Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqrtcvallem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrtcvallem4 40326
 Description: Equivalent to saying that the square of the real component of the square root of a complex number is a non-negative real number. Lemma for sqrtcval 40328. See resqrtval 40330. (Contributed by RP, 11-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
sqrtcvallem4 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))

Proof of Theorem sqrtcvallem4
StepHypRef Expression
1 abscl 14633 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2 recl 14464 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
31, 2readdcld 10663 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
4 2rp 12386 . . 3 2 ∈ ℝ+
54a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ+)
6 negcl 10879 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
76releabsd 14806 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) ≤ (abs‘-𝐴))
86abscld 14791 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) ∈ ℝ)
96recld 14548 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) ∈ ℝ)
108, 9subge0d 11223 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴)) ↔ (ℜ‘-𝐴) ≤ (abs‘-𝐴)))
117, 10mpbird 260 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴)))
12 absneg 14632 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
13 reneg 14479 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
1412, 13oveq12d 7157 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴)) = ((abs‘𝐴) − -(ℜ‘𝐴)))
151recnd 10662 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
162recnd 10662 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
1715, 16subnegd 10997 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − -(ℜ‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
1814, 17eqtrd 2836 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
1911, 18breqtrd 5059 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
203, 5, 19divge0d 12463 1 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  0cc0 10530   + caddc 10533   ≤ cle 10669   − cmin 10863  -cneg 10864   / cdiv 11290  2c2 11684  ℝ+crp 12381  ℜcre 14451  abscabs 14588 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590 This theorem is referenced by:  sqrtcvallem5  40327  sqrtcval  40328
 Copyright terms: Public domain W3C validator