Theorem sge0gerp 46316

Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is greater than or equal to a given extended real number if this number can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0gerp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0gerp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0gerp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
sge0gerp.z	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
sge0gerp	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (Σ^‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧   𝑥,𝑋,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem sge0gerp

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1913	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
3		sge0gerp.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5		elinel1 4224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)
6		elpwi 4629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑧 ⊆ 𝑋)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ 𝑋)
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑧 ⊆ 𝑋)
9	4, 8	fssresd 6788	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
10	2, 9	sge0xrcl 46306	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ℝ*)
11	10	ralrimiva 3152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ℝ*)
12		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))
13	12	rnmptss 7157	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ℝ* → ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))) ⊆ ℝ*)
14	11, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))) ⊆ ℝ*)
15		sge0gerp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
16		sge0gerp.z	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥))
17		nfv 1913	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+)
18		nfmpt1 5274	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))
19	18	nfrn 5977	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))
20		nfv 1913	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧 𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)
21	19, 20	nfrexw 3319	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)
22		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
23		fvexd 6935	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ V)
24	12	elrnmpt1 5983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ V) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))))
25	22, 23, 24	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))))
26	25	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))))
27		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥)) → 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥))
28		nfv 1913	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥)
29		oveq1 7455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) → (𝑦 +𝑒 𝑥) = ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥))
30	29	breq2d 5178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) → (𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥)))
31	28, 30	rspce 3624	. . . . . . 7 ⊢ (((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
32	26, 27, 31	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
33	32	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))))
34	17, 21, 33	rexlimd 3272	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)))
35	16, 34	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
36	1, 14, 15, 35	supxrge 45253	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))), ℝ*, < ))
37		sge0gerp.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
38	37, 3	sge0sup 46312	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))), ℝ*, < ))
39	38	eqcomd 2746	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))), ℝ*, < ) = (Σ^‘𝐹))
40	36, 39	breqtrd 5192	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (Σ^‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701   ↾ cres 5702  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  supcsup 9509  0cc0 11184  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℝ⁺crp 13057   +_𝑒 cxad 13173  [,]cicc 13410  Σ^{^}csumge0 46283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-xadd 13176  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-sumge0 46284

This theorem is referenced by:  sge0gerpmpt  46323