Theorem zs12addscl 28387

Description: The dyadics are closed under addition. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zs12addscl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤs[1/2] ∧ 𝐵 ∈ ℤs[1/2]) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2])

Proof of Theorem zs12addscl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑛 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elzs12 28383	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)))
2		elzs12 28383	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚)))
3		reeanv 3204	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0s ∃𝑚 ∈ ℕ0s (𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))))
4	3	2rexbii 3108	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s ∃𝑚 ∈ ℕ0s (𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑏 ∈ ℤs (∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))))
5		reeanv 3204	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑏 ∈ ℤs (∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))))
6	4, 5	bitri 275	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s ∃𝑚 ∈ ℕ0s (𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))))
7		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑎 ∈ ℤs)
8	7	znod 28307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑎 ∈ No )
9		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑛 ∈ ℕ0s)
10		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑚 ∈ ℕ0s)
11	8, 9, 10	pw2divscan4d 28367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) = (((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))))
12		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑏 ∈ ℤs)
13	12	znod 28307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑏 ∈ No )
14	13, 10, 9	pw2divscan4d 28367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (𝑏 /su (2s↑s𝑚)) = (((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) /su (2s↑s(𝑚 +s 𝑛))))
15	10	n0snod 28254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑚 ∈ No )
16	9	n0snod 28254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑛 ∈ No )
17	15, 16	addscomd 27910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (𝑚 +s 𝑛) = (𝑛 +s 𝑚))
18	17	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (2s↑s(𝑚 +s 𝑛)) = (2s↑s(𝑛 +s 𝑚)))
19	18	oveq2d 7362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) /su (2s↑s(𝑚 +s 𝑛))) = (((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))))
20	14, 19	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (𝑏 /su (2s↑s𝑚)) = (((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))))
21	11, 20	oveq12d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((𝑎 /su (2s↑s𝑛)) +s (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) +s (((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚)))))
22		2sno 28342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2s ∈ No
23		expscl 28354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑚) ∈ No )
24	22, 10, 23	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (2s↑s𝑚) ∈ No )
25	24, 8	mulscld 28074	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) ∈ No )
26		expscl 28354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑛 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑛) ∈ No )
27	22, 9, 26	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (2s↑s𝑛) ∈ No )
28	27, 13	mulscld 28074	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) ∈ No )
29		n0addscl 28272	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s) → (𝑛 +s 𝑚) ∈ ℕ0s)
30	29	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (𝑛 +s 𝑚) ∈ ℕ0s)
31	25, 28, 30	pw2divsdird 28371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) +s (((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚)))))
32	21, 31	eqtr4d 2769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((𝑎 /su (2s↑s𝑛)) +s (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))))
33		oveq1 7353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = (((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) → (𝑐 /su (2s↑s𝑝)) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s𝑝)))
34	33	eqeq2d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = (((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) → (((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = (𝑐 /su (2s↑s𝑝)) ↔ ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s𝑝))))
35		oveq2 7354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = (𝑛 +s 𝑚) → (2s↑s𝑝) = (2s↑s(𝑛 +s 𝑚)))
36	35	oveq2d 7362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = (𝑛 +s 𝑚) → ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s𝑝)) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))))
37	36	eqeq2d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = (𝑛 +s 𝑚) → (((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s𝑝)) ↔ ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚)))))
38		2nns 28341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2s ∈ ℕs
39		nnzs 28310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2s ∈ ℕs → 2s ∈ ℤs)
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2s ∈ ℤs
41		zexpscl 28357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2s ∈ ℤs ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑚) ∈ ℤs)
42	40, 10, 41	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (2s↑s𝑚) ∈ ℤs)
43	42, 7	zmulscld 28321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) ∈ ℤs)
44		zexpscl 28357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2s ∈ ℤs ∧ 𝑛 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑛) ∈ ℤs)
45	40, 9, 44	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (2s↑s𝑛) ∈ ℤs)
46	45, 12	zmulscld 28321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) ∈ ℤs)
47	43, 46	zaddscld 28319	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) ∈ ℤs)
48		eqidd 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))))
49	34, 37, 47, 30, 48	2rspcedvdw 3586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ∃𝑐 ∈ ℤs ∃𝑝 ∈ ℕ0s ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = (𝑐 /su (2s↑s𝑝)))
50		elzs12 28383	. . . . . . . 8 ⊢ (((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑐 ∈ ℤs ∃𝑝 ∈ ℕ0s ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = (𝑐 /su (2s↑s𝑝)))
51	49, 50	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) ∈ ℤs[1/2])
52	32, 51	eqeltrd 2831	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((𝑎 /su (2s↑s𝑛)) +s (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ℤs[1/2])
53		oveq12 7355	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) → (𝐴 +s 𝐵) = ((𝑎 /su (2s↑s𝑛)) +s (𝑏 /su (2s↑s𝑚))))
54	53	eleq1d 2816	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) → ((𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2] ↔ ((𝑎 /su (2s↑s𝑛)) +s (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ℤs[1/2]))
55	52, 54	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2]))
56	55	rexlimdvva 3189	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) → (∃𝑛 ∈ ℕ0s ∃𝑚 ∈ ℕ0s (𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2]))
57	56	rexlimivv 3174	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s ∃𝑚 ∈ ℕ0s (𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2])
58	6, 57	sylbir 235	. 2 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2])
59	1, 2, 58	syl2anb 598	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤs[1/2] ∧ 𝐵 ∈ ℤs[1/2]) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2])

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  (class class class)co 7346   No csur 27578   +_s cadds 27902   ·_s cmuls 28045   /_su cdivs 28126  ℕ_0scnn0s 28242  ℕ_scnns 28243  ℤ_sczs 28302  2_sc2s 28333  ↑_scexps 28335  ℤ_s[1/2]czs12 28337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-ot 4582  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-nadd 8581  df-no 27581  df-slt 27582  df-bday 27583  df-sle 27684  df-sslt 27721  df-scut 27723  df-0s 27768  df-1s 27769  df-made 27788  df-old 27789  df-left 27791  df-right 27792  df-norec 27881  df-norec2 27892  df-adds 27903  df-negs 27963  df-subs 27964  df-muls 28046  df-divs 28127  df-seqs 28214  df-n0s 28244  df-nns 28245  df-zs 28303  df-2s 28334  df-exps 28336  df-zs12 28338

This theorem is referenced by:  zs12subscl  28389