Theorem limsupequz 46495

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupequz.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
limsupequz.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
limsupequz.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
limsupequz.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupequz.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀))
limsupequz.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
limsupequz.7	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁))
limsupequz.8	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
limsupequz.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
limsupequz	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))

Distinct variable group:   𝑘,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem limsupequz

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
2		limsupequz.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		limsupequz.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀))
4		limsupequz.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5		limsupequz.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁))
6		limsupequz.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
7		limsupequz.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
8		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)
9	7, 8	nfan 1932	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
10		limsupequz.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
11		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
12	10, 11	nffv 6895	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
13		limsupequz.3	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
14	13, 11	nffv 6895	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗)
15	12, 14	nfeq 2940	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗)
16	9, 15	nfim 1929	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
17		eleq1w 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
18	17	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾))))
19		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
20		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑗))
21	19, 20	eqeq12d 2781	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗)))
22	18, 21	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))))
23		limsupequz.9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
24	16, 22, 23	chvarfv 2279	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 24	limsupequzlem 46494	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2146  Ⅎwnfc 2912   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878  lim supclsp 15545

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-q 12989  df-ico 13394  df-limsup 15546

This theorem is used by:  limsupequzmptlem  46500  smflimsuplem2  47593