MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qrevaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qrevaddcl 13045
Description: Reverse closure law for addition of rationals. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qrevaddcl (𝐵 ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) ↔ 𝐴 ∈ ℚ))

Proof of Theorem qrevaddcl
StepHypRef Expression
1 qcn 13037 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
2 pncan 11546 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
31, 2sylan2 592 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
43ancoms 458 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
54adantr 480 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
6 qsubcl 13042 . . . . . . . 8 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ)
76ancoms 458 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ)
87adantlr 714 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ)
95, 8eqeltrrd 2845 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℚ)
109ex 412 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℚ))
11 qaddcl 13039 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
1211expcom 413 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
1312adantr 480 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
1410, 13impbid 212 . . 3 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ℚ))
1514pm5.32da 578 . 2 (𝐵 ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℚ)))
16 qcn 13037 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
1716pm4.71ri 560 . 2 (𝐴 ∈ ℚ ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℚ))
1815, 17bitr4di 289 1 (𝐵 ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) ↔ 𝐴 ∈ ℚ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  (class class class)co 7451  cc 11185   + caddc 11190  cmin 11524  cq 13022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5318  ax-nul 5325  ax-pow 5384  ax-pr 5448  ax-un 7773  ax-resscn 11244  ax-1cn 11245  ax-icn 11246  ax-addcl 11247  ax-addrcl 11248  ax-mulcl 11249  ax-mulrcl 11250  ax-mulcom 11251  ax-addass 11252  ax-mulass 11253  ax-distr 11254  ax-i2m1 11255  ax-1ne0 11256  ax-1rid 11257  ax-rnegex 11258  ax-rrecex 11259  ax-cnre 11260  ax-pre-lttri 11261  ax-pre-lttrn 11262  ax-pre-ltadd 11263  ax-pre-mulgt0 11264
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4933  df-iun 5018  df-br 5168  df-opab 5230  df-mpt 5251  df-tr 5285  df-id 5594  df-eprel 5600  df-po 5608  df-so 5609  df-fr 5653  df-we 5655  df-xp 5707  df-rel 5708  df-cnv 5709  df-co 5710  df-dm 5711  df-rn 5712  df-res 5713  df-ima 5714  df-pred 6335  df-ord 6401  df-on 6402  df-lim 6403  df-suc 6404  df-iota 6528  df-fun 6578  df-fn 6579  df-f 6580  df-f1 6581  df-fo 6582  df-f1o 6583  df-fv 6584  df-riota 7407  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7907  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8325  df-wrecs 8356  df-recs 8430  df-rdg 8469  df-er 8766  df-en 9007  df-dom 9008  df-sdom 9009  df-pnf 11329  df-mnf 11330  df-xr 11331  df-ltxr 11332  df-le 11333  df-sub 11526  df-neg 11527  df-div 11953  df-nn 12299  df-n0 12559  df-z 12646  df-q 13023
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator