Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  odd2np1ALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odd2np1ALTV 47246
Description: An integer is odd iff it is one plus twice another integer. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by AV, 19-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
odd2np1ALTV (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ Odd ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem odd2np1ALTV
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ibar 527 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1))))
2 eqcom 2733 . . . 4 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1))
32a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1)))
43rexbidv 3169 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1)))
5 eqeq1 2730 . . . . 5 (𝑧 = 𝑁 → (𝑧 = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ 𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1)))
65rexbidv 3169 . . . 4 (𝑧 = 𝑁 → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1)))
7 dfodd6 47209 . . . 4 Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑛) + 1)}
86, 7elrab2 3684 . . 3 (𝑁 ∈ Odd ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1)))
98a1i 11 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ Odd ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1))))
101, 4, 93bitr4rd 311 1 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ Odd ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3060  (class class class)co 7424  1c1 11159   + caddc 11161   · cmul 11163  2c2 12319  cz 12610   Odd codd 47197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12611  df-odd 47199
This theorem is referenced by:  oexpnegALTV  47249  oexpnegnz  47250
  Copyright terms: Public domain W3C validator