Theorem coinfliplem 34503

Description: Division in the extended real numbers can be used for the coin-flip example. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
coinflip.h	⊢ 𝐻 ∈ V
coinflip.t	⊢ 𝑇 ∈ V
coinflip.th	⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
coinflip.2	⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3	⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}

Assertion

Ref	Expression
coinfliplem	⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 2)

Proof of Theorem coinfliplem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coinflip.2	. 2 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
2		coinflip.h	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ V
3		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
4		fvres 6850	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘𝑥) = (♯‘𝑥))
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘𝑥) = (♯‘𝑥))
6		prfi 9218	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐻, 𝑇} ∈ Fin
7	3	elpwid 4560	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇})
8		ssfi 9092	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝐻, 𝑇} ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
9	6, 7, 8	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
10		hashcl 14273	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12453	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → (♯‘𝑥) ∈ ℝ)
13	5, 12	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘𝑥) ∈ ℝ)
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
15		2re 12209	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℝ)
17		2ne0 12239	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 2 ≠ 0)
19		rexdiv 32917	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑦 /𝑒 2) = (𝑦 / 2))
20	14, 16, 18, 19	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 /𝑒 2) = (𝑦 / 2))
21		hashresfn 14257	. . . . 5 ⊢ (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇}
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇})
23		pwfi 9213	. . . . . 6 ⊢ ({𝐻, 𝑇} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ Fin)
24	6, 23	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ Fin
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ Fin)
26	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → 2 ∈ ℝ)
27	13, 20, 22, 25, 26	ofcfeqd2 34125	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ V → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 2) = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2))
28	2, 27	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 2) = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
29	1, 28	eqtr4i 2759	1 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 2)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4551  {cpr 4579  ⟨cop 4583   ↾ cres 5623   Fn wfn 6484  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Fincfn 8878  ℝcr 11015  0cc0 11016  1c1 11017   / cdiv 11784  2c2 12190  ℕ₀cn0 12391  ♯chash 14247   /_𝑒 cxdiv 32908   ∘_f/c cofc 34119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-n0 12392  df-xnn0 12465  df-z 12479  df-uz 12743  df-xneg 13021  df-xmul 13023  df-hash 14248  df-xdiv 32909  df-ofc 34120

This theorem is referenced by:  coinflipprob  34504