MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdscn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdscn 24235
Description: The function 𝐹 which gives the distance from a point to a set is a continuous function into the metric topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
metdscn.c 𝐢 = (distβ€˜β„*𝑠)
metdscn.k 𝐾 = (MetOpenβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
metdscn ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐷   𝑦,𝐽   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem metdscn
Dummy variables 𝑀 π‘Ÿ 𝑧 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metdscn.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
21metdsf 24227 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
3 iccssxr 13354 . . 3 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
4 fss 6690 . . 3 ((𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„*)
52, 3, 4sylancl 587 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„*)
6 simprr 772 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
75ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„*)
8 simplrl 776 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
97, 8ffvelcdmd 7041 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ*)
10 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
117, 10ffvelcdmd 7041 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
12 metdscn.c . . . . . . . . 9 𝐢 = (distβ€˜β„*𝑠)
1312xrsdsval 20857 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))))
149, 11, 13syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))))
15 metdscn.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
16 metdscn.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (MetOpenβ€˜πΆ)
17 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
18 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
19 simplrr 777 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
20 xmetsym 23716 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑀))
2117, 10, 8, 20syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑀𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑀))
22 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)
2321, 22eqbrtrd 5132 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑀𝐷𝑧) < π‘Ÿ)
241, 15, 12, 16, 17, 18, 10, 8, 19, 23metdscnlem 24234 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)) < π‘Ÿ)
251, 15, 12, 16, 17, 18, 8, 10, 19, 22metdscnlem 24234 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ)
26 breq1 5113 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) β†’ (((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)) < π‘Ÿ ↔ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) < π‘Ÿ))
27 breq1 5113 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€)) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ ↔ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) < π‘Ÿ))
2826, 27ifboth 4530 . . . . . . . 8 ((((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)) < π‘Ÿ ∧ ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ) β†’ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) < π‘Ÿ)
2924, 25, 28syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€), ((πΉβ€˜π‘€) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘§)), ((πΉβ€˜π‘§) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π‘€))) < π‘Ÿ)
3014, 29eqbrtrd 5132 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ)
3130expr 458 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
3231ralrimiva 3144 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
33 breq2 5114 . . . . 5 (𝑠 = π‘Ÿ β†’ ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 ↔ (𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ))
3433rspceaimv 3588 . . . 4 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < π‘Ÿ β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
356, 32, 34syl2anc 585 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
3635ralrimivva 3198 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))
37 simpl 484 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3812xrsxmet 24188 . . 3 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*)
3915, 16metcn 23915 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))))
4037, 38, 39sylancl 587 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑀) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝐢(πΉβ€˜π‘€)) < π‘Ÿ))))
415, 36, 40mpbir2and 712 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   βŠ† wss 3915  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ran crn 5639  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  infcinf 9384  0cc0 11058  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197  β„+crp 12922  -𝑒cxne 13037   +𝑒 cxad 13038  [,]cicc 13274  distcds 17149  β„*𝑠cxrs 17389  βˆžMetcxmet 20797  MetOpencmopn 20802   Cn ccn 22591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-ec 8657  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-icc 13278  df-fz 13432  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-struct 17026  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-topgen 17332  df-xrs 17391  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595
This theorem is referenced by:  metdscn2  24236
  Copyright terms: Public domain W3C validator