Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0lefi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0lefi 46353
Description: A sum of nonnegative extended reals is smaller than a given extended real if and only if every finite subsum is smaller than it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0lefi.1 (𝜑𝑋𝑉)
sge0lefi.2 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0lefi.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
sge0lefi (𝜑 → ((Σ^𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0lefi
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
2 sge0lefi.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
32adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4 elpwinss 44988 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥𝑋)
54adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥𝑋)
63, 5fssresd 6775 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
71, 6sge0xrcl 46340 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*)
87adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*)
9 sge0lefi.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
109, 2sge0xrcl 46340 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ ℝ*)
1110ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^𝐹) ∈ ℝ*)
12 sge0lefi.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1312ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
149adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑋𝑉)
1514, 3sge0less 46347 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ (Σ^𝐹))
1615adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ (Σ^𝐹))
17 simplr 769 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^𝐹) ≤ 𝐴)
188, 11, 13, 16, 17xrletrd 13200 . . . 4 (((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴)
1918ralrimiva 3143 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ≤ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴)
2019ex 412 . 2 (𝜑 → ((Σ^𝐹) ≤ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴))
219, 2sge0sup 46346 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))), ℝ*, < ))
2221adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) → (Σ^𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))), ℝ*, < ))
23 vex 3481 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
24 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥)))
2524elrnmpt 5971 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑥))))
2623, 25ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑥)))
2726biimpi 216 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑥)))
2827adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥)))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑥)))
29 nfv 1911 . . . . . . . . . 10 𝑥𝜑
30 nfra1 3281 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴
3129, 30nfan 1896 . . . . . . . . 9 𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴)
32 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑦
33 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥)))
3433nfrn 5965 . . . . . . . . . 10 𝑥ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥)))
3532, 34nfel 2917 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥)))
3631, 35nfan 1896 . . . . . . . 8 𝑥((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))))
37 nfv 1911 . . . . . . . 8 𝑥 𝑦𝐴
38 simp3 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑥))) → 𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑥)))
39 rspa 3245 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴)
40393adant3 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑥))) → (Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴)
4138, 40eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑥))) → 𝑦𝐴)
42413adant1l 1175 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑥))) → 𝑦𝐴)
43423exp 1118 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑥)) → 𝑦𝐴)))
4443adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥)))) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑥)) → 𝑦𝐴)))
4536, 37, 44rexlimd 3263 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥)))) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑥)) → 𝑦𝐴))
4628, 45mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥)))) → 𝑦𝐴)
4746ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥)))𝑦𝐴)
487ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*)
4924rnmptss 7142 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))) ⊆ ℝ*)
5048, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))) ⊆ ℝ*)
5150adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))) ⊆ ℝ*)
5212adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
53 supxrleub 13364 . . . . . 6 ((ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))) ⊆ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))), ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥)))𝑦𝐴))
5451, 52, 53syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))), ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥)))𝑦𝐴))
5547, 54mpbird 257 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑥))), ℝ*, < ) ≤ 𝐴)
5622, 55eqbrtrd 5169 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴) → (Σ^𝐹) ≤ 𝐴)
5756ex 412 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴 → (Σ^𝐹) ≤ 𝐴))
5820, 57impbid 212 1 (𝜑 → ((Σ^𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ran crn 5689  cres 5690  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  supcsup 9477  0cc0 11152  +∞cpnf 11289  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  [,]cicc 13386  Σ^csumge0 46317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-sumge0 46318
This theorem is referenced by:  sge0le  46362  sge0iunmptlemre  46370  sge0lefimpt  46378  caratheodorylem2  46482
  Copyright terms: Public domain W3C validator