MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrval2 21465
Description: Self-referential expression for the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrval2.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrval2.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡)
opsrval2.l ≀ = (leβ€˜π‘‚)
opsrval2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrval2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘Š)
opsrval2.t (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
Assertion
Ref Expression
opsrval2 (πœ‘ β†’ 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), ≀ ⟩))

Proof of Theorem opsrval2
Dummy variables 𝑀 β„Ž π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opsrval2.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 opsrval2.o . . 3 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡)
3 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
4 eqid 2733 . . 3 (ltβ€˜π‘…) = (ltβ€˜π‘…)
5 eqid 2733 . . 3 (𝑇 <bag 𝐼) = (𝑇 <bag 𝐼)
6 eqid 2733 . . 3 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
7 eqid 2733 . . 3 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ((π‘₯β€˜π‘§)(ltβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (𝑀(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ((π‘₯β€˜π‘§)(ltβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (𝑀(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))}
8 opsrval2.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
9 opsrval2.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘Š)
10 opsrval2.t . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10opsrval 21463 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ((π‘₯β€˜π‘§)(ltβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (𝑀(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))}⟩))
12 opsrval2.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜π‘‚)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 10opsrle 21464 . . . 4 (πœ‘ β†’ ≀ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ((π‘₯β€˜π‘§)(ltβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (𝑀(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))})
1413opeq2d 4838 . . 3 (πœ‘ β†’ ⟨(leβ€˜ndx), ≀ ⟩ = ⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ((π‘₯β€˜π‘§)(ltβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (𝑀(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))}⟩)
1514oveq2d 7374 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), ≀ ⟩) = (𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ((π‘₯β€˜π‘§)(ltβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (𝑀(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))}⟩))
1611, 15eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), ≀ ⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βŠ† wss 3911  {cpr 4589  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106  {copab 5168   Γ— cxp 5632  β—‘ccnv 5633   β€œ cima 5637  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768  Fincfn 8886  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418   sSet csts 17040  ndxcnx 17070  Basecbs 17088  lecple 17145  ltcplt 18202   mPwSer cmps 21322   <bag cltb 21325   ordPwSer copws 21326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-ltxr 11199  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-dec 12624  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ple 17158  df-psr 21327  df-opsr 21331
This theorem is referenced by:  opsrbaslem  21466  opsrbaslemOLD  21467
  Copyright terms: Public domain W3C validator