MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdscn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem metdscn 24372
Description: The function 𝐹 which gives the distance from a point to a set is a continuous function into the metric topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
metdscn.c 𝐢 = (distβ€˜β„*𝑠)
metdscn.k 𝐾 = (MetOpenβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
metdscn ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐷   𝑦,𝐽   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem metdscn
Dummy variables 𝑀 π‘Ÿ 𝑧 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metdscn.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
21metdsf 24364 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
3 iccssxr 13407 . . 3 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
4 fss 6735 . . 3 ((𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„*)
52, 3, 4sylancl 587 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„*)
6 simprr 772 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
75ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„*)
8 simplrl 776 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
97, 8ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ*)
10 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
117, 10ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
12 metdscn.c . . . . . . . . 9 𝐢 = (distβ€˜β„*𝑠)
1312xrsdsval 20989 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))))
149, 11, 13syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))))
15 metdscn.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
16 metdscn.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (MetOpenβ€˜πΆ)
17 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
18 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
19 simplrr 777 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
20 xmetsym 23853 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑀))
2117, 10, 8, 20syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑀𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑀))
22 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)
2321, 22eqbrtrd 5171 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑀𝐷𝑧) < π‘Ÿ)
241, 15, 12, 16, 17, 18, 10, 8, 19, 23metdscnlem 24371 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)) < π‘Ÿ)
251, 15, 12, 16, 17, 18, 8, 10, 19, 22metdscnlem 24371 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ)
26 breq1 5152 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) β†’ (((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)) < π‘Ÿ ↔ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) < π‘Ÿ))
27 breq1 5152 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€)) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ ↔ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) < π‘Ÿ))
2826, 27ifboth 4568 . . . . . . . 8 ((((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)) < π‘Ÿ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ) β†’ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) < π‘Ÿ)
2924, 25, 28syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) < π‘Ÿ)
3014, 29eqbrtrd 5171 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ)
3130expr 458 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
3231ralrimiva 3147 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
33 breq2 5153 . . . . 5 (𝑠 = π‘Ÿ β†’ ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 ↔ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ))
3433rspceaimv 3618 . . . 4 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
356, 32, 34syl2anc 585 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
3635ralrimivva 3201 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
37 simpl 484 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3812xrsxmet 24325 . . 3 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*)
3915, 16metcn 24052 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))))
4037, 38, 39sylancl 587 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))))
415, 36, 40mpbir2and 712 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  infcinf 9436  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„+crp 12974  -𝑒cxne 13089   +𝑒 cxad 13090  [,]cicc 13327  distcds 17206  β„*𝑠cxrs 17446  βˆžMetcxmet 20929  MetOpencmopn 20934   Cn ccn 22728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-ec 8705  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-topgen 17389  df-xrs 17448  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732
This theorem is referenced by:  metdscn2  24373
  Copyright terms: Public domain W3C validator