Theorem reprgt 34612

Description: There are no representations of more than (𝑆 · 𝑁) with only 𝑆 terms bounded by 𝑁. Remark of [Nathanson] p. 123. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprgt.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
reprgt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (1...𝑁))
reprgt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprgt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprgt.1	⊢ (𝜑 → (𝑆 · 𝑁) < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
reprgt	⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ∅)

Proof of Theorem reprgt

Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reprgt.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (1...𝑁))
2		fz1ssnn 13516	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
3	1, 2	sstrdi 3959	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
4		reprgt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		reprgt.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
6	3, 4, 5	reprval 34601	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
7		fzofi 13939	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑆) ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
9		nnssre 12190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
10	3, 9	sstrdi 3959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
11	10	ralrimivw 3129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐴 ⊆ ℝ)
12	11	ralrimivw 3129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐴 ⊆ ℝ)
13	12	r19.21bi 3229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐴 ⊆ ℝ)
14	13	r19.21bi 3229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
15		ovex 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ V)
17	16, 1	ssexd 5279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝐴 ∈ V)
19	7	elexi 3470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^𝑆) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → (0..^𝑆) ∈ V)
21		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
22		elmapg 8812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) → (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
23	22	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
24	18, 20, 21, 23	syl21anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
26		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑎 ∈ (0..^𝑆))
27	25, 26	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ 𝐴)
28	14, 27	sseldd 3947	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ ℝ)
29	8, 28	fsumrecl 15700	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ ℝ)
30	5	nn0red 12504	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑆 ∈ ℝ)
32		reprgt.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
33	32	nn0red 12504	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑁 ∈ ℝ)
35	31, 34	remulcld 11204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → (𝑆 · 𝑁) ∈ ℝ)
36	4	zred 12638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
37	36	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑀 ∈ ℝ)
38	33	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑁 ∈ ℝ)
39	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ (1...𝑁))
40	39, 27	sseldd 3947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁))
41		elfzle2 13489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁) → (𝑐‘𝑎) ≤ 𝑁)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ≤ 𝑁)
43	8, 28, 38, 42	fsumle 15765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁)
44	33	recnd 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
45		fsumconst 15756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0..^𝑆) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁 = ((♯‘(0..^𝑆)) · 𝑁))
46	7, 44, 45	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁 = ((♯‘(0..^𝑆)) · 𝑁))
47		hashfzo0 14395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
48	5, 47	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
49	48	oveq1d 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑆)) · 𝑁) = (𝑆 · 𝑁))
50	46, 49	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁 = (𝑆 · 𝑁))
51	50	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁 = (𝑆 · 𝑁))
52	43, 51	breqtrd 5133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ≤ (𝑆 · 𝑁))
53		reprgt.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 · 𝑁) < 𝑀)
54	53	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → (𝑆 · 𝑁) < 𝑀)
55	29, 35, 37, 52, 54	lelttrd 11332	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) < 𝑀)
56	29, 55	ltned 11310	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ≠ 𝑀)
57	56	neneqd 2930	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
58	57	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
59		rabeq0 4351	. . 3 ⊢ ({𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} = ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
60	58, 59	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} = ∅)
61	6, 60	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3405  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  Fincfn 8918  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ...cfz 13468  ..^cfzo 13615  ♯chash 14295  Σcsu 15652  reprcrepr 34599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-ico 13312  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653  df-repr 34600

This theorem is referenced by:  breprexplemc  34623