Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coinfliplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coinfliplem 33466
Description: Division in the extended real numbers can be used for the coin-flip example. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
coinflip.h 𝐻 ∈ V
coinflip.t 𝑇 ∈ V
coinflip.th 𝐻𝑇
coinflip.2 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}
Assertion
Ref Expression
coinfliplem 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 2)

Proof of Theorem coinfliplem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coinflip.2 . 2 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
2 coinflip.h . . 3 𝐻 ∈ V
3 simpr 486 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
4 fvres 6908 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘𝑥) = (♯‘𝑥))
53, 4syl 17 . . . . 5 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘𝑥) = (♯‘𝑥))
6 prfi 9319 . . . . . . . 8 {𝐻, 𝑇} ∈ Fin
73elpwid 4611 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇})
8 ssfi 9170 . . . . . . . 8 (({𝐻, 𝑇} ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
96, 7, 8sylancr 588 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
10 hashcl 14313 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
119, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
1211nn0red 12530 . . . . 5 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → (♯‘𝑥) ∈ ℝ)
135, 12eqeltrd 2834 . . . 4 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘𝑥) ∈ ℝ)
14 simpr 486 . . . . 5 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
15 2re 12283 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . 5 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℝ)
17 2ne0 12313 . . . . . 6 2 ≠ 0
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 2 ≠ 0)
19 rexdiv 32080 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑦 /𝑒 2) = (𝑦 / 2))
2014, 16, 18, 19syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 /𝑒 2) = (𝑦 / 2))
21 hashresfn 14297 . . . . 5 (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇}
2221a1i 11 . . . 4 (𝐻 ∈ V → (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇})
23 pwfi 9175 . . . . . 6 ({𝐻, 𝑇} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ Fin)
246, 23mpbi 229 . . . . 5 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ Fin
2524a1i 11 . . . 4 (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ Fin)
2615a1i 11 . . . 4 (𝐻 ∈ V → 2 ∈ ℝ)
2713, 20, 22, 25, 26ofcfeqd2 33088 . . 3 (𝐻 ∈ V → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 2) = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2))
282, 27ax-mp 5 . 2 ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 2) = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
291, 28eqtr4i 2764 1 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  Vcvv 3475  wss 3948  𝒫 cpw 4602  {cpr 4630  cop 4634  cres 5678   Fn wfn 6536  cfv 6541  (class class class)co 7406  Fincfn 8936  cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   / cdiv 11868  2c2 12264  0cn0 12469  chash 14287   /𝑒 cxdiv 32071  f/c cofc 33082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-xneg 13089  df-xmul 13091  df-hash 14288  df-xdiv 32072  df-ofc 33083
This theorem is referenced by:  coinflipprob  33467
  Copyright terms: Public domain W3C validator