MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvrf1 22006
Description: The power series variable function is injective if the base ring is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrf.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mvrf.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrf.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mvrf.i (𝜑𝐼𝑊)
mvrf.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mvrf1.z 0 = (0g𝑅)
mvrf1.o 1 = (1r𝑅)
mvrf1.n (𝜑10 )
Assertion
Ref Expression
mvrf1 (𝜑𝑉:𝐼1-1𝐵)

Proof of Theorem mvrf1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvrf.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 mvrf.v . . 3 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3 mvrf.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
4 mvrf.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
5 mvrf.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
61, 2, 3, 4, 5mvrf 22005 . 2 (𝜑𝑉:𝐼𝐵)
7 mvrf1.n . . . . . 6 (𝜑10 )
87adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦))) → 10 )
9 simp2r 1201 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦))
109fveq1d 6908 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑉𝑥)‘(𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))) = ((𝑉𝑦)‘(𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))))
11 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
12 mvrf1.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑅)
13 mvrf1.o . . . . . . . . . 10 1 = (1r𝑅)
1443ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝐼𝑊)
1553ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝑅 ∈ Ring)
16 simp2ll 1241 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥𝐼)
172, 11, 12, 13, 14, 15, 16mvrid 22004 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑉𝑥)‘(𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))) = 1 )
18 simp2lr 1242 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝑦𝐼)
19 1nn0 12542 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
2011snifpsrbag 21940 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑊 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
2114, 19, 20sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
222, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 21mvrval2 22003 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑉𝑦)‘(𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))) = if((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ))
2310, 17, 223eqtr3d 2785 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 1 = if((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ))
24 simp3 1139 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
25 mpteqb 7035 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑧𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0 → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) ↔ ∀𝑧𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)))
26 0nn0 12541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℕ0
2719, 26ifcli 4573 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝐼 → if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0)
2925, 28mprg 3067 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) ↔ ∀𝑧𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0))
30 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = 1)
31 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 = 𝑦𝑥 = 𝑦))
3231ifbid 4549 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑦, 1, 0) = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0))
3330, 32eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0) ↔ 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
3433rspcv 3618 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐼 → (∀𝑧𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0) → 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
3529, 34biimtrid 242 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐼 → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
3616, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
37 ax-1ne0 11224 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 0
38 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → (1 = 0 ↔ if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0))
3938necon3abid 2977 . . . . . . . . . . . . 13 (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → (1 ≠ 0 ↔ ¬ if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0))
4037, 39mpbii 233 . . . . . . . . . . . 12 (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → ¬ if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0)
41 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0)
4240, 41nsyl2 141 . . . . . . . . . . 11 (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → 𝑥 = 𝑦)
4336, 42syl6 35 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → 𝑥 = 𝑦))
4424, 43mtod 198 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ¬ (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)))
45 iffalse 4534 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → if((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ) = 0 )
4644, 45syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → if((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ) = 0 )
4723, 46eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 1 = 0 )
48473expia 1122 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦))) → (¬ 𝑥 = 𝑦1 = 0 ))
4948necon1ad 2957 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦))) → ( 10𝑥 = 𝑦))
508, 49mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦))) → 𝑥 = 𝑦)
5150expr 456 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼)) → ((𝑉𝑥) = (𝑉𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
5251ralrimivva 3202 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑥) = (𝑉𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
53 dff13 7275 . 2 (𝑉:𝐼1-1𝐵 ↔ (𝑉:𝐼𝐵 ∧ ∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑥) = (𝑉𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
546, 52, 53sylanbrc 583 1 (𝜑𝑉:𝐼1-1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  {crab 3436  ifcif 4525  cmpt 5225  ccnv 5684  cima 5688  wf 6557  1-1wf1 6558  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  Fincfn 8985  0cc0 11155  1c1 11156  cn 12266  0cn0 12526  Basecbs 17247  0gc0g 17484  1rcur 20178  Ringcrg 20230   mPwSer cmps 21924   mVar cmvr 21925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-psr 21929  df-mvr 21930
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator