Theorem sge0gerp 45410

Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is greater than or equal to a given extended real number if this number can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0gerp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0gerp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0gerp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
sge0gerp.z	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
sge0gerp	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (Σ^‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧   𝑥,𝑋,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem sge0gerp

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1917	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
3		sge0gerp.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	3	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5		elinel1 4195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)
6		elpwi 4609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑧 ⊆ 𝑋)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ 𝑋)
8	7	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑧 ⊆ 𝑋)
9	4, 8	fssresd 6758	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
10	2, 9	sge0xrcl 45400	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ℝ*)
11	10	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ℝ*)
12		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))
13	12	rnmptss 7124	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ℝ* → ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))) ⊆ ℝ*)
14	11, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))) ⊆ ℝ*)
15		sge0gerp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
16		sge0gerp.z	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥))
17		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+)
18		nfmpt1 5256	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))
19	18	nfrn 5951	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))
20		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧 𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)
21	19, 20	nfrexw 3310	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)
22		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
23		fvexd 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ V)
24	12	elrnmpt1 5957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ V) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))))
25	22, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))))
26	25	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))))
27		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥)) → 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥))
28		nfv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥)
29		oveq1 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) → (𝑦 +𝑒 𝑥) = ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥))
30	29	breq2d 5160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) → (𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥)))
31	28, 30	rspce 3601	. . . . . . 7 ⊢ (((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
32	26, 27, 31	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
33	32	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))))
34	17, 21, 33	rexlimd 3263	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)))
35	16, 34	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
36	1, 14, 15, 35	supxrge 44347	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))), ℝ*, < ))
37		sge0gerp.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
38	37, 3	sge0sup 45406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))), ℝ*, < ))
39	38	eqcomd 2738	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))), ℝ*, < ) = (Σ^‘𝐹))
40	36, 39	breqtrd 5174	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (Σ^‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  𝒫 cpw 4602   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   ↾ cres 5678  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  supcsup 9437  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252   ≤ cle 11253  ℝ⁺crp 12978   +_𝑒 cxad 13094  [,]cicc 13331  Σ^{^}csumge0 45377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-xadd 13097  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-sumge0 45378

This theorem is referenced by:  sge0gerpmpt  45417