Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvrf 20660
 Description: The power series variable function is a function from the index set to elements of the power series structure representing 𝑋𝑖 for each 𝑖. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrf.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mvrf.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrf.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mvrf.i (𝜑𝐼𝑊)
mvrf.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
mvrf (𝜑𝑉:𝐼𝐵)

Proof of Theorem mvrf
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvrf.v . . 3 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
2 eqid 2822 . . 3 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
3 eqid 2822 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
4 eqid 2822 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
5 mvrf.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
6 mvrf.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
71, 2, 3, 4, 5, 6mvrfval 20656 . 2 (𝜑𝑉 = (𝑥𝐼 ↦ (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))))
8 eqid 2822 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
98, 4ringidcl 19312 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
106, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
118, 3ring0cl 19313 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
126, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1310, 12ifcld 4484 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
1413ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
1514fmpttd 6861 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))):{ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
16 fvex 6665 . . . . 5 (Base‘𝑅) ∈ V
17 ovex 7173 . . . . . 6 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
1817rabex 5211 . . . . 5 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
1916, 18elmap 8422 . . . 4 ((𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))):{ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
2015, 19sylibr 237 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}))
21 mvrf.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
22 mvrf.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
2321, 8, 2, 22, 5psrbas 20614 . . . 4 (𝜑𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}))
2423adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}))
2520, 24eleqtrrd 2917 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ 𝐵)
267, 25fmpt3d 6862 1 (𝜑𝑉:𝐼𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  {crab 3134  ifcif 4439   ↦ cmpt 5122  ◡ccnv 5531   “ cima 5535  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ↑m cmap 8393  Fincfn 8496  0cc0 10526  1c1 10527  ℕcn 11625  ℕ0cn0 11885  Basecbs 16474  0gc0g 16704  1rcur 19242  Ringcrg 19288   mPwSer cmps 20587   mVar cmvr 20588 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-tset 16575  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-psr 20592  df-mvr 20593 This theorem is referenced by:  mvrf1  20661  mvrcl2  20662  subrgmvrf  20700  mplbas2  20708  mvrf2  20729  evlseu  20753
 Copyright terms: Public domain W3C validator