Theorem nn0enne 16540

Description: A positive integer is an even nonnegative integer iff it is an even positive integer. (Contributed by AV, 30-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0enne	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nn0enne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12601	. . . 4 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) = 0))
2		nncn 12336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		2cnd 12414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
4		2ne0 12442	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
6	2, 3, 5	diveq0ad 12096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
7		eleq1 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
8		0nnn 12367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
9	8	pm2.21i 120	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
10	7, 9	biimtrdi 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
11	10	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 0 → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
12	6, 11	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) = 0 → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
13	12	com12 33	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 / 2) = 0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
14	13	jao1i 872	. . . 4 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) = 0) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
15	1, 14	sylbi 220	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
16	15	com12 33	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
17		nnnn0 12606	. 2 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0)
18	16, 17	impbid1 228	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7418  0cc0 11193   / cdiv 11966  ℕcn 12328  2c2 12390  ℕ₀cn0 12599

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600

This theorem is used by:  nnehalf  16542  blennn0em1  49672  blennn0e2  49675