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Theorem wallispilem3 43863
Description: I maps to real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wallispilem3.1 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
Assertion
Ref Expression
wallispilem3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼𝑁) ∈ ℝ+)
Distinct variable group:   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem wallispilem3
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5090 . . . . . 6 (𝑤 = 0 → (𝑚𝑤𝑚 ≤ 0))
21imbi1d 341 . . . . 5 (𝑤 = 0 → ((𝑚𝑤 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚 ≤ 0 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)))
32ralbidv 3170 . . . 4 (𝑤 = 0 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑤 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 0 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)))
4 breq2 5090 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝑚𝑤𝑚𝑦))
54imbi1d 341 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑚𝑤 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)))
65ralbidv 3170 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑤 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)))
7 breq2 5090 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 + 1) → (𝑚𝑤𝑚 ≤ (𝑦 + 1)))
87imbi1d 341 . . . . 5 (𝑤 = (𝑦 + 1) → ((𝑚𝑤 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)))
98ralbidv 3170 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 + 1) → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑤 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)))
10 breq2 5090 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → (𝑚𝑤𝑚𝑁))
1110imbi1d 341 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → ((𝑚𝑤 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚𝑁 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)))
1211ralbidv 3170 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑤 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑁 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)))
13 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ 0) → 𝑚 ≤ 0)
14 nn0ge0 12337 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑚)
1514adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ 0) → 0 ≤ 𝑚)
16 nn0re 12321 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℝ)
1716adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ 0) → 𝑚 ∈ ℝ)
18 0red 11057 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
1917, 18letri3d 11196 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ 0) → (𝑚 = 0 ↔ (𝑚 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑚)))
2013, 15, 19mpbir2and 710 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ 0) → 𝑚 = 0)
2120fveq2d 6815 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ 0) → (𝐼𝑚) = (𝐼‘0))
22 wallispilem3.1 . . . . . . . . . 10 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
2322wallispilem2 43862 . . . . . . . . 9 ((𝐼‘0) = π ∧ (𝐼‘1) = 2 ∧ (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼𝑚) = (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2)))))
2423simp1i 1138 . . . . . . . 8 (𝐼‘0) = π
25 pirp 25698 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ+
2624, 25eqeltri 2833 . . . . . . 7 (𝐼‘0) ∈ ℝ+
2721, 26eqeltrdi 2845 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ 0) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)
2827ex 413 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ≤ 0 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+))
2928rgen 3063 . . . 4 𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 0 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)
30 nfv 1916 . . . . . . 7 𝑚 𝑦 ∈ ℕ0
31 nfra1 3263 . . . . . . 7 𝑚𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)
3230, 31nfan 1901 . . . . . 6 𝑚(𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+))
33 simpllr 773 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+))
34 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
35 rsp 3226 . . . . . . . . 9 (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) → (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)))
3633, 34, 35sylc 65 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+))
37 fveq2 6811 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 1 → (𝐼𝑚) = (𝐼‘1))
3823simp2i 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼‘1) = 2
39 2rp 12814 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ+
4038, 39eqeltri 2833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼‘1) ∈ ℝ+
4137, 40eqeltrdi 2845 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 1 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 1 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+))
4323simp3i 1140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼𝑚) = (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2))))
4443adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐼𝑚) = (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2))))
45 eluz2nn 12703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → 𝑚 ∈ ℕ)
46 nnre 12059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
47 1red 11055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
4846, 47resubcld 11482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
4945, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
50 1m1e0 12124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 − 1) = 0
51 1red 11055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
52 eluzelre 12672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → 𝑚 ∈ ℝ)
53 eluz2b2 12740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑚))
5453simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑚)
5551, 52, 51, 54ltsub1dd 11666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → (1 − 1) < (𝑚 − 1))
5650, 55eqbrtrrid 5122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → 0 < (𝑚 − 1))
5749, 56elrpd 12848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → (𝑚 − 1) ∈ ℝ+)
5845nnrpd 12849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → 𝑚 ∈ ℝ+)
5957, 58rpdivcld 12868 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑚 − 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
6059adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑚 − 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
61 breq1 5089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚𝑦𝑘𝑦))
62 fveq2 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 = 𝑘 → (𝐼𝑚) = (𝐼𝑘))
6362eleq1d 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐼𝑚) ∈ ℝ+ ↔ (𝐼𝑘) ∈ ℝ+))
6461, 63imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑘𝑦 → (𝐼𝑘) ∈ ℝ+)))
6564cbvralvw 3221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘𝑦 → (𝐼𝑘) ∈ ℝ+))
6665biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘𝑦 → (𝐼𝑘) ∈ ℝ+))
6766ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘𝑦 → (𝐼𝑘) ∈ ℝ+))
68 uznn0sub 12696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → (𝑚 − 2) ∈ ℕ0)
6968adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑚 − 2) ∈ ℕ0)
7067, 69jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘𝑦 → (𝐼𝑘) ∈ ℝ+) ∧ (𝑚 − 2) ∈ ℕ0))
71 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
72 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
73 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑚 ∈ (ℤ‘2))
74 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
7574oveq1d 7331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑚 − 2) = ((𝑦 + 1) − 2))
76 nn0re 12321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℝ)
77763ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
7877recnd 11082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
79 df-2 12115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 = (1 + 1)
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℂ → 2 = (1 + 1))
8180oveq2d 7332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − 2) = ((𝑦 + 1) − (1 + 1)))
82 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
83 1cnd 11049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
8482, 83, 83pnpcan2d 11449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − (1 + 1)) = (𝑦 − 1))
8581, 84eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − 2) = (𝑦 − 1))
8678, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 + 1) − 2) = (𝑦 − 1))
8775, 86eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑚 − 2) = (𝑦 − 1))
8877lem1d 11987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑦 − 1) ≤ 𝑦)
8987, 88eqbrtrd 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑚 − 2) ≤ 𝑦)
9071, 72, 73, 89syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑚 − 2) ≤ 𝑦)
91 breq1 5089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝑚 − 2) → (𝑘𝑦 ↔ (𝑚 − 2) ≤ 𝑦))
92 fveq2 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = (𝑚 − 2) → (𝐼𝑘) = (𝐼‘(𝑚 − 2)))
9392eleq1d 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝑚 − 2) → ((𝐼𝑘) ∈ ℝ+ ↔ (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+))
9491, 93imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (𝑚 − 2) → ((𝑘𝑦 → (𝐼𝑘) ∈ ℝ+) ↔ ((𝑚 − 2) ≤ 𝑦 → (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+)))
9594rspccva 3568 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘𝑦 → (𝐼𝑘) ∈ ℝ+) ∧ (𝑚 − 2) ∈ ℕ0) → ((𝑚 − 2) ≤ 𝑦 → (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+))
9670, 90, 95sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+)
9760, 96rpmulcld 12867 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2))) ∈ ℝ+)
9844, 97eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)
9998adantllr 716 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)
10099ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+))
101 simplll 772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
102 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
103 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
104 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
105 nn0p1nn 12351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
1061053ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
107104, 106eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
108 elnnuz 12701 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ‘1))
109107, 108sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ (ℤ‘1))
110 uzp1 12698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (ℤ‘1) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ‘(1 + 1))))
111 1p1e2 12177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) = 2
112111fveq2i 6814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℤ‘(1 + 1)) = (ℤ‘2)
113112eleq2i 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ‘2))
114113orbi2i 910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) ↔ (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)))
115110, 114sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (ℤ‘1) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)))
116109, 115syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)))
117101, 102, 103, 116syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)))
11842, 100, 117mpjaod 857 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)
119118adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)
120119ex 413 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 = (𝑦 + 1) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+))
121 simplll 772 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
122 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ≤ (𝑦 + 1))
123 simpl1 1190 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
124 simpl2 1191 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
125 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 < (𝑦 + 1))
126 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 = 0) → 𝑚 = 0)
127 nn0ge0 12337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑦)
128127adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 = 0) → 0 ≤ 𝑦)
129126, 128eqbrtrd 5108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 = 0) → 𝑚𝑦)
1301293ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚𝑦)
131 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
132 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
133 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 < (𝑦 + 1))
134 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 < (𝑦 + 1))
135 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
136 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
137 0red 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
138483ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
139763ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
140 nnm1ge0 12467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑚 − 1))
1411403ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 0 ≤ (𝑚 − 1))
142463ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℝ)
143 1red 11055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
144142, 143, 139ltsubaddd 11650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → ((𝑚 − 1) < 𝑦𝑚 < (𝑦 + 1)))
145134, 144mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 − 1) < 𝑦)
146137, 138, 139, 141, 145lelttrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 0 < 𝑦)
147146gt0ne0d 11618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ≠ 0)
148 elnnne0 12326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ ↔ (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ≠ 0))
149136, 147, 148sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ)
150 nnleltp1 12454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑚𝑦𝑚 < (𝑦 + 1)))
151135, 149, 150syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚𝑦𝑚 < (𝑦 + 1)))
152134, 151mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚𝑦)
153131, 132, 133, 152syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚𝑦)
154 elnn0 12314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
155154biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
156155orcomd 868 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 = 0 ∨ 𝑚 ∈ ℕ))
1571563ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 0 ∨ 𝑚 ∈ ℕ))
158130, 153, 157mpjaodan 956 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚𝑦)
159158orcd 870 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚𝑦𝑚 = (𝑦 + 1)))
160123, 124, 125, 159syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚𝑦𝑚 = (𝑦 + 1)))
161 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
162161olcd 871 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚𝑦𝑚 = (𝑦 + 1)))
163 simp3 1137 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ≤ (𝑦 + 1))
164163ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℝ)
165763ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
166 1red 11055 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
167165, 166readdcld 11083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
168164, 167leloed 11197 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) ↔ (𝑚 < (𝑦 + 1) ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1))))
169163, 168mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 < (𝑦 + 1) ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
170160, 162, 169mpjaodan 956 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚𝑦𝑚 = (𝑦 + 1)))
171121, 34, 122, 170syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚𝑦𝑚 = (𝑦 + 1)))
17236, 120, 171mpjaod 857 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)
173172exp31 420 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) → (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)))
17432, 173ralrimi 3236 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+))
175174ex 413 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ0 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)))
1763, 6, 9, 12, 29, 175nn0ind 12494 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑁 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+))
177176ancri 550 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑁 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
178 nn0re 12321 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
179178leidd 11620 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁𝑁)
180 breq1 5089 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚𝑁𝑁𝑁))
181 fveq2 6811 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → (𝐼𝑚) = (𝐼𝑁))
182181eleq1d 2821 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → ((𝐼𝑚) ∈ ℝ+ ↔ (𝐼𝑁) ∈ ℝ+))
183180, 182imbi12d 344 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚𝑁 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑁𝑁 → (𝐼𝑁) ∈ ℝ+)))
184183rspccva 3568 . 2 ((∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑁 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑁 → (𝐼𝑁) ∈ ℝ+))
185177, 179, 184sylc 65 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼𝑁) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wral 3061   class class class wbr 5086  cmpt 5169  cfv 6465  (class class class)co 7316  cc 10948  cr 10949  0cc0 10950  1c1 10951   + caddc 10953   · cmul 10955   < clt 11088  cle 11089  cmin 11284   / cdiv 11711  cn 12052  2c2 12107  0cn0 12312  cuz 12661  +crp 12809  (,)cioo 13158  cexp 13861  sincsin 15849  πcpi 15852  citg 24862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-inf2 9476  ax-cc 10270  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028  ax-addf 11029  ax-mulf 11030
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-symdif 4186  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-iin 4939  df-disj 5052  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-of 7574  df-ofr 7575  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-supp 8026  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-2o 8346  df-oadd 8349  df-omul 8350  df-er 8547  df-map 8666  df-pm 8667  df-ixp 8735  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-fsupp 9205  df-fi 9246  df-sup 9277  df-inf 9278  df-oi 9345  df-dju 9736  df-card 9774  df-acn 9777  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-5 12118  df-6 12119  df-7 12120  df-8 12121  df-9 12122  df-n0 12313  df-z 12399  df-dec 12517  df-uz 12662  df-q 12768  df-rp 12810  df-xneg 12927  df-xadd 12928  df-xmul 12929  df-ioo 13162  df-ioc 13163  df-ico 13164  df-icc 13165  df-fz 13319  df-fzo 13462  df-fl 13591  df-mod 13669  df-seq 13801  df-exp 13862  df-fac 14067  df-bc 14096  df-hash 14124  df-shft 14854  df-cj 14886  df-re 14887  df-im 14888  df-sqrt 15022  df-abs 15023  df-limsup 15256  df-clim 15273  df-rlim 15274  df-sum 15474  df-ef 15853  df-sin 15855  df-cos 15856  df-pi 15858  df-struct 16922  df-sets 16939  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-ress 17016  df-plusg 17049  df-mulr 17050  df-starv 17051  df-sca 17052  df-vsca 17053  df-ip 17054  df-tset 17055  df-ple 17056  df-ds 17058  df-unif 17059  df-hom 17060  df-cco 17061  df-rest 17207  df-topn 17208  df-0g 17226  df-gsum 17227  df-topgen 17228  df-pt 17229  df-prds 17232  df-xrs 17287  df-qtop 17292  df-imas 17293  df-xps 17295  df-mre 17369  df-mrc 17370  df-acs 17372  df-mgm 18400  df-sgrp 18449  df-mnd 18460  df-submnd 18505  df-mulg 18774  df-cntz 18996  df-cmn 19460  df-psmet 20669  df-xmet 20670  df-met 20671  df-bl 20672  df-mopn 20673  df-fbas 20674  df-fg 20675  df-cnfld 20678  df-top 22123  df-topon 22140  df-topsp 22162  df-bases 22176  df-cld 22250  df-ntr 22251  df-cls 22252  df-nei 22329  df-lp 22367  df-perf 22368  df-cn 22458  df-cnp 22459  df-haus 22546  df-cmp 22618  df-tx 22793  df-hmeo 22986  df-fil 23077  df-fm 23169  df-flim 23170  df-flf 23171  df-xms 23553  df-ms 23554  df-tms 23555  df-cncf 24121  df-ovol 24708  df-vol 24709  df-mbf 24863  df-itg1 24864  df-itg2 24865  df-ibl 24866  df-itg 24867  df-0p 24914  df-limc 25110  df-dv 25111
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