MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvrid 22004
Description: The 𝑋𝑖-th coefficient of the term 𝑋𝑖 is 1. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrfval.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrfval.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
mvrfval.z 0 = (0g𝑅)
mvrfval.o 1 = (1r𝑅)
mvrfval.i (𝜑𝐼𝑊)
mvrfval.r (𝜑𝑅𝑌)
mvrval.x (𝜑𝑋𝐼)
Assertion
Ref Expression
mvrid (𝜑 → ((𝑉𝑋)‘(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) = 1 )
Distinct variable groups:   𝑦,𝐷   𝑦,𝑊   𝑦,,𝐼   ,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,)   𝐷()   𝑅(𝑦,)   1 (𝑦,)   𝑉(𝑦,)   𝑊()   𝑌(𝑦,)   0 (𝑦,)

Proof of Theorem mvrid
StepHypRef Expression
1 mvrfval.v . . 3 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
2 mvrfval.d . . 3 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
3 mvrfval.z . . 3 0 = (0g𝑅)
4 mvrfval.o . . 3 1 = (1r𝑅)
5 mvrfval.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
6 mvrfval.r . . 3 (𝜑𝑅𝑌)
7 mvrval.x . . 3 (𝜑𝑋𝐼)
8 1nn0 12542 . . . 4 1 ∈ ℕ0
92snifpsrbag 21940 . . . 4 ((𝐼𝑊 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ 𝐷)
105, 8, 9sylancl 586 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ 𝐷)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10mvrval2 22003 . 2 (𝜑 → ((𝑉𝑋)‘(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) = if((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), 1 , 0 ))
12 eqid 2737 . . 3 (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))
1312iftruei 4532 . 2 if((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), 1 , 0 ) = 1
1411, 13eqtrdi 2793 1 (𝜑 → ((𝑉𝑋)‘(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  ifcif 4525  cmpt 5225  ccnv 5684  cima 5688  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  Fincfn 8985  0cc0 11155  1c1 11156  cn 12266  0cn0 12526  0gc0g 17484  1rcur 20178   mVar cmvr 21925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-nn 12267  df-n0 12527  df-mvr 21930
This theorem is referenced by:  mvrf1  22006
  Copyright terms: Public domain W3C validator