Theorem wallispilem3 46513

Description: I maps to real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
wallispilem3.1	⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)

Assertion

Ref	Expression
wallispilem3	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem wallispilem3

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5090	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝑚 ≤ 𝑤 ↔ 𝑚 ≤ 0))
2	1	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚 ≤ 0 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
3	2	ralbidv 3161	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 0 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 0 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
4		breq2 5090	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑚 ≤ 𝑤 ↔ 𝑚 ≤ 𝑦))
5	4	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
6	5	ralbidv 3161	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
7		breq2 5090	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 + 1) → (𝑚 ≤ 𝑤 ↔ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)))
8	7	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 + 1) → ((𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
9	8	ralbidv 3161	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 + 1) → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
10		breq2 5090	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝑚 ≤ 𝑤 ↔ 𝑚 ≤ 𝑁))
11	10	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
12	11	ralbidv 3161	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
13		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 𝑚 ≤ 0)
14		nn0ge0 12453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑚)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 0 ≤ 𝑚)
16		nn0re 12437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 𝑚 ∈ ℝ)
18		0red 11138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
19	17, 18	letri3d 11279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → (𝑚 = 0 ↔ (𝑚 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑚)))
20	13, 15, 19	mpbir2and 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 𝑚 = 0)
21	20	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → (𝐼‘𝑚) = (𝐼‘0))
22		wallispilem3.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
23	22	wallispilem2 46512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘0) = π ∧ (𝐼‘1) = 2 ∧ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼‘𝑚) = (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2)))))
24	23	simp1i 1140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼‘0) = π
25		pirp 26438	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ+
26	24, 25	eqeltri 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼‘0) ∈ ℝ+
27	21, 26	eqeltrdi 2845	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
28	27	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ≤ 0 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
29	28	rgen 3054	. . . 4 ⊢ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 0 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
30		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑦 ∈ ℕ0
31		nfra1 3262	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
32	30, 31	nfan 1901	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
33		simpllr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
34		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
35		rsp 3226	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) → (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
36	33, 34, 35	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
37		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝐼‘𝑚) = (𝐼‘1))
38	23	simp2i 1141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼‘1) = 2
39		2rp 12938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ+
40	38, 39	eqeltri 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼‘1) ∈ ℝ+
41	37, 40	eqeltrdi 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 1 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
43	23	simp3i 1142	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼‘𝑚) = (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2))))
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼‘𝑚) = (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2))))
45		eluz2nn 12829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑚 ∈ ℕ)
46		nnre 12172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
47		1red 11136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
48	46, 47	resubcld 11569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
49	45, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
50		1m1e0 12244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 − 1) = 0
51		1red 11136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
52		eluzelre 12790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑚 ∈ ℝ)
53		eluz2b2 12862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑚))
54	53	simprbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑚)
55	51, 52, 51, 54	ltsub1dd 11753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 − 1) < (𝑚 − 1))
56	50, 55	eqbrtrrid 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (𝑚 − 1))
57	49, 56	elrpd 12974	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑚 − 1) ∈ ℝ+)
58	45	nnrpd 12975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑚 ∈ ℝ+)
59	57, 58	rpdivcld 12994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑚 − 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
60	59	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑚 − 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
61		breq1 5089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 ≤ 𝑦 ↔ 𝑘 ≤ 𝑦))
62		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐼‘𝑚) = (𝐼‘𝑘))
63	62	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+ ↔ (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+))
64	61, 63	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+)))
65	64	cbvralvw 3216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+))
66	65	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+))
67	66	ad3antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+))
68		uznn0sub 12814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑚 − 2) ∈ ℕ0)
69	68	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) ∈ ℕ0)
70	67, 69	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+) ∧ (𝑚 − 2) ∈ ℕ0))
71		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
72		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
73		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2))
74		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
75	74	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) = ((𝑦 + 1) − 2))
76		nn0re 12437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℝ)
77	76	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
78	77	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
79		df-2 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 = (1 + 1)
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 2 = (1 + 1))
81	80	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − 2) = ((𝑦 + 1) − (1 + 1)))
82		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
83		1cnd 11130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
84	82, 83, 83	pnpcan2d 11534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − (1 + 1)) = (𝑦 − 1))
85	81, 84	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − 2) = (𝑦 − 1))
86	78, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑦 + 1) − 2) = (𝑦 − 1))
87	75, 86	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) = (𝑦 − 1))
88	77	lem1d 12080	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑦 − 1) ≤ 𝑦)
89	87, 88	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) ≤ 𝑦)
90	71, 72, 73, 89	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) ≤ 𝑦)
91		breq1 5089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 2) → (𝑘 ≤ 𝑦 ↔ (𝑚 − 2) ≤ 𝑦))
92		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 2) → (𝐼‘𝑘) = (𝐼‘(𝑚 − 2)))
93	92	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 2) → ((𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+ ↔ (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+))
94	91, 93	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 2) → ((𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+) ↔ ((𝑚 − 2) ≤ 𝑦 → (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+)))
95	94	rspccva 3564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+) ∧ (𝑚 − 2) ∈ ℕ0) → ((𝑚 − 2) ≤ 𝑦 → (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+))
96	70, 90, 95	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+)
97	60, 96	rpmulcld 12993	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2))) ∈ ℝ+)
98	44, 97	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
99	98	adantllr 720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
100	99	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
101		simplll 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
102		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
103		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
104		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
105		nn0p1nn 12467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
106	105	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
107	104, 106	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
108		elnnuz 12819	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘1))
109	107, 108	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘1))
110		uzp1 12816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))))
111		1p1e2 12292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 1) = 2
112	111	fveq2i 6837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℤ≥‘(1 + 1)) = (ℤ≥‘2)
113	112	eleq2i 2829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2))
114	113	orbi2i 913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) ↔ (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)))
115	110, 114	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)))
116	109, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)))
117	101, 102, 103, 116	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)))
118	42, 100, 117	mpjaod 861	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
119	118	adantlr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
120	119	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 = (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
121		simplll 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
122		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ≤ (𝑦 + 1))
123		simpl1 1193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
124		simpl2 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
125		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 < (𝑦 + 1))
126		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚 = 0)
127		nn0ge0 12453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑦)
128	127	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = 0) → 0 ≤ 𝑦)
129	126, 128	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚 ≤ 𝑦)
130	129	3ad2antl1 1187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚 ≤ 𝑦)
131		simpl1 1193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
132		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
133		simpl3 1195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 < (𝑦 + 1))
134		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 < (𝑦 + 1))
135		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
136		simp1 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
137		0red 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
138	48	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
139	76	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
140		nnm1ge0 12588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑚 − 1))
141	140	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 0 ≤ (𝑚 − 1))
142	46	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℝ)
143		1red 11136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
144	142, 143, 139	ltsubaddd 11737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → ((𝑚 − 1) < 𝑦 ↔ 𝑚 < (𝑦 + 1)))
145	134, 144	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 − 1) < 𝑦)
146	137, 138, 139, 141, 145	lelttrd 11295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 0 < 𝑦)
147	146	gt0ne0d 11705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ≠ 0)
148		elnnne0 12442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ≠ 0))
149	136, 147, 148	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ)
150		nnleltp1 12575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑚 ≤ 𝑦 ↔ 𝑚 < (𝑦 + 1)))
151	135, 149, 150	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ↔ 𝑚 < (𝑦 + 1)))
152	134, 151	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ≤ 𝑦)
153	131, 132, 133, 152	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≤ 𝑦)
154		elnn0 12430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
155	154	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
156	155	orcomd 872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 = 0 ∨ 𝑚 ∈ ℕ))
157	156	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 0 ∨ 𝑚 ∈ ℕ))
158	130, 153, 157	mpjaodan 961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ≤ 𝑦)
159	158	orcd 874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
160	123, 124, 125, 159	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
161		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
162	161	olcd 875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
163		simp3 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ≤ (𝑦 + 1))
164	16	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℝ)
165	76	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
166		1red 11136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
167	165, 166	readdcld 11165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
168	164, 167	leloed 11280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) ↔ (𝑚 < (𝑦 + 1) ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1))))
169	163, 168	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 < (𝑦 + 1) ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
170	160, 162, 169	mpjaodan 961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
171	121, 34, 122, 170	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
172	36, 120, 171	mpjaod 861	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
173	172	exp31 419	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) → (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
174	32, 173	ralrimi 3236	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
175	174	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
176	3, 6, 9, 12, 29, 175	nn0ind 12615	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
177	176	ancri 549	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
178		nn0re 12437	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
179	178	leidd 11707	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ 𝑁)
180		breq1 5089	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ 𝑁))
181		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐼‘𝑚) = (𝐼‘𝑁))
182	181	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+ ↔ (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+))
183	180, 182	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑁 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+)))
184	183	rspccva 3564	. 2 ⊢ ((∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+))
185	177, 179, 184	sylc 65	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933  (,)cioo 13289  ↑cexp 14014  sincsin 16019  πcpi 16022  ∫citg 25595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cc 10348  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-symdif 4194  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-cmp 23362  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-ovol 25441  df-vol 25442  df-mbf 25596  df-itg1 25597  df-itg2 25598  df-ibl 25599  df-itg 25600  df-0p 25647  df-limc 25843  df-dv 25844

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