Theorem rpexpcld 14250

Description: Closure law for exponentiation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
rpexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		rpexpcl 14083	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 592	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  (class class class)co 7385  ℤcz 12558  ℝ⁺crp 12983  ↑cexp 14064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-rp 12984  df-seq 14005  df-exp 14065

This theorem is referenced by:  bitsfzolem  16444  bitsfzo  16445  bitsmod  16446  bitsinv1  16452  sadasslem  16480  sadeq  16482  plyeq0lem  26243  aalioulem4  26369  aalioulem5  26370  aalioulem6  26371  aaliou  26372  aaliou3lem8  26379  nnlogbexp  26816  lgamgulmlem3  27065  ftalem5  27111  basellem3  27117  2sqmod  27470  rplogsumlem2  27519  rpvmasumlem  27521  pntlemh  27633  pntlemq  27635  pntlemr  27636  pntlemj  27637  pntlemf  27639  padicabv  27664  ostth2lem3  27669  dya2ub  34521  dya2iocress  34525  dya2iocbrsiga  34526  dya2icobrsiga  34527  sxbrsigalem2  34537  omssubadd  34551  signsply0  34802  hgt750leme  34909  tgoldbachgtde  34911  faclim  36044  iprodfac  36045  knoppndvlem17  36914  knoppndvlem18  36915  geomcau  38206  lcmineqlem21  42614  3lexlogpow5ineq5  42625  aks4d1p1p7  42639  aks4d1p1  42641  aks4d1p8d2  42650  aks4d1p8  42652  fltltc  43191  fltnlta  43193  pellfund14  43423  dvdivbd  46445  stirlinglem1  46596  stirlinglem2  46597  stirlinglem4  46599  stirlinglem8  46603  stirlinglem10  46605  stirlinglem11  46606  stirlinglem13  46608  stirlinglem15  46610  stirlingr  46612  sge0ad2en  46953  ovnsubaddlem1  47092  fllog2  49138  dignn0flhalflem1  49185  dignn0flhalflem2  49186