Theorem wallispilem3 46495

Description: I maps to real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
wallispilem3.1	⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)

Assertion

Ref	Expression
wallispilem3	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem wallispilem3

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5089	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝑚 ≤ 𝑤 ↔ 𝑚 ≤ 0))
2	1	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚 ≤ 0 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
3	2	ralbidv 3160	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 0 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 0 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
4		breq2 5089	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑚 ≤ 𝑤 ↔ 𝑚 ≤ 𝑦))
5	4	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
6	5	ralbidv 3160	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
7		breq2 5089	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 + 1) → (𝑚 ≤ 𝑤 ↔ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)))
8	7	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 + 1) → ((𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
9	8	ralbidv 3160	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 + 1) → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
10		breq2 5089	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝑚 ≤ 𝑤 ↔ 𝑚 ≤ 𝑁))
11	10	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
12	11	ralbidv 3160	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
13		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 𝑚 ≤ 0)
14		nn0ge0 12462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑚)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 0 ≤ 𝑚)
16		nn0re 12446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 𝑚 ∈ ℝ)
18		0red 11147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
19	17, 18	letri3d 11288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → (𝑚 = 0 ↔ (𝑚 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑚)))
20	13, 15, 19	mpbir2and 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 𝑚 = 0)
21	20	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → (𝐼‘𝑚) = (𝐼‘0))
22		wallispilem3.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
23	22	wallispilem2 46494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘0) = π ∧ (𝐼‘1) = 2 ∧ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼‘𝑚) = (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2)))))
24	23	simp1i 1140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼‘0) = π
25		pirp 26425	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ+
26	24, 25	eqeltri 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼‘0) ∈ ℝ+
27	21, 26	eqeltrdi 2844	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
28	27	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ≤ 0 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
29	28	rgen 3053	. . . 4 ⊢ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 0 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
30		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑦 ∈ ℕ0
31		nfra1 3261	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
32	30, 31	nfan 1901	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
33		simpllr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
34		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
35		rsp 3225	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) → (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
36	33, 34, 35	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
37		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝐼‘𝑚) = (𝐼‘1))
38	23	simp2i 1141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼‘1) = 2
39		2rp 12947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ+
40	38, 39	eqeltri 2832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼‘1) ∈ ℝ+
41	37, 40	eqeltrdi 2844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 1 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
43	23	simp3i 1142	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼‘𝑚) = (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2))))
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼‘𝑚) = (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2))))
45		eluz2nn 12838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑚 ∈ ℕ)
46		nnre 12181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
47		1red 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
48	46, 47	resubcld 11578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
49	45, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
50		1m1e0 12253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 − 1) = 0
51		1red 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
52		eluzelre 12799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑚 ∈ ℝ)
53		eluz2b2 12871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑚))
54	53	simprbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑚)
55	51, 52, 51, 54	ltsub1dd 11762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 − 1) < (𝑚 − 1))
56	50, 55	eqbrtrrid 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (𝑚 − 1))
57	49, 56	elrpd 12983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑚 − 1) ∈ ℝ+)
58	45	nnrpd 12984	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑚 ∈ ℝ+)
59	57, 58	rpdivcld 13003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑚 − 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
60	59	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑚 − 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
61		breq1 5088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 ≤ 𝑦 ↔ 𝑘 ≤ 𝑦))
62		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐼‘𝑚) = (𝐼‘𝑘))
63	62	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+ ↔ (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+))
64	61, 63	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+)))
65	64	cbvralvw 3215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+))
66	65	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+))
67	66	ad3antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+))
68		uznn0sub 12823	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑚 − 2) ∈ ℕ0)
69	68	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) ∈ ℕ0)
70	67, 69	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+) ∧ (𝑚 − 2) ∈ ℕ0))
71		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
72		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
73		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2))
74		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
75	74	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) = ((𝑦 + 1) − 2))
76		nn0re 12446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℝ)
77	76	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
78	77	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
79		df-2 12244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 = (1 + 1)
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 2 = (1 + 1))
81	80	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − 2) = ((𝑦 + 1) − (1 + 1)))
82		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
83		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
84	82, 83, 83	pnpcan2d 11543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − (1 + 1)) = (𝑦 − 1))
85	81, 84	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − 2) = (𝑦 − 1))
86	78, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑦 + 1) − 2) = (𝑦 − 1))
87	75, 86	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) = (𝑦 − 1))
88	77	lem1d 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑦 − 1) ≤ 𝑦)
89	87, 88	eqbrtrd 5107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) ≤ 𝑦)
90	71, 72, 73, 89	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) ≤ 𝑦)
91		breq1 5088	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 2) → (𝑘 ≤ 𝑦 ↔ (𝑚 − 2) ≤ 𝑦))
92		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 2) → (𝐼‘𝑘) = (𝐼‘(𝑚 − 2)))
93	92	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 2) → ((𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+ ↔ (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+))
94	91, 93	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 2) → ((𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+) ↔ ((𝑚 − 2) ≤ 𝑦 → (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+)))
95	94	rspccva 3563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+) ∧ (𝑚 − 2) ∈ ℕ0) → ((𝑚 − 2) ≤ 𝑦 → (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+))
96	70, 90, 95	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+)
97	60, 96	rpmulcld 13002	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2))) ∈ ℝ+)
98	44, 97	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
99	98	adantllr 720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
100	99	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
101		simplll 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
102		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
103		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
104		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
105		nn0p1nn 12476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
106	105	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
107	104, 106	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
108		elnnuz 12828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘1))
109	107, 108	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘1))
110		uzp1 12825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))))
111		1p1e2 12301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 1) = 2
112	111	fveq2i 6843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℤ≥‘(1 + 1)) = (ℤ≥‘2)
113	112	eleq2i 2828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2))
114	113	orbi2i 913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) ↔ (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)))
115	110, 114	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)))
116	109, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)))
117	101, 102, 103, 116	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)))
118	42, 100, 117	mpjaod 861	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
119	118	adantlr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
120	119	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 = (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
121		simplll 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
122		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ≤ (𝑦 + 1))
123		simpl1 1193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
124		simpl2 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
125		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 < (𝑦 + 1))
126		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚 = 0)
127		nn0ge0 12462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑦)
128	127	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = 0) → 0 ≤ 𝑦)
129	126, 128	eqbrtrd 5107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚 ≤ 𝑦)
130	129	3ad2antl1 1187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚 ≤ 𝑦)
131		simpl1 1193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
132		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
133		simpl3 1195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 < (𝑦 + 1))
134		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 < (𝑦 + 1))
135		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
136		simp1 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
137		0red 11147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
138	48	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
139	76	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
140		nnm1ge0 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑚 − 1))
141	140	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 0 ≤ (𝑚 − 1))
142	46	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℝ)
143		1red 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
144	142, 143, 139	ltsubaddd 11746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → ((𝑚 − 1) < 𝑦 ↔ 𝑚 < (𝑦 + 1)))
145	134, 144	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 − 1) < 𝑦)
146	137, 138, 139, 141, 145	lelttrd 11304	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 0 < 𝑦)
147	146	gt0ne0d 11714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ≠ 0)
148		elnnne0 12451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ≠ 0))
149	136, 147, 148	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ)
150		nnleltp1 12584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑚 ≤ 𝑦 ↔ 𝑚 < (𝑦 + 1)))
151	135, 149, 150	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ↔ 𝑚 < (𝑦 + 1)))
152	134, 151	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ≤ 𝑦)
153	131, 132, 133, 152	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≤ 𝑦)
154		elnn0 12439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
155	154	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
156	155	orcomd 872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 = 0 ∨ 𝑚 ∈ ℕ))
157	156	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 0 ∨ 𝑚 ∈ ℕ))
158	130, 153, 157	mpjaodan 961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ≤ 𝑦)
159	158	orcd 874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
160	123, 124, 125, 159	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
161		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
162	161	olcd 875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
163		simp3 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ≤ (𝑦 + 1))
164	16	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℝ)
165	76	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
166		1red 11145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
167	165, 166	readdcld 11174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
168	164, 167	leloed 11289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) ↔ (𝑚 < (𝑦 + 1) ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1))))
169	163, 168	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 < (𝑦 + 1) ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
170	160, 162, 169	mpjaodan 961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
171	121, 34, 122, 170	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
172	36, 120, 171	mpjaod 861	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
173	172	exp31 419	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) → (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
174	32, 173	ralrimi 3235	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
175	174	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
176	3, 6, 9, 12, 29, 175	nn0ind 12624	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
177	176	ancri 549	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
178		nn0re 12446	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
179	178	leidd 11716	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ 𝑁)
180		breq1 5088	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ 𝑁))
181		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐼‘𝑚) = (𝐼‘𝑁))
182	181	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+ ↔ (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+))
183	180, 182	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑁 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+)))
184	183	rspccva 3563	. 2 ⊢ ((∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+))
185	177, 179, 184	sylc 65	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377   / cdiv 11807  ℕcn 12174  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ℤ_≥cuz 12788  ℝ⁺crp 12942  (,)cioo 13298  ↑cexp 14023  sincsin 16028  πcpi 16031  ∫citg 25585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-symdif 4193  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-disj 5053  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-cmp 23352  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-ovol 25431  df-vol 25432  df-mbf 25586  df-itg1 25587  df-itg2 25588  df-ibl 25589  df-itg 25590  df-0p 25637  df-limc 25833  df-dv 25834

This theorem is referenced by:  wallispilem4  46496  wallispilem5  46497