Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupequz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupequz 45738
Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupequz.1 𝑘𝜑
limsupequz.2 𝑘𝐹
limsupequz.3 𝑘𝐺
limsupequz.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupequz.5 (𝜑𝐹 Fn (ℤ𝑀))
limsupequz.6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
limsupequz.7 (𝜑𝐺 Fn (ℤ𝑁))
limsupequz.8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
limsupequz.9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
limsupequz (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))
Distinct variable group:   𝑘,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem limsupequz
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1914 . 2 𝑗𝜑
2 limsupequz.4 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 limsupequz.5 . 2 (𝜑𝐹 Fn (ℤ𝑀))
4 limsupequz.6 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
5 limsupequz.7 . 2 (𝜑𝐺 Fn (ℤ𝑁))
6 limsupequz.8 . 2 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
7 limsupequz.1 . . . . 5 𝑘𝜑
8 nfv 1914 . . . . 5 𝑘 𝑗 ∈ (ℤ𝐾)
97, 8nfan 1899 . . . 4 𝑘(𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾))
10 limsupequz.2 . . . . . 6 𝑘𝐹
11 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑘𝑗
1210, 11nffv 6916 . . . . 5 𝑘(𝐹𝑗)
13 limsupequz.3 . . . . . 6 𝑘𝐺
1413, 11nffv 6916 . . . . 5 𝑘(𝐺𝑗)
1512, 14nfeq 2919 . . . 4 𝑘(𝐹𝑗) = (𝐺𝑗)
169, 15nfim 1896 . . 3 𝑘((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑗) = (𝐺𝑗))
17 eleq1w 2824 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (ℤ𝐾) ↔ 𝑗 ∈ (ℤ𝐾)))
1817anbi2d 630 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) ↔ (𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾))))
19 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
20 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑗))
2119, 20eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) = (𝐺𝑘) ↔ (𝐹𝑗) = (𝐺𝑗)))
2218, 21imbi12d 344 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)) ↔ ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑗) = (𝐺𝑗))))
23 limsupequz.9 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
2416, 22, 23chvarfv 2240 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑗) = (𝐺𝑗))
251, 2, 3, 4, 5, 6, 24limsupequzlem 45737 1 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  wnfc 2890   Fn wfn 6556  cfv 6561  cz 12613  cuz 12878  lim supclsp 15506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-ico 13393  df-limsup 15507
This theorem is referenced by:  limsupequzmptlem  45743  smflimsuplem2  46836
  Copyright terms: Public domain W3C validator