Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reprgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reprgt 32313
Description: There are no representations of more than (𝑆 · 𝑁) with only 𝑆 terms bounded by 𝑁. Remark of [Nathanson] p. 123. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprgt.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
reprgt.a (𝜑𝐴 ⊆ (1...𝑁))
reprgt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
reprgt.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
reprgt.1 (𝜑 → (𝑆 · 𝑁) < 𝑀)
Assertion
Ref Expression
reprgt (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ∅)

Proof of Theorem reprgt
Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reprgt.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (1...𝑁))
2 fz1ssnn 13143 . . . 4 (1...𝑁) ⊆ ℕ
31, 2sstrdi 3913 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
4 reprgt.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 reprgt.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
63, 4, 5reprval 32302 . 2 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
7 fzofi 13547 . . . . . . . 8 (0..^𝑆) ∈ Fin
87a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
9 nnssre 11834 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ ⊆ ℝ
103, 9sstrdi 3913 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1110ralrimivw 3106 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐴 ⊆ ℝ)
1211ralrimivw 3106 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐴 ⊆ ℝ)
1312r19.21bi 3130 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐴 ⊆ ℝ)
1413r19.21bi 3130 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
15 ovex 7246 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑁) ∈ V
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ V)
1716, 1ssexd 5217 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ V)
1817adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝐴 ∈ V)
197elexi 3427 . . . . . . . . . . . 12 (0..^𝑆) ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → (0..^𝑆) ∈ V)
21 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)))
22 elmapg 8521 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) → (𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
2322biimpa 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
2418, 20, 21, 23syl21anc 838 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
2524adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
26 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑎 ∈ (0..^𝑆))
2725, 26ffvelrnd 6905 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ 𝐴)
2814, 27sseldd 3902 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ ℝ)
298, 28fsumrecl 15298 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ∈ ℝ)
305nn0red 12151 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
3130adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝑆 ∈ ℝ)
32 reprgt.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3332nn0red 12151 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3433adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝑁 ∈ ℝ)
3531, 34remulcld 10863 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → (𝑆 · 𝑁) ∈ ℝ)
364zred 12282 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
3736adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝑀 ∈ ℝ)
3833ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑁 ∈ ℝ)
391ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ (1...𝑁))
4039, 27sseldd 3902 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ (1...𝑁))
41 elfzle2 13116 . . . . . . . . . 10 ((𝑐𝑎) ∈ (1...𝑁) → (𝑐𝑎) ≤ 𝑁)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ≤ 𝑁)
438, 28, 38, 42fsumle 15363 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁)
4433recnd 10861 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
45 fsumconst 15354 . . . . . . . . . . 11 (((0..^𝑆) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁 = ((♯‘(0..^𝑆)) · 𝑁))
467, 44, 45sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁 = ((♯‘(0..^𝑆)) · 𝑁))
47 hashfzo0 13997 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
485, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
4948oveq1d 7228 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑆)) · 𝑁) = (𝑆 · 𝑁))
5046, 49eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁 = (𝑆 · 𝑁))
5150adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁 = (𝑆 · 𝑁))
5243, 51breqtrd 5079 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ≤ (𝑆 · 𝑁))
53 reprgt.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 · 𝑁) < 𝑀)
5453adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → (𝑆 · 𝑁) < 𝑀)
5529, 35, 37, 52, 54lelttrd 10990 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) < 𝑀)
5629, 55ltned 10968 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ≠ 𝑀)
5756neneqd 2945 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀)
5857ralrimiva 3105 . . 3 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀)
59 rabeq0 4299 . . 3 ({𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀} = ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀)
6058, 59sylibr 237 . 2 (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀} = ∅)
616, 60eqtrd 2777 1 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  {crab 3065  Vcvv 3408  wss 3866  c0 4237   class class class wbr 5053  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  m cmap 8508  Fincfn 8626  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   · cmul 10734   < clt 10867  cle 10868  cn 11830  0cn0 12090  cz 12176  ...cfz 13095  ..^cfzo 13238  chash 13896  Σcsu 15249  reprcrepr 32300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-ico 12941  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-sum 15250  df-repr 32301
This theorem is referenced by:  breprexplemc  32324
  Copyright terms: Public domain W3C validator