Theorem opsrval2 20259

Description: Self-referential expression for the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrval2.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrval2.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrval2.l	⊢ ≤ = (le‘𝑂)
opsrval2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrval2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
opsrval2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
opsrval2	⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩))

Proof of Theorem opsrval2

Dummy variables 𝑤 ℎ 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsrval2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		opsrval2.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
3		eqid 2823	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		eqid 2823	. . 3 ⊢ (lt‘𝑅) = (lt‘𝑅)
5		eqid 2823	. . 3 ⊢ (𝑇 <bag 𝐼) = (𝑇 <bag 𝐼)
6		eqid 2823	. . 3 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		eqid 2823	. . 3 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (∃𝑧 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ((𝑥‘𝑧)(lt‘𝑅)(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (𝑤(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (∃𝑧 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ((𝑥‘𝑧)(lt‘𝑅)(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (𝑤(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))}
8		opsrval2.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
9		opsrval2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
10		opsrval2.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	opsrval 20257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (∃𝑧 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ((𝑥‘𝑧)(lt‘𝑅)(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (𝑤(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))}⟩))
12		opsrval2.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝑂)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 10	opsrle 20258	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ≤ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (∃𝑧 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ((𝑥‘𝑧)(lt‘𝑅)(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (𝑤(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))})
14	13	opeq2d 4812	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ = ⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (∃𝑧 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ((𝑥‘𝑧)(lt‘𝑅)(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (𝑤(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))}⟩)
15	14	oveq2d 7174	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩) = (𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (∃𝑧 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ((𝑥‘𝑧)(lt‘𝑅)(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (𝑤(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))}⟩))
16	11, 15	eqtr4d 2861	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ∃wrex 3141  {crab 3144   ⊆ wss 3938  {cpr 4571  ⟨cop 4575   class class class wbr 5068  {copab 5130   × cxp 5555  ^◡ccnv 5556   “ cima 5560  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ↑_m cmap 8408  Fincfn 8511  ℕcn 11640  ℕ₀cn0 11900  ndxcnx 16482   sSet csts 16483  Basecbs 16485  lecple 16574  ltcplt 17553   mPwSer cmps 20133   <_bag cltb 20136   ordPwSer copws 20137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-dec 12102  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ple 16587  df-psr 20138  df-opsr 20142

This theorem is referenced by:  opsrbaslem  20260