Theorem sqrtcvallem4 42261

Description: Equivalent to saying that the square of the real component of the square root of a complex number is a nonnegative real number. Lemma for sqrtcval 42263. See resqrtval 42265. (Contributed by RP, 11-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcvallem4	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))

Proof of Theorem sqrtcvallem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscl 15212	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2		recl 15044	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11230	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
4		2rp 12966	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ+
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ+)
6		negcl 11447	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
7	6	releabsd 15385	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) ≤ (abs‘-𝐴))
8	6	abscld 15370	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) ∈ ℝ)
9	6	recld 15128	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) ∈ ℝ)
10	8, 9	subge0d 11791	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴)) ↔ (ℜ‘-𝐴) ≤ (abs‘-𝐴)))
11	7, 10	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴)))
12		absneg 15211	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
13		reneg 15059	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
14	12, 13	oveq12d 7414	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴)) = ((abs‘𝐴) − -(ℜ‘𝐴)))
15	1	recnd 11229	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
16	2	recnd 11229	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
17	15, 16	subnegd 11565	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − -(ℜ‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
18	14, 17	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
19	11, 18	breqtrd 5170	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
20	3, 5, 19	divge0d 13043	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5144  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396  ℂcc 11095  0cc0 11097   + caddc 11100   ≤ cle 11236   − cmin 11431  -cneg 11432   / cdiv 11858  2c2 12254  ℝ⁺crp 12961  ℜcre 15031  abscabs 15168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9424  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12962  df-seq 13954  df-exp 14015  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170

This theorem is referenced by:  sqrtcvallem5  42262  sqrtcval  42263