Theorem reprgt 32601

Description: There are no representations of more than (𝑆 · 𝑁) with only 𝑆 terms bounded by 𝑁. Remark of [Nathanson] p. 123. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprgt.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
reprgt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (1...𝑁))
reprgt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprgt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprgt.1	⊢ (𝜑 → (𝑆 · 𝑁) < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
reprgt	⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ∅)

Proof of Theorem reprgt

Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reprgt.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (1...𝑁))
2		fz1ssnn 13287	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
3	1, 2	sstrdi 3933	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
4		reprgt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		reprgt.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
6	3, 4, 5	reprval 32590	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
7		fzofi 13694	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑆) ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
9		nnssre 11977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
10	3, 9	sstrdi 3933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
11	10	ralrimivw 3104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐴 ⊆ ℝ)
12	11	ralrimivw 3104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐴 ⊆ ℝ)
13	12	r19.21bi 3134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐴 ⊆ ℝ)
14	13	r19.21bi 3134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
15		ovex 7308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ V)
17	16, 1	ssexd 5248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝐴 ∈ V)
19	7	elexi 3451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^𝑆) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → (0..^𝑆) ∈ V)
21		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
22		elmapg 8628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) → (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
23	22	biimpa 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
24	18, 20, 21, 23	syl21anc 835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
25	24	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
26		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑎 ∈ (0..^𝑆))
27	25, 26	ffvelrnd 6962	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ 𝐴)
28	14, 27	sseldd 3922	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ ℝ)
29	8, 28	fsumrecl 15446	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ ℝ)
30	5	nn0red 12294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
31	30	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑆 ∈ ℝ)
32		reprgt.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
33	32	nn0red 12294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
34	33	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑁 ∈ ℝ)
35	31, 34	remulcld 11005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → (𝑆 · 𝑁) ∈ ℝ)
36	4	zred 12426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
37	36	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑀 ∈ ℝ)
38	33	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑁 ∈ ℝ)
39	1	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ (1...𝑁))
40	39, 27	sseldd 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁))
41		elfzle2 13260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁) → (𝑐‘𝑎) ≤ 𝑁)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ≤ 𝑁)
43	8, 28, 38, 42	fsumle 15511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁)
44	33	recnd 11003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
45		fsumconst 15502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0..^𝑆) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁 = ((♯‘(0..^𝑆)) · 𝑁))
46	7, 44, 45	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁 = ((♯‘(0..^𝑆)) · 𝑁))
47		hashfzo0 14145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
48	5, 47	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
49	48	oveq1d 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑆)) · 𝑁) = (𝑆 · 𝑁))
50	46, 49	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁 = (𝑆 · 𝑁))
51	50	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁 = (𝑆 · 𝑁))
52	43, 51	breqtrd 5100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ≤ (𝑆 · 𝑁))
53		reprgt.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 · 𝑁) < 𝑀)
54	53	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → (𝑆 · 𝑁) < 𝑀)
55	29, 35, 37, 52, 54	lelttrd 11133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) < 𝑀)
56	29, 55	ltned 11111	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ≠ 𝑀)
57	56	neneqd 2948	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
58	57	ralrimiva 3103	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
59		rabeq0 4318	. . 3 ⊢ ({𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} = ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
60	58, 59	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} = ∅)
61	6, 60	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3068  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Σcsu 15397  reprcrepr 32588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-repr 32589

This theorem is referenced by:  breprexplemc  32612