Theorem plydivex 25810

Description: Lemma for plydivalg 25812. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))

Assertion

Ref	Expression
plydivex	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑞,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝐺,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑞,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑞)

Proof of Theorem plydivex

Dummy variables 𝑧 𝑓 𝑑 𝑝 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plydiv.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		dgrcl 25747	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 12533	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℝ)
5		plydiv.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
6		dgrcl 25747	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 12533	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
9	4, 8	resubcld 11642	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) ∈ ℝ)
10		arch 12469	. . 3 ⊢ (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) ∈ ℝ → ∃𝑑 ∈ ℕ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℕ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)
12		olc 867	. . . 4 ⊢ (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
13		eqeq1 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 = 0𝑝 ↔ 𝐹 = 0𝑝))
14		fveq2 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (deg‘𝑓) = (deg‘𝐹))
15	14	oveq1d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)))
16	15	breq1d 5159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ↔ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
17	13, 16	orbi12d 918	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ↔ (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)))
18		oveq1 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)))
19		plydiv.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
20	18, 19	eqtr4di 2791	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 𝑅)
21	20	eqeq1d 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ 𝑅 = 0𝑝))
22	20	fveq2d 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) = (deg‘𝑅))
23	22	breq1d 5159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
24	21, 23	orbi12d 918	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
25	24	rexbidv 3179	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
26	17, 25	imbi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))))
27		nnnn0 12479	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℕ0)
28		breq2 5153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))
29	28	orbi2d 915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0)))
30	29	imbi1d 342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
31	30	ralbidv 3178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
32	31	imbi2d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
33		breq2 5153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
34	33	orbi2d 915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)))
35	34	imbi1d 342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
36	35	ralbidv 3178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
37	36	imbi2d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
38		breq2 5153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑑 + 1) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)))
39	38	orbi2d 915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑑 + 1) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1))))
40	39	imbi1d 342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑑 + 1) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
41	40	ralbidv 3178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑑 + 1) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
42	41	imbi2d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑑 + 1) → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
43		plydiv.pl	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
44	43	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
45		plydiv.tm	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
46	45	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
47		plydiv.rc	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
48	47	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
49		plydiv.m1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
50	49	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → -1 ∈ 𝑆)
51		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆))
52	5	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
53		plydiv.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
54	53	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
55		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
56		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))
57	44, 46, 48, 50, 51, 52, 54, 55, 56	plydivlem3 25808	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
58	57	expr 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
59	58	ralrimiva 3147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
60		eqeq1 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 = 0𝑝 ↔ 𝑔 = 0𝑝))
61		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (deg‘𝑓) = (deg‘𝑔))
62	61	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)))
63	62	breq1d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ↔ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
64	60, 63	orbi12d 918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ↔ (𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)))
65		oveq1 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)))
66	65	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ (𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝))
67	65	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) = (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))))
68	67	breq1d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
69	66, 68	orbi12d 918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
70	69	rexbidv 3179	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
71	64, 70	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
72	71	cbvralvw 3235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
73		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝜑)
74	73, 43	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
75	73, 45	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
76	73, 47	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
77	73, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → -1 ∈ 𝑆)
78		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆))
79	73, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
80	73, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
81		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
82		simprrr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)
83		simprrl 780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝑓 ≠ 0𝑝)
84		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = (𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))
85		oveq1 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤↑𝑑) = (𝑧↑𝑑))
86	85	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑤↑𝑑)) = ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑧↑𝑑)))
87	86	cbvmptv 5262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑤↑𝑑))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑧↑𝑑)))
88		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
89		oveq2 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝐺 ∘f · 𝑞) = (𝐺 ∘f · 𝑝))
90	89	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)))
91	90	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ (𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝))
92	90	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) = (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))))
93	92	breq1d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
94	91, 93	orbi12d 918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
95	94	cbvrexvw 3236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
96	95	imbi2i 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
97	96	ralbii 3094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
98	88, 97	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
99		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (coeff‘𝑓) = (coeff‘𝑓)
100		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (coeff‘𝐺) = (coeff‘𝐺)
101		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (deg‘𝑓) = (deg‘𝑓)
102		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (deg‘𝐺) = (deg‘𝐺)
103	74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 55, 81, 82, 83, 84, 87, 98, 99, 100, 101, 102	plydivlem4 25809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
104	103	exp32 422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
105	104	ralrimdva 3155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
106	72, 105	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
107	106	ancld 552	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
108		dgrcl 25747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑓) ∈ ℕ0)
109	108	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝑓) ∈ ℕ0)
110	109	nn0zd 12584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝑓) ∈ ℤ)
111	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
112	111, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
113	112	nn0zd 12584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐺) ∈ ℤ)
114	110, 113	zsubcld 12671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ∈ ℤ)
115		nn0z 12583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → 𝑑 ∈ ℤ)
116	115	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑑 ∈ ℤ)
117		zleltp1 12613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ≤ 𝑑 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)))
118	114, 116, 117	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ≤ 𝑑 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)))
119	114	zred 12666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ∈ ℝ)
120		nn0re 12481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → 𝑑 ∈ ℝ)
121	120	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑑 ∈ ℝ)
122	119, 121	leloed 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ≤ 𝑑 ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
123	118, 122	bitr3d 281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
124	123	orbi2d 915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
125		pm5.63 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (¬ 𝑓 = 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
126		df-ne 2942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 ≠ 0𝑝 ↔ ¬ 𝑓 = 0𝑝)
127	126	anbi1i 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) ↔ (¬ 𝑓 = 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))
128	127	orbi2i 912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (¬ 𝑓 = 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
129	125, 128	bitr4i 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
130	129	orbi2i 912	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
131		or12 920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
132		or12 920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
133	130, 131, 132	3bitr4i 303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
134		orass 921	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
135	133, 134	bitr4i 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
136	124, 135	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
137	136	imbi1d 342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
138		jaob 961	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
139	137, 138	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
140	139	ralbidva 3176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
141		r19.26 3112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
142	140, 141	bitrdi 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
143	107, 142	sylibrd 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
144	143	expcom 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
145	144	a2d 29	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
146	32, 37, 42, 37, 59, 145	nn0ind 12657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
147	27, 146	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
148	147	impcom 409	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
149	1	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
150	26, 148, 149	rspcdva 3614	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ((𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
151	12, 150	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
152	151	rexlimdva 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℕ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
153	11, 152	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘_f cof 7668  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   < clt 11248   ≤ cle 11249   − cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12472  ℤcz 12558  ↑cexp 14027  0_𝑝c0p 25186  Polycply 25698  coeffccoe 25700  degcdgr 25701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187  df-ply 25702  df-coe 25704  df-dgr 25705

This theorem is referenced by:  plydivalg  25812