Theorem blennn0e2 49254

Description: The binary length of an even positive integer is the binary length of the half of the integer, increased by 1. (Contributed by AV, 29-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
blennn0e2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (#b‘𝑁) = ((#b‘(𝑁 / 2)) + 1))

Proof of Theorem blennn0e2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 13017	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		1ne2 12447	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 2
3	2	necomi 3018	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 1
4		eldifsn 4755	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ↔ (2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1))
5	1, 3, 4	mpbir2an 723	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (ℝ+ ∖ {1})
6		nnrp 13024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
7	6	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
8		relogbdivb 49222	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (2 logb (𝑁 / 2)) = ((2 logb 𝑁) − 1))
9	5, 7, 8	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (2 logb (𝑁 / 2)) = ((2 logb 𝑁) − 1))
10	9	fveq2d 6883	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb (𝑁 / 2))) = (⌊‘((2 logb 𝑁) − 1)))
11	10	oveq1d 7423	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(2 logb (𝑁 / 2))) + 1) = ((⌊‘((2 logb 𝑁) − 1)) + 1))
12	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
13	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
14		relogbcl 26900	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
15	12, 6, 13, 14	syl3anc 1396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
16		1zzd 12621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
17	15, 16	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ))
18	17	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ))
19		flsubz 49182	. . . . . 6 ⊢ (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘((2 logb 𝑁) − 1)) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) − 1))
20	18, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘((2 logb 𝑁) − 1)) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) − 1))
21	20	oveq1d 7423	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘((2 logb 𝑁) − 1)) + 1) = (((⌊‘(2 logb 𝑁)) − 1) + 1))
22	15	flcld 13827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12697	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℂ)
24		npcan1 11635	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℂ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) − 1) + 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
25	23, 24	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) − 1) + 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
26	25	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) − 1) + 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
27	11, 21, 26	3eqtrd 2808	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(2 logb (𝑁 / 2))) + 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
28	27	oveq1d 7423	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (((⌊‘(2 logb (𝑁 / 2))) + 1) + 1) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
29		nn0enne 16431	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
30	29	biimpa 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
31		blennn 49235	. . . 4 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (#b‘(𝑁 / 2)) = ((⌊‘(2 logb (𝑁 / 2))) + 1))
32	31	oveq1d 7423	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((#b‘(𝑁 / 2)) + 1) = (((⌊‘(2 logb (𝑁 / 2))) + 1) + 1))
33	30, 32	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ((#b‘(𝑁 / 2)) + 1) = (((⌊‘(2 logb (𝑁 / 2))) + 1) + 1))
34		blennn 49235	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
35	34	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
36	28, 33, 35	3eqtr4rd 2815	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (#b‘𝑁) = ((#b‘(𝑁 / 2)) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ∖ cdif 3910  {csn 4591  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  1c1 11097   + caddc 11099   − cmin 11437   / cdiv 11867  ℕcn 12229  2c2 12291  ℕ₀cn0 12500  ℤcz 12587  ℝ⁺crp 13012  ⌊cfl 13819   log_b clogb 26891  #_bcblen 49229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ioc 13373  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16117  df-sin 16119  df-cos 16120  df-pi 16122  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-mulg 19130  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-lp 23258  df-perf 23259  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-haus 23437  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-cncf 25002  df-limc 25990  df-dv 25991  df-log 26683  df-cxp 26684  df-logb 26892  df-blen 49230

This theorem is referenced by: (None)