Theorem mvrf1 21902

Description: The power series variable function is injective if the base ring is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvrf.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mvrf.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mvrf.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mvrf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mvrf1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mvrf1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mvrf1.n	⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
mvrf1	⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼–1-1→𝐵)

Proof of Theorem mvrf1

Dummy variables ℎ 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvrf.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mvrf.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3		mvrf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
4		mvrf.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		mvrf.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	1, 2, 3, 4, 5	mvrf 21901	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)
7		mvrf1.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))) → 1 ≠ 0 )
9		simp2r 1201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))
10	9	fveq1d 6863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑉‘𝑥)‘(𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))) = ((𝑉‘𝑦)‘(𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))))
11		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
12		mvrf1.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13		mvrf1.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14	4	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝐼 ∈ 𝑊)
15	5	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝑅 ∈ Ring)
16		simp2ll 1241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐼)
17	2, 11, 12, 13, 14, 15, 16	mvrid 21900	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑉‘𝑥)‘(𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))) = 1 )
18		simp2lr 1242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐼)
19		1nn0 12465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
20	11	snifpsrbag 21836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
21	14, 19, 20	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
22	2, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 21	mvrval2 21899	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑉‘𝑦)‘(𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))) = if((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ))
23	10, 17, 22	3eqtr3d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 1 = if((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ))
24		simp3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
25		mpteqb 6990	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0 → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)))
26		0nn0 12464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27	19, 26	ifcli 4539	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0)
29	25, 28	mprg 3051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0))
30		iftrue 4497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = 1)
31		eqeq1 2734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
32	31	ifbid 4515	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑦, 1, 0) = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0))
33	30, 32	eqeq12d 2746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0) ↔ 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
34	33	rspcv 3587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (∀𝑧 ∈ 𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0) → 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
35	29, 34	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
36	16, 35	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
37		ax-1ne0 11144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≠ 0
38		eqeq1 2734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → (1 = 0 ↔ if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0))
39	38	necon3abid 2962	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → (1 ≠ 0 ↔ ¬ if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0))
40	37, 39	mpbii 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → ¬ if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0)
41		iffalse 4500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0)
42	40, 41	nsyl2 141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → 𝑥 = 𝑦)
43	36, 42	syl6 35	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → 𝑥 = 𝑦))
44	24, 43	mtod 198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ¬ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)))
45		iffalse 4500	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → if((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ) = 0 )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → if((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ) = 0 )
47	23, 46	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 1 = 0 )
48	47	3expia 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → 1 = 0 ))
49	48	necon1ad 2943	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))) → ( 1 ≠ 0 → 𝑥 = 𝑦))
50	8, 49	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))) → 𝑥 = 𝑦)
51	50	expr 456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → ((𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
52	51	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
53		dff13 7232	. 2 ⊢ (𝑉:𝐼–1-1→𝐵 ↔ (𝑉:𝐼⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
54	6, 52, 53	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼–1-1→𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  {crab 3408  ifcif 4491   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5640   “ cima 5644  ⟶wf 6510  –1-1→wf1 6511  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8802  Fincfn 8921  0cc0 11075  1c1 11076  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  Basecbs 17186  0_gc0g 17409  1_rcur 20097  Ringcrg 20149   mPwSer cmps 21820   mVar cmvr 21821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-tset 17246  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-psr 21825  df-mvr 21826

This theorem is referenced by: (None)