Theorem mvrf 21856

Description: The power series variable function is a function from the index set to elements of the power series structure representing 𝑋𝑖 for each 𝑖. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvrf.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mvrf.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mvrf.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mvrf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
mvrf	⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)

Proof of Theorem mvrf

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvrf.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
2		eqid 2724	. . 3 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
3		eqid 2724	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		eqid 2724	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
5		mvrf.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		mvrf.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mvrfval 21852	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
8		eqid 2724	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 4	ringidcl 20157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10	6, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11	8, 3	ring0cl 20158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
12	6, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
13	10, 12	ifcld 4567	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
14	13	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
15	14	fmpttd 7107	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
16		fvex 6895	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
17		ovex 7435	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
18	17	rabex 5323	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
19	16, 18	elmap 8862	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
20	15, 19	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}))
21		mvrf.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
22		mvrf.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
23	21, 8, 2, 22, 5	psrbas 21808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}))
24	23	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}))
25	20, 24	eleqtrrd 2828	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ 𝐵)
26	7, 25	fmpt3d 7108	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424  ifcif 4521   ↦ cmpt 5222  ^◡ccnv 5666   “ cima 5670  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402   ↑_m cmap 8817  Fincfn 8936  0cc0 11107  1c1 11108  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12470  Basecbs 17145  0_gc0g 17386  1_rcur 20078  Ringcrg 20130   mPwSer cmps 21768   mVar cmvr 21769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-tset 17217  df-0g 17388  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-mgp 20032  df-ur 20079  df-ring 20132  df-psr 21773  df-mvr 21774

This theorem is referenced by:  mvrf1  21857  mvrcl2  21858  mvrf2  21864  subrgmvrf  21901  mplbas2  21909  evlseu  21958