Theorem mvrf1 22100

Description: The power series variable function is injective if the base ring is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvrf.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mvrf.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mvrf.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mvrf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mvrf1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mvrf1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mvrf1.n	⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
mvrf1	⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼–1-1→𝐵)

Proof of Theorem mvrf1

Dummy variables ℎ 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvrf.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mvrf.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3		mvrf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
4		mvrf.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		mvrf.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	1, 2, 3, 4, 5	mvrf 22099	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)
7		mvrf1.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
8	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))) → 1 ≠ 0 )
9		simp2r 1217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))
10	9	fveq1d 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑉‘𝑥)‘(𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))) = ((𝑉‘𝑦)‘(𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))))
11		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
12		mvrf1.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13		mvrf1.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14	4	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝐼 ∈ 𝑊)
15	5	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝑅 ∈ Ring)
16		simp2ll 1257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐼)
17	2, 11, 12, 13, 14, 15, 16	mvrid 22098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑉‘𝑥)‘(𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))) = 1 )
18		simp2lr 1258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐼)
19		1nn0 12516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
20	11	snifpsrbag 22035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
21	14, 19, 20	sylancl 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
22	2, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 21	mvrval2 22097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑉‘𝑦)‘(𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))) = if((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ))
23	10, 17, 22	3eqtr3d 2812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 1 = if((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ))
24		simp3 1154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
25		mpteqb 7007	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0 → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)))
26		0nn0 12515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27	19, 26	ifcli 4537	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0)
29	25, 28	mprg 3091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0))
30		iftrue 4495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = 1)
31		eqeq1 2773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
32	31	ifbid 4513	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑦, 1, 0) = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0))
33	30, 32	eqeq12d 2785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0) ↔ 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
34	33	rspcv 3586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (∀𝑧 ∈ 𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0) → 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
35	29, 34	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
36	16, 35	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
37		ax-1ne0 11165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≠ 0
38		eqeq1 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → (1 = 0 ↔ if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0))
39	38	necon3abid 3000	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → (1 ≠ 0 ↔ ¬ if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0))
40	37, 39	mpbii 236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → ¬ if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0)
41		iffalse 4498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0)
42	40, 41	nsyl2 142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → 𝑥 = 𝑦)
43	36, 42	syl6 36	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → 𝑥 = 𝑦))
44	24, 43	mtod 201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ¬ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)))
45		iffalse 4498	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → if((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ) = 0 )
46	44, 45	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → if((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ) = 0 )
47	23, 46	eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 1 = 0 )
48	47	3expia 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → 1 = 0 ))
49	48	necon1ad 2981	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))) → ( 1 ≠ 0 → 𝑥 = 𝑦))
50	8, 49	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) ∧ (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦))) → 𝑥 = 𝑦)
51	50	expr 461	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → ((𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
52	51	ralrimivva 3214	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
53		dff13 7250	. 2 ⊢ (𝑉:𝐼–1-1→𝐵 ↔ (𝑉:𝐼⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
54	6, 52, 53	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼–1-1→𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  {crab 3423  ifcif 4489   ↦ cmpt 5193  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ⟶wf 6529  –1-1→wf1 6530  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939  0cc0 11096  1c1 11097  ℕcn 12229  ℕ₀cn0 12500  Basecbs 17265  0_gc0g 17488  1_rcur 20259  Ringcrg 20311   mPwSer cmps 22019   mVar cmvr 22020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-tset 17325  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-mgp 20213  df-ur 20260  df-ring 20313  df-psr 22024  df-mvr 22025

This theorem is referenced by: (None)