MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdscn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem metdscn 24759
Description: The function 𝐹 which gives the distance from a point to a set is a continuous function into the metric topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
metdscn.c 𝐢 = (distβ€˜β„*𝑠)
metdscn.k 𝐾 = (MetOpenβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
metdscn ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐷   𝑦,𝐽   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem metdscn
Dummy variables 𝑀 π‘Ÿ 𝑧 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metdscn.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
21metdsf 24751 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
3 iccssxr 13431 . . 3 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
4 fss 6733 . . 3 ((𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„*)
52, 3, 4sylancl 585 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„*)
6 simprr 772 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
75ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„*)
8 simplrl 776 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
97, 8ffvelcdmd 7089 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ*)
10 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
117, 10ffvelcdmd 7089 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
12 metdscn.c . . . . . . . . 9 𝐢 = (distβ€˜β„*𝑠)
1312xrsdsval 21330 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))))
149, 11, 13syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))))
15 metdscn.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
16 metdscn.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (MetOpenβ€˜πΆ)
17 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
18 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
19 simplrr 777 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
20 xmetsym 24240 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑀))
2117, 10, 8, 20syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑀𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑀))
22 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)
2321, 22eqbrtrd 5164 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑀𝐷𝑧) < π‘Ÿ)
241, 15, 12, 16, 17, 18, 10, 8, 19, 23metdscnlem 24758 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)) < π‘Ÿ)
251, 15, 12, 16, 17, 18, 8, 10, 19, 22metdscnlem 24758 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ)
26 breq1 5145 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) β†’ (((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)) < π‘Ÿ ↔ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) < π‘Ÿ))
27 breq1 5145 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€)) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ ↔ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) < π‘Ÿ))
2826, 27ifboth 4563 . . . . . . . 8 ((((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)) < π‘Ÿ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ) β†’ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) < π‘Ÿ)
2924, 25, 28syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) < π‘Ÿ)
3014, 29eqbrtrd 5164 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ)
3130expr 456 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
3231ralrimiva 3141 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
33 breq2 5146 . . . . 5 (𝑠 = π‘Ÿ β†’ ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 ↔ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ))
3433rspceaimv 3613 . . . 4 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
356, 32, 34syl2anc 583 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
3635ralrimivva 3195 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
37 simpl 482 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3812xrsxmet 24712 . . 3 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*)
3915, 16metcn 24439 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))))
4037, 38, 39sylancl 585 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))))
415, 36, 40mpbir2and 712 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065   βŠ† wss 3944  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ran crn 5673  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  infcinf 9456  0cc0 11130  +∞cpnf 11267  β„*cxr 11269   < clt 11270   ≀ cle 11271  β„+crp 12998  -𝑒cxne 13113   +𝑒 cxad 13114  [,]cicc 13351  distcds 17233  β„*𝑠cxrs 17473  βˆžMetcxmet 21251  MetOpencmopn 21256   Cn ccn 23115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-ec 8720  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-icc 13355  df-fz 13509  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-struct 17107  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-topgen 17416  df-xrs 17475  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-top 22783  df-topon 22800  df-bases 22836  df-cn 23118  df-cnp 23119
This theorem is referenced by:  metdscn2  24760
  Copyright terms: Public domain W3C validator