Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispilem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wallispilem3 45368
Description: I maps to real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wallispilem3.1 𝐼 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)
Assertion
Ref Expression
wallispilem3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (πΌβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐼(π‘₯,𝑛)   𝑁(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem wallispilem3
Dummy variables π‘˜ π‘š 𝑦 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5146 . . . . . 6 (𝑀 = 0 β†’ (π‘š ≀ 𝑀 ↔ π‘š ≀ 0))
21imbi1d 341 . . . . 5 (𝑀 = 0 β†’ ((π‘š ≀ 𝑀 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ↔ (π‘š ≀ 0 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)))
32ralbidv 3172 . . . 4 (𝑀 = 0 β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑀 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 0 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)))
4 breq2 5146 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑦 β†’ (π‘š ≀ 𝑀 ↔ π‘š ≀ 𝑦))
54imbi1d 341 . . . . 5 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((π‘š ≀ 𝑀 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ↔ (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)))
65ralbidv 3172 . . . 4 (𝑀 = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑀 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)))
7 breq2 5146 . . . . . 6 (𝑀 = (𝑦 + 1) β†’ (π‘š ≀ 𝑀 ↔ π‘š ≀ (𝑦 + 1)))
87imbi1d 341 . . . . 5 (𝑀 = (𝑦 + 1) β†’ ((π‘š ≀ 𝑀 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ↔ (π‘š ≀ (𝑦 + 1) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)))
98ralbidv 3172 . . . 4 (𝑀 = (𝑦 + 1) β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑀 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ (𝑦 + 1) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)))
10 breq2 5146 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑁 β†’ (π‘š ≀ 𝑀 ↔ π‘š ≀ 𝑁))
1110imbi1d 341 . . . . 5 (𝑀 = 𝑁 β†’ ((π‘š ≀ 𝑀 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ↔ (π‘š ≀ 𝑁 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)))
1211ralbidv 3172 . . . 4 (𝑀 = 𝑁 β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑀 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑁 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)))
13 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ 0) β†’ π‘š ≀ 0)
14 nn0ge0 12513 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ π‘š)
1514adantr 480 . . . . . . . . 9 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ 0) β†’ 0 ≀ π‘š)
16 nn0re 12497 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ β„•0 β†’ π‘š ∈ ℝ)
1716adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ 0) β†’ π‘š ∈ ℝ)
18 0red 11233 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ 0) β†’ 0 ∈ ℝ)
1917, 18letri3d 11372 . . . . . . . . 9 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ 0) β†’ (π‘š = 0 ↔ (π‘š ≀ 0 ∧ 0 ≀ π‘š)))
2013, 15, 19mpbir2and 712 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ 0) β†’ π‘š = 0)
2120fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ 0) β†’ (πΌβ€˜π‘š) = (πΌβ€˜0))
22 wallispilem3.1 . . . . . . . . . 10 𝐼 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)
2322wallispilem2 45367 . . . . . . . . 9 ((πΌβ€˜0) = Ο€ ∧ (πΌβ€˜1) = 2 ∧ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (πΌβ€˜π‘š) = (((π‘š βˆ’ 1) / π‘š) Β· (πΌβ€˜(π‘š βˆ’ 2)))))
2423simp1i 1137 . . . . . . . 8 (πΌβ€˜0) = Ο€
25 pirp 26370 . . . . . . . 8 Ο€ ∈ ℝ+
2624, 25eqeltri 2824 . . . . . . 7 (πΌβ€˜0) ∈ ℝ+
2721, 26eqeltrdi 2836 . . . . . 6 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ 0) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
2827ex 412 . . . . 5 (π‘š ∈ β„•0 β†’ (π‘š ≀ 0 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+))
2928rgen 3058 . . . 4 βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 0 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
30 nfv 1910 . . . . . . 7 β„²π‘š 𝑦 ∈ β„•0
31 nfra1 3276 . . . . . . 7 β„²π‘šβˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
3230, 31nfan 1895 . . . . . 6 β„²π‘š(𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+))
33 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+))
34 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ π‘š ∈ β„•0)
35 rsp 3239 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) β†’ (π‘š ∈ β„•0 β†’ (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)))
3633, 34, 35sylc 65 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+))
37 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 1 β†’ (πΌβ€˜π‘š) = (πΌβ€˜1))
3823simp2i 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 (πΌβ€˜1) = 2
39 2rp 12997 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ+
4038, 39eqeltri 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (πΌβ€˜1) ∈ ℝ+
4137, 40eqeltrdi 2836 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 1 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š = 1 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+))
4323simp3i 1139 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (πΌβ€˜π‘š) = (((π‘š βˆ’ 1) / π‘š) Β· (πΌβ€˜(π‘š βˆ’ 2))))
4443adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πΌβ€˜π‘š) = (((π‘š βˆ’ 1) / π‘š) Β· (πΌβ€˜(π‘š βˆ’ 2))))
45 eluz2nn 12884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ π‘š ∈ β„•)
46 nnre 12235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ ℝ)
47 1red 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
4846, 47resubcld 11658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘š ∈ β„• β†’ (π‘š βˆ’ 1) ∈ ℝ)
4945, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (π‘š βˆ’ 1) ∈ ℝ)
50 1m1e0 12300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 βˆ’ 1) = 0
51 1red 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 ∈ ℝ)
52 eluzelre 12849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ π‘š ∈ ℝ)
53 eluz2b2 12921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (π‘š ∈ β„• ∧ 1 < π‘š))
5453simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 < π‘š)
5551, 52, 51, 54ltsub1dd 11842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (1 βˆ’ 1) < (π‘š βˆ’ 1))
5650, 55eqbrtrrid 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 < (π‘š βˆ’ 1))
5749, 56elrpd 13031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (π‘š βˆ’ 1) ∈ ℝ+)
5845nnrpd 13032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
5957, 58rpdivcld 13051 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((π‘š βˆ’ 1) / π‘š) ∈ ℝ+)
6059adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((π‘š βˆ’ 1) / π‘š) ∈ ℝ+)
61 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘š = π‘˜ β†’ (π‘š ≀ 𝑦 ↔ π‘˜ ≀ 𝑦))
62 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘š = π‘˜ β†’ (πΌβ€˜π‘š) = (πΌβ€˜π‘˜))
6362eleq1d 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘š = π‘˜ β†’ ((πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+ ↔ (πΌβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+))
6461, 63imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š = π‘˜ β†’ ((π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ↔ (π‘˜ ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+)))
6564cbvralvw 3229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (π‘˜ ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+))
6665biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (π‘˜ ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+))
6766ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (π‘˜ ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+))
68 uznn0sub 12877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (π‘š βˆ’ 2) ∈ β„•0)
6968adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (π‘š βˆ’ 2) ∈ β„•0)
7067, 69jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (π‘˜ ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+) ∧ (π‘š βˆ’ 2) ∈ β„•0))
71 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
72 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ π‘š = (𝑦 + 1))
73 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
74 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ π‘š = (𝑦 + 1))
7574oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (π‘š βˆ’ 2) = ((𝑦 + 1) βˆ’ 2))
76 nn0re 12497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
77763ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
7877recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
79 df-2 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 = (1 + 1)
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ 2 = (1 + 1))
8180oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ ((𝑦 + 1) βˆ’ 2) = ((𝑦 + 1) βˆ’ (1 + 1)))
82 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
83 1cnd 11225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ 1 ∈ β„‚)
8482, 83, 83pnpcan2d 11625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ ((𝑦 + 1) βˆ’ (1 + 1)) = (𝑦 βˆ’ 1))
8581, 84eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ ((𝑦 + 1) βˆ’ 2) = (𝑦 βˆ’ 1))
8678, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝑦 + 1) βˆ’ 2) = (𝑦 βˆ’ 1))
8775, 86eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (π‘š βˆ’ 2) = (𝑦 βˆ’ 1))
8877lem1d 12163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑦 βˆ’ 1) ≀ 𝑦)
8987, 88eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (π‘š βˆ’ 2) ≀ 𝑦)
9071, 72, 73, 89syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (π‘š βˆ’ 2) ≀ 𝑦)
91 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = (π‘š βˆ’ 2) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑦 ↔ (π‘š βˆ’ 2) ≀ 𝑦))
92 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = (π‘š βˆ’ 2) β†’ (πΌβ€˜π‘˜) = (πΌβ€˜(π‘š βˆ’ 2)))
9392eleq1d 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = (π‘š βˆ’ 2) β†’ ((πΌβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+ ↔ (πΌβ€˜(π‘š βˆ’ 2)) ∈ ℝ+))
9491, 93imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = (π‘š βˆ’ 2) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+) ↔ ((π‘š βˆ’ 2) ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜(π‘š βˆ’ 2)) ∈ ℝ+)))
9594rspccva 3606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (π‘˜ ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+) ∧ (π‘š βˆ’ 2) ∈ β„•0) β†’ ((π‘š βˆ’ 2) ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜(π‘š βˆ’ 2)) ∈ ℝ+))
9670, 90, 95sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πΌβ€˜(π‘š βˆ’ 2)) ∈ ℝ+)
9760, 96rpmulcld 13050 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((π‘š βˆ’ 1) / π‘š) Β· (πΌβ€˜(π‘š βˆ’ 2))) ∈ ℝ+)
9844, 97eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
9998adantllr 718 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
10099ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+))
101 simplll 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
102 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ π‘š ∈ β„•0)
103 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ π‘š = (𝑦 + 1))
104 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ π‘š = (𝑦 + 1))
105 nn0p1nn 12527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (𝑦 + 1) ∈ β„•)
1061053ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ (𝑦 + 1) ∈ β„•)
107104, 106eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ π‘š ∈ β„•)
108 elnnuz 12882 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ β„• ↔ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
109107, 108sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
110 uzp1 12879 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (π‘š = 1 ∨ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 1))))
111 1p1e2 12353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) = 2
112111fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„€β‰₯β€˜(1 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜2)
113112eleq2i 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 1)) ↔ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
114113orbi2i 911 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘š = 1 ∨ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 1))) ↔ (π‘š = 1 ∨ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
115110, 114sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (π‘š = 1 ∨ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
116109, 115syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š = 1 ∨ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
117101, 102, 103, 116syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š = 1 ∨ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
11842, 100, 117mpjaod 859 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
119118adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
120119ex 412 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š = (𝑦 + 1) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+))
121 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
122 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ π‘š ≀ (𝑦 + 1))
123 simpl1 1189 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
124 simpl2 1190 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ π‘š ∈ β„•0)
125 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ π‘š < (𝑦 + 1))
126 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š = 0) β†’ π‘š = 0)
127 nn0ge0 12513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝑦)
128127adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š = 0) β†’ 0 ≀ 𝑦)
129126, 128eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š = 0) β†’ π‘š ≀ 𝑦)
1301293ad2antl1 1183 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) ∧ π‘š = 0) β†’ π‘š ≀ 𝑦)
131 simpl1 1189 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
132 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„•)
133 simpl3 1191 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š < (𝑦 + 1))
134 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ π‘š < (𝑦 + 1))
135 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ π‘š ∈ β„•)
136 simp1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
137 0red 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ 0 ∈ ℝ)
138483ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š βˆ’ 1) ∈ ℝ)
139763ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
140 nnm1ge0 12646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š ∈ β„• β†’ 0 ≀ (π‘š βˆ’ 1))
1411403ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ 0 ≀ (π‘š βˆ’ 1))
142463ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ π‘š ∈ ℝ)
143 1red 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ 1 ∈ ℝ)
144142, 143, 139ltsubaddd 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ ((π‘š βˆ’ 1) < 𝑦 ↔ π‘š < (𝑦 + 1)))
145134, 144mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š βˆ’ 1) < 𝑦)
146137, 138, 139, 141, 145lelttrd 11388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ 0 < 𝑦)
147146gt0ne0d 11794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ 𝑦 β‰  0)
148 elnnne0 12502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ β„• ↔ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 β‰  0))
149136, 147, 148sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ 𝑦 ∈ β„•)
150 nnleltp1 12633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (π‘š ≀ 𝑦 ↔ π‘š < (𝑦 + 1)))
151135, 149, 150syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š ≀ 𝑦 ↔ π‘š < (𝑦 + 1)))
152134, 151mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„• ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ π‘š ≀ 𝑦)
153131, 132, 133, 152syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ≀ 𝑦)
154 elnn0 12490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∈ β„•0 ↔ (π‘š ∈ β„• ∨ π‘š = 0))
155154biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ β„•0 β†’ (π‘š ∈ β„• ∨ π‘š = 0))
156155orcomd 870 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ β„•0 β†’ (π‘š = 0 ∨ π‘š ∈ β„•))
1571563ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š = 0 ∨ π‘š ∈ β„•))
158130, 153, 157mpjaodan 957 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ π‘š ≀ 𝑦)
159158orcd 872 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š ≀ 𝑦 ∨ π‘š = (𝑦 + 1)))
160123, 124, 125, 159syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) ∧ π‘š < (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š ≀ 𝑦 ∨ π‘š = (𝑦 + 1)))
161 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ π‘š = (𝑦 + 1))
162161olcd 873 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) ∧ π‘š = (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š ≀ 𝑦 ∨ π‘š = (𝑦 + 1)))
163 simp3 1136 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ π‘š ≀ (𝑦 + 1))
164163ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ π‘š ∈ ℝ)
165763ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
166 1red 11231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ 1 ∈ ℝ)
167165, 166readdcld 11259 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
168164, 167leloed 11373 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š ≀ (𝑦 + 1) ↔ (π‘š < (𝑦 + 1) ∨ π‘š = (𝑦 + 1))))
169163, 168mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š < (𝑦 + 1) ∨ π‘š = (𝑦 + 1)))
170160, 162, 169mpjaodan 957 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š ≀ 𝑦 ∨ π‘š = (𝑦 + 1)))
171121, 34, 122, 170syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ (π‘š ≀ 𝑦 ∨ π‘š = (𝑦 + 1)))
17236, 120, 171mpjaod 859 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘š ≀ (𝑦 + 1)) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
173172exp31 419 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) β†’ (π‘š ∈ β„•0 β†’ (π‘š ≀ (𝑦 + 1) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)))
17432, 173ralrimi 3249 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ (𝑦 + 1) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+))
175174ex 412 . . . 4 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ (𝑦 + 1) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)))
1763, 6, 9, 12, 29, 175nn0ind 12673 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑁 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+))
177176ancri 549 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑁 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ∧ 𝑁 ∈ β„•0))
178 nn0re 12497 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
179178leidd 11796 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ≀ 𝑁)
180 breq1 5145 . . . 4 (π‘š = 𝑁 β†’ (π‘š ≀ 𝑁 ↔ 𝑁 ≀ 𝑁))
181 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘š = 𝑁 β†’ (πΌβ€˜π‘š) = (πΌβ€˜π‘))
182181eleq1d 2813 . . . 4 (π‘š = 𝑁 β†’ ((πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+ ↔ (πΌβ€˜π‘) ∈ ℝ+))
183180, 182imbi12d 344 . . 3 (π‘š = 𝑁 β†’ ((π‘š ≀ 𝑁 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ↔ (𝑁 ≀ 𝑁 β†’ (πΌβ€˜π‘) ∈ ℝ+)))
184183rspccva 3606 . 2 ((βˆ€π‘š ∈ β„•0 (π‘š ≀ 𝑁 β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ ℝ+) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ≀ 𝑁 β†’ (πΌβ€˜π‘) ∈ ℝ+))
185177, 179, 184sylc 65 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (πΌβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11122  β„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   Β· cmul 11129   < clt 11264   ≀ cle 11265   βˆ’ cmin 11460   / cdiv 11887  β„•cn 12228  2c2 12283  β„•0cn0 12488  β„€β‰₯cuz 12838  β„+crp 12992  (,)cioo 13342  β†‘cexp 14044  sincsin 16025  Ο€cpi 16028  βˆ«citg 25521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cc 10444  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-symdif 4238  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-dju 9910  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-bc 14280  df-hash 14308  df-shft 15032  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-ef 16029  df-sin 16031  df-cos 16032  df-pi 16034  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-pt 17411  df-prds 17414  df-xrs 17469  df-qtop 17474  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-fbas 21256  df-fg 21257  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-lp 23014  df-perf 23015  df-cn 23105  df-cnp 23106  df-haus 23193  df-cmp 23265  df-tx 23440  df-hmeo 23633  df-fil 23724  df-fm 23816  df-flim 23817  df-flf 23818  df-xms 24200  df-ms 24201  df-tms 24202  df-cncf 24772  df-ovol 25367  df-vol 25368  df-mbf 25522  df-itg1 25523  df-itg2 25524  df-ibl 25525  df-itg 25526  df-0p 25573  df-limc 25769  df-dv 25770
This theorem is referenced by:  wallispilem4  45369  wallispilem5  45370
  Copyright terms: Public domain W3C validator