Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupequz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupequz 45679
Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupequz.1 𝑘𝜑
limsupequz.2 𝑘𝐹
limsupequz.3 𝑘𝐺
limsupequz.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupequz.5 (𝜑𝐹 Fn (ℤ𝑀))
limsupequz.6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
limsupequz.7 (𝜑𝐺 Fn (ℤ𝑁))
limsupequz.8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
limsupequz.9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
limsupequz (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))
Distinct variable group:   𝑘,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem limsupequz
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1912 . 2 𝑗𝜑
2 limsupequz.4 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 limsupequz.5 . 2 (𝜑𝐹 Fn (ℤ𝑀))
4 limsupequz.6 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
5 limsupequz.7 . 2 (𝜑𝐺 Fn (ℤ𝑁))
6 limsupequz.8 . 2 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
7 limsupequz.1 . . . . 5 𝑘𝜑
8 nfv 1912 . . . . 5 𝑘 𝑗 ∈ (ℤ𝐾)
97, 8nfan 1897 . . . 4 𝑘(𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾))
10 limsupequz.2 . . . . . 6 𝑘𝐹
11 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑘𝑗
1210, 11nffv 6917 . . . . 5 𝑘(𝐹𝑗)
13 limsupequz.3 . . . . . 6 𝑘𝐺
1413, 11nffv 6917 . . . . 5 𝑘(𝐺𝑗)
1512, 14nfeq 2917 . . . 4 𝑘(𝐹𝑗) = (𝐺𝑗)
169, 15nfim 1894 . . 3 𝑘((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑗) = (𝐺𝑗))
17 eleq1w 2822 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (ℤ𝐾) ↔ 𝑗 ∈ (ℤ𝐾)))
1817anbi2d 630 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) ↔ (𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾))))
19 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
20 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑗))
2119, 20eqeq12d 2751 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) = (𝐺𝑘) ↔ (𝐹𝑗) = (𝐺𝑗)))
2218, 21imbi12d 344 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)) ↔ ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑗) = (𝐺𝑗))))
23 limsupequz.9 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
2416, 22, 23chvarfv 2238 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑗) = (𝐺𝑗))
251, 2, 3, 4, 5, 6, 24limsupequzlem 45678 1 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wnfc 2888   Fn wfn 6558  cfv 6563  cz 12611  cuz 12876  lim supclsp 15503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-ico 13390  df-limsup 15504
This theorem is referenced by:  limsupequzmptlem  45684  smflimsuplem2  46777
  Copyright terms: Public domain W3C validator