Theorem mvrf 21543

Description: The power series variable function is a function from the index set to elements of the power series structure representing 𝑋𝑖 for each 𝑖. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvrf.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mvrf.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mvrf.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mvrf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
mvrf	⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)

Proof of Theorem mvrf

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvrf.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
2		eqid 2732	. . 3 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
3		eqid 2732	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		eqid 2732	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
5		mvrf.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		mvrf.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mvrfval 21539	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
8		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 4	ringidcl 20082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10	6, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11	8, 3	ring0cl 20083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
12	6, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
13	10, 12	ifcld 4574	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
14	13	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
15	14	fmpttd 7114	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
16		fvex 6904	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
17		ovex 7441	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
18	17	rabex 5332	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
19	16, 18	elmap 8864	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
20	15, 19	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}))
21		mvrf.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
22		mvrf.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
23	21, 8, 2, 22, 5	psrbas 21496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}))
24	23	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}))
25	20, 24	eleqtrrd 2836	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ 𝐵)
26	7, 25	fmpt3d 7115	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  ifcif 4528   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5675   “ cima 5679  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8819  Fincfn 8938  0cc0 11109  1c1 11110  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12471  Basecbs 17143  0_gc0g 17384  1_rcur 20003  Ringcrg 20055   mPwSer cmps 21456   mVar cmvr 21457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-tset 17215  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-psr 21461  df-mvr 21462

This theorem is referenced by:  mvrf1  21544  mvrcl2  21545  mvrf2  21551  subrgmvrf  21588  mplbas2  21596  evlseu  21645