Theorem sqrtcvallem4 44598

Description: Equivalent to saying that the square of the real component of the square root of a complex number is a nonnegative real number. Lemma for sqrtcval 44600. See resqrtval 44602. (Contributed by RP, 11-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcvallem4	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))

Proof of Theorem sqrtcvallem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscl 15425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2		recl 15257	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11319	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
4		2rp 13106	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ+
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ+)
6		negcl 11538	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
7	6	releabsd 15601	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) ≤ (abs‘-𝐴))
8	6	abscld 15586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) ∈ ℝ)
9	6	recld 15341	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) ∈ ℝ)
10	8, 9	subge0d 11887	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴)) ↔ (ℜ‘-𝐴) ≤ (abs‘-𝐴)))
11	7, 10	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴)))
12		absneg 15424	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
13		reneg 15272	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
14	12, 13	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴)) = ((abs‘𝐴) − -(ℜ‘𝐴)))
15	1	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
16	2	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
17	15, 16	subnegd 11657	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − -(ℜ‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
18	14, 17	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
19	11, 18	breqtrd 5131	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
20	3, 5, 19	divge0d 13185	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181   + caddc 11184   ≤ cle 11325   − cmin 11522  -cneg 11523   / cdiv 11954  2c2 12378  ℝ⁺crp 13101  ℜcre 15244  abscabs 15381

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383

This theorem is used by:  sqrtcvallem5  44599  sqrtcval  44600