Theorem omscl 34694

Description: A closure lemma for the constructed outer measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
omscl	⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑅   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝑄,𝑦,𝑧   𝑥,𝑉,𝑦,𝑧

Proof of Theorem omscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3458	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		simp2 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
3	2	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
4		ssrab2 4033	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ⊆ 𝒫 dom 𝑅
5		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
6	4, 5	sselid 3934	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
7		fdm 6715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → dom 𝑅 = 𝑄)
8	7	pweqd 4578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
9	2, 8	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
10	9	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
11	6, 10	eleqtrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑄)
12		elpwi 4568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑄 → 𝑥 ⊆ 𝑄)
13	11, 12	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) → 𝑥 ⊆ 𝑄)
14	13	sselda 3936	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑄)
15	3, 14	ffvelcdmd 7080	. . . . 5 ⊢ ((((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
16	15	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
17		nfcv 2924	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝑥
18	17	esumcl 34429	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
19	1, 16, 18	sylancr 598	. . 3 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
20	19	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
21		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
22	21	rnmptss 7118	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
23	20, 22	syl 18	1 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  {crab 3415  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4561  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5660  ran crn 5661  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ωcom 7860   ≼ cdom 8939  0cc0 11106  +∞cpnf 11246  [,]cicc 13381  Σ^*cesum 34426

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-xadd 13144  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-hash 14374  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-rest 17481  df-topn 17482  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-topgen 17502  df-ordt 17561  df-xrs 17562  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-ps 18628  df-tsr 18629  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-fbas 21530  df-fg 21531  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-ntr 23188  df-nei 23266  df-cn 23395  df-haus 23483  df-fil 24014  df-fm 24106  df-flim 24107  df-flf 24108  df-tsms 24295  df-esum 34427

This theorem is used by:  omsf  34695  omssubaddlem  34698  omssubadd  34699