MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdscn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem metdscn 24802
Description: The function 𝐹 which gives the distance from a point to a set is a continuous function into the metric topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
metdscn.c 𝐢 = (distβ€˜β„*𝑠)
metdscn.k 𝐾 = (MetOpenβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
metdscn ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐷   𝑦,𝐽   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem metdscn
Dummy variables 𝑀 π‘Ÿ 𝑧 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metdscn.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
21metdsf 24794 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
3 iccssxr 13439 . . 3 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
4 fss 6737 . . 3 ((𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„*)
52, 3, 4sylancl 584 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„*)
6 simprr 771 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
75ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„*)
8 simplrl 775 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
97, 8ffvelcdmd 7092 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ*)
10 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
117, 10ffvelcdmd 7092 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
12 metdscn.c . . . . . . . . 9 𝐢 = (distβ€˜β„*𝑠)
1312xrsdsval 21347 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))))
149, 11, 13syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))))
15 metdscn.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
16 metdscn.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (MetOpenβ€˜πΆ)
17 simplll 773 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
18 simpllr 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
19 simplrr 776 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
20 xmetsym 24283 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑀))
2117, 10, 8, 20syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑀𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑀))
22 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)
2321, 22eqbrtrd 5170 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑀𝐷𝑧) < π‘Ÿ)
241, 15, 12, 16, 17, 18, 10, 8, 19, 23metdscnlem 24801 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)) < π‘Ÿ)
251, 15, 12, 16, 17, 18, 8, 10, 19, 22metdscnlem 24801 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ)
26 breq1 5151 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) β†’ (((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)) < π‘Ÿ ↔ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) < π‘Ÿ))
27 breq1 5151 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€)) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ ↔ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) < π‘Ÿ))
2826, 27ifboth 4568 . . . . . . . 8 ((((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)) < π‘Ÿ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ) β†’ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) < π‘Ÿ)
2924, 25, 28syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) < π‘Ÿ)
3014, 29eqbrtrd 5170 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ)
3130expr 455 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
3231ralrimiva 3136 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
33 breq2 5152 . . . . 5 (𝑠 = π‘Ÿ β†’ ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 ↔ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ))
3433rspceaimv 3613 . . . 4 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
356, 32, 34syl2anc 582 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
3635ralrimivva 3191 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
37 simpl 481 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3812xrsxmet 24755 . . 3 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*)
3915, 16metcn 24482 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))))
4037, 38, 39sylancl 584 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))))
415, 36, 40mpbir2and 711 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βŠ† wss 3945  ifcif 4529   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5678  βŸΆwf 6543  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417  infcinf 9464  0cc0 11138  +∞cpnf 11275  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279  β„+crp 13006  -𝑒cxne 13121   +𝑒 cxad 13122  [,]cicc 13359  distcds 17241  β„*𝑠cxrs 17481  βˆžMetcxmet 21268  MetOpencmopn 21273   Cn ccn 23158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-ec 8725  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-icc 13363  df-fz 13517  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-topgen 17424  df-xrs 17483  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-top 22826  df-topon 22843  df-bases 22879  df-cn 23161  df-cnp 23162
This theorem is referenced by:  metdscn2  24803
  Copyright terms: Public domain W3C validator