Theorem ltexp2rd 14190

Description: The power of a positive number smaller than 1 decreases as its exponent increases. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
ltexp2rd.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ltexp2rd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)

Assertion

Ref	Expression
ltexp2rd	⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀)))

Proof of Theorem ltexp2rd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		ltexp2rd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		rpexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		ltexp2rd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
5		ltexp2r 14117	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 1) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl31anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5138  (class class class)co 7390  1c1 11090   < clt 11227  ℤcz 12537  ℝ⁺crp 12953  ↑cexp 14006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7836  df-2nd 7955  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-er 8683  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11851  df-nn 12192  df-n0 12452  df-z 12538  df-uz 12802  df-rp 12954  df-seq 13946  df-exp 14007

This theorem is referenced by:  padicabv  27055