Theorem sge0pnffigt 45571

Description: If the sum of nonnegative extended reals is +∞, then any real number can be dominated by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0pnffigt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0pnffigt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0pnffigt.pnf	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = +∞)
sge0pnffigt.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0pnffigt	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0pnffigt

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0pnffigt.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2		sge0pnffigt.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		sge0pnffigt.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	2, 3	sge0sup 45566	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
5		sge0pnffigt.pnf	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = +∞)
6	4, 5	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = +∞)
7		vex 3477	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ V)
9	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
10		elpwinss 44198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
12	9, 11	fssresd 6758	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
13	8, 12	sge0xrcl 45560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ∈ ℝ*)
14	13	ralrimiva 3145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ∈ ℝ*)
15		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
16	15	rnmptss 7124	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ⊆ ℝ*)
17	14, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ⊆ ℝ*)
18		supxrunb2 13306	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ⊆ ℝ* → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧 ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = +∞))
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧 ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = +∞))
20	6, 19	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧)
21		breq1 5151	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑌 < 𝑧))
22	21	rexbidv 3177	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑌 < 𝑧))
23	22	rspcva 3610	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑌 < 𝑧)
24	1, 20, 23	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑌 < 𝑧)
25		vex 3477	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
26	15	elrnmpt 5955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ V → (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
28	27	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
29	28	3ad2ant2 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
30		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
31		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
32		nfmpt1 5256	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
33	32	nfrn 5951	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
34	31, 33	nfel 2916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
35		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑌 < 𝑧
36	30, 34, 35	nf3an 1903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧)
37		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 < 𝑧 ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → 𝑌 < 𝑧)
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 < 𝑧 ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
39	38	breq2d 5160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 < 𝑧 ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → (𝑌 < 𝑧 ↔ 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
40	37, 39	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 < 𝑧 ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
41	40	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 < 𝑧 → (𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
42	41	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < 𝑧) → (𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
43	42	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < 𝑧) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))))
44	43	3adant2 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))))
45	36, 44	reximdai 3257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
46	29, 45	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
47	46	3exp 1118	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → (𝑌 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))))
48	47	rexlimdv 3152	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑌 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
49	24, 48	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3473   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  𝒫 cpw 4602   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   ↾ cres 5678  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8945  supcsup 9441  ℝcr 11115  0cc0 11116  +∞cpnf 11252  ℝ^*cxr 11254   < clt 11255  [,]cicc 13334  Σ^{^}csumge0 45537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640  df-sumge0 45538

This theorem is referenced by:  sge0pnffigtmpt  45615  omeiunltfirp  45694