Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reprlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reprlt 31795
 Description: There are no representations of 𝑀 with more than 𝑀 terms. Remark of [Nathanson] p. 123 (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
reprlt.1 (𝜑𝑀 < 𝑆)
Assertion
Ref Expression
reprlt (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ∅)

Proof of Theorem reprlt
Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reprval.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
2 reprval.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 reprval.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
41, 2, 3reprval 31786 . 2 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
52zred 12081 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
65adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝑀 ∈ ℝ)
73nn0red 11950 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
87adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝑆 ∈ ℝ)
9 fzofi 13337 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑆) ∈ Fin
109a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
11 nnssre 11636 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ ⊆ ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℕ ⊆ ℝ)
131, 12sstrd 3981 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1413ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
15 nnex 11638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ ∈ V
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℕ ∈ V)
1716, 1ssexd 5225 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ V)
1817adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝐴 ∈ V)
199elexi 3519 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^𝑆) ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → (0..^𝑆) ∈ V)
21 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)))
22 elmapg 8414 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) → (𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
2322biimpa 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
2418, 20, 21, 23syl21anc 835 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
2524adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
26 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑎 ∈ (0..^𝑆))
2725, 26ffvelrnd 6850 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ 𝐴)
2814, 27sseldd 3972 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ ℝ)
2910, 28fsumrecl 15086 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ∈ ℝ)
30 reprlt.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 < 𝑆)
3130adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝑀 < 𝑆)
32 ax-1cn 10589 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
33 fsumconst 15140 . . . . . . . . . . . . 13 (((0..^𝑆) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = ((♯‘(0..^𝑆)) · 1))
349, 32, 33mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = ((♯‘(0..^𝑆)) · 1)
35 hashcl 13712 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0..^𝑆) ∈ Fin → (♯‘(0..^𝑆)) ∈ ℕ0)
369, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘(0..^𝑆)) ∈ ℕ0
3736nn0cni 11903 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘(0..^𝑆)) ∈ ℂ
3837mulid1i 10639 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘(0..^𝑆)) · 1) = (♯‘(0..^𝑆))
3934, 38eqtri 2849 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = (♯‘(0..^𝑆))
40 hashfzo0 13786 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
413, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
4239, 41syl5eq 2873 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = 𝑆)
4342adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = 𝑆)
44 1red 10636 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 1 ∈ ℝ)
451ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
4645, 27sseldd 3972 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ ℕ)
47 nnge1 11659 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐𝑎) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑐𝑎))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 1 ≤ (𝑐𝑎))
4910, 44, 28, 48fsumle 15149 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
5043, 49eqbrtrrd 5087 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝑆 ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
516, 8, 29, 31, 50ltletrd 10794 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝑀 < Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
526, 51ltned 10770 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → 𝑀 ≠ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
5352necomd 3076 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ≠ 𝑀)
5453neneqd 3026 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆))) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀)
5554ralrimiva 3187 . . 3 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀)
56 rabeq0 4342 . . 3 ({𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀} = ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀)
5755, 56sylibr 235 . 2 (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴m (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀} = ∅)
584, 57eqtrd 2861 1 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3143  {crab 3147  Vcvv 3500   ⊆ wss 3940  ∅c0 4295   class class class wbr 5063  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7150   ↑m cmap 8401  Fincfn 8503  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   · cmul 10536   < clt 10669   ≤ cle 10670  ℕcn 11632  ℕ0cn0 11891  ℤcz 11975  ..^cfzo 13028  ♯chash 13685  Σcsu 15037  reprcrepr 31784 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-ico 12739  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-repr 31785 This theorem is referenced by:  breprexplemc  31808
 Copyright terms: Public domain W3C validator