Theorem metdscn 24761

Description: The function 𝐹 which gives the distance from a point to a set is a continuous function into the metric topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdscn.c	⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
metdscn.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
metdscn	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdscn

Dummy variables 𝑤 𝑟 𝑧 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metdscn.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2	1	metdsf 24753	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3		iccssxr 13351	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4		fss 6672	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
5	2, 3, 4	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
6		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
7	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
8		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
9	7, 8	ffvelcdmd 7023	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ*)
10		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑤 ∈ 𝑋)
11	7, 10	ffvelcdmd 7023	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ*)
12		metdscn.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
13	12	xrsdsval 21335	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) = if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))))
14	9, 11, 13	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) = if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))))
15		metdscn.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
16		metdscn.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
17		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
18		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
19		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
20		xmetsym 24251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑤𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑤))
21	17, 10, 8, 20	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑤𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑤))
22		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)
23	21, 22	eqbrtrd 5117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑤𝐷𝑧) < 𝑟)
24	1, 15, 12, 16, 17, 18, 10, 8, 19, 23	metdscnlem 24760	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)) < 𝑟)
25	1, 15, 12, 16, 17, 18, 8, 10, 19, 22	metdscnlem 24760	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤)) < 𝑟)
26		breq1 5098	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)) = if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) → (((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)) < 𝑟 ↔ if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) < 𝑟))
27		breq1 5098	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤)) = if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) → (((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤)) < 𝑟 ↔ if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) < 𝑟))
28	26, 27	ifboth 4518	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)) < 𝑟 ∧ ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤)) < 𝑟) → if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) < 𝑟)
29	24, 25, 28	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) < 𝑟)
30	14, 29	eqbrtrd 5117	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟)
31	30	expr 456	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
32	31	ralrimiva 3121	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
33		breq2 5099	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑟 → ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 ↔ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟))
34	33	rspceaimv 3585	. . . 4 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
35	6, 32, 34	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
36	35	ralrimivva 3172	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
37		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
38	12	xrsxmet 24714	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)
39	15, 16	metcn 24447	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))))
40	37, 38, 39	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))))
41	5, 36, 40	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3905  ifcif 4478   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ran crn 5624  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  infcinf 9350  0cc0 11028  +∞cpnf 11165  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℝ⁺crp 12911  -_𝑒cxne 13029   +_𝑒 cxad 13030  [,]cicc 13269  distcds 17188  ℝ^*_𝑠cxrs 17422  ∞Metcxmet 21264  MetOpencmopn 21269   Cn ccn 23127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-ec 8634  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-icc 13273  df-fz 13429  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-topgen 17365  df-xrs 17424  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22797  df-topon 22814  df-bases 22849  df-cn 23130  df-cnp 23131

This theorem is referenced by:  metdscn2  24762