Theorem rpexpcld 14392

Description: Closure law for exponentiation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
rpexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		rpexpcl 14224	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℤcz 12694  ℝ⁺crp 13121  ↑cexp 14205

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-seq 14146  df-exp 14206

This theorem is used by:  bitsfzolem  16605  bitsfzo  16606  bitsmod  16607  bitsinv1  16613  sadasslem  16641  sadeq  16643  plyeq0lem  26530  aalioulem4  26663  aalioulem5  26664  aalioulem6  26665  aaliou  26666  aaliou3lem8  26673  nnlogbexp  27110  lgamgulmlem3  27359  ftalem5  27405  basellem3  27411  2sqmod  27764  rplogsumlem2  27813  rpvmasumlem  27815  pntlemh  27927  pntlemq  27929  pntlemr  27930  pntlemj  27931  pntlemf  27933  padicabv  27958  ostth2lem3  27963  dya2ub  34945  dya2iocress  34949  dya2iocbrsiga  34950  dya2icobrsiga  34951  sxbrsigalem2  34961  omssubadd  34975  signsply0  35223  hgt750leme  35330  tgoldbachgtde  35332  faclim  36586  iprodfac  36587  knoppndvlem17  37469  knoppndvlem18  37470  geomcau  38769  lcmineqlem21  43175  3lexlogpow5ineq5  43186  aks4d1p1p7  43200  aks4d1p1  43202  aks4d1p8d2  43211  aks4d1p8  43213  fltltc  43748  fltnlta  43750  pellfund14  43981  dvdivbd  47009  stirlinglem1  47160  stirlinglem2  47161  stirlinglem4  47163  stirlinglem8  47167  stirlinglem10  47169  stirlinglem11  47170  stirlinglem13  47172  stirlinglem15  47174  stirlingr  47176  sge0ad2en  47517  ovnsubaddlem1  47656  fllog2  49756  dignn0flhalflem1  49803  dignn0flhalflem2  49804