Theorem reprgt 34765

Description: There are no representations of more than (𝑆 · 𝑁) with only 𝑆 terms bounded by 𝑁. Remark of [Nathanson] p. 123. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprgt.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
reprgt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (1...𝑁))
reprgt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprgt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprgt.1	⊢ (𝜑 → (𝑆 · 𝑁) < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
reprgt	⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ∅)

Proof of Theorem reprgt

Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reprgt.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (1...𝑁))
2		fz1ssnn 13509	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
3	1, 2	sstrdi 3934	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
4		reprgt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		reprgt.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
6	3, 4, 5	reprval 34754	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
7		fzofi 13936	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑆) ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
9		nnssre 12178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
10	3, 9	sstrdi 3934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
11	10	ralrimivw 3133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐴 ⊆ ℝ)
12	11	ralrimivw 3133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐴 ⊆ ℝ)
13	12	r19.21bi 3229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐴 ⊆ ℝ)
14	13	r19.21bi 3229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
15		ovex 7400	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ V)
17	16, 1	ssexd 5265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝐴 ∈ V)
19	7	elexi 3452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^𝑆) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → (0..^𝑆) ∈ V)
21		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
22		elmapg 8786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) → (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
23	22	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
24	18, 20, 21, 23	syl21anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
26		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑎 ∈ (0..^𝑆))
27	25, 26	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ 𝐴)
28	14, 27	sseldd 3922	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ ℝ)
29	8, 28	fsumrecl 15696	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ ℝ)
30	5	nn0red 12499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑆 ∈ ℝ)
32		reprgt.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
33	32	nn0red 12499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑁 ∈ ℝ)
35	31, 34	remulcld 11175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → (𝑆 · 𝑁) ∈ ℝ)
36	4	zred 12633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
37	36	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑀 ∈ ℝ)
38	33	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑁 ∈ ℝ)
39	1	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ (1...𝑁))
40	39, 27	sseldd 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁))
41		elfzle2 13482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁) → (𝑐‘𝑎) ≤ 𝑁)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ≤ 𝑁)
43	8, 28, 38, 42	fsumle 15762	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁)
44	33	recnd 11173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
45		fsumconst 15752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0..^𝑆) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁 = ((♯‘(0..^𝑆)) · 𝑁))
46	7, 44, 45	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁 = ((♯‘(0..^𝑆)) · 𝑁))
47		hashfzo0 14392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
48	5, 47	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
49	48	oveq1d 7382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑆)) · 𝑁) = (𝑆 · 𝑁))
50	46, 49	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁 = (𝑆 · 𝑁))
51	50	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁 = (𝑆 · 𝑁))
52	43, 51	breqtrd 5111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ≤ (𝑆 · 𝑁))
53		reprgt.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 · 𝑁) < 𝑀)
54	53	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → (𝑆 · 𝑁) < 𝑀)
55	29, 35, 37, 52, 54	lelttrd 11304	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) < 𝑀)
56	29, 55	ltned 11282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ≠ 𝑀)
57	56	neneqd 2937	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
58	57	ralrimiva 3129	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
59		rabeq0 4328	. . 3 ⊢ ({𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} = ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
60	58, 59	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} = ∅)
61	6, 60	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  {crab 3389  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273   class class class wbr 5085  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Σcsu 15648  reprcrepr 34752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ico 13304  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-repr 34753

This theorem is referenced by:  breprexplemc  34776