MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvrf1 21928
Description: The power series variable function is injective if the base ring is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrf.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mvrf.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrf.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mvrf.i (𝜑𝐼𝑊)
mvrf.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mvrf1.z 0 = (0g𝑅)
mvrf1.o 1 = (1r𝑅)
mvrf1.n (𝜑10 )
Assertion
Ref Expression
mvrf1 (𝜑𝑉:𝐼1-1𝐵)

Proof of Theorem mvrf1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvrf.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 mvrf.v . . 3 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3 mvrf.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
4 mvrf.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
5 mvrf.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
61, 2, 3, 4, 5mvrf 21927 . 2 (𝜑𝑉:𝐼𝐵)
7 mvrf1.n . . . . . 6 (𝜑10 )
87adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦))) → 10 )
9 simp2r 1198 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦))
109fveq1d 6899 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑉𝑥)‘(𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))) = ((𝑉𝑦)‘(𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))))
11 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
12 mvrf1.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑅)
13 mvrf1.o . . . . . . . . . 10 1 = (1r𝑅)
1443ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝐼𝑊)
1553ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝑅 ∈ Ring)
16 simp2ll 1238 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥𝐼)
172, 11, 12, 13, 14, 15, 16mvrid 21926 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑉𝑥)‘(𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))) = 1 )
18 simp2lr 1239 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝑦𝐼)
19 1nn0 12519 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
2011snifpsrbag 21855 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑊 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
2114, 19, 20sylancl 585 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
222, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 21mvrval2 21925 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑉𝑦)‘(𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))) = if((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ))
2310, 17, 223eqtr3d 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 1 = if((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ))
24 simp3 1136 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
25 mpteqb 7024 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑧𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0 → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) ↔ ∀𝑧𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)))
26 0nn0 12518 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℕ0
2719, 26ifcli 4576 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝐼 → if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0)
2925, 28mprg 3064 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) ↔ ∀𝑧𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0))
30 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = 1)
31 eqeq1 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 = 𝑦𝑥 = 𝑦))
3231ifbid 4552 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑦, 1, 0) = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0))
3330, 32eqeq12d 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0) ↔ 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
3433rspcv 3605 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐼 → (∀𝑧𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0) → 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
3529, 34biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐼 → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
3616, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
37 ax-1ne0 11208 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 0
38 eqeq1 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → (1 = 0 ↔ if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0))
3938necon3abid 2974 . . . . . . . . . . . . 13 (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → (1 ≠ 0 ↔ ¬ if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0))
4037, 39mpbii 232 . . . . . . . . . . . 12 (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → ¬ if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0)
41 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0)
4240, 41nsyl2 141 . . . . . . . . . . 11 (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → 𝑥 = 𝑦)
4336, 42syl6 35 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → 𝑥 = 𝑦))
4424, 43mtod 197 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ¬ (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)))
45 iffalse 4538 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → if((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ) = 0 )
4644, 45syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → if((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ) = 0 )
4723, 46eqtrd 2768 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 1 = 0 )
48473expia 1119 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦))) → (¬ 𝑥 = 𝑦1 = 0 ))
4948necon1ad 2954 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦))) → ( 10𝑥 = 𝑦))
508, 49mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦))) → 𝑥 = 𝑦)
5150expr 456 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼)) → ((𝑉𝑥) = (𝑉𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
5251ralrimivva 3197 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑥) = (𝑉𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
53 dff13 7265 . 2 (𝑉:𝐼1-1𝐵 ↔ (𝑉:𝐼𝐵 ∧ ∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑥) = (𝑉𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
546, 52, 53sylanbrc 582 1 (𝜑𝑉:𝐼1-1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  wral 3058  {crab 3429  ifcif 4529  cmpt 5231  ccnv 5677  cima 5681  wf 6544  1-1wf1 6545  cfv 6548  (class class class)co 7420  m cmap 8845  Fincfn 8964  0cc0 11139  1c1 11140  cn 12243  0cn0 12503  Basecbs 17180  0gc0g 17421  1rcur 20121  Ringcrg 20173   mPwSer cmps 21837   mVar cmvr 21838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-tset 17252  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-mgp 20075  df-ur 20122  df-ring 20175  df-psr 21842  df-mvr 21843
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator