Theorem rpexpcld 14174

Description: Closure law for exponentiation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
rpexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		rpexpcl 14007	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℤcz 12492  ℝ⁺crp 12909  ↑cexp 13988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-seq 13929  df-exp 13989

This theorem is referenced by:  bitsfzolem  16365  bitsfzo  16366  bitsmod  16367  bitsinv1  16373  sadasslem  16401  sadeq  16403  plyeq0lem  26175  aalioulem4  26303  aalioulem5  26304  aalioulem6  26305  aaliou  26306  aaliou3lem8  26313  nnlogbexp  26751  lgamgulmlem3  27001  ftalem5  27047  basellem3  27053  2sqmod  27407  rplogsumlem2  27456  rpvmasumlem  27458  pntlemh  27570  pntlemq  27572  pntlemr  27573  pntlemj  27574  pntlemf  27576  padicabv  27601  ostth2lem3  27606  dya2ub  34408  dya2iocress  34412  dya2iocbrsiga  34413  dya2icobrsiga  34414  sxbrsigalem2  34424  omssubadd  34438  signsply0  34689  hgt750leme  34796  tgoldbachgtde  34798  faclim  35921  iprodfac  35922  knoppndvlem17  36703  knoppndvlem18  36704  geomcau  37931  lcmineqlem21  42340  3lexlogpow5ineq5  42351  aks4d1p1p7  42365  aks4d1p1  42367  aks4d1p8d2  42376  aks4d1p8  42378  fltltc  42940  fltnlta  42942  pellfund14  43176  dvdivbd  46203  stirlinglem1  46354  stirlinglem2  46355  stirlinglem4  46357  stirlinglem8  46361  stirlinglem10  46363  stirlinglem11  46364  stirlinglem13  46366  stirlinglem15  46368  stirlingr  46370  sge0ad2en  46711  ovnsubaddlem1  46850  fllog2  48850  dignn0flhalflem1  48897  dignn0flhalflem2  48898