Theorem rpexpcld 14286

Description: Closure law for exponentiation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
rpexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		rpexpcl 14121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℤcz 12613  ℝ⁺crp 13034  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  bitsfzolem  16471  bitsfzo  16472  bitsmod  16473  bitsinv1  16479  sadasslem  16507  sadeq  16509  plyeq0lem  26249  aalioulem4  26377  aalioulem5  26378  aalioulem6  26379  aaliou  26380  aaliou3lem8  26387  nnlogbexp  26824  lgamgulmlem3  27074  ftalem5  27120  basellem3  27126  2sqmod  27480  rplogsumlem2  27529  rpvmasumlem  27531  pntlemh  27643  pntlemq  27645  pntlemr  27646  pntlemj  27647  pntlemf  27649  padicabv  27674  ostth2lem3  27679  dya2ub  34272  dya2iocress  34276  dya2iocbrsiga  34277  dya2icobrsiga  34278  sxbrsigalem2  34288  omssubadd  34302  signsply0  34566  hgt750leme  34673  tgoldbachgtde  34675  faclim  35746  iprodfac  35747  knoppndvlem17  36529  knoppndvlem18  36530  geomcau  37766  lcmineqlem21  42050  3lexlogpow5ineq5  42061  aks4d1p1p7  42075  aks4d1p1  42077  aks4d1p8d2  42086  aks4d1p8  42088  fltltc  42671  fltnlta  42673  pellfund14  42909  dvdivbd  45938  stirlinglem1  46089  stirlinglem2  46090  stirlinglem4  46092  stirlinglem8  46096  stirlinglem10  46098  stirlinglem11  46099  stirlinglem13  46101  stirlinglem15  46103  stirlingr  46105  sge0ad2en  46446  ovnsubaddlem1  46585  fllog2  48489  dignn0flhalflem1  48536  dignn0flhalflem2  48537