Theorem sge0pnffigt 46387

Description: If the sum of nonnegative extended reals is +∞, then any real number can be dominated by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0pnffigt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0pnffigt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0pnffigt.pnf	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = +∞)
sge0pnffigt.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0pnffigt	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0pnffigt

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0pnffigt.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2		sge0pnffigt.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		sge0pnffigt.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	2, 3	sge0sup 46382	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
5		sge0pnffigt.pnf	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = +∞)
6	4, 5	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = +∞)
7		vex 3440	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ V)
9	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
10		elpwinss 45037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
12	9, 11	fssresd 6691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
13	8, 12	sge0xrcl 46376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ∈ ℝ*)
14	13	ralrimiva 3121	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ∈ ℝ*)
15		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
16	15	rnmptss 7057	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ⊆ ℝ*)
17	14, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ⊆ ℝ*)
18		supxrunb2 13222	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ⊆ ℝ* → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧 ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = +∞))
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧 ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = +∞))
20	6, 19	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧)
21		breq1 5095	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑌 < 𝑧))
22	21	rexbidv 3153	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑌 < 𝑧))
23	22	rspcva 3575	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑌 < 𝑧)
24	1, 20, 23	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑌 < 𝑧)
25		vex 3440	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
26	15	elrnmpt 5900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ V → (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
28	27	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
29	28	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
30		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
31		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
32		nfmpt1 5191	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
33	32	nfrn 5894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
34	31, 33	nfel 2906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
35		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑌 < 𝑧
36	30, 34, 35	nf3an 1901	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧)
37		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 < 𝑧 ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → 𝑌 < 𝑧)
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 < 𝑧 ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
39	38	breq2d 5104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 < 𝑧 ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → (𝑌 < 𝑧 ↔ 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
40	37, 39	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 < 𝑧 ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
41	40	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 < 𝑧 → (𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
42	41	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < 𝑧) → (𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
43	42	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < 𝑧) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))))
44	43	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))))
45	36, 44	reximdai 3231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
46	29, 45	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
47	46	3exp 1119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → (𝑌 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))))
48	47	rexlimdv 3128	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑌 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
49	24, 48	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4551   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ran crn 5620   ↾ cres 5621  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Fincfn 8872  supcsup 9330  ℝcr 11008  0cc0 11009  +∞cpnf 11146  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149  [,]cicc 13251  Σ^{^}csumge0 46353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-sumge0 46354

This theorem is referenced by:  sge0pnffigtmpt  46431  omeiunltfirp  46510