MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdscn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem metdscn 24363
Description: The function 𝐹 which gives the distance from a point to a set is a continuous function into the metric topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
metdscn.c 𝐢 = (distβ€˜β„*𝑠)
metdscn.k 𝐾 = (MetOpenβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
metdscn ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐷   𝑦,𝐽   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem metdscn
Dummy variables 𝑀 π‘Ÿ 𝑧 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metdscn.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
21metdsf 24355 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
3 iccssxr 13403 . . 3 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
4 fss 6731 . . 3 ((𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„*)
52, 3, 4sylancl 586 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„*)
6 simprr 771 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
75ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„*)
8 simplrl 775 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
97, 8ffvelcdmd 7084 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ*)
10 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
117, 10ffvelcdmd 7084 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
12 metdscn.c . . . . . . . . 9 𝐢 = (distβ€˜β„*𝑠)
1312xrsdsval 20981 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))))
149, 11, 13syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))))
15 metdscn.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
16 metdscn.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (MetOpenβ€˜πΆ)
17 simplll 773 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
18 simpllr 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
19 simplrr 776 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
20 xmetsym 23844 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑀))
2117, 10, 8, 20syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑀𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑀))
22 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)
2321, 22eqbrtrd 5169 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑀𝐷𝑧) < π‘Ÿ)
241, 15, 12, 16, 17, 18, 10, 8, 19, 23metdscnlem 24362 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)) < π‘Ÿ)
251, 15, 12, 16, 17, 18, 8, 10, 19, 22metdscnlem 24362 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ)
26 breq1 5150 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) β†’ (((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)) < π‘Ÿ ↔ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) < π‘Ÿ))
27 breq1 5150 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€)) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ ↔ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) < π‘Ÿ))
2826, 27ifboth 4566 . . . . . . . 8 ((((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)) < π‘Ÿ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ) β†’ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) < π‘Ÿ)
2924, 25, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) < π‘Ÿ)
3014, 29eqbrtrd 5169 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ)
3130expr 457 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
3231ralrimiva 3146 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
33 breq2 5151 . . . . 5 (𝑠 = π‘Ÿ β†’ ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 ↔ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ))
3433rspceaimv 3616 . . . 4 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
356, 32, 34syl2anc 584 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
3635ralrimivva 3200 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
37 simpl 483 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3812xrsxmet 24316 . . 3 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*)
3915, 16metcn 24043 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))))
4037, 38, 39sylancl 586 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))))
415, 36, 40mpbir2and 711 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3947  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  infcinf 9432  0cc0 11106  +∞cpnf 11241  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245  β„+crp 12970  -𝑒cxne 13085   +𝑒 cxad 13086  [,]cicc 13323  distcds 17202  β„*𝑠cxrs 17442  βˆžMetcxmet 20921  MetOpencmopn 20926   Cn ccn 22719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-ec 8701  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-topgen 17385  df-xrs 17444  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cn 22722  df-cnp 22723
This theorem is referenced by:  metdscn2  24364
  Copyright terms: Public domain W3C validator