Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdscn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdscn 23398
 Description: The function 𝐹 which gives the distance from a point to a set is a continuous function into the metric topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdscn.c 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
metdscn.k 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
metdscn ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdscn
Dummy variables 𝑤 𝑟 𝑧 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metdscn.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
21metdsf 23390 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3 iccssxr 12814 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4 fss 6526 . . 3 ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
52, 3, 4sylancl 586 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
6 simprr 769 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
75ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
8 simplrl 773 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑧𝑋)
97, 8ffvelrnd 6850 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ*)
10 simprl 767 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑤𝑋)
117, 10ffvelrnd 6850 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ*)
12 metdscn.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
1312xrsdsval 20524 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑤) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))))
149, 11, 13syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))))
15 metdscn.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
16 metdscn.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
17 simplll 771 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
18 simpllr 772 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑆𝑋)
19 simplrr 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
20 xmetsym 22891 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑤𝑋𝑧𝑋) → (𝑤𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑤))
2117, 10, 8, 20syl3anc 1365 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑤𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑤))
22 simprr 769 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)
2321, 22eqbrtrd 5085 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑤𝐷𝑧) < 𝑟)
241, 15, 12, 16, 17, 18, 10, 8, 19, 23metdscnlem 23397 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)) < 𝑟)
251, 15, 12, 16, 17, 18, 8, 10, 19, 22metdscnlem 23397 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤)) < 𝑟)
26 breq1 5066 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))) → (((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)) < 𝑟 ↔ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))) < 𝑟))
27 breq1 5066 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤)) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))) → (((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤)) < 𝑟 ↔ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))) < 𝑟))
2826, 27ifboth 4508 . . . . . . . 8 ((((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)) < 𝑟 ∧ ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤)) < 𝑟) → if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))) < 𝑟)
2924, 25, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))) < 𝑟)
3014, 29eqbrtrd 5085 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟)
3130expr 457 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑋) → ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))
3231ralrimiva 3187 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → ∀𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))
33 breq2 5067 . . . . 5 (𝑠 = 𝑟 → ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 ↔ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟))
3433rspceaimv 3632 . . . 4 ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))
356, 32, 34syl2anc 584 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))
3635ralrimivva 3196 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))
37 simpl 483 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3812xrsxmet 23351 . . 3 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)
3915, 16metcn 23087 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))))
4037, 38, 39sylancl 586 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))))
415, 36, 40mpbir2and 709 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3143  ∃wrex 3144   ⊆ wss 3940  ifcif 4470   class class class wbr 5063   ↦ cmpt 5143  ran crn 5555  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7150  infcinf 8899  0cc0 10531  +∞cpnf 10666  ℝ*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670  ℝ+crp 12384  -𝑒cxne 12499   +𝑒 cxad 12500  [,]cicc 12736  distcds 16569  ℝ*𝑠cxrs 16768  ∞Metcxmet 20465  MetOpencmopn 20470   Cn ccn 21767 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-ec 8286  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-icc 12740  df-fz 12888  df-seq 13365  df-exp 13425  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-topgen 16712  df-xrs 16770  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-top 21437  df-topon 21454  df-bases 21489  df-cn 21770  df-cnp 21771 This theorem is referenced by:  metdscn2  23399
 Copyright terms: Public domain W3C validator