Theorem sge0lefi 42687

Description: A sum of nonnegative extended reals is smaller than a given extended real if and only if every finite subsum is smaller than it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0lefi.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0lefi.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0lefi.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
sge0lefi	⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0lefi

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
2		sge0lefi.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3	2	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4		elpwinss 41317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
5	4	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
6	3, 5	fssresd 6548	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
7	1, 6	sge0xrcl 42674	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ∈ ℝ*)
8	7	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ∈ ℝ*)
9		sge0lefi.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10	9, 2	sge0xrcl 42674	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)
11	10	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)
12		sge0lefi.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
13	12	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
14	9	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
15	14, 3	sge0less 42681	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ (Σ^‘𝐹))
16	15	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ (Σ^‘𝐹))
17		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴)
18	8, 11, 13, 16, 17	xrletrd 12558	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴)
19	18	ralrimiva 3185	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴)
20	19	ex 415	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴))
21	9, 2	sge0sup 42680	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
22	21	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
23		vex 3500	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
24		eqid 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
25	24	elrnmpt 5831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
26	23, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
27	26	biimpi 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
28	27	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
29		nfv 1914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
30		nfra1 3222	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴
31	29, 30	nfan 1899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴)
32		nfcv 2980	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
33		nfmpt1 5167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
34	33	nfrn 5827	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
35	32, 34	nfel 2995	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
36	31, 35	nfan 1899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
37		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ≤ 𝐴
38		simp3 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → 𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
39		rspa 3209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴)
40	39	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴)
41	38, 40	eqbrtrd 5091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → 𝑦 ≤ 𝐴)
42	41	3adant1l 1172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → 𝑦 ≤ 𝐴)
43	42	3exp 1115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑦 ≤ 𝐴)))
44	43	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑦 ≤ 𝐴)))
45	36, 37, 44	rexlimd 3320	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑦 ≤ 𝐴))
46	28, 45	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))) → 𝑦 ≤ 𝐴)
47	46	ralrimiva 3185	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 ≤ 𝐴)
48	7	ralrimiva 3185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ∈ ℝ*)
49	24	rnmptss 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ⊆ ℝ*)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ⊆ ℝ*)
51	50	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ⊆ ℝ*)
52	12	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
53		supxrleub 12722	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 ≤ 𝐴))
54	51, 52, 53	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 ≤ 𝐴))
55	47, 54	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) ≤ 𝐴)
56	22, 55	eqbrtrd 5091	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) → (Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴)
57	56	ex 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴 → (Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴))
58	20, 57	impbid 214	1 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141  ∃wrex 3142  Vcvv 3497   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5069   ↦ cmpt 5149  ran crn 5559   ↾ cres 5560  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  Fincfn 8512  supcsup 8907  0cc0 10540  +∞cpnf 10675  ℝ^*cxr 10677   < clt 10678   ≤ cle 10679  [,]cicc 12744  Σ^{^}csumge0 42651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-sum 15046  df-sumge0 42652

This theorem is referenced by:  sge0le  42696  sge0iunmptlemre  42704  sge0lefimpt  42712  caratheodorylem2  42816