Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0gerp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0gerp 46351
Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is greater than or equal to a given extended real number if this number can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0gerp.x (𝜑𝑋𝑉)
sge0gerp.f (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0gerp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
sge0gerp.z ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥))
Assertion
Ref Expression
sge0gerp (𝜑𝐴 ≤ (Σ^𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧   𝑥,𝑋,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem sge0gerp
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1912 . . 3 𝑥𝜑
2 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
3 sge0gerp.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
43adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5 elinel1 4211 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)
6 elpwi 4612 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋𝑧𝑋)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑧𝑋)
87adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑧𝑋)
94, 8fssresd 6776 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
102, 9sge0xrcl 46341 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
1110ralrimiva 3144 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
12 eqid 2735 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))
1312rnmptss 7143 . . . 4 (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ* → ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))) ⊆ ℝ*)
1411, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))) ⊆ ℝ*)
15 sge0gerp.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
16 sge0gerp.z . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥))
17 nfv 1912 . . . . 5 𝑧(𝜑𝑥 ∈ ℝ+)
18 nfmpt1 5256 . . . . . . 7 𝑧(𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))
1918nfrn 5966 . . . . . 6 𝑧ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))
20 nfv 1912 . . . . . 6 𝑧 𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)
2119, 20nfrexw 3311 . . . . 5 𝑧𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)
22 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
23 fvexd 6922 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ V)
2412elrnmpt1 5974 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ V) → (Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))))
2522, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))))
26253ad2ant2 1133 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥)) → (Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))))
27 simp3 1137 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥)) → 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥))
28 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑦 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥)
29 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑧)) → (𝑦 +𝑒 𝑥) = ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥))
3029breq2d 5160 . . . . . . . 8 (𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑧)) → (𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥)))
3128, 30rspce 3611 . . . . . . 7 (((Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
3226, 27, 31syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
33323exp 1118 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))))
3417, 21, 33rexlimd 3264 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)))
3516, 34mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
361, 14, 15, 35supxrge 45288 . 2 (𝜑𝐴 ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))), ℝ*, < ))
37 sge0gerp.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
3837, 3sge0sup 46347 . . 3 (𝜑 → (Σ^𝐹) = sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))), ℝ*, < ))
3938eqcomd 2741 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))), ℝ*, < ) = (Σ^𝐹))
4036, 39breqtrd 5174 1 (𝜑𝐴 ≤ (Σ^𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ran crn 5690  cres 5691  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  supcsup 9478  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  +crp 13032   +𝑒 cxad 13150  [,]cicc 13387  Σ^csumge0 46318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-sumge0 46319
This theorem is referenced by:  sge0gerpmpt  46358
  Copyright terms: Public domain W3C validator