Theorem limsupequz 45721

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupequz.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
limsupequz.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
limsupequz.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
limsupequz.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupequz.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀))
limsupequz.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
limsupequz.7	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁))
limsupequz.8	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
limsupequz.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
limsupequz	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))

Distinct variable group:   𝑘,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem limsupequz

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
2		limsupequz.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		limsupequz.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀))
4		limsupequz.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5		limsupequz.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁))
6		limsupequz.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
7		limsupequz.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
8		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)
9	7, 8	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
10		limsupequz.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
11		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
12	10, 11	nffv 6868	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
13		limsupequz.3	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
14	13, 11	nffv 6868	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗)
15	12, 14	nfeq 2905	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗)
16	9, 15	nfim 1896	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
17		eleq1w 2811	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
18	17	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾))))
19		fveq2 6858	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
20		fveq2 6858	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑗))
21	19, 20	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗)))
22	18, 21	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))))
23		limsupequz.9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
24	16, 22, 23	chvarfv 2241	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 24	limsupequzlem 45720	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876   Fn wfn 6506  ‘cfv 6511  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  lim supclsp 15436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-ico 13312  df-limsup 15437

This theorem is referenced by:  limsupequzmptlem  45726  smflimsuplem2  46819