Theorem mvrf 21894

Description: The power series variable function is a function from the index set to elements of the power series structure representing 𝑋𝑖 for each 𝑖. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvrf.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mvrf.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mvrf.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mvrf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
mvrf	⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)

Proof of Theorem mvrf

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvrf.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
5		mvrf.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		mvrf.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mvrfval 21890	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
8		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 4	ringidcl 20174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10	6, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11	8, 3	ring0cl 20176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
12	6, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
13	10, 12	ifcld 4535	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
14	13	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
15	14	fmpttd 7087	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
16		fvex 6871	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
17		ovex 7420	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
18	17	rabex 5294	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
19	16, 18	elmap 8844	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
20	15, 19	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}))
21		mvrf.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
22		mvrf.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
23	21, 8, 2, 22, 5	psrbas 21842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}))
24	23	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}))
25	20, 24	eleqtrrd 2831	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑓 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ 𝐵)
26	7, 25	fmpt3d 7088	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405  ifcif 4488   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5637   “ cima 5641  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  Fincfn 8918  0cc0 11068  1c1 11069  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  1_rcur 20090  Ringcrg 20142   mPwSer cmps 21813   mVar cmvr 21814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-tset 17239  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144  df-psr 21818  df-mvr 21819

This theorem is referenced by:  mvrf1  21895  mvrcl2  21896  mvrf2  21902  subrgmvrf  21941  mplbas2  21949  evlseu  21990