Theorem wallispilem3 45988

Description: I maps to real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
wallispilem3.1	⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)

Assertion

Ref	Expression
wallispilem3	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem wallispilem3

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5170	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝑚 ≤ 𝑤 ↔ 𝑚 ≤ 0))
2	1	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚 ≤ 0 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
3	2	ralbidv 3184	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 0 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 0 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
4		breq2 5170	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑚 ≤ 𝑤 ↔ 𝑚 ≤ 𝑦))
5	4	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
6	5	ralbidv 3184	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
7		breq2 5170	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 + 1) → (𝑚 ≤ 𝑤 ↔ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)))
8	7	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 + 1) → ((𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
9	8	ralbidv 3184	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 + 1) → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
10		breq2 5170	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝑚 ≤ 𝑤 ↔ 𝑚 ≤ 𝑁))
11	10	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
12	11	ralbidv 3184	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
13		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 𝑚 ≤ 0)
14		nn0ge0 12578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑚)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 0 ≤ 𝑚)
16		nn0re 12562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 𝑚 ∈ ℝ)
18		0red 11293	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
19	17, 18	letri3d 11432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → (𝑚 = 0 ↔ (𝑚 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑚)))
20	13, 15, 19	mpbir2and 712	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 𝑚 = 0)
21	20	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → (𝐼‘𝑚) = (𝐼‘0))
22		wallispilem3.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
23	22	wallispilem2 45987	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘0) = π ∧ (𝐼‘1) = 2 ∧ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼‘𝑚) = (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2)))))
24	23	simp1i 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼‘0) = π
25		pirp 26521	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ+
26	24, 25	eqeltri 2840	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼‘0) ∈ ℝ+
27	21, 26	eqeltrdi 2852	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
28	27	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ≤ 0 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
29	28	rgen 3069	. . . 4 ⊢ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 0 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
30		nfv 1913	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑦 ∈ ℕ0
31		nfra1 3290	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
32	30, 31	nfan 1898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
33		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
34		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
35		rsp 3253	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) → (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
36	33, 34, 35	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
37		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝐼‘𝑚) = (𝐼‘1))
38	23	simp2i 1140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼‘1) = 2
39		2rp 13062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ+
40	38, 39	eqeltri 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼‘1) ∈ ℝ+
41	37, 40	eqeltrdi 2852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 1 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
43	23	simp3i 1141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼‘𝑚) = (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2))))
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼‘𝑚) = (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2))))
45		eluz2nn 12949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑚 ∈ ℕ)
46		nnre 12300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
47		1red 11291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
48	46, 47	resubcld 11718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
49	45, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
50		1m1e0 12365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 − 1) = 0
51		1red 11291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
52		eluzelre 12914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑚 ∈ ℝ)
53		eluz2b2 12986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑚))
54	53	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑚)
55	51, 52, 51, 54	ltsub1dd 11902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 − 1) < (𝑚 − 1))
56	50, 55	eqbrtrrid 5202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (𝑚 − 1))
57	49, 56	elrpd 13096	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑚 − 1) ∈ ℝ+)
58	45	nnrpd 13097	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑚 ∈ ℝ+)
59	57, 58	rpdivcld 13116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑚 − 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
60	59	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑚 − 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
61		breq1 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 ≤ 𝑦 ↔ 𝑘 ≤ 𝑦))
62		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐼‘𝑚) = (𝐼‘𝑘))
63	62	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+ ↔ (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+))
64	61, 63	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+)))
65	64	cbvralvw 3243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+))
66	65	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+))
67	66	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+))
68		uznn0sub 12942	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑚 − 2) ∈ ℕ0)
69	68	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) ∈ ℕ0)
70	67, 69	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+) ∧ (𝑚 − 2) ∈ ℕ0))
71		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
72		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
73		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2))
74		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
75	74	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) = ((𝑦 + 1) − 2))
76		nn0re 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℝ)
77	76	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
78	77	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
79		df-2 12356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 = (1 + 1)
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 2 = (1 + 1))
81	80	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − 2) = ((𝑦 + 1) − (1 + 1)))
82		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
83		1cnd 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
84	82, 83, 83	pnpcan2d 11685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − (1 + 1)) = (𝑦 − 1))
85	81, 84	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − 2) = (𝑦 − 1))
86	78, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑦 + 1) − 2) = (𝑦 − 1))
87	75, 86	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) = (𝑦 − 1))
88	77	lem1d 12228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑦 − 1) ≤ 𝑦)
89	87, 88	eqbrtrd 5188	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) ≤ 𝑦)
90	71, 72, 73, 89	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) ≤ 𝑦)
91		breq1 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 2) → (𝑘 ≤ 𝑦 ↔ (𝑚 − 2) ≤ 𝑦))
92		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 2) → (𝐼‘𝑘) = (𝐼‘(𝑚 − 2)))
93	92	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 2) → ((𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+ ↔ (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+))
94	91, 93	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 2) → ((𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+) ↔ ((𝑚 − 2) ≤ 𝑦 → (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+)))
95	94	rspccva 3634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+) ∧ (𝑚 − 2) ∈ ℕ0) → ((𝑚 − 2) ≤ 𝑦 → (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+))
96	70, 90, 95	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+)
97	60, 96	rpmulcld 13115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2))) ∈ ℝ+)
98	44, 97	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
99	98	adantllr 718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
100	99	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
101		simplll 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
102		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
103		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
104		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
105		nn0p1nn 12592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
106	105	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
107	104, 106	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
108		elnnuz 12947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘1))
109	107, 108	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘1))
110		uzp1 12944	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))))
111		1p1e2 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 1) = 2
112	111	fveq2i 6923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℤ≥‘(1 + 1)) = (ℤ≥‘2)
113	112	eleq2i 2836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2))
114	113	orbi2i 911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) ↔ (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)))
115	110, 114	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)))
116	109, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)))
117	101, 102, 103, 116	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)))
118	42, 100, 117	mpjaod 859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
119	118	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
120	119	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 = (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
121		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
122		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ≤ (𝑦 + 1))
123		simpl1 1191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
124		simpl2 1192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
125		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 < (𝑦 + 1))
126		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚 = 0)
127		nn0ge0 12578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑦)
128	127	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = 0) → 0 ≤ 𝑦)
129	126, 128	eqbrtrd 5188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚 ≤ 𝑦)
130	129	3ad2antl1 1185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚 ≤ 𝑦)
131		simpl1 1191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
132		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
133		simpl3 1193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 < (𝑦 + 1))
134		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 < (𝑦 + 1))
135		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
136		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
137		0red 11293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
138	48	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
139	76	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
140		nnm1ge0 12711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑚 − 1))
141	140	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 0 ≤ (𝑚 − 1))
142	46	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℝ)
143		1red 11291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
144	142, 143, 139	ltsubaddd 11886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → ((𝑚 − 1) < 𝑦 ↔ 𝑚 < (𝑦 + 1)))
145	134, 144	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 − 1) < 𝑦)
146	137, 138, 139, 141, 145	lelttrd 11448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 0 < 𝑦)
147	146	gt0ne0d 11854	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ≠ 0)
148		elnnne0 12567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ≠ 0))
149	136, 147, 148	sylanbrc 582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ)
150		nnleltp1 12698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑚 ≤ 𝑦 ↔ 𝑚 < (𝑦 + 1)))
151	135, 149, 150	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ↔ 𝑚 < (𝑦 + 1)))
152	134, 151	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ≤ 𝑦)
153	131, 132, 133, 152	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≤ 𝑦)
154		elnn0 12555	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
155	154	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
156	155	orcomd 870	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 = 0 ∨ 𝑚 ∈ ℕ))
157	156	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 0 ∨ 𝑚 ∈ ℕ))
158	130, 153, 157	mpjaodan 959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ≤ 𝑦)
159	158	orcd 872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
160	123, 124, 125, 159	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
161		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
162	161	olcd 873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
163		simp3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ≤ (𝑦 + 1))
164	16	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℝ)
165	76	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
166		1red 11291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
167	165, 166	readdcld 11319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
168	164, 167	leloed 11433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) ↔ (𝑚 < (𝑦 + 1) ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1))))
169	163, 168	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 < (𝑦 + 1) ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
170	160, 162, 169	mpjaodan 959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
171	121, 34, 122, 170	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
172	36, 120, 171	mpjaod 859	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
173	172	exp31 419	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) → (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
174	32, 173	ralrimi 3263	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
175	174	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
176	3, 6, 9, 12, 29, 175	nn0ind 12738	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
177	176	ancri 549	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
178		nn0re 12562	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
179	178	leidd 11856	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ 𝑁)
180		breq1 5169	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ 𝑁))
181		fveq2 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐼‘𝑚) = (𝐼‘𝑁))
182	181	eleq1d 2829	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+ ↔ (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+))
183	180, 182	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑁 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+)))
184	183	rspccva 3634	. 2 ⊢ ((∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+))
185	177, 179, 184	sylc 65	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  ℕ₀cn0 12553  ℤ_≥cuz 12903  ℝ⁺crp 13057  (,)cioo 13407  ↑cexp 14112  sincsin 16111  πcpi 16114  ∫citg 25672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cc 10504  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-symdif 4272  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-cmp 23416  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-ovol 25518  df-vol 25519  df-mbf 25673  df-itg1 25674  df-itg2 25675  df-ibl 25676  df-itg 25677  df-0p 25724  df-limc 25921  df-dv 25922

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