Theorem metdscn 24796

Description: The function 𝐹 which gives the distance from a point to a set is a continuous function into the metric topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdscn.c	⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
metdscn.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
metdscn	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdscn

Dummy variables 𝑤 𝑟 𝑧 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metdscn.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2	1	metdsf 24788	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3		iccssxr 13447	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4		fss 6722	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
5	2, 3, 4	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
6		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
7	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
8		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
9	7, 8	ffvelcdmd 7075	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ*)
10		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑤 ∈ 𝑋)
11	7, 10	ffvelcdmd 7075	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ*)
12		metdscn.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
13	12	xrsdsval 21378	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) = if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))))
14	9, 11, 13	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) = if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))))
15		metdscn.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
16		metdscn.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
17		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
18		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
19		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
20		xmetsym 24286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑤𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑤))
21	17, 10, 8, 20	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑤𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑤))
22		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)
23	21, 22	eqbrtrd 5141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑤𝐷𝑧) < 𝑟)
24	1, 15, 12, 16, 17, 18, 10, 8, 19, 23	metdscnlem 24795	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)) < 𝑟)
25	1, 15, 12, 16, 17, 18, 8, 10, 19, 22	metdscnlem 24795	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤)) < 𝑟)
26		breq1 5122	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)) = if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) → (((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)) < 𝑟 ↔ if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) < 𝑟))
27		breq1 5122	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤)) = if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) → (((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤)) < 𝑟 ↔ if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) < 𝑟))
28	26, 27	ifboth 4540	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)) < 𝑟 ∧ ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤)) < 𝑟) → if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) < 𝑟)
29	24, 25, 28	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → if((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤), ((𝐹‘𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑧)), ((𝐹‘𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝑤))) < 𝑟)
30	14, 29	eqbrtrd 5141	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟)
31	30	expr 456	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
32	31	ralrimiva 3132	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
33		breq2 5123	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑟 → ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 ↔ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟))
34	33	rspceaimv 3607	. . . 4 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
35	6, 32, 34	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
36	35	ralrimivva 3187	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))
37		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
38	12	xrsxmet 24749	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)
39	15, 16	metcn 24482	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))))
40	37, 38, 39	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹‘𝑧)𝐶(𝐹‘𝑤)) < 𝑟))))
41	5, 36, 40	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3926  ifcif 4500   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ran crn 5655  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  infcinf 9453  0cc0 11129  +∞cpnf 11266  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270  ℝ⁺crp 13008  -_𝑒cxne 13125   +_𝑒 cxad 13126  [,]cicc 13365  distcds 17280  ℝ^*_𝑠cxrs 17514  ∞Metcxmet 21300  MetOpencmopn 21305   Cn ccn 23162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-ec 8721  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-icc 13369  df-fz 13525  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-topgen 17457  df-xrs 17516  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-top 22832  df-topon 22849  df-bases 22884  df-cn 23165  df-cnp 23166

This theorem is referenced by:  metdscn2  24797