Theorem limsupequz 46702

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupequz.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
limsupequz.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
limsupequz.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
limsupequz.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupequz.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀))
limsupequz.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
limsupequz.7	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁))
limsupequz.8	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
limsupequz.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
limsupequz	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))

Distinct variable group:   𝑘,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem limsupequz

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
2		limsupequz.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		limsupequz.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀))
4		limsupequz.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5		limsupequz.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁))
6		limsupequz.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
7		limsupequz.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
8		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)
9	7, 8	nfan 1932	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
10		limsupequz.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
11		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
12	10, 11	nffv 6893	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
13		limsupequz.3	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
14	13, 11	nffv 6893	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗)
15	12, 14	nfeq 2936	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗)
16	9, 15	nfim 1929	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
17		eleq1w 2844	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
18	17	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾))))
19		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
20		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑗))
21	19, 20	eqeq12d 2777	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗)))
22	18, 21	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))))
23		limsupequz.9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
24	16, 22, 23	chvarfv 2277	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 24	limsupequzlem 46701	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2908   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  ℤcz 12686  ℤ_≥cuz 12958  lim supclsp 15630

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-q 13069  df-ico 13475  df-limsup 15631

This theorem is used by:  limsupequzmptlem  46707  smflimsuplem2  47800