Theorem mvrf1 22116

Description: The power series variable function is injective if the base ring is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvrf.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mvrf.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mvrf.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mvrf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mvrf1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mvrf1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mvrf1.n	⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
mvrf1	⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼–1-1→𝐵)

Proof of Theorem mvrf1

Dummy variables ℎ 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvrf.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mvrf.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3		mvrf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
4		mvrf.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		mvrf.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	1, 2, 3, 4, 5	mvrf 22115	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)
7		mvrf1.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
8	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))) → 1 ≠ 0 )
9		simp2r 1219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))
10	9	fveq1d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑉‘𝑥)‘(𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))) = ((𝑉‘𝑦)‘(𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))))
11		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
12		mvrf1.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13		mvrf1.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14	4	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝐼 ∈ 𝑊)
15	5	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝑅 ∈ Ring)
16		simp2ll 1259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐼)
17	2, 11, 12, 13, 14, 15, 16	mvrid 22114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑉‘𝑥)‘(𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))) = 1 )
18		simp2lr 1260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐼)
19		1nn0 12521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
20	11	snifpsrbag 22051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
21	14, 19, 20	sylancl 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
22	2, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 21	mvrval2 22113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑉‘𝑦)‘(𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))) = if((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ))
23	10, 17, 22	3eqtr3d 2806	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 1 = if((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ))
24		simp3 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
25		mpteqb 7011	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0 → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)))
26		0nn0 12520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27	19, 26	ifcli 4536	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0)
29	25, 28	mprg 3085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0))
30		iftrue 4494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = 1)
31		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
32	31	ifbid 4512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑦, 1, 0) = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0))
33	30, 32	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0) ↔ 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
34	33	rspcv 3578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (∀𝑧 ∈ 𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0) → 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
35	29, 34	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
36	16, 35	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
37		ax-1ne0 11170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≠ 0
38		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → (1 = 0 ↔ if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0))
39	38	necon3abid 2994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → (1 ≠ 0 ↔ ¬ if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0))
40	37, 39	mpbii 236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → ¬ if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0)
41		iffalse 4497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0)
42	40, 41	nsyl2 142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → 𝑥 = 𝑦)
43	36, 42	syl6 36	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → 𝑥 = 𝑦))
44	24, 43	mtod 201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ¬ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)))
45		iffalse 4497	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → if((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ) = 0 )
46	44, 45	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → if((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ) = 0 )
47	23, 46	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 1 = 0 )
48	47	3expia 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → 1 = 0 ))
49	48	necon1ad 2975	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))) → ( 1 ≠ 0 → 𝑥 = 𝑦))
50	8, 49	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))) → 𝑥 = 𝑦)
51	50	expr 461	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → ((𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
52	51	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
53		dff13 7254	. 2 ⊢ (𝑉:𝐼–1-1→𝐵 ↔ (𝑉:𝐼⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
54	6, 52, 53	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼–1-1→𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  {crab 3416  ifcif 4488   ↦ cmpt 5193  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  ⟶wf 6534  –1-1→wf1 6535  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8825  Fincfn 8944  0cc0 11101  1c1 11102  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12505  Basecbs 17270  0_gc0g 17493  1_rcur 20264  Ringcrg 20316   mPwSer cmps 22035   mVar cmvr 22036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-tset 17330  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-mgp 20218  df-ur 20265  df-ring 20318  df-psr 22040  df-mvr 22041

This theorem is referenced by: (None)