Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coinfliplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coinfliplem 32162
Description: Division in the extended real numbers can be used for the coin-flip example. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
coinflip.h 𝐻 ∈ V
coinflip.t 𝑇 ∈ V
coinflip.th 𝐻𝑇
coinflip.2 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}
Assertion
Ref Expression
coinfliplem 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 2)

Proof of Theorem coinfliplem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coinflip.2 . 2 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
2 coinflip.h . . 3 𝐻 ∈ V
3 simpr 488 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
4 fvres 6741 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘𝑥) = (♯‘𝑥))
53, 4syl 17 . . . . 5 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘𝑥) = (♯‘𝑥))
6 prfi 8951 . . . . . . . 8 {𝐻, 𝑇} ∈ Fin
73elpwid 4529 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇})
8 ssfi 8856 . . . . . . . 8 (({𝐻, 𝑇} ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
96, 7, 8sylancr 590 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
10 hashcl 13928 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
119, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
1211nn0red 12156 . . . . 5 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → (♯‘𝑥) ∈ ℝ)
135, 12eqeltrd 2838 . . . 4 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})‘𝑥) ∈ ℝ)
14 simpr 488 . . . . 5 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
15 2re 11909 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . 5 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℝ)
17 2ne0 11939 . . . . . 6 2 ≠ 0
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 2 ≠ 0)
19 rexdiv 30925 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑦 /𝑒 2) = (𝑦 / 2))
2014, 16, 18, 19syl3anc 1373 . . . 4 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 /𝑒 2) = (𝑦 / 2))
21 hashresfn 13911 . . . . 5 (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇}
2221a1i 11 . . . 4 (𝐻 ∈ V → (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) Fn 𝒫 {𝐻, 𝑇})
23 pwfi 8861 . . . . . 6 ({𝐻, 𝑇} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ Fin)
246, 23mpbi 233 . . . . 5 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ Fin
2524a1i 11 . . . 4 (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ Fin)
2615a1i 11 . . . 4 (𝐻 ∈ V → 2 ∈ ℝ)
2713, 20, 22, 25, 26ofcfeqd2 31786 . . 3 (𝐻 ∈ V → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 2) = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2))
282, 27ax-mp 5 . 2 ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 2) = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
291, 28eqtr4i 2768 1 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c /𝑒 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  Vcvv 3413  wss 3871  𝒫 cpw 4518  {cpr 4548  cop 4552  cres 5558   Fn wfn 6380  cfv 6385  (class class class)co 7218  Fincfn 8631  cr 10733  0cc0 10734  1c1 10735   / cdiv 11494  2c2 11890  0cn0 12095  chash 13901   /𝑒 cxdiv 30916  f/c cofc 31780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5184  ax-sep 5197  ax-nul 5204  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7528  ax-cnex 10790  ax-resscn 10791  ax-1cn 10792  ax-icn 10793  ax-addcl 10794  ax-addrcl 10795  ax-mulcl 10796  ax-mulrcl 10797  ax-mulcom 10798  ax-addass 10799  ax-mulass 10800  ax-distr 10801  ax-i2m1 10802  ax-1ne0 10803  ax-1rid 10804  ax-rnegex 10805  ax-rrecex 10806  ax-cnre 10807  ax-pre-lttri 10808  ax-pre-lttrn 10809  ax-pre-ltadd 10810  ax-pre-mulgt0 10811
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3415  df-sbc 3700  df-csb 3817  df-dif 3874  df-un 3876  df-in 3878  df-ss 3888  df-pss 3890  df-nul 4243  df-if 4445  df-pw 4520  df-sn 4547  df-pr 4549  df-tp 4551  df-op 4553  df-uni 4825  df-int 4865  df-iun 4911  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5141  df-tr 5167  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5562  df-rel 5563  df-cnv 5564  df-co 5565  df-dm 5566  df-rn 5567  df-res 5568  df-ima 5569  df-pred 6165  df-ord 6221  df-on 6222  df-lim 6223  df-suc 6224  df-iota 6343  df-fun 6387  df-fn 6388  df-f 6389  df-f1 6390  df-fo 6391  df-f1o 6392  df-fv 6393  df-riota 7175  df-ov 7221  df-oprab 7222  df-mpo 7223  df-om 7650  df-1st 7766  df-2nd 7767  df-wrecs 8052  df-recs 8113  df-rdg 8151  df-1o 8207  df-er 8396  df-en 8632  df-dom 8633  df-sdom 8634  df-fin 8635  df-card 9560  df-pnf 10874  df-mnf 10875  df-xr 10876  df-ltxr 10877  df-le 10878  df-sub 11069  df-neg 11070  df-div 11495  df-nn 11836  df-2 11898  df-n0 12096  df-xnn0 12168  df-z 12182  df-uz 12444  df-xneg 12709  df-xmul 12711  df-hash 13902  df-xdiv 30917  df-ofc 31781
This theorem is referenced by:  coinflipprob  32163
  Copyright terms: Public domain W3C validator