Theorem metdscn 24019

Description: The function 𝐹 which gives the distance from a point to a set is a continuous function into the metric topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdscn.c	⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
metdscn.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
metdscn	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdscn

Dummy variables 𝑤 𝑟 𝑧 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metdscn.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2	1	metdsf 24011	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3		iccssxr 13162	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4		fss 6617	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
5	2, 3, 4	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
6		simprr 770	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
7	5	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
8		simplrl 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
9	7, 8	ffvelrnd 6962	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ*)
10		simprl 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑤 ∈ 𝑋)
11	7, 10	ffvelrnd 6962	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ*)
12		metdscn.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
13	12	xrsdsval 20642	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) = if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))))
14	9, 11, 13	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) = if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))))
15		metdscn.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
16		metdscn.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
17		simplll 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
18		simpllr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
19		simplrr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
20		xmetsym 23500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑤𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑤))
21	17, 10, 8, 20	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑤𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑤))
22		simprr 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)
23	21, 22	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑤𝐷𝑧) < 𝑟)
24	1, 15, 12, 16, 17, 18, 10, 8, 19, 23	metdscnlem 24018	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)) < 𝑟)
25	1, 15, 12, 16, 17, 18, 8, 10, 19, 22	metdscnlem 24018	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤)) < 𝑟)
26		breq1 5077	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)) = if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) → (((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)) < 𝑟 ↔ if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) < 𝑟))
27		breq1 5077	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤)) = if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) → (((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤)) < 𝑟 ↔ if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) < 𝑟))
28	26, 27	ifboth 4498	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)) < 𝑟 ∧ ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤)) < 𝑟) → if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) < 𝑟)
29	24, 25, 28	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) < 𝑟)
30	14, 29	eqbrtrd 5096	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟)
31	30	expr 457	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
32	31	ralrimiva 3103	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
33		breq2 5078	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑟 → ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 ↔ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟))
34	33	rspceaimv 3565	. . . 4 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
35	6, 32, 34	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
36	35	ralrimivva 3123	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
37		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
38	12	xrsxmet 23972	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)
39	15, 16	metcn 23699	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))))
40	37, 38, 39	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))))
41	5, 36, 40	mpbir2and 710	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887  ifcif 4459   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ran crn 5590  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  infcinf 9200  0cc0 10871  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℝ⁺crp 12730  -_𝑒cxne 12845   +_𝑒 cxad 12846  [,]cicc 13082  distcds 16971  ℝ^*_𝑠cxrs 17211  ∞Metcxmet 20582  MetOpencmopn 20587   Cn ccn 22375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-ec 8500  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-icc 13086  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-topgen 17154  df-xrs 17213  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096  df-cn 22378  df-cnp 22379

This theorem is referenced by:  metdscn2  24020