MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrval2 21945
Description: Self-referential expression for the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrval2.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrval2.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡)
opsrval2.l ≀ = (leβ€˜π‘‚)
opsrval2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrval2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘Š)
opsrval2.t (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
Assertion
Ref Expression
opsrval2 (πœ‘ β†’ 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), ≀ ⟩))

Proof of Theorem opsrval2
Dummy variables 𝑀 β„Ž π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opsrval2.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 opsrval2.o . . 3 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡)
3 eqid 2726 . . 3 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
4 eqid 2726 . . 3 (ltβ€˜π‘…) = (ltβ€˜π‘…)
5 eqid 2726 . . 3 (𝑇 <bag 𝐼) = (𝑇 <bag 𝐼)
6 eqid 2726 . . 3 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
7 eqid 2726 . . 3 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ((π‘₯β€˜π‘§)(ltβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (𝑀(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ((π‘₯β€˜π‘§)(ltβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (𝑀(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))}
8 opsrval2.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
9 opsrval2.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘Š)
10 opsrval2.t . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10opsrval 21943 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ((π‘₯β€˜π‘§)(ltβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (𝑀(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))}⟩))
12 opsrval2.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜π‘‚)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 10opsrle 21944 . . . 4 (πœ‘ β†’ ≀ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ((π‘₯β€˜π‘§)(ltβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (𝑀(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))})
1413opeq2d 4875 . . 3 (πœ‘ β†’ ⟨(leβ€˜ndx), ≀ ⟩ = ⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ((π‘₯β€˜π‘§)(ltβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (𝑀(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))}⟩)
1514oveq2d 7421 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), ≀ ⟩) = (𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ((π‘₯β€˜π‘§)(ltβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (𝑀(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))}⟩))
1611, 15eqtr4d 2769 1 (πœ‘ β†’ 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), ≀ ⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {crab 3426   βŠ† wss 3943  {cpr 4625  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141  {copab 5203   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476   sSet csts 17105  ndxcnx 17135  Basecbs 17153  lecple 17213  ltcplt 18273   mPwSer cmps 21798   <bag cltb 21801   ordPwSer copws 21802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-dec 12682  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ple 17226  df-psr 21803  df-opsr 21807
This theorem is referenced by:  opsrbaslem  21946  opsrbaslemOLD  21947
  Copyright terms: Public domain W3C validator