Theorem coinfliplem 35154

Description: Division in the extended real numbers can be used for the coin-flip example. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
coinflip.h	⊢ 𝐻 ∈ V
coinflip.t	⊢ 𝑇 ∈ V
coinflip.th	⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
coinflip.2	⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3	⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}

Assertion

Ref	Expression
coinfliplem	⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /e 2)

Proof of Theorem coinfliplem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coinflip.2	. 2 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
2		coinflip.h	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ V
3		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
4		fvres 6904	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘𝑥) = (♯‘𝑥))
5	3, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘𝑥) = (♯‘𝑥))
6		prfi 9316	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐻, 𝑇} ∈ Fin
7	3	elpwid 4565	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇})
8		ssfi 9189	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝐻, 𝑇} ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
9	6, 7, 8	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
10		hashcl 14501	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
11	9, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12669	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → (♯‘𝑥) ∈ ℝ)
13	5, 12	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘𝑥) ∈ ℝ)
14		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
15		2re 12418	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℝ)
17		2ne0 12450	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 2 ≠ 0)
19		rexdiv 33535	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑦 /e 2) = (𝑦 / 2))
20	14, 16, 18, 19	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 /e 2) = (𝑦 / 2))
21		hashresfn 14485	. . . . 5 ⊢ (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇}
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇})
23		pwfi 9311	. . . . . 6 ⊢ ({𝐻, 𝑇} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ Fin)
24	6, 23	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ Fin
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ Fin)
26	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → 2 ∈ ℝ)
27	13, 20, 22, 25, 26	ofcfeqd2 34776	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ V → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /e 2) = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2))
28	2, 27	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /e 2) = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
29	1, 28	eqtr4i 2786	1 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /e 2)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  𝒫 cpw 4556  {cpr 4585  ⟨cop 4589   ↾ cres 5652   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8974  ℝcr 11200  0cc0 11201  1c1 11202   / cdiv 11974  2c2 12398  ℕ₀cn0 12607  ♯chash 14475   /_e cxdiv 33526   ∘_f/c cofc 34770

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-n0 12608  df-xnn0 12681  df-z 12695  df-uz 12967  df-xneg 13242  df-xmul 13244  df-hash 14476  df-xdiv 33527  df-ofc 34771

This theorem is used by:  coinflipprob  35155