Theorem reprgt 31505

Description: There are no representations of more than (𝑆 · 𝑁) with only 𝑆 terms bounded by 𝑁. Remark of [Nathanson] p. 123 (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprgt.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
reprgt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (1...𝑁))
reprgt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprgt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprgt.1	⊢ (𝜑 → (𝑆 · 𝑁) < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
reprgt	⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ∅)

Proof of Theorem reprgt

Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reprgt.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (1...𝑁))
2		fz1ssnn 12792	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
3	1, 2	syl6ss 3907	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
4		reprgt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		reprgt.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
6	3, 4, 5	reprval 31494	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
7		fzofi 13196	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑆) ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
9		nnssre 11496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
10	3, 9	syl6ss 3907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
11	10	ralrimivw 3152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐴 ⊆ ℝ)
12	11	ralrimivw 3152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐴 ⊆ ℝ)
13	12	r19.21bi 3177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) → ∀𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝐴 ⊆ ℝ)
14	13	r19.21bi 3177	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
15		ovex 7055	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ V)
17	16, 1	ssexd 5126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) → 𝐴 ∈ V)
19	7	elexi 3459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^𝑆) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) → (0..^𝑆) ∈ V)
21		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆)))
22		elmapg 8276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) → (𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
23	22	biimpa 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
24	18, 20, 21, 23	syl21anc 834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
25	24	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
26		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑎 ∈ (0..^𝑆))
27	25, 26	ffvelrnd 6724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ 𝐴)
28	14, 27	sseldd 3896	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ ℝ)
29	8, 28	fsumrecl 14928	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ ℝ)
30	5	nn0red 11810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
31	30	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑆 ∈ ℝ)
32		reprgt.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
33	32	nn0red 11810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
34	33	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑁 ∈ ℝ)
35	31, 34	remulcld 10524	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) → (𝑆 · 𝑁) ∈ ℝ)
36	4	zred 11941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
37	36	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑀 ∈ ℝ)
38	33	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑁 ∈ ℝ)
39	1	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ (1...𝑁))
40	39, 27	sseldd 3896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁))
41		elfzle2 12765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐‘𝑎) ∈ (1...𝑁) → (𝑐‘𝑎) ≤ 𝑁)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ≤ 𝑁)
43	8, 28, 38, 42	fsumle 14991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁)
44	33	recnd 10522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
45		fsumconst 14982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0..^𝑆) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁 = ((♯‘(0..^𝑆)) · 𝑁))
46	7, 44, 45	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁 = ((♯‘(0..^𝑆)) · 𝑁))
47		hashfzo0 13643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
48	5, 47	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
49	48	oveq1d 7038	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑆)) · 𝑁) = (𝑆 · 𝑁))
50	46, 49	eqtrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁 = (𝑆 · 𝑁))
51	50	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)𝑁 = (𝑆 · 𝑁))
52	43, 51	breqtrd 4994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ≤ (𝑆 · 𝑁))
53		reprgt.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 · 𝑁) < 𝑀)
54	53	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) → (𝑆 · 𝑁) < 𝑀)
55	29, 35, 37, 52, 54	lelttrd 10651	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) < 𝑀)
56	29, 55	ltned 10629	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ≠ 𝑀)
57	56	neneqd 2991	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆))) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
58	57	ralrimiva 3151	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
59		rabeq0 4264	. . 3 ⊢ ({𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} = ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
60	58, 59	sylibr 235	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴 ↑𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} = ∅)
61	6, 60	eqtrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∀wral 3107  {crab 3111  Vcvv 3440   ⊆ wss 3865  ∅c0 4217   class class class wbr 4968  ⟶wf 6228  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023   ↑_𝑚 cmap 8263  Fincfn 8364  ℂcc 10388  ℝcr 10389  0cc0 10390  1c1 10391   · cmul 10395   < clt 10528   ≤ cle 10529  ℕcn 11492  ℕ₀cn0 11751  ℤcz 11835  ...cfz 12746  ..^cfzo 12887  ♯chash 13544  Σcsu 14880  reprcrepr 31492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-sup 8759  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-ico 12598  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-exp 13284  df-hash 13545  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-clim 14683  df-sum 14881  df-repr 31493

This theorem is referenced by:  breprexplemc  31516