Theorem metdscn 24993

Description: The function 𝐹 which gives the distance from a point to a set is a continuous function into the metric topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdscn.c	⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
metdscn.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
metdscn	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdscn

Dummy variables 𝑤 𝑟 𝑧 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metdscn.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2	1	metdsf 24985	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3		iccssxr 13456	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4		fss 6722	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
5	2, 3, 4	sylancl 597	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
6		simprr 784	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
7	5	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
8		simplrl 788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
9	7, 8	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ*)
10		simprl 782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑤 ∈ 𝑋)
11	7, 10	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ*)
12		metdscn.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
13	12	xrsdsval 21540	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) = if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))))
14	9, 11, 13	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) = if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))))
15		metdscn.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
16		metdscn.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
17		simplll 786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
18		simpllr 787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
19		simplrr 789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
20		xmetsym 24483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑤𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑤))
21	17, 10, 8, 20	syl3anc 1396	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑤𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑤))
22		simprr 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)
23	21, 22	eqbrtrd 5132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑤𝐷𝑧) < 𝑟)
24	1, 15, 12, 16, 17, 18, 10, 8, 19, 23	metdscnlem 24992	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)) < 𝑟)
25	1, 15, 12, 16, 17, 18, 8, 10, 19, 22	metdscnlem 24992	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤)) < 𝑟)
26		breq1 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)) = if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) → (((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)) < 𝑟 ↔ if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) < 𝑟))
27		breq1 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤)) = if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) → (((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤)) < 𝑟 ↔ if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) < 𝑟))
28	26, 27	ifboth 4526	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)) < 𝑟 ∧ ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤)) < 𝑟) → if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) < 𝑟)
29	24, 25, 28	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) < 𝑟)
30	14, 29	eqbrtrd 5132	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟)
31	30	expr 461	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
32	31	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
33		breq2 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑟 → ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 ↔ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟))
34	33	rspceaimv 3586	. . . 4 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
35	6, 32, 34	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
36	35	ralrimivva 3206	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
37		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
38	12	xrsxmet 24946	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)
39	15, 16	metcn 24679	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))))
40	37, 38, 39	sylancl 597	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))))
41	5, 36, 40	mpbir2and 725	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3904  ifcif 4486   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ran crn 5662  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  infcinf 9400  0cc0 11099  +∞cpnf 11239  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242   ≤ cle 11243  ℝ⁺crp 13015  -_𝑒cxne 13133   +_𝑒 cxad 13134  [,]cicc 13374  distcds 17318  ℝ^*_𝑠cxrs 17553  ∞Metcxmet 21486  MetOpencmopn 21491   Cn ccn 23360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-ec 8695  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-icc 13378  df-fz 13535  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-topgen 17495  df-xrs 17555  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-top 23030  df-topon 23047  df-bases 23082  df-cn 23363  df-cnp 23364

This theorem is referenced by:  metdscn2  24994