Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvrf 19832
 Description: The power series variable function is a function from the index set to elements of the power series structure representing 𝑋𝑖 for each 𝑖. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrf.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mvrf.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrf.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mvrf.i (𝜑𝐼𝑊)
mvrf.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
mvrf (𝜑𝑉:𝐼𝐵)

Proof of Theorem mvrf
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvrf.v . . 3 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
2 eqid 2778 . . 3 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
3 eqid 2778 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
4 eqid 2778 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
5 mvrf.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
6 mvrf.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
71, 2, 3, 4, 5, 6mvrfval 19828 . 2 (𝜑𝑉 = (𝑥𝐼 ↦ (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))))
8 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
98, 4ringidcl 18966 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
106, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
118, 3ring0cl 18967 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
126, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1310, 12ifcld 4352 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
1413ad2antrr 716 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
1514fmpttd 6651 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))):{ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
16 fvex 6461 . . . . 5 (Base‘𝑅) ∈ V
17 ovex 6956 . . . . . 6 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
1817rabex 5051 . . . . 5 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
1916, 18elmap 8171 . . . 4 ((𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))):{ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
2015, 19sylibr 226 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}))
21 mvrf.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
22 mvrf.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
2321, 8, 2, 22, 5psrbas 19786 . . . 4 (𝜑𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}))
2423adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}))
2520, 24eleqtrrd 2862 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑓 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ 𝐵)
267, 25fmpt3d 6652 1 (𝜑𝑉:𝐼𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  {crab 3094  ifcif 4307   ↦ cmpt 4967  ◡ccnv 5356   “ cima 5360  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924   ↑𝑚 cmap 8142  Fincfn 8243  0cc0 10274  1c1 10275  ℕcn 11379  ℕ0cn0 11647  Basecbs 16266  0gc0g 16497  1rcur 18899  Ringcrg 18945   mPwSer cmps 19759   mVar cmvr 19760 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-tset 16368  df-0g 16499  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-grp 17823  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-psr 19764  df-mvr 19765 This theorem is referenced by:  mvrf1  19833  mvrcl2  19834  subrgmvrf  19870  mplbas2  19878  mvrf2  19899  evlseu  19923
 Copyright terms: Public domain W3C validator