MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plydivex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plydivex 24801
Description: Lemma for plydivalg 24803. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r 𝑅 = (𝐹f − (𝐺f · 𝑞))
Assertion
Ref Expression
plydivex (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑞,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝐺,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑞,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑞)

Proof of Theorem plydivex
Dummy variables 𝑧 𝑓 𝑑 𝑝 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 dgrcl 24738 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
43nn0red 11945 . . . 4 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℝ)
5 plydiv.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
6 dgrcl 24738 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
87nn0red 11945 . . . 4 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
94, 8resubcld 11057 . . 3 (𝜑 → ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) ∈ ℝ)
10 arch 11883 . . 3 (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) ∈ ℝ → ∃𝑑 ∈ ℕ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)
119, 10syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℕ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)
12 olc 864 . . . 4 (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
13 eqeq1 2830 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 = 0𝑝𝐹 = 0𝑝))
14 fveq2 6667 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 → (deg‘𝑓) = (deg‘𝐹))
1514oveq1d 7163 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)))
1615breq1d 5073 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ↔ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
1713, 16orbi12d 914 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ↔ (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)))
18 oveq1 7155 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = (𝐹f − (𝐺f · 𝑞)))
19 plydiv.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (𝐹f − (𝐺f · 𝑞))
2018, 19syl6eqr 2879 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 𝑅)
2120eqeq1d 2828 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝𝑅 = 0𝑝))
2220fveq2d 6671 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 → (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) = (deg‘𝑅))
2322breq1d 5073 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → ((deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
2421, 23orbi12d 914 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
2524rexbidv 3302 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
2617, 25imbi12d 346 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))))
27 nnnn0 11893 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℕ0)
28 breq2 5067 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))
2928orbi2d 911 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0)))
3029imbi1d 343 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
3130ralbidv 3202 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
3231imbi2d 342 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
33 breq2 5067 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑑 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
3433orbi2d 911 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑑 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)))
3534imbi1d 343 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑑 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
3635ralbidv 3202 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑑 → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
3736imbi2d 342 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑑 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
38 breq2 5067 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑑 + 1) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)))
3938orbi2d 911 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑑 + 1) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1))))
4039imbi1d 343 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑑 + 1) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
4140ralbidv 3202 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑑 + 1) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
4241imbi2d 342 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑑 + 1) → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
43 plydiv.pl . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
4443adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
45 plydiv.tm . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
4645adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
47 plydiv.rc . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
4847adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
49 plydiv.m1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
5049adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → -1 ∈ 𝑆)
51 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆))
525adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
53 plydiv.z . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
5453adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
55 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = (𝑓f − (𝐺f · 𝑞))
56 simprr 769 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))
5744, 46, 48, 50, 51, 52, 54, 55, 56plydivlem3 24799 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
5857expr 457 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
5958ralrimiva 3187 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
60 eqeq1 2830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 = 0𝑝𝑔 = 0𝑝))
61 fveq2 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = 𝑔 → (deg‘𝑓) = (deg‘𝑔))
6261oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = 𝑔 → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)))
6362breq1d 5073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = 𝑔 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ↔ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
6460, 63orbi12d 914 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ↔ (𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)))
65 oveq1 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = (𝑔f − (𝐺f · 𝑞)))
6665eqeq1d 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ (𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝))
6765fveq2d 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = 𝑔 → (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) = (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))))
6867breq1d 5073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = 𝑔 → ((deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
6966, 68orbi12d 914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
7069rexbidv 3302 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝑔 → (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
7164, 70imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
7271cbvralv 3458 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
73 simplll 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝜑)
7473, 43sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
7573, 45sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
7673, 47sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
7773, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → -1 ∈ 𝑆)
78 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆))
7973, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
8073, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
81 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
82 simprrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)
83 simprrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝑓 ≠ 0𝑝)
84 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔f − (𝐺f · 𝑝)) = (𝑔f − (𝐺f · 𝑝))
85 oveq1 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝑑) = (𝑧𝑑))
8685oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑧 → ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑤𝑑)) = ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑧𝑑)))
8786cbvmptv 5166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑤𝑑))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑧𝑑)))
88 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
89 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞 = 𝑝 → (𝐺f · 𝑞) = (𝐺f · 𝑝))
9089oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 = 𝑝 → (𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = (𝑔f − (𝐺f · 𝑝)))
9190eqeq1d 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ (𝑔f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝))
9290fveq2d 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 = 𝑝 → (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) = (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑝))))
9392breq1d 5073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 = 𝑝 → ((deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
9491, 93orbi12d 914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 = 𝑝 → (((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝑔f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
9594cbvrexv 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
9695imbi2i 337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
9796ralbii 3170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
9888, 97sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
99 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (coeff‘𝑓) = (coeff‘𝑓)
100 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (coeff‘𝐺) = (coeff‘𝐺)
101 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (deg‘𝑓) = (deg‘𝑓)
102 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (deg‘𝐺) = (deg‘𝐺)
10374, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 55, 81, 82, 83, 84, 87, 98, 99, 100, 101, 102plydivlem4 24800 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
104103exp32 421 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
105104ralrimdva 3194 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
10672, 105syl5bi 243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
107106ancld 551 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
108 dgrcl 24738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑓) ∈ ℕ0)
109108adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝑓) ∈ ℕ0)
110109nn0zd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝑓) ∈ ℤ)
1115ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
112111, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
113112nn0zd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐺) ∈ ℤ)
114110, 113zsubcld 12081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ∈ ℤ)
115 nn0z 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℤ)
116115ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑑 ∈ ℤ)
117 zleltp1 12022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ≤ 𝑑 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)))
118114, 116, 117syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ≤ 𝑑 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)))
119114zred 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ∈ ℝ)
120 nn0re 11895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℝ)
121120ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑑 ∈ ℝ)
122119, 121leloed 10772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ≤ 𝑑 ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
123118, 122bitr3d 282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
124123orbi2d 911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
125 pm5.63 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (¬ 𝑓 = 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
126 df-ne 3022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ≠ 0𝑝 ↔ ¬ 𝑓 = 0𝑝)
127126anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) ↔ (¬ 𝑓 = 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))
128127orbi2i 908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (¬ 𝑓 = 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
129125, 128bitr4i 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
130129orbi2i 908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
131 or12 916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
132 or12 916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
133130, 131, 1323bitr4i 304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
134 orass 917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
135133, 134bitr4i 279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
136124, 135syl6bb 288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
137136imbi1d 343 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
138 jaob 957 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
139137, 138syl6bb 288 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
140139ralbidva 3201 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
141 r19.26 3175 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
142140, 141syl6bb 288 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
143107, 142sylibrd 260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
144143expcom 414 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
145144a2d 29 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
14632, 37, 42, 37, 59, 145nn0ind 12066 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
14727, 146syl 17 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℕ → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
148147impcom 408 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓f − (𝐺f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓f − (𝐺f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
1491adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
15026, 148, 149rspcdva 3629 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ((𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
15112, 150syl5 34 . . 3 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
152151rexlimdva 3289 . 2 (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℕ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
15311, 152mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  wrex 3144   class class class wbr 5063  cmpt 5143  cfv 6352  (class class class)co 7148  f cof 7397  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  cn 11627  0cn0 11886  cz 11970  cexp 13419  0𝑝c0p 24185  Polycply 24689  coeffccoe 24691  degcdgr 24692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-0p 24186  df-ply 24693  df-coe 24695  df-dgr 24696
This theorem is referenced by:  plydivalg  24803
  Copyright terms: Public domain W3C validator