Theorem sqrtcvallem4 42147

Description: Equivalent to saying that the square of the real component of the square root of a complex number is a nonnegative real number. Lemma for sqrtcval 42149. See resqrtval 42151. (Contributed by RP, 11-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcvallem4	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))

Proof of Theorem sqrtcvallem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscl 15204	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2		recl 15036	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11222	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
4		2rp 12958	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ+
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ+)
6		negcl 11439	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
7	6	releabsd 15377	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) ≤ (abs‘-𝐴))
8	6	abscld 15362	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) ∈ ℝ)
9	6	recld 15120	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) ∈ ℝ)
10	8, 9	subge0d 11783	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴)) ↔ (ℜ‘-𝐴) ≤ (abs‘-𝐴)))
11	7, 10	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴)))
12		absneg 15203	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
13		reneg 15051	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
14	12, 13	oveq12d 7408	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴)) = ((abs‘𝐴) − -(ℜ‘𝐴)))
15	1	recnd 11221	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
16	2	recnd 11221	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
17	15, 16	subnegd 11557	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − -(ℜ‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
18	14, 17	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
19	11, 18	breqtrd 5164	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
20	3, 5, 19	divge0d 13035	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5138  ‘cfv 6529  (class class class)co 7390  ℂcc 11087  0cc0 11089   + caddc 11092   ≤ cle 11228   − cmin 11423  -cneg 11424   / cdiv 11850  2c2 12246  ℝ⁺crp 12953  ℜcre 15023  abscabs 15160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166  ax-pre-sup 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7836  df-2nd 7955  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-er 8683  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-sup 9416  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11851  df-nn 12192  df-2 12254  df-3 12255  df-n0 12452  df-z 12538  df-uz 12802  df-rp 12954  df-seq 13946  df-exp 14007  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162

This theorem is referenced by:  sqrtcvallem5  42148  sqrtcval  42149