Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reprlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reprlt 31032
Description: There are no representations of 𝑀 with more than 𝑀 terms. Remark of [Nathanson] p. 123 (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reprval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
reprval.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
reprval.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
reprlt.1 (𝜑𝑀 < 𝑆)
Assertion
Ref Expression
reprlt (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ∅)

Proof of Theorem reprlt
Dummy variables 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reprval.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
2 reprval.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 reprval.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
41, 2, 3reprval 31023 . 2 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = {𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀})
52zred 11755 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
65adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑀 ∈ ℝ)
73nn0red 11625 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
87adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑆 ∈ ℝ)
9 fzofi 13004 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑆) ∈ Fin
109a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → (0..^𝑆) ∈ Fin)
11 nnssre 11316 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ ⊆ ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℕ ⊆ ℝ)
131, 12sstrd 3819 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1413ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
15 nnex 11318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ ∈ V
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℕ ∈ V)
1716, 1ssexd 5011 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ V)
1817adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → 𝐴 ∈ V)
199elexi 3418 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^𝑆) ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → (0..^𝑆) ∈ V)
21 simpr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)))
22 elmapg 8112 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) → (𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ↔ 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴))
2322biimpa 464 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ V ∧ (0..^𝑆) ∈ V) ∧ 𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
2418, 20, 21, 23syl21anc 857 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
2524adantr 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑐:(0..^𝑆)⟶𝐴)
26 simpr 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑎 ∈ (0..^𝑆))
2725, 26ffvelrnd 6589 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ 𝐴)
2814, 27sseldd 3810 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ ℝ)
2910, 28fsumrecl 14695 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ∈ ℝ)
30 reprlt.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 < 𝑆)
3130adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑀 < 𝑆)
32 ax-1cn 10286 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
33 fsumconst 14751 . . . . . . . . . . . . 13 (((0..^𝑆) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = ((♯‘(0..^𝑆)) · 1))
349, 32, 33mp2an 675 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = ((♯‘(0..^𝑆)) · 1)
35 hashcl 13372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0..^𝑆) ∈ Fin → (♯‘(0..^𝑆)) ∈ ℕ0)
369, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘(0..^𝑆)) ∈ ℕ0
3736nn0cni 11578 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘(0..^𝑆)) ∈ ℂ
3837mulid1i 10336 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘(0..^𝑆)) · 1) = (♯‘(0..^𝑆))
3934, 38eqtri 2839 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = (♯‘(0..^𝑆))
40 hashfzo0 13441 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
413, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(0..^𝑆)) = 𝑆)
4239, 41syl5eq 2863 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = 𝑆)
4342adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 = 𝑆)
44 1red 10333 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 1 ∈ ℝ)
451ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
4645, 27sseldd 3810 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝑐𝑎) ∈ ℕ)
47 nnge1 11339 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐𝑎) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑐𝑎))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 1 ≤ (𝑐𝑎))
4910, 44, 28, 48fsumle 14760 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)1 ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
5043, 49eqbrtrrd 4879 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑆 ≤ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
516, 8, 29, 31, 50ltletrd 10489 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑀 < Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
526, 51ltned 10465 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → 𝑀 ≠ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎))
5352necomd 3044 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) ≠ 𝑀)
5453neneqd 2994 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆))) → ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀)
5554ralrimiva 3165 . . 3 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀)
56 rabeq0 4168 . . 3 ({𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀} = ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ¬ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀)
5755, 56sylibr 225 . 2 (𝜑 → {𝑐 ∈ (𝐴𝑚 (0..^𝑆)) ∣ Σ𝑎 ∈ (0..^𝑆)(𝑐𝑎) = 𝑀} = ∅)
584, 57eqtrd 2851 1 (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  wral 3107  {crab 3111  Vcvv 3402  wss 3780  c0 4127   class class class wbr 4855  wf 6104  cfv 6108  (class class class)co 6881  𝑚 cmap 8099  Fincfn 8199  cc 10226  cr 10227  0cc0 10228  1c1 10229   · cmul 10233   < clt 10366  cle 10367  cn 11312  0cn0 11566  cz 11650  ..^cfzo 12696  chash 13344  Σcsu 14646  reprcrepr 31021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4975  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186  ax-inf2 8792  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305  ax-pre-sup 10306
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5230  df-eprel 5235  df-po 5243  df-so 5244  df-fr 5281  df-se 5282  df-we 5283  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-pred 5904  df-ord 5950  df-on 5951  df-lim 5952  df-suc 5953  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-isom 6117  df-riota 6842  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-om 7303  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-1o 7803  df-oadd 7807  df-er 7986  df-map 8101  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-fin 8203  df-sup 8594  df-oi 8661  df-card 9055  df-pnf 10368  df-mnf 10369  df-xr 10370  df-ltxr 10371  df-le 10372  df-sub 10560  df-neg 10561  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11371  df-3 11372  df-n0 11567  df-z 11651  df-uz 11912  df-rp 12054  df-ico 12406  df-fz 12557  df-fzo 12697  df-seq 13032  df-exp 13091  df-hash 13345  df-cj 14069  df-re 14070  df-im 14071  df-sqrt 14205  df-abs 14206  df-clim 14449  df-sum 14647  df-repr 31022
This theorem is referenced by:  breprexplemc  31045
  Copyright terms: Public domain W3C validator