Theorem rpexpcld 14418

Description: Closure law for exponentiation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
rpexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		rpexpcl 14250	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  ℤcz 12720  ℝ⁺crp 13147  ↑cexp 14231

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-seq 14172  df-exp 14232

This theorem is used by:  bitsfzolem  16633  bitsfzo  16634  bitsmod  16635  bitsinv1  16641  sadasslem  16669  sadeq  16671  plyeq0lem  26559  aalioulem4  26692  aalioulem5  26693  aalioulem6  26694  aaliou  26695  aaliou3lem8  26702  nnlogbexp  27139  lgamgulmlem3  27388  ftalem5  27434  basellem3  27440  2sqmod  27793  rplogsumlem2  27842  rpvmasumlem  27844  pntlemh  27956  pntlemq  27958  pntlemr  27959  pntlemj  27960  pntlemf  27962  padicabv  27987  ostth2lem3  27992  dya2ub  34972  dya2iocress  34976  dya2iocbrsiga  34977  dya2icobrsiga  34978  sxbrsigalem2  34988  omssubadd  35002  signsply0  35250  hgt750leme  35357  tgoldbachgtde  35359  faclim  36689  iprodfac  36690  knoppndvlem17  37572  knoppndvlem18  37573  geomcau  38885  lcmineqlem21  43291  3lexlogpow5ineq5  43302  aks4d1p1p7  43316  aks4d1p1  43318  aks4d1p8d2  43327  aks4d1p8  43329  fltltc  43865  fltnlta  43867  pellfund14  44098  dvdivbd  47138  stirlinglem1  47289  stirlinglem2  47290  stirlinglem4  47292  stirlinglem8  47296  stirlinglem10  47298  stirlinglem11  47299  stirlinglem13  47301  stirlinglem15  47303  stirlingr  47305  sge0ad2en  47646  ovnsubaddlem1  47785  fllog2  49885  dignn0flhalflem1  49932  dignn0flhalflem2  49933