Theorem rpexpcld 14315

Description: Closure law for exponentiation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
rpexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		rpexpcl 14148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℤcz 12619  ℝ⁺crp 13046  ↑cexp 14129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-seq 14070  df-exp 14130

This theorem is used by:  bitsfzolem  16530  bitsfzo  16531  bitsmod  16532  bitsinv1  16538  sadasslem  16566  sadeq  16568  plyeq0lem  26443  aalioulem4  26578  aalioulem5  26579  aalioulem6  26580  aaliou  26581  aaliou3lem8  26588  nnlogbexp  27026  lgamgulmlem3  27275  ftalem5  27321  basellem3  27327  2sqmod  27680  rplogsumlem2  27729  rpvmasumlem  27731  pntlemh  27843  pntlemq  27845  pntlemr  27846  pntlemj  27847  pntlemf  27849  padicabv  27874  ostth2lem3  27879  dya2ub  34789  dya2iocress  34793  dya2iocbrsiga  34794  dya2icobrsiga  34795  sxbrsigalem2  34805  omssubadd  34819  signsply0  35067  hgt750leme  35174  tgoldbachgtde  35176  faclim  36333  iprodfac  36334  knoppndvlem17  37233  knoppndvlem18  37234  geomcau  38517  lcmineqlem21  42923  3lexlogpow5ineq5  42934  aks4d1p1p7  42948  aks4d1p1  42950  aks4d1p8d2  42959  aks4d1p8  42961  fltltc  43515  fltnlta  43517  pellfund14  43747  dvdivbd  46759  stirlinglem1  46910  stirlinglem2  46911  stirlinglem4  46913  stirlinglem8  46917  stirlinglem10  46919  stirlinglem11  46920  stirlinglem13  46922  stirlinglem15  46924  stirlingr  46926  sge0ad2en  47267  ovnsubaddlem1  47406  fllog2  49506  dignn0flhalflem1  49553  dignn0flhalflem2  49554