Theorem plydivex 25657

Description: Lemma for plydivalg 25659. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))

Assertion

Ref	Expression
plydivex	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑞,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝐺,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑞,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑞)

Proof of Theorem plydivex

Dummy variables 𝑧 𝑓 𝑑 𝑝 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plydiv.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		dgrcl 25594	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 12474	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℝ)
5		plydiv.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
6		dgrcl 25594	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 12474	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
9	4, 8	resubcld 11583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) ∈ ℝ)
10		arch 12410	. . 3 ⊢ (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) ∈ ℝ → ∃𝑑 ∈ ℕ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℕ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)
12		olc 866	. . . 4 ⊢ (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
13		eqeq1 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 = 0𝑝 ↔ 𝐹 = 0𝑝))
14		fveq2 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (deg‘𝑓) = (deg‘𝐹))
15	14	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)))
16	15	breq1d 5115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ↔ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
17	13, 16	orbi12d 917	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ↔ (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)))
18		oveq1 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)))
19		plydiv.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
20	18, 19	eqtr4di 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 𝑅)
21	20	eqeq1d 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ 𝑅 = 0𝑝))
22	20	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) = (deg‘𝑅))
23	22	breq1d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
24	21, 23	orbi12d 917	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
25	24	rexbidv 3175	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
26	17, 25	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))))
27		nnnn0 12420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℕ0)
28		breq2 5109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))
29	28	orbi2d 914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0)))
30	29	imbi1d 341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
31	30	ralbidv 3174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
32	31	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
33		breq2 5109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
34	33	orbi2d 914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)))
35	34	imbi1d 341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
36	35	ralbidv 3174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
37	36	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
38		breq2 5109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑑 + 1) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)))
39	38	orbi2d 914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑑 + 1) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1))))
40	39	imbi1d 341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑑 + 1) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
41	40	ralbidv 3174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑑 + 1) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
42	41	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑑 + 1) → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
43		plydiv.pl	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
44	43	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
45		plydiv.tm	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
46	45	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
47		plydiv.rc	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
48	47	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
49		plydiv.m1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → -1 ∈ 𝑆)
51		simprl 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆))
52	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
53		plydiv.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
55		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
56		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))
57	44, 46, 48, 50, 51, 52, 54, 55, 56	plydivlem3 25655	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
58	57	expr 457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
59	58	ralrimiva 3143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
60		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 = 0𝑝 ↔ 𝑔 = 0𝑝))
61		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (deg‘𝑓) = (deg‘𝑔))
62	61	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)))
63	62	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ↔ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
64	60, 63	orbi12d 917	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ↔ (𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)))
65		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)))
66	65	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ (𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝))
67	65	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) = (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))))
68	67	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
69	66, 68	orbi12d 917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
70	69	rexbidv 3175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
71	64, 70	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
72	71	cbvralvw 3225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
73		simplll 773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝜑)
74	73, 43	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
75	73, 45	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
76	73, 47	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
77	73, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → -1 ∈ 𝑆)
78		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆))
79	73, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
80	73, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
81		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
82		simprrr 780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)
83		simprrl 779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝑓 ≠ 0𝑝)
84		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = (𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))
85		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤↑𝑑) = (𝑧↑𝑑))
86	85	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑤↑𝑑)) = ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑧↑𝑑)))
87	86	cbvmptv 5218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑤↑𝑑))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑧↑𝑑)))
88		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
89		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝐺 ∘f · 𝑞) = (𝐺 ∘f · 𝑝))
90	89	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)))
91	90	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ (𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝))
92	90	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) = (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))))
93	92	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
94	91, 93	orbi12d 917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
95	94	cbvrexvw 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
96	95	imbi2i 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
97	96	ralbii 3096	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
98	88, 97	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
99		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (coeff‘𝑓) = (coeff‘𝑓)
100		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (coeff‘𝐺) = (coeff‘𝐺)
101		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (deg‘𝑓) = (deg‘𝑓)
102		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (deg‘𝐺) = (deg‘𝐺)
103	74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 55, 81, 82, 83, 84, 87, 98, 99, 100, 101, 102	plydivlem4 25656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
104	103	exp32 421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
105	104	ralrimdva 3151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
106	72, 105	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
107	106	ancld 551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
108		dgrcl 25594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑓) ∈ ℕ0)
109	108	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝑓) ∈ ℕ0)
110	109	nn0zd 12525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝑓) ∈ ℤ)
111	5	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
112	111, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
113	112	nn0zd 12525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐺) ∈ ℤ)
114	110, 113	zsubcld 12612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ∈ ℤ)
115		nn0z 12524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → 𝑑 ∈ ℤ)
116	115	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑑 ∈ ℤ)
117		zleltp1 12554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ≤ 𝑑 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)))
118	114, 116, 117	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ≤ 𝑑 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)))
119	114	zred 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ∈ ℝ)
120		nn0re 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → 𝑑 ∈ ℝ)
121	120	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑑 ∈ ℝ)
122	119, 121	leloed 11298	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ≤ 𝑑 ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
123	118, 122	bitr3d 280	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
124	123	orbi2d 914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
125		pm5.63 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (¬ 𝑓 = 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
126		df-ne 2944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 ≠ 0𝑝 ↔ ¬ 𝑓 = 0𝑝)
127	126	anbi1i 624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) ↔ (¬ 𝑓 = 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))
128	127	orbi2i 911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (¬ 𝑓 = 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
129	125, 128	bitr4i 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
130	129	orbi2i 911	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
131		or12 919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
132		or12 919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
133	130, 131, 132	3bitr4i 302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
134		orass 920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
135	133, 134	bitr4i 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
136	124, 135	bitrdi 286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
137	136	imbi1d 341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
138		jaob 960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
139	137, 138	bitrdi 286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
140	139	ralbidva 3172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
141		r19.26 3114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
142	140, 141	bitrdi 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
143	107, 142	sylibrd 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
144	143	expcom 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
145	144	a2d 29	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
146	32, 37, 42, 37, 59, 145	nn0ind 12598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
147	27, 146	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
148	147	impcom 408	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
149	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
150	26, 148, 149	rspcdva 3582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ((𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
151	12, 150	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
152	151	rexlimdva 3152	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℕ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
153	11, 152	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∘_f cof 7615  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ↑cexp 13967  0_𝑝c0p 25033  Polycply 25545  coeffccoe 25547  degcdgr 25548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-0p 25034  df-ply 25549  df-coe 25551  df-dgr 25552

This theorem is referenced by:  plydivalg  25659