Theorem 0nnn 12295

Description: Zero is not a positive integer. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.) Remove dependency on ax-pre-mulgt0 11231. (Revised by Steven Nguyen, 30-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
0nnn	⊢ ¬ 0 ∈ ℕ

Proof of Theorem 0nnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2938	. 2 ⊢ ¬ 0 ≠ 0
2		nnne0 12293	. 2 ⊢ (0 ∈ ℕ → 0 ≠ 0)
3	1, 2	mto 196	1 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  0cc0 11154  ℕcn 12259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7426  df-om 7876  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-nn 12260

This theorem is referenced by:  dfn2  12532  nthruc  16249  nthruz  16250  nn0enne  16374  lcmfnnval  16620  lcmfnncl  16625  0nprm  16674  exprmfct  16700  coprm  16707  torsubg  19847  psrbag0  22067  psrbagsn  22068  sqff1o  27202  eulerpartlemt  34161  eulerpartgbij  34162  cvmliftlem4  35068  cvmliftlem5  35069  poimirlem18  37287  expdioph  42618