MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvrf 21264
Description: The power series variable function is a function from the index set to elements of the power series structure representing 𝑋𝑖 for each 𝑖. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrf.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mvrf.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrf.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mvrf.i (𝜑𝐼𝑊)
mvrf.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
mvrf (𝜑𝑉:𝐼𝐵)

Proof of Theorem mvrf
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvrf.v . . 3 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
2 eqid 2737 . . 3 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
3 eqid 2737 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
4 eqid 2737 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
5 mvrf.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
6 mvrf.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
71, 2, 3, 4, 5, 6mvrfval 21260 . 2 (𝜑𝑉 = (𝑥𝐼 ↦ (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))))
8 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
98, 4ringidcl 19874 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
106, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
118, 3ring0cl 19875 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
126, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1310, 12ifcld 4515 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
1413ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
1514fmpttd 7026 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))):{ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
16 fvex 6822 . . . . 5 (Base‘𝑅) ∈ V
17 ovex 7346 . . . . . 6 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
1817rabex 5269 . . . . 5 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
1916, 18elmap 8705 . . . 4 ((𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))):{ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
2015, 19sylibr 233 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}))
21 mvrf.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
22 mvrf.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
2321, 8, 2, 22, 5psrbas 21218 . . . 4 (𝜑𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}))
2423adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}))
2520, 24eleqtrrd 2841 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ 𝐵)
267, 25fmpt3d 7027 1 (𝜑𝑉:𝐼𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  {crab 3404  ifcif 4469  cmpt 5168  ccnv 5604  cima 5608  wf 6459  cfv 6463  (class class class)co 7313  m cmap 8661  Fincfn 8779  0cc0 10941  1c1 10942  cn 12043  0cn0 12303  Basecbs 16979  0gc0g 17217  1rcur 19804  Ringcrg 19850   mPwSer cmps 21178   mVar cmvr 21179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-of 7571  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-supp 8023  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-er 8544  df-map 8663  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-fsupp 9197  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-4 12108  df-5 12109  df-6 12110  df-7 12111  df-8 12112  df-9 12113  df-n0 12304  df-z 12390  df-uz 12653  df-fz 13310  df-struct 16915  df-sets 16932  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-plusg 17042  df-mulr 17043  df-sca 17045  df-vsca 17046  df-tset 17048  df-0g 17219  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-grp 18647  df-mgp 19788  df-ur 19805  df-ring 19852  df-psr 21183  df-mvr 21184
This theorem is referenced by:  mvrf1  21265  mvrcl2  21266  subrgmvrf  21306  mplbas2  21314  mvrf2  21339  evlseu  21364
  Copyright terms: Public domain W3C validator