Theorem mvrf 22285

Description: The power series variable function is a function from the index set to elements of the power series structure representing 𝑋𝑖 for each 𝑖. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvrf.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mvrf.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mvrf.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mvrf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
mvrf	⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)

Proof of Theorem mvrf

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvrf.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
5		mvrf.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		mvrf.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mvrfval 22281	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
8		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 4	ringidcl 20487	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10	6, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11	8, 3	ring0cl 20489	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
12	6, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
13	10, 12	ifcld 4529	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
14	13	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
15	14	fmpttd 7113	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
16		fvex 6896	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
17		ovex 7451	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
18	17	rabex 5300	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
19	16, 18	elmap 8892	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
20	15, 19	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}))
21		mvrf.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
22		mvrf.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
23	21, 8, 2, 22, 5	psrbas 22235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}))
24	23	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}))
25	20, 24	eleqtrrd 2864	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ 𝐵)
26	7, 25	fmpt3d 7114	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413  ifcif 4482   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ↑_m cmap 8840  Fincfn 8966  0cc0 11193  1c1 11194  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  Basecbs 17380  0_gc0g 17603  1_rcur 20400  Ringcrg 20452   mPwSer cmps 22205   mVar cmvr 22206

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-tset 17440  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-mgp 20354  df-ur 20401  df-ring 20454  df-psr 22210  df-mvr 22211

This theorem is used by:  mvrf1  22286  mvrcl2  22287  mvrf2  22293  subrgmvrf  22336  mplbas2  22344  evlseu  22385