Theorem sge0pnffigt 46846

Description: If the sum of nonnegative extended reals is +∞, then any real number can be dominated by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0pnffigt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0pnffigt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0pnffigt.pnf	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = +∞)
sge0pnffigt.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0pnffigt	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0pnffigt

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0pnffigt.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2		sge0pnffigt.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		sge0pnffigt.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	2, 3	sge0sup 46841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
5		sge0pnffigt.pnf	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = +∞)
6	4, 5	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = +∞)
7		vex 3434	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ V)
9	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
10		elpwinss 45502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
12	9, 11	fssresd 6703	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
13	8, 12	sge0xrcl 46835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ∈ ℝ*)
14	13	ralrimiva 3130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ∈ ℝ*)
15		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
16	15	rnmptss 7071	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ⊆ ℝ*)
17	14, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ⊆ ℝ*)
18		supxrunb2 13267	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ⊆ ℝ* → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧 ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = +∞))
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧 ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = +∞))
20	6, 19	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧)
21		breq1 5089	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑌 < 𝑧))
22	21	rexbidv 3162	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑌 < 𝑧))
23	22	rspcva 3563	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑦 < 𝑧) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑌 < 𝑧)
24	1, 20, 23	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑌 < 𝑧)
25		vex 3434	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
26	15	elrnmpt 5909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ V → (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
28	27	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
29	28	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
30		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
31		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
32		nfmpt1 5185	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
33	32	nfrn 5903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
34	31, 33	nfel 2914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
35		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑌 < 𝑧
36	30, 34, 35	nf3an 1903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧)
37		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 < 𝑧 ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → 𝑌 < 𝑧)
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 < 𝑧 ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
39	38	breq2d 5098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 < 𝑧 ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → (𝑌 < 𝑧 ↔ 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
40	37, 39	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 < 𝑧 ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
41	40	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 < 𝑧 → (𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
42	41	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < 𝑧) → (𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
43	42	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < 𝑧) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))))
44	43	3adant2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))))
45	36, 44	reximdai 3240	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑧 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
46	29, 45	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) ∧ 𝑌 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
47	46	3exp 1120	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) → (𝑌 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))))
48	47	rexlimdv 3137	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))𝑌 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))))
49	24, 48	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ran crn 5627   ↾ cres 5628  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Fincfn 8888  supcsup 9348  ℝcr 11032  0cc0 11033  +∞cpnf 11171  ℝ^*cxr 11173   < clt 11174  [,]cicc 13296  Σ^{^}csumge0 46812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-sum 15644  df-sumge0 46813

This theorem is referenced by:  sge0pnffigtmpt  46890  omeiunltfirp  46969