Theorem limsupequz 46294

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupequz.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
limsupequz.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
limsupequz.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
limsupequz.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupequz.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀))
limsupequz.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
limsupequz.7	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁))
limsupequz.8	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
limsupequz.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
limsupequz	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))

Distinct variable group:   𝑘,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem limsupequz

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1934	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
2		limsupequz.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		limsupequz.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀))
4		limsupequz.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5		limsupequz.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁))
6		limsupequz.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
7		limsupequz.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
8		nfv 1934	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)
9	7, 8	nfan 1919	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
10		limsupequz.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
11		nfcv 2924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
12	10, 11	nffv 6877	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
13		limsupequz.3	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
14	13, 11	nffv 6877	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗)
15	12, 14	nfeq 2937	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗)
16	9, 15	nfim 1916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
17		eleq1w 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
18	17	anbi2d 639	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾))))
19		fveq2 6867	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
20		fveq2 6867	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑗))
21	19, 20	eqeq12d 2778	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗)))
22	18, 21	imbi12d 346	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))))
23		limsupequz.9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
24	16, 22, 23	chvarfv 2275	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 24	limsupequzlem 46293	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560  Ⅎwnf 1803   ∈ wcel 2142  Ⅎwnfc 2909   Fn wfn 6516  ‘cfv 6521  ℤcz 12568  ℤ_≥cuz 12839  lim supclsp 15497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-q 12950  df-ico 13355  df-limsup 15498

This theorem is referenced by:  limsupequzmptlem  46299  smflimsuplem2  47392