Theorem sqrtcvallem4 43671

Description: Equivalent to saying that the square of the real component of the square root of a complex number is a nonnegative real number. Lemma for sqrtcval 43673. See resqrtval 43675. (Contributed by RP, 11-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcvallem4	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))

Proof of Theorem sqrtcvallem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscl 15182	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2		recl 15014	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11138	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
4		2rp 12892	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ+
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ+)
6		negcl 11357	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
7	6	releabsd 15358	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) ≤ (abs‘-𝐴))
8	6	abscld 15343	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) ∈ ℝ)
9	6	recld 15098	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) ∈ ℝ)
10	8, 9	subge0d 11704	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴)) ↔ (ℜ‘-𝐴) ≤ (abs‘-𝐴)))
11	7, 10	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴)))
12		absneg 15181	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
13		reneg 15029	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
14	12, 13	oveq12d 7364	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴)) = ((abs‘𝐴) − -(ℜ‘𝐴)))
15	1	recnd 11137	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
16	2	recnd 11137	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
17	15, 16	subnegd 11476	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − -(ℜ‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
18	14, 17	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
19	11, 18	breqtrd 5117	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
20	3, 5, 19	divge0d 12971	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  0cc0 11003   + caddc 11006   ≤ cle 11144   − cmin 11341  -cneg 11342   / cdiv 11771  2c2 12177  ℝ⁺crp 12887  ℜcre 15001  abscabs 15138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-rp 12888  df-seq 13906  df-exp 13966  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140

This theorem is referenced by:  sqrtcvallem5  43672  sqrtcval  43673