≀ 0)
14 nn0ge0 12522 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ π‘š)
1514adantr 479 . . . . . . . . 9 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ 0) β†’ 0 ≀ π‘š)
16 nn0re 12506 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ β„•0 β†’ π‘š ∈ ℝ)
1716adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ 0) β†’ π‘š ∈ ℝ)
18 0red 11242 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ 0) β†’ 0 ∈ ℝ)
1917, 18letri3d 11381 . . . . . . . . 9 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ 0) β†’ (π‘š = 0 ↔ (π‘š ≀ 0 ∧ 0 ≀ π‘š)))
2013, 15, 19mpbir2and 711 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ 0) β†’ π‘š = 0)
2120fveq2d 6894 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ 0) β†’ (πΌβ€˜π‘š) = (πΌβ€˜0))
22 wallispilem3.1 . . . . . . . . . 10 𝐼 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)
2322wallispilem2 45513 . . . . . . . . 9 ((πΌβ€˜0) = Ο€ ∧ (πΌβ€˜1) = 2 ∧ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (πΌβ€˜π‘š) = (((π‘š βˆ’ 1) / π‘š) Β· (πΌβ€˜(π‘š βˆ’ 2)))))
2423simp1i 1136 . . . . . . . 8 (πΌβ€˜0) = Ο€
25 pirp 26409 . . . . . . . 8 Ο€ ∈ ℝ+
2624, 25eqeltri 2821 . . . . . . 7 (πΌβ€˜0) ∈ ℝ+
2721, 26eqeltrdi 2833 . . . . . 6 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ 0) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
2827ex 411 . . . . 5 (π‘š ∈ β„•0 β†’ (π‘š ≀ 0 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+))
2928rgen 3053 . . . 4 βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 0 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
30 nfv 1909 . . . . . . 7 β„²π‘š 𝑦 ∈ β„•0
31 nfra1 3272 . . . . . . 7 β„²π‘šβˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
3230, 31nfan 1894 . . . . . 6 β„²π‘š(𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+))
33 simpllr 774 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+))
34 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ π‘š ∈ β„•0)
35 rsp 3235 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) β†’ (π‘š ∈ β„•0 β†’ (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)))
3633, 34, 35sylc 65 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+))
37 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 1 β†’ (πΌβ€˜π‘š) = (πΌβ€˜1))
3823simp2i 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 (πΌβ€˜1) = 2
39 2rp 13006 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ+
4038, 39eqeltri 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (πΌβ€˜1) ∈ ℝ+
4137, 40eqeltrdi 2833 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 1 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š = 1 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+))
4323simp3i 1138 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (πΌβ€˜π‘š) = (((π‘š βˆ’ 1) / π‘š) Β· (πΌβ€˜(π‘š βˆ’ 2))))
4443adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πΌβ€˜π‘š) = (((π‘š βˆ’ 1) / π‘š) Β· (πΌβ€˜(π‘š βˆ’ 2))))
45 eluz2nn 12893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ π‘š ∈ β„•)
46 nnre 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ ℝ)
47 1red 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
4846, 47resubcld 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘š ∈ β„• β†’ (π‘š βˆ’ 1) ∈ ℝ)
4945, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (π‘š βˆ’ 1) ∈ ℝ)
50 1m1e0 12309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 βˆ’ 1) = 0
51 1red 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 ∈ ℝ)
52 eluzelre 12858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ π‘š ∈ ℝ)
53 eluz2b2 12930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (π‘š ∈ β„• ∧ 1 < π‘š))
5453simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 < π‘š)
5551, 52, 51, 54ltsub1dd 11851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (1 βˆ’ 1) < (π‘š βˆ’ 1))
5650, 55eqbrtrrid 5180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 < (π‘š βˆ’ 1))
5749, 56elrpd 13040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (π‘š βˆ’ 1) ∈ ℝ+)
5845nnrpd 13041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
5957, 58rpdivcld 13060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((π‘š βˆ’ 1) / π‘š) ∈ ℝ+)
6059adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((π‘š βˆ’ 1) / π‘š) ∈ ℝ+)
61 breq1 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘š = π‘˜ β†’ (π‘š ≀ 𝑦 ↔ π‘˜ ≀ 𝑦))
62 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘š = π‘˜ β†’ (πΌβ€˜π‘š) = (πΌβ€˜π‘˜))
6362eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘š = π‘˜ β†’ ((πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+ ↔ (πΌβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+))
6461, 63imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š = π‘˜ β†’ ((π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ↔ (π‘˜ ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+)))
6564cbvralvw 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (π‘˜ ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+))
6665biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (π‘˜ ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+))
6766ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (π‘˜ ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+))
68 uznn0sub 12886 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (π‘š βˆ’ 2) ∈ β„•0)
6968adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (π‘š βˆ’ 2) ∈ β„•0)
7067, 69jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (π‘˜ ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+) ∧ (π‘š βˆ’ 2) ∈ β„•0))
71 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
72 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ π‘š = (𝑦 + 1))
73 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
74 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ π‘š = (𝑦 + 1))
7574oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (π‘š βˆ’ 2) = ((𝑦 + 1) βˆ’ 2))
76 nn0re 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
77763ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
7877recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
79 df-2 12300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 = (1 + 1)
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ 2 = (1 + 1))
8180oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ ((𝑦 + 1) βˆ’ 2) = ((𝑦 + 1) βˆ’ (1 + 1)))
82 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
83 1cnd 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ 1 ∈ β„‚)
8482, 83, 83pnpcan2d 11634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ ((𝑦 + 1) βˆ’ (1 + 1)) = (𝑦 βˆ’ 1))
8581, 84eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ ((𝑦 + 1) βˆ’ 2) = (𝑦 βˆ’ 1))
8678, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝑦 + 1) βˆ’ 2) = (𝑦 βˆ’ 1))
8775, 86eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (π‘š βˆ’ 2) = (𝑦 βˆ’ 1))
8877lem1d 12172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑦 βˆ’ 1) ≀ 𝑦)
8987, 88eqbrtrd 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (π‘š βˆ’ 2) ≀ 𝑦)
9071, 72, 73, 89syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (π‘š βˆ’ 2) ≀ 𝑦)
91 breq1 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = (π‘š βˆ’ 2) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑦 ↔ (π‘š βˆ’ 2) ≀ 𝑦))
92 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = (π‘š βˆ’ 2) β†’ (πΌβ€˜π‘˜) = (πΌβ€˜(π‘š βˆ’ 2)))
9392eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = (π‘š βˆ’ 2) β†’ ((πΌβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+ ↔ (πΌβ€˜(π‘š βˆ’ 2)) ∈ ℝ+))
9491, 93imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = (π‘š βˆ’ 2) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+) ↔ ((π‘š βˆ’ 2) ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜(π‘š βˆ’ 2)) ∈ ℝ+)))
9594rspccva 3602 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (π‘˜ ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+) ∧ (π‘š βˆ’ 2) ∈ β„•0) β†’ ((π‘š βˆ’ 2) ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜(π‘š βˆ’ 2)) ∈ ℝ+))
9670, 90, 95sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πΌβ€˜(π‘š βˆ’ 2)) ∈ ℝ+)
9760, 96rpmulcld 13059 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((π‘š βˆ’ 1) / π‘š) Β· (πΌβ€˜(π‘š βˆ’ 2))) ∈ ℝ+)
9844, 97eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
9998adantllr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
10099ex 411 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+))
101 simplll 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
102 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ π‘š ∈ β„•0)
103 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ π‘š = (𝑦 + 1))
104 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ π‘š = (𝑦 + 1))
105 nn0p1nn 12536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (𝑦 + 1) ∈ β„•)
1061053ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ (𝑦 + 1) ∈ β„•)
107104, 106eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ π‘š ∈ β„•)
108 elnnuz 12891 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ β„• ↔ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
109107, 108sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
110 uzp1 12888 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (π‘š = 1 ∨ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 1))))
111 1p1e2 12362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) = 2
112111fveq2i 6893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„€β‰₯β€˜(1 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜2)
113112eleq2i 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 1)) ↔ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
114113orbi2i 910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘š = 1 ∨ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 1))) ↔ (π‘š = 1 ∨ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
115110, 114sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (π‘š = 1 ∨ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
116109, 115syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š = 1 ∨ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
117101, 102, 103, 116syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š = 1 ∨ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
11842, 100, 117mpjaod 858 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
119118adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
120119ex 411 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š = (𝑦 + 1) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+))
121 simplll 773 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
122 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ π‘š ≀ (𝑦 + 1))
123 simpl1 1188 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
124 simpl2 1189 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ π‘š ∈ β„•0)
125 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ π‘š < (𝑦 + 1))
126 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š = 0) β†’ π‘š = 0)
127 nn0ge0 12522 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝑦)
128127adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š = 0) β†’ 0 ≀ 𝑦)
129126, 128eqbrtrd 5166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š = 0) β†’ π‘š ≀ 𝑦)
1301293ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) ∧ π‘š = 0) β†’ π‘š ≀ 𝑦)
131 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
132 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„•)
133 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š < (𝑦 + 1))
134 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ π‘š < (𝑦 + 1))
135 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ π‘š ∈ β„•)
136 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
137 0red 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ 0 ∈ ℝ)
138483ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š βˆ’ 1) ∈ ℝ)
139763ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
140 nnm1ge0 12655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š ∈ β„• β†’ 0 ≀ (π‘š βˆ’ 1))
1411403ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ 0 ≀ (π‘š βˆ’ 1))
142463ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ π‘š ∈ ℝ)
143 1red 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ 1 ∈ ℝ)
144142, 143, 139ltsubaddd 11835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ ((π‘š βˆ’ 1) < 𝑦 ↔ π‘š < (𝑦 + 1)))
145134, 144mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š βˆ’ 1) < 𝑦)
146137, 138, 139, 141, 145lelttrd 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ 0 < 𝑦)
147146gt0ne0d 11803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ 𝑦 β‰  0)
148 elnnne0 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ β„• ↔ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 β‰  0))
149136, 147, 148sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ 𝑦 ∈ β„•)
150 nnleltp1 12642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (π‘š ≀ 𝑦 ↔ π‘š < (𝑦 + 1)))
151135, 149, 150syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š ≀ 𝑦 ↔ π‘š < (𝑦 + 1)))
152134, 151mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ π‘š ≀ 𝑦)
153131, 132, 133, 152syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ≀ 𝑦)
154 elnn0 12499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∈ β„•0 ↔ (π‘š ∈ β„• ∨ π‘š = 0))
155154biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ β„•0 β†’ (π‘š ∈ β„• ∨ π‘š = 0))
156155orcomd 869 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ β„•0 β†’ (π‘š = 0 ∨ π‘š ∈ β„•))
1571563ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š = 0 ∨ π‘š ∈ β„•))
158130, 153, 157mpjaodan 956 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ π‘š ≀ 𝑦)
159158orcd 871 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š ≀ 𝑦 ∨ π‘š = (𝑦 + 1)))
160123, 124, 125, 159syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š ≀ 𝑦 ∨ π‘š = (𝑦 + 1)))
161 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ π‘š = (𝑦 + 1))
162161olcd 872 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š ≀ 𝑦 ∨ π‘š = (𝑦 + 1)))
163 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ π‘š ≀ (𝑦 + 1))
164163ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ π‘š ∈ ℝ)
165763ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
166 1red 11240 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ 1 ∈ ℝ)
167165, 166readdcld 11268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
168164, 167leloed 11382 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š ≀ (𝑦 + 1) ↔ (π‘š < (𝑦 + 1) ∨ π‘š = (𝑦 + 1))))
169163, 168mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š < (𝑦 + 1) ∨ π‘š = (𝑦 + 1)))
170160, 162, 169mpjaodan 956 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š ≀ 𝑦 ∨ π‘š = (𝑦 + 1)))
171121, 34, 122, 170syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š ≀ 𝑦 ∨ π‘š = (𝑦 + 1)))
17236, 120, 171mpjaod 858 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
173172exp31 418 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) β†’ (π‘š ∈ β„•0 β†’ (π‘š ≀ (𝑦 + 1) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)))
17432, 173ralrimi 3245 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ (𝑦 + 1) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+))
175174ex 411 . . . 4 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ (𝑦 + 1) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)))
1763, 6, 9, 12, 29, 175nn0ind 12682 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑁 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+))
177176ancri 548 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑁 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ∧ 𝑁 ∈ β„•0))
178 nn0re 12506 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
179178leidd 11805 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ≀ 𝑁)
180 breq1 5147 . . . 4 (π‘š = 𝑁 β†’ (π‘š ≀ 𝑁 ↔ 𝑁 ≀ 𝑁))
181 fveq2 6890 . . . . 5 (π‘š = 𝑁 β†’ (πΌβ€˜π‘š) = (πΌβ€˜π‘))
182181eleq1d 2810 . . . 4 (π‘š = 𝑁 β†’ ((πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+ ↔ (πΌβ€˜π‘) ∈ ℝ+))
183180, 182imbi12d 343 . . 3 (π‘š = 𝑁 β†’ ((π‘š ≀ 𝑁 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ↔ (𝑁 ≀ 𝑁 β†’ (πΌβ€˜π‘) ∈ ℝ+)))
184183rspccva 3602 . 2 ((βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑁 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ≀ 𝑁 β†’ (πΌβ€˜π‘) ∈ ℝ+))
185177, 179, 184sylc 65 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (πΌβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  β„‚cc 11131  β„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   Β· cmul 11138   < clt 11273   ≀ cle 11274   βˆ’ cmin 11469   / cdiv 11896  β„•cn 12237  2c2 12292  β„•0cn0 12497  β„€β‰₯cuz 12847  β„+crp 13001  (,)cioo 13351  β†‘cexp 14053  sincsin 16034  Ο€cpi 16037  βˆ«citg 25560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cc 10453  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-symdif 4238  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-disj 5110  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-dju 9919  df-card 9957  df-acn 9960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-shft 15041  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-ef 16038  df-sin 16040  df-cos 16041  df-pi 16043  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-ovol 25406  df-vol 25407  df-mbf 25561  df-itg1 25562  df-itg2 25563  df-ibl 25564  df-itg 25565  df-0p 25612  df-limc 25808  df-dv 25809
This theorem is referenced by:  wallispilem4  45515  wallispilem5  45516
  Copyright terms: Public domain W3C validator