Theorem reprlt 33619

Description: There are no representations of 𝑀 with more than 𝑀 terms. Remark of [Nathanson] p. 123. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
reprlt.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
reprlt	⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ∅)

Proof of Theorem reprlt

Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reprval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		reprval.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		reprval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	reprval 33610	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀})
5	2	zred 12662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
6	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑀 ∈ ℝ)
7	3	nn0red 12529	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
8	7	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑆 ∈ ℝ)
9		fzofi 13935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑆) ∈ Fin
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
11		nnssre 12212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℕ ⊆ ℝ)
13	1, 12	sstrd 3991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
14	13	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
15		nnex 12214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
17	16, 1	ssexd 5323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝐴 ∈ V)
19	9	elexi 3493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^𝑆) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → (0..^𝑆) ∈ V)
21		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)))
22		elmapg 8829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) → (𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
23	22	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
24	18, 20, 21, 23	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
26		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑎 ∈ (0..^𝑆))
27	25, 26	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ 𝐴)
28	14, 27	sseldd 3982	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ ℝ)
29	10, 28	fsumrecl 15676	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ∈ ℝ)
30		reprlt.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑆)
31	30	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑀 < 𝑆)
32		ax-1cn 11164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
33		fsumconst 15732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((0..^𝑆) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = ((♯‘(0..^𝑆)) · 1))
34	9, 32, 33	mp2an 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = ((♯‘(0..^𝑆)) · 1)
35		hashcl 14312	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0..^𝑆) ∈ Fin → (♯‘(0..^𝑆)) ∈ ℕ0)
36	9, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯‘(0..^𝑆)) ∈ ℕ0
37	36	nn0cni 12480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘(0..^𝑆)) ∈ ℂ
38	37	mulridi 11214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘(0..^𝑆)) · 1) = (♯‘(0..^𝑆))
39	34, 38	eqtri 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = (♯‘(0..^𝑆))
40		hashfzo0 14386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
41	3, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
42	39, 41	eqtrid 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = 𝑆)
43	42	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = 𝑆)
44		1red 11211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 1 ∈ ℝ)
45	1	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
46	45, 27	sseldd 3982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐‘𝑎) ∈ ℕ)
47		nnge1 12236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐‘𝑎) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑐‘𝑎))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 1 ≤ (𝑐‘𝑎))
49	10, 44, 28, 48	fsumle 15741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
50	43, 49	eqbrtrrd 5171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑆 ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
51	6, 8, 29, 31, 50	ltletrd 11370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑀 < Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
52	6, 51	ltned 11346	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → 𝑀 ≠ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎))
53	52	necomd 2996	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) ≠ 𝑀)
54	53	neneqd 2945	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆))) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
55	54	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
56		rabeq0 4383	. . 3 ⊢ ({𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} = ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀)
57	55, 56	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴 ↑m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐‘𝑎) = 𝑀} = ∅)
58	4, 57	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321   class class class wbr 5147  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8816  Fincfn 8935  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  ..^cfzo 13623  ♯chash 14286  Σcsu 15628  reprcrepr 33608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-repr 33609

This theorem is referenced by:  breprexplemc  33632