Theorem limsupequz 43264

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupequz.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
limsupequz.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
limsupequz.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
limsupequz.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupequz.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀))
limsupequz.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
limsupequz.7	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁))
limsupequz.8	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
limsupequz.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
limsupequz	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))

Distinct variable group:   𝑘,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem limsupequz

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1917	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
2		limsupequz.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		limsupequz.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (ℤ≥‘𝑀))
4		limsupequz.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5		limsupequz.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (ℤ≥‘𝑁))
6		limsupequz.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
7		limsupequz.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
8		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)
9	7, 8	nfan 1902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
10		limsupequz.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
11		nfcv 2907	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
12	10, 11	nffv 6784	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
13		limsupequz.3	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
14	13, 11	nffv 6784	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗)
15	12, 14	nfeq 2920	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗)
16	9, 15	nfim 1899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
17		eleq1w 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
18	17	anbi2d 629	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾))))
19		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
20		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑗))
21	19, 20	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗)))
22	18, 21	imbi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))))
23		limsupequz.9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
24	16, 22, 23	chvarfv 2233	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 24	limsupequzlem 43263	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = (lim sup‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2887   Fn wfn 6428  ‘cfv 6433  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  lim supclsp 15179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-ico 13085  df-limsup 15180

This theorem is referenced by:  limsupequzmptlem  43269  smflimsuplem2  44354