Theorem mvrf1 21960

Description: The power series variable function is injective if the base ring is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvrf.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mvrf.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mvrf.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mvrf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mvrf1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mvrf1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mvrf1.n	⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
mvrf1	⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼–1-1→𝐵)

Proof of Theorem mvrf1

Dummy variables ℎ 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvrf.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mvrf.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3		mvrf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
4		mvrf.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		mvrf.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	1, 2, 3, 4, 5	mvrf 21959	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)
7		mvrf1.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
8	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))) → 1 ≠ 0 )
9		simp2r 1207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))
10	9	fveq1d 6829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑉‘𝑥)‘(𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))) = ((𝑉‘𝑦)‘(𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))))
11		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
12		mvrf1.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13		mvrf1.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14	4	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝐼 ∈ 𝑊)
15	5	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝑅 ∈ Ring)
16		simp2ll 1247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐼)
17	2, 11, 12, 13, 14, 15, 16	mvrid 21958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑉‘𝑥)‘(𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))) = 1 )
18		simp2lr 1248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐼)
19		1nn0 12444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
20	11	snifpsrbag 21895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
21	14, 19, 20	sylancl 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
22	2, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 21	mvrval2 21957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑉‘𝑦)‘(𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))) = if((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ))
23	10, 17, 22	3eqtr3d 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 1 = if((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ))
24		simp3 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
25		mpteqb 6955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0 → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)))
26		0nn0 12443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27	19, 26	ifcli 4502	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0)
29	25, 28	mprg 3059	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0))
30		iftrue 4460	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = 1)
31		eqeq1 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
32	31	ifbid 4478	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑦, 1, 0) = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0))
33	30, 32	eqeq12d 2755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0) ↔ 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
34	33	rspcv 3556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (∀𝑧 ∈ 𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0) → 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
35	29, 34	biimtrid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
36	16, 35	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
37		ax-1ne0 11098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≠ 0
38		eqeq1 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → (1 = 0 ↔ if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0))
39	38	necon3abid 2970	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → (1 ≠ 0 ↔ ¬ if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0))
40	37, 39	mpbii 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → ¬ if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0)
41		iffalse 4463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0)
42	40, 41	nsyl2 141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → 𝑥 = 𝑦)
43	36, 42	syl6 35	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → 𝑥 = 𝑦))
44	24, 43	mtod 199	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ¬ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)))
45		iffalse 4463	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → if((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ) = 0 )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → if((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ) = 0 )
47	23, 46	eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 1 = 0 )
48	47	3expia 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → 1 = 0 ))
49	48	necon1ad 2951	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))) → ( 1 ≠ 0 → 𝑥 = 𝑦))
50	8, 49	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))) → 𝑥 = 𝑦)
51	50	expr 457	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → ((𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
52	51	ralrimivva 3182	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
53		dff13 7198	. 2 ⊢ (𝑉:𝐼–1-1→𝐵 ↔ (𝑉:𝐼⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
54	6, 52, 53	sylanbrc 589	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼–1-1→𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  {crab 3391  ifcif 4454   ↦ cmpt 5153  ^◡ccnv 5617   “ cima 5621  ⟶wf 6481  –1-1→wf1 6482  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  0cc0 11029  1c1 11030  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  1_rcur 20153  Ringcrg 20205   mPwSer cmps 21879   mVar cmvr 21880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-tset 17230  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-psr 21884  df-mvr 21885

This theorem is referenced by: (None)