Theorem wallispilem3 47078

Description: I maps to real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
wallispilem3.1	⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)

Assertion

Ref	Expression
wallispilem3	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥, 𝑛)   𝑁(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem wallispilem3

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝑚 ≤ 𝑤 ↔ 𝑚 ≤ 0))
2	1	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚 ≤ 0 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
3	2	ralbidv 3186	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 0 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 0 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
4		breq2 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑚 ≤ 𝑤 ↔ 𝑚 ≤ 𝑦))
5	4	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
6	5	ralbidv 3186	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
7		breq2 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 + 1) → (𝑚 ≤ 𝑤 ↔ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)))
8	7	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 + 1) → ((𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
9	8	ralbidv 3186	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 + 1) → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
10		breq2 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝑚 ≤ 𝑤 ↔ 𝑚 ≤ 𝑁))
11	10	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
12	11	ralbidv 3186	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑤 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
13		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 𝑚 ≤ 0)
14		nn0ge0 12632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑚)
15	14	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 0 ≤ 𝑚)
16		nn0re 12616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 𝑚 ∈ ℝ)
18		0red 11312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
19	17, 18	letri3d 11453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → (𝑚 = 0 ↔ (𝑚 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑚)))
20	13, 15, 19	mpbir2and 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → 𝑚 = 0)
21	20	fveq2d 6890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → (𝐼‘𝑚) = (𝐼‘0))
22		wallispilem3.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
23	22	wallispilem2 47077	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘0) = π ∧ (𝐼‘1) = 2 ∧ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼‘𝑚) = (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2)))))
24	23	simp1i 1157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼‘0) = π
25		pirp 26791	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ+
26	24, 25	eqeltri 2857	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼‘0) ∈ ℝ+
27	21, 26	eqeltrdi 2869	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ 0) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
28	27	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ≤ 0 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
29	28	rgen 3079	. . . 4 ⊢ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 0 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
30		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑦 ∈ ℕ0
31		nfra1 3287	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
32	30, 31	nfan 1932	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
33		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
34		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
35		rsp 3251	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) → (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
36	33, 34, 35	sylc 66	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
37		fveq2 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝐼‘𝑚) = (𝐼‘1))
38	23	simp2i 1158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼‘1) = 2
39		2rp 13126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ+
40	38, 39	eqeltri 2857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼‘1) ∈ ℝ+
41	37, 40	eqeltrdi 2869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 1 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
43	23	simp3i 1159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼‘𝑚) = (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2))))
44	43	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼‘𝑚) = (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2))))
45		eluz2nn 13016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑚 ∈ ℕ)
46		nnre 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
47		1red 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
48	46, 47	resubcld 11745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
49	45, 48	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
50		1m1e0 12416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 − 1) = 0
51		1red 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
52		eluzelre 12977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑚 ∈ ℝ)
53		eluz2b2 13049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑚))
54	53	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑚)
55	51, 52, 51, 54	ltsub1dd 11929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 − 1) < (𝑚 − 1))
56	50, 55	eqbrtrrid 5141	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (𝑚 − 1))
57	49, 56	elrpd 13162	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑚 − 1) ∈ ℝ+)
58	45	nnrpd 13163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑚 ∈ ℝ+)
59	57, 58	rpdivcld 13182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑚 − 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
60	59	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑚 − 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
61		breq1 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 ≤ 𝑦 ↔ 𝑘 ≤ 𝑦))
62		fveq2 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐼‘𝑚) = (𝐼‘𝑘))
63	62	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+ ↔ (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+))
64	61, 63	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+)))
65	64	cbvralvw 3241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+))
66	65	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+))
67	66	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+))
68		uznn0sub 13001	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑚 − 2) ∈ ℕ0)
69	68	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) ∈ ℕ0)
70	67, 69	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+) ∧ (𝑚 − 2) ∈ ℕ0))
71		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
72		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
73		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2))
74		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
75	74	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) = ((𝑦 + 1) − 2))
76		nn0re 12616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℝ)
77	76	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
78	77	recnd 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
79		df-2 12406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 = (1 + 1)
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 2 = (1 + 1))
81	80	oveq2d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − 2) = ((𝑦 + 1) − (1 + 1)))
82		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
83		1cnd 11303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
84	82, 83, 83	pnpcan2d 11708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − (1 + 1)) = (𝑦 − 1))
85	81, 84	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − 2) = (𝑦 − 1))
86	78, 85	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑦 + 1) − 2) = (𝑦 − 1))
87	75, 86	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) = (𝑦 − 1))
88	77	lem1d 12251	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑦 − 1) ≤ 𝑦)
89	87, 88	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) ≤ 𝑦)
90	71, 72, 73, 89	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑚 − 2) ≤ 𝑦)
91		breq1 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 2) → (𝑘 ≤ 𝑦 ↔ (𝑚 − 2) ≤ 𝑦))
92		fveq2 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 2) → (𝐼‘𝑘) = (𝐼‘(𝑚 − 2)))
93	92	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 2) → ((𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+ ↔ (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+))
94	91, 93	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (𝑚 − 2) → ((𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+) ↔ ((𝑚 − 2) ≤ 𝑦 → (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+)))
95	94	rspccva 3576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ+) ∧ (𝑚 − 2) ∈ ℕ0) → ((𝑚 − 2) ≤ 𝑦 → (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+))
96	70, 90, 95	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+)
97	60, 96	rpmulcld 13181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2))) ∈ ℝ+)
98	44, 97	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
99	98	adantllr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
100	99	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
101		simplll 787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
102		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
103		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
104		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
105		nn0p1nn 12646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
106	105	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
107	104, 106	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
108		elnnuz 13006	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘1))
109	107, 108	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘1))
110		uzp1 13003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))))
111		1p1e2 12467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 1) = 2
112	111	fveq2i 6889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℤ≥‘(1 + 1)) = (ℤ≥‘2)
113	112	eleq2i 2853	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2))
114	113	orbi2i 926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) ↔ (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)))
115	110, 114	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)))
116	109, 115	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)))
117	101, 102, 103, 116	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘2)))
118	42, 100, 117	mpjaod 874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
119	118	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
120	119	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 = (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
121		simplll 787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
122		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ≤ (𝑦 + 1))
123		simpl1 1210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
124		simpl2 1211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
125		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 < (𝑦 + 1))
126		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚 = 0)
127		nn0ge0 12632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑦)
128	127	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = 0) → 0 ≤ 𝑦)
129	126, 128	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚 ≤ 𝑦)
130	129	3ad2antl1 1204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚 ≤ 𝑦)
131		simpl1 1210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
132		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
133		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 < (𝑦 + 1))
134		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 < (𝑦 + 1))
135		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
136		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
137		0red 11312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
138	48	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
139	76	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
140		nnm1ge0 12768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑚 − 1))
141	140	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 0 ≤ (𝑚 − 1))
142	46	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℝ)
143		1red 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
144	142, 143, 139	ltsubaddd 11913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → ((𝑚 − 1) < 𝑦 ↔ 𝑚 < (𝑦 + 1)))
145	134, 144	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 − 1) < 𝑦)
146	137, 138, 139, 141, 145	lelttrd 11469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 0 < 𝑦)
147	146	gt0ne0d 11881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ≠ 0)
148		elnnne0 12621	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ≠ 0))
149	136, 147, 148	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ)
150		nnleltp1 12755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑚 ≤ 𝑦 ↔ 𝑚 < (𝑦 + 1)))
151	135, 149, 150	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ↔ 𝑚 < (𝑦 + 1)))
152	134, 151	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ≤ 𝑦)
153	131, 132, 133, 152	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≤ 𝑦)
154		elnn0 12609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
155	154	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
156	155	orcomd 885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 = 0 ∨ 𝑚 ∈ ℕ))
157	156	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 0 ∨ 𝑚 ∈ ℕ))
158	130, 153, 157	mpjaodan 973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ≤ 𝑦)
159	158	orcd 887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
160	123, 124, 125, 159	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
161		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
162	161	olcd 888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
163		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ≤ (𝑦 + 1))
164	16	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℝ)
165	76	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
166		1red 11310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
167	165, 166	readdcld 11339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
168	164, 167	leloed 11454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) ↔ (𝑚 < (𝑦 + 1) ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1))))
169	163, 168	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 < (𝑦 + 1) ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
170	160, 162, 169	mpjaodan 973	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
171	121, 34, 122, 170	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ 𝑦 ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
172	36, 120, 171	mpjaod 874	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)
173	172	exp31 425	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) → (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
174	32, 173	ralrimi 3261	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
175	174	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑦 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+)))
176	3, 6, 9, 12, 29, 175	nn0ind 12795	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+))
177	176	ancri 559	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
178		nn0re 12616	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
179	178	leidd 11883	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ 𝑁)
180		breq1 5106	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ 𝑁))
181		fveq2 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐼‘𝑚) = (𝐼‘𝑁))
182	181	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+ ↔ (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+))
183	180, 182	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑁 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+)))
184	183	rspccva 3576	. 2 ⊢ ((∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑚) ∈ ℝ+) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑁 → (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+))
185	177, 179, 184	sylc 66	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼‘𝑁) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11199  ℝcr 11200  0cc0 11201  1c1 11202   + caddc 11204   · cmul 11206   < clt 11344   ≤ cle 11345   − cmin 11542   / cdiv 11974  ℕcn 12336  2c2 12398  ℕ₀cn0 12607  ℤ_≥cuz 12966  ℝ⁺crp 13121  (,)cioo 13477  ↑cexp 14205  sincsin 16230  πcpi 16233  ∫citg 25940

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-inf2 9643  ax-cc 10514  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279  ax-addf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-symdif 4199  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-ofr 7695  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8179  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-oadd 8481  df-omul 8482  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-fi 9404  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-dju 9983  df-card 10021  df-acn 10024  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-xneg 13242  df-xadd 13243  df-xmul 13244  df-ioo 13481  df-ioc 13482  df-ico 13483  df-icc 13484  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-mod 14011  df-seq 14146  df-exp 14206  df-fac 14419  df-bc 14448  df-hash 14476  df-shft 15221  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-limsup 15639  df-clim 15656  df-rlim 15657  df-sum 15855  df-ef 16234  df-sin 16236  df-cos 16237  df-pi 16239  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-starv 17444  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-unif 17452  df-hom 17453  df-cco 17454  df-rest 17594  df-topn 17595  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-topgen 17615  df-pt 17616  df-prds 17619  df-xrs 17675  df-qtop 17680  df-imas 17681  df-xps 17683  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-mulg 19279  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-psmet 21671  df-xmet 21672  df-met 21673  df-bl 21674  df-mopn 21675  df-fbas 21676  df-fg 21677  df-cnfld 21680  df-top 23213  df-topon 23230  df-topsp 23252  df-bases 23265  df-cld 23338  df-ntr 23339  df-cls 23340  df-nei 23417  df-lp 23455  df-perf 23456  df-cn 23546  df-cnp 23547  df-haus 23634  df-cmp 23706  df-tx 23882  df-hmeo 24075  df-fil 24166  df-fm 24258  df-flim 24259  df-flf 24260  df-xms 24640  df-ms 24641  df-tms 24642  df-cncf 25200  df-ovol 25786  df-vol 25787  df-mbf 25941  df-itg1 25942  df-itg2 25943  df-ibl 25944  df-itg 25945  df-0p 25992  df-limc 26187  df-dv 26188

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