Theorem mvrf1 22348

Description: The power series variable function is injective if the base ring is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvrf.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mvrf.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mvrf.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mvrf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mvrf1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mvrf1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mvrf1.n	⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
mvrf1	⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶1-1𝐵)

Proof of Theorem mvrf1

Dummy variables ℎ 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvrf.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mvrf.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3		mvrf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
4		mvrf.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		mvrf.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	1, 2, 3, 4, 5	mvrf 22347	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)
7		mvrf1.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))) → 1 ≠ 0 )
9		simp2r 1219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))
10	9	fveq1d 6918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑉‘𝑥)‘(𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))) = ((𝑉‘𝑦)‘(𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))))
11		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
12		mvrf1.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13		mvrf1.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14	4	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝐼 ∈ 𝑊)
15	5	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝑅 ∈ Ring)
16		simp2ll 1259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐼)
17	2, 11, 12, 13, 14, 15, 16	mvrid 22346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑉‘𝑥)‘(𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))) = 1 )
18		simp2lr 1260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐼)
19		1nn0 12662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
20	11	snifpsrbag 22283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
21	14, 19, 20	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
22	2, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 21	mvrval2 22345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑉‘𝑦)‘(𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))) = if((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ))
23	10, 17, 22	3eqtr3d 2806	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 1 = if((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ))
24		simp3 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
25		mpteqb 7044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0 → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)))
26		0nn0 12661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27	19, 26	ifcli 4533	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0)
29	25, 28	mprg 3086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0))
30		iftrue 4491	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = 1)
31		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
32	31	ifbid 4509	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑦, 1, 0) = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0))
33	30, 32	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0) ↔ 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
34	33	rspcv 3576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (∀𝑧 ∈ 𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0) → 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
35	29, 34	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
36	16, 35	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
37		ax-1ne0 11308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≠ 0
38		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → (1 = 0 ↔ if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0))
39	38	necon3abid 2995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → (1 ≠ 0 ↔ ¬ if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0))
40	37, 39	mpbii 236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → ¬ if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0)
41		iffalse 4494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0)
42	40, 41	nsyl2 142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → 𝑥 = 𝑦)
43	36, 42	syl6 36	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → 𝑥 = 𝑦))
44	24, 43	mtod 201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ¬ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)))
45		iffalse 4494	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → if((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ) = 0 )
46	44, 45	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → if((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ) = 0 )
47	23, 46	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 1 = 0 )
48	47	3expia 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → 1 = 0 ))
49	48	necon1ad 2976	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))) → ( 1 ≠ 0 → 𝑥 = 𝑦))
50	8, 49	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))) → 𝑥 = 𝑦)
51	50	expr 462	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → ((𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
52	51	ralrimivva 3209	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
53		dff13 7289	. 2 ⊢ (𝑉:𝐼⟶1-1𝐵 ↔ (𝑉:𝐼⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
54	6, 52, 53	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶1-1𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  {crab 3416  ifcif 4485   ↦ cmpt 5192  ^◡ccnv 5657   “ cima 5661  ⟶wf 6562  ⟶1-1wf1 6563  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  Fincfn 9011  0cc0 11239  1c1 11240  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  Basecbs 17431  0_gc0g 17660  1_rcur 20458  Ringcrg 20510   mPwSer cmps 22267   mVar cmvr 22268

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-tset 17492  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-ring 20512  df-psr 22272  df-mvr 22273

This theorem is used by: (None)