Theorem sge0lefi 47038

Description: A sum of nonnegative extended reals is smaller than a given extended real if and only if every finite subsum is smaller than it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0lefi.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0lefi.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0lefi.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
sge0lefi	⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0lefi

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
2		sge0lefi.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3	2	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4		elpwinss 45695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
5	4	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
6	3, 5	fssresd 6746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
7	1, 6	sge0xrcl 47025	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ∈ ℝ*)
8	7	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ∈ ℝ*)
9		sge0lefi.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10	9, 2	sge0xrcl 47025	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)
11	10	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)
12		sge0lefi.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
13	12	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
14	9	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
15	14, 3	sge0less 47032	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ (Σ^‘𝐹))
16	15	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ (Σ^‘𝐹))
17		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴)
18	8, 11, 13, 16, 17	xrletrd 13187	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴)
19	18	ralrimiva 3163	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴)
20	19	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴))
21	9, 2	sge0sup 47031	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
22	21	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
23		vex 3467	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
24		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
25	24	elrnmpt 5949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
26	23, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
27	26	bilani 509	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
28		nfv 1941	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
29		nfra1 3295	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴
30	28, 29	nfan 1926	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴)
31		nfcv 2931	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
32		nfmpt1 5214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
33	32	nfrn 5943	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
34	31, 33	nfel 2945	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
35	30, 34	nfan 1926	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
36		nfv 1941	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ≤ 𝐴
37		simp3 1154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → 𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
38		rspa 3260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴)
39	38	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴)
40	37, 39	eqbrtrd 5137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → 𝑦 ≤ 𝐴)
41	40	3adant1l 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → 𝑦 ≤ 𝐴)
42	41	3exp 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑦 ≤ 𝐴)))
43	42	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑦 ≤ 𝐴)))
44	35, 36, 43	rexlimd 3278	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑦 ≤ 𝐴))
45	27, 44	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))) → 𝑦 ≤ 𝐴)
46	45	ralrimiva 3163	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 ≤ 𝐴)
47	7	ralrimiva 3163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ∈ ℝ*)
48	24	rnmptss 7119	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ⊆ ℝ*)
49	47, 48	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ⊆ ℝ*)
50	49	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ⊆ ℝ*)
51	12	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
52		supxrleub 13352	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 ≤ 𝐴))
53	50, 51, 52	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 ≤ 𝐴))
54	46, 53	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) ≤ 𝐴)
55	22, 54	eqbrtrd 5137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴) → (Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴)
56	55	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴 → (Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴))
57	20, 56	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  Vcvv 3463   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4567   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ran crn 5663   ↾ cres 5664  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8943  supcsup 9400  0cc0 11100  +∞cpnf 11240  ℝ^*cxr 11242   < clt 11243   ≤ cle 11244  [,]cicc 13375  Σ^{^}csumge0 47002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-sum 15738  df-sumge0 47003

This theorem is referenced by:  sge0le  47047  sge0iunmptlemre  47055  sge0lefimpt  47063  caratheodorylem2  47167