Theorem sge0pnffigt 42671

Description: If the sum of nonnegative extended reals is +∞, then any real number can be dominated by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0pnffigt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0pnffigt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0pnffigt.pnf	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = +∞)
sge0pnffigt.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0pnffigt	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0pnffigt

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0pnffigt.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2		sge0pnffigt.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		sge0pnffigt.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	2, 3	sge0sup 42666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
5		sge0pnffigt.pnf	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = +∞)
6	4, 5	eqtr3d 2858	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = +∞)
7		vex 3498	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ V)
9	3	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
10		elpwinss 41304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
11	10	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
12	9, 11	fssresd 6540	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
13	8, 12	sge0xrcl 42660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ∈ ℝ*)
14	13	ralrimiva 3182	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ∈ ℝ*)
15		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
16	15	rnmptss 6881	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ⊆ ℝ*)
17	14, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ⊆ ℝ*)
18		supxrunb2 12707	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ⊆ ℝ* → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧 ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = +∞))
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧 ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = +∞))
20	6, 19	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧)
21		breq1 5062	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑌 < 𝑧))
22	21	rexbidv 3297	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑌 < 𝑧))
23	22	rspcva 3621	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑌 < 𝑧)
24	1, 20, 23	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑌 < 𝑧)
25		vex 3498	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
26	15	elrnmpt 5823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ V → (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
28	27	biimpi 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
29	28	3ad2ant2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
30		nfv 1911	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
31		nfcv 2977	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
32		nfmpt1 5157	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
33	32	nfrn 5819	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
34	31, 33	nfel 2992	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
35		nfv 1911	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑌 < 𝑧
36	30, 34, 35	nf3an 1898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧)
37		simpl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 < 𝑧 ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → 𝑌 < 𝑧)
38		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 < 𝑧 ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
39	38	breq2d 5071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 < 𝑧 ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → (𝑌 < 𝑧 ↔ 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
40	37, 39	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 < 𝑧 ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
41	40	ex 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 < 𝑧 → (𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
42	41	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < 𝑧) → (𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
43	42	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < 𝑧) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))))
44	43	3adant2 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))))
45	36, 44	reximdai 3311	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
46	29, 45	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
47	46	3exp 1115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → (𝑌 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))))
48	47	rexlimdv 3283	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑌 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
49	24, 48	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  Vcvv 3495   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  𝒫 cpw 4539   class class class wbr 5059   ↦ cmpt 5139  ran crn 5551   ↾ cres 5552  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  supcsup 8898  ℝcr 10530  0cc0 10531  +∞cpnf 10666  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669  [,]cicc 12735  Σ^{^}csumge0 42637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037  df-sumge0 42638

This theorem is referenced by:  sge0pnffigtmpt  42715  omeiunltfirp  42794