Theorem metdscn 24878

Description: The function 𝐹 which gives the distance from a point to a set is a continuous function into the metric topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdscn.c	⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
metdscn.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
metdscn	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdscn

Dummy variables 𝑤 𝑟 𝑧 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metdscn.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2	1	metdsf 24870	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3		iccssxr 13470	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4		fss 6752	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
5	2, 3, 4	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
6		simprr 773	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
7	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
8		simplrl 777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
9	7, 8	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ*)
10		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑤 ∈ 𝑋)
11	7, 10	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ*)
12		metdscn.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
13	12	xrsdsval 21428	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) = if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))))
14	9, 11, 13	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) = if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))))
15		metdscn.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
16		metdscn.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
17		simplll 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
18		simpllr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
19		simplrr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
20		xmetsym 24357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑤𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑤))
21	17, 10, 8, 20	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑤𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑤))
22		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)
23	21, 22	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑤𝐷𝑧) < 𝑟)
24	1, 15, 12, 16, 17, 18, 10, 8, 19, 23	metdscnlem 24877	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)) < 𝑟)
25	1, 15, 12, 16, 17, 18, 8, 10, 19, 22	metdscnlem 24877	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤)) < 𝑟)
26		breq1 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)) = if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) → (((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)) < 𝑟 ↔ if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) < 𝑟))
27		breq1 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤)) = if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) → (((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤)) < 𝑟 ↔ if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) < 𝑟))
28	26, 27	ifboth 4565	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)) < 𝑟 ∧ ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤)) < 𝑟) → if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) < 𝑟)
29	24, 25, 28	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) < 𝑟)
30	14, 29	eqbrtrd 5165	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟)
31	30	expr 456	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
32	31	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
33		breq2 5147	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑟 → ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 ↔ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟))
34	33	rspceaimv 3628	. . . 4 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
35	6, 32, 34	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
36	35	ralrimivva 3202	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
37		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
38	12	xrsxmet 24831	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)
39	15, 16	metcn 24556	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))))
40	37, 38, 39	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))))
41	5, 36, 40	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ran crn 5686  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  infcinf 9481  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℝ⁺crp 13034  -_𝑒cxne 13151   +_𝑒 cxad 13152  [,]cicc 13390  distcds 17306  ℝ^*_𝑠cxrs 17545  ∞Metcxmet 21349  MetOpencmopn 21354   Cn ccn 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-ec 8747  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-topgen 17488  df-xrs 17547  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236

This theorem is referenced by:  metdscn2  24879