MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrval2 21993
Description: Self-referential expression for the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrval2.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrval2.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡)
opsrval2.l ≀ = (leβ€˜π‘‚)
opsrval2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrval2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘Š)
opsrval2.t (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
Assertion
Ref Expression
opsrval2 (πœ‘ β†’ 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), ≀ ⟩))

Proof of Theorem opsrval2
Dummy variables 𝑀 β„Ž π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opsrval2.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 opsrval2.o . . 3 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡)
3 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
4 eqid 2728 . . 3 (ltβ€˜π‘…) = (ltβ€˜π‘…)
5 eqid 2728 . . 3 (𝑇 <bag 𝐼) = (𝑇 <bag 𝐼)
6 eqid 2728 . . 3 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
7 eqid 2728 . . 3 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ((π‘₯β€˜π‘§)(ltβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (𝑀(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ((π‘₯β€˜π‘§)(ltβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (𝑀(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))}
8 opsrval2.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
9 opsrval2.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘Š)
10 opsrval2.t . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10opsrval 21991 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ((π‘₯β€˜π‘§)(ltβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (𝑀(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))}⟩))
12 opsrval2.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜π‘‚)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 10opsrle 21992 . . . 4 (πœ‘ β†’ ≀ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ((π‘₯β€˜π‘§)(ltβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (𝑀(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))})
1413opeq2d 4885 . . 3 (πœ‘ β†’ ⟨(leβ€˜ndx), ≀ ⟩ = ⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ((π‘₯β€˜π‘§)(ltβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (𝑀(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))}⟩)
1514oveq2d 7442 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), ≀ ⟩) = (𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ((π‘₯β€˜π‘§)(ltβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (𝑀(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))}⟩))
1611, 15eqtr4d 2771 1 (πœ‘ β†’ 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), ≀ ⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  {crab 3430   βŠ† wss 3949  {cpr 4634  βŸ¨cop 4638   class class class wbr 5152  {copab 5214   Γ— cxp 5680  β—‘ccnv 5681   β€œ cima 5685  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ↑m cmap 8851  Fincfn 8970  β„•cn 12250  β„•0cn0 12510   sSet csts 17139  ndxcnx 17169  Basecbs 17187  lecple 17247  ltcplt 18307   mPwSer cmps 21844   <bag cltb 21847   ordPwSer copws 21848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-dec 12716  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ple 17260  df-psr 21849  df-opsr 21853
This theorem is referenced by:  opsrbaslem  21994  opsrbaslemOLD  21995
  Copyright terms: Public domain W3C validator