Theorem sge0pnffigt 43035

Description: If the sum of nonnegative extended reals is +∞, then any real number can be dominated by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0pnffigt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0pnffigt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0pnffigt.pnf	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = +∞)
sge0pnffigt.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0pnffigt	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0pnffigt

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0pnffigt.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2		sge0pnffigt.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		sge0pnffigt.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	2, 3	sge0sup 43030	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
5		sge0pnffigt.pnf	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = +∞)
6	4, 5	eqtr3d 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = +∞)
7		vex 3444	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ V)
9	3	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
10		elpwinss 41683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
11	10	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
12	9, 11	fssresd 6519	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
13	8, 12	sge0xrcl 43024	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ∈ ℝ*)
14	13	ralrimiva 3149	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ∈ ℝ*)
15		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
16	15	rnmptss 6863	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ⊆ ℝ*)
17	14, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ⊆ ℝ*)
18		supxrunb2 12701	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ⊆ ℝ* → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧 ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = +∞))
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧 ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = +∞))
20	6, 19	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧)
21		breq1 5033	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑌 < 𝑧))
22	21	rexbidv 3256	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑌 < 𝑧))
23	22	rspcva 3569	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑌 < 𝑧)
24	1, 20, 23	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑌 < 𝑧)
25		vex 3444	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
26	15	elrnmpt 5792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ V → (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
28	27	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
29	28	3ad2ant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
30		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
31		nfcv 2955	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
32		nfmpt1 5128	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
33	32	nfrn 5788	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
34	31, 33	nfel 2969	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
35		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑌 < 𝑧
36	30, 34, 35	nf3an 1902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧)
37		simpl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 < 𝑧 ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → 𝑌 < 𝑧)
38		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 < 𝑧 ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
39	38	breq2d 5042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 < 𝑧 ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → (𝑌 < 𝑧 ↔ 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
40	37, 39	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 < 𝑧 ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
41	40	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 < 𝑧 → (𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
42	41	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < 𝑧) → (𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
43	42	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < 𝑧) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))))
44	43	3adant2 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))))
45	36, 44	reximdai 3270	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
46	29, 45	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
47	46	3exp 1116	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → (𝑌 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))))
48	47	rexlimdv 3242	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑌 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
49	24, 48	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ran crn 5520   ↾ cres 5521  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  supcsup 8888  ℝcr 10525  0cc0 10526  +∞cpnf 10661  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664  [,]cicc 12729  Σ^{^}csumge0 43001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-sumge0 43002

This theorem is referenced by:  sge0pnffigtmpt  43079  omeiunltfirp  43158