Theorem sge0gerp 46366

Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is greater than or equal to a given extended real number if this number can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0gerp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0gerp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0gerp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
sge0gerp.z	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
sge0gerp	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (Σ^‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧   𝑥,𝑋,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem sge0gerp

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
3		sge0gerp.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5		elinel1 4160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)
6		elpwi 4566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑧 ⊆ 𝑋)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ 𝑋)
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑧 ⊆ 𝑋)
9	4, 8	fssresd 6709	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
10	2, 9	sge0xrcl 46356	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ℝ*)
11	10	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ℝ*)
12		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))
13	12	rnmptss 7077	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ℝ* → ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))) ⊆ ℝ*)
14	11, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))) ⊆ ℝ*)
15		sge0gerp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
16		sge0gerp.z	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥))
17		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+)
18		nfmpt1 5201	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))
19	18	nfrn 5905	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))
20		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧 𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)
21	19, 20	nfrexw 3284	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)
22		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
23		fvexd 6855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ V)
24	12	elrnmpt1 5913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ V) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))))
25	22, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))))
26	25	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))))
27		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥)) → 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥))
28		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥)
29		oveq1 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) → (𝑦 +𝑒 𝑥) = ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥))
30	29	breq2d 5114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) → (𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥)))
31	28, 30	rspce 3574	. . . . . . 7 ⊢ (((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
32	26, 27, 31	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
33	32	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))))
34	17, 21, 33	rexlimd 3242	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)))
35	16, 34	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
36	1, 14, 15, 35	supxrge 45307	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))), ℝ*, < ))
37		sge0gerp.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
38	37, 3	sge0sup 46362	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))), ℝ*, < ))
39	38	eqcomd 2735	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))), ℝ*, < ) = (Σ^‘𝐹))
40	36, 39	breqtrd 5128	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (Σ^‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  𝒫 cpw 4559   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ran crn 5632   ↾ cres 5633  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  supcsup 9367  0cc0 11044  +∞cpnf 11181  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185  ℝ⁺crp 12927   +_𝑒 cxad 13046  [,]cicc 13285  Σ^{^}csumge0 46333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-xadd 13049  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629  df-sumge0 46334

This theorem is referenced by:  sge0gerpmpt  46373