Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reprlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reprlt 31037
Description: There are no representations of 𝑀 with more than 𝑀 terms. Remark of [Nathanson] p. 123 (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
reprlt.1 (𝜑𝑀 < 𝑆)
Assertion
Ref Expression
reprlt (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ∅)

Proof of Theorem reprlt
Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reprval.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
2 reprval.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 reprval.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
41, 2, 3reprval 31028 . 2 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
52zred 11684 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
65adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑀 ∈ ℝ)
73nn0red 11554 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
87adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑆 ∈ ℝ)
9 fzofi 12981 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑆) ∈ Fin
109a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
11 nnssre 11226 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ ⊆ ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℕ ⊆ ℝ)
131, 12sstrd 3762 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1413ad2antrr 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
15 nnex 11228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ ∈ V
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℕ ∈ V)
1716, 1ssexd 4939 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ V)
1817adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → 𝐴 ∈ V)
199elexi 3365 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^𝑆) ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → (0..^𝑆) ∈ V)
21 simpr 471 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)))
22 elmapg 8022 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) → (𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
2322biimpa 462 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
2418, 20, 21, 23syl21anc 1475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
2524adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
26 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑎 ∈ (0..^𝑆))
2725, 26ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ 𝐴)
2814, 27sseldd 3753 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ ℝ)
2910, 28fsumrecl 14673 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ∈ ℝ)
30 reprlt.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 < 𝑆)
3130adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑀 < 𝑆)
32 ax-1cn 10196 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
33 fsumconst 14729 . . . . . . . . . . . . 13 (((0..^𝑆) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = ((♯‘(0..^𝑆)) · 1))
349, 32, 33mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = ((♯‘(0..^𝑆)) · 1)
35 hashcl 13349 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0..^𝑆) ∈ Fin → (♯‘(0..^𝑆)) ∈ ℕ0)
369, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘(0..^𝑆)) ∈ ℕ0
3736nn0cni 11506 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘(0..^𝑆)) ∈ ℂ
3837mulid1i 10244 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘(0..^𝑆)) · 1) = (♯‘(0..^𝑆))
3934, 38eqtri 2793 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = (♯‘(0..^𝑆))
40 hashfzo0 13419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
413, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
4239, 41syl5eq 2817 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = 𝑆)
4342adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = 𝑆)
44 1red 10257 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 1 ∈ ℝ)
451ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
4645, 27sseldd 3753 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ ℕ)
47 nnge1 11248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐𝑎) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑐𝑎))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 1 ≤ (𝑐𝑎))
4910, 44, 28, 48fsumle 14738 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
5043, 49eqbrtrrd 4810 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑆 ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
516, 8, 29, 31, 50ltletrd 10399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑀 < Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
526, 51ltned 10375 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑀 ≠ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
5352necomd 2998 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ≠ 𝑀)
5453neneqd 2948 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀)
5554ralrimiva 3115 . . 3 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀)
56 rabeq0 4103 . . 3 ({𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀} = ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀)
5755, 56sylibr 224 . 2 (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀} = ∅)
584, 57eqtrd 2805 1 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  {crab 3065  Vcvv 3351  wss 3723  c0 4063   class class class wbr 4786  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑚 cmap 8009  Fincfn 8109  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   · cmul 10143   < clt 10276  cle 10277  cn 11222  0cn0 11494  cz 11579  ..^cfzo 12673  chash 13321  Σcsu 14624  reprcrepr 31026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-repr 31027
This theorem is referenced by:  breprexplemc  31050
  Copyright terms: Public domain W3C validator