Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plydivex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plydivex 24992
 Description: Lemma for plydivalg 24994. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r 𝑅 = (𝐹f − (𝐺f · 𝑞))
Assertion
Ref Expression
plydivex (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑞,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝐺,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑞,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑞)

Proof of Theorem plydivex
Dummy variables 𝑧 𝑓 𝑑 𝑝 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 dgrcl 24929 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
43nn0red 11995 . . . 4 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℝ)
5 plydiv.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
6 dgrcl 24929 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
87nn0red 11995 . . . 4 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
94, 8resubcld 11106 . . 3 (𝜑 → ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) ∈ ℝ)
10 arch 11931 . . 3 (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) ∈ ℝ → ∃𝑑 ∈ ℕ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)
119, 10syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℕ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)
12 olc 865 . . . 4 (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
13 eqeq1 2762 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 = 0𝑝𝐹 = 0𝑝))
14 fveq2 6658 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 → (deg‘𝑓) = (deg‘𝐹))
1514oveq1d 7165 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)))
1615breq1d 5042 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ↔ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
1713, 16orbi12d 916 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ↔ (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)))
18 oveq1 7157 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = (𝐹f − (𝐺f · 𝑞)))
19 plydiv.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (𝐹f − (𝐺f · 𝑞))
2018, 19eqtr4di 2811 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 𝑅)
2120eqeq1d 2760 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝𝑅 = 0𝑝))
2220fveq2d 6662 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 → (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) = (deg‘𝑅))
2322breq1d 5042 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → ((deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
2421, 23orbi12d 916 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
2524rexbidv 3221 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
2617, 25imbi12d 348 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))))
27 nnnn0 11941 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℕ0)
28 breq2 5036 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))
2928orbi2d 913 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0)))
3029imbi1d 345 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
3130ralbidv 3126 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
3231imbi2d 344 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
33 breq2 5036 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑑 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
3433orbi2d 913 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑑 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)))
3534imbi1d 345 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑑 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
3635ralbidv 3126 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑑 → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
3736imbi2d 344 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑑 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
38 breq2 5036 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑑 + 1) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)))
3938orbi2d 913 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑑 + 1) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1))))
4039imbi1d 345 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑑 + 1) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
4140ralbidv 3126 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑑 + 1) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
4241imbi2d 344 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑑 + 1) → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
43 plydiv.pl . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
4443adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
45 plydiv.tm . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
4645adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
47 plydiv.rc . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
4847adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
49 plydiv.m1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
5049adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → -1 ∈ 𝑆)
51 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆))
525adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
53 plydiv.z . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
5453adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
55 eqid 2758 . . . . . . . . . . 11 (𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = (𝑓f − (𝐺f · 𝑞))
56 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))
5744, 46, 48, 50, 51, 52, 54, 55, 56plydivlem3 24990 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
5857expr 460 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
5958ralrimiva 3113 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
60 eqeq1 2762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 = 0𝑝𝑔 = 0𝑝))
61 fveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = 𝑔 → (deg‘𝑓) = (deg‘𝑔))
6261oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = 𝑔 → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)))
6362breq1d 5042 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = 𝑔 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ↔ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
6460, 63orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ↔ (𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)))
65 oveq1 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = (𝑔f − (𝐺f · 𝑞)))
6665eqeq1d 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ (𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝))
6765fveq2d 6662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = 𝑔 → (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) = (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))))
6867breq1d 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = 𝑔 → ((deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
6966, 68orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
7069rexbidv 3221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝑔 → (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
7164, 70imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
7271cbvralvw 3361 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
73 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝜑)
7473, 43sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
7573, 45sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
7673, 47sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
7773, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → -1 ∈ 𝑆)
78 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆))
7973, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
8073, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
81 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
82 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)
83 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝑓 ≠ 0𝑝)
84 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔f − (𝐺f · 𝑝)) = (𝑔f − (𝐺f · 𝑝))
85 oveq1 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝑑) = (𝑧𝑑))
8685oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑧 → ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑤𝑑)) = ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑧𝑑)))
8786cbvmptv 5135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑤𝑑))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑧𝑑)))
88 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
89 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞 = 𝑝 → (𝐺f · 𝑞) = (𝐺f · 𝑝))
9089oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 = 𝑝 → (𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = (𝑔f − (𝐺f · 𝑝)))
9190eqeq1d 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ (𝑔f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝))
9290fveq2d 6662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 = 𝑝 → (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) = (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑝))))
9392breq1d 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 = 𝑝 → ((deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
9491, 93orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 = 𝑝 → (((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝑔f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
9594cbvrexvw 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
9695imbi2i 339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
9796ralbii 3097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
9888, 97sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
99 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (coeff‘𝑓) = (coeff‘𝑓)
100 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (coeff‘𝐺) = (coeff‘𝐺)
101 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (deg‘𝑓) = (deg‘𝑓)
102 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (deg‘𝐺) = (deg‘𝐺)
10374, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 55, 81, 82, 83, 84, 87, 98, 99, 100, 101, 102plydivlem4 24991 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
104103exp32 424 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
105104ralrimdva 3118 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
10672, 105syl5bi 245 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
107106ancld 554 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
108 dgrcl 24929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑓) ∈ ℕ0)
109108adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝑓) ∈ ℕ0)
110109nn0zd 12124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝑓) ∈ ℤ)
1115ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
112111, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
113112nn0zd 12124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐺) ∈ ℤ)
114110, 113zsubcld 12131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ∈ ℤ)
115 nn0z 12044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℤ)
116115ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑑 ∈ ℤ)
117 zleltp1 12072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ≤ 𝑑 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)))
118114, 116, 117syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ≤ 𝑑 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)))
119114zred 12126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ∈ ℝ)
120 nn0re 11943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℝ)
121120ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑑 ∈ ℝ)
122119, 121leloed 10821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ≤ 𝑑 ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
123118, 122bitr3d 284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
124123orbi2d 913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
125 pm5.63 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (¬ 𝑓 = 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
126 df-ne 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ≠ 0𝑝 ↔ ¬ 𝑓 = 0𝑝)
127126anbi1i 626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) ↔ (¬ 𝑓 = 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))
128127orbi2i 910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (¬ 𝑓 = 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
129125, 128bitr4i 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
130129orbi2i 910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
131 or12 918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
132 or12 918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
133130, 131, 1323bitr4i 306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
134 orass 919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
135133, 134bitr4i 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
136124, 135bitrdi 290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
137136imbi1d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
138 jaob 959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
139137, 138bitrdi 290 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
140139ralbidva 3125 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
141 r19.26 3101 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
142140, 141bitrdi 290 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
143107, 142sylibrd 262 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
144143expcom 417 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
145144a2d 29 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
14632, 37, 42, 37, 59, 145nn0ind 12116 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
14727, 146syl 17 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℕ → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
148147impcom 411 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
1491adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
15026, 148, 149rspcdva 3543 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ((𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
15112, 150syl5 34 . . 3 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
152151rexlimdva 3208 . 2 (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℕ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
15311, 152mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ∘f cof 7403  ℂcc 10573  ℝcr 10574  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   · cmul 10580   < clt 10713   ≤ cle 10714   − cmin 10908  -cneg 10909   / cdiv 11335  ℕcn 11674  ℕ0cn0 11934  ℤcz 12020  ↑cexp 13479  0𝑝c0p 24369  Polycply 24880  coeffccoe 24882  degcdgr 24883 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-clim 14893  df-rlim 14894  df-sum 15091  df-0p 24370  df-ply 24884  df-coe 24886  df-dgr 24887 This theorem is referenced by:  plydivalg  24994
 Copyright terms: Public domain W3C validator