Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0gerp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0gerp 46410
Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is greater than or equal to a given extended real number if this number can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0gerp.x (𝜑𝑋𝑉)
sge0gerp.f (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0gerp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
sge0gerp.z ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥))
Assertion
Ref Expression
sge0gerp (𝜑𝐴 ≤ (Σ^𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧   𝑥,𝑋,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem sge0gerp
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1914 . . 3 𝑥𝜑
2 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
3 sge0gerp.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
43adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5 elinel1 4201 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)
6 elpwi 4607 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋𝑧𝑋)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑧𝑋)
87adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑧𝑋)
94, 8fssresd 6775 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
102, 9sge0xrcl 46400 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
1110ralrimiva 3146 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
12 eqid 2737 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))
1312rnmptss 7143 . . . 4 (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ* → ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))) ⊆ ℝ*)
1411, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))) ⊆ ℝ*)
15 sge0gerp.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
16 sge0gerp.z . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥))
17 nfv 1914 . . . . 5 𝑧(𝜑𝑥 ∈ ℝ+)
18 nfmpt1 5250 . . . . . . 7 𝑧(𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))
1918nfrn 5963 . . . . . 6 𝑧ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))
20 nfv 1914 . . . . . 6 𝑧 𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)
2119, 20nfrexw 3313 . . . . 5 𝑧𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)
22 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
23 fvexd 6921 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ V)
2412elrnmpt1 5971 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ V) → (Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))))
2522, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))))
26253ad2ant2 1135 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥)) → (Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))))
27 simp3 1139 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥)) → 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥))
28 nfv 1914 . . . . . . . 8 𝑦 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥)
29 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑧)) → (𝑦 +𝑒 𝑥) = ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥))
3029breq2d 5155 . . . . . . . 8 (𝑦 = (Σ^‘(𝐹𝑧)) → (𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥)))
3128, 30rspce 3611 . . . . . . 7 (((Σ^‘(𝐹𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
3226, 27, 31syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
33323exp 1120 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))))
3417, 21, 33rexlimd 3266 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹𝑧)) +𝑒 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)))
3516, 34mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
361, 14, 15, 35supxrge 45349 . 2 (𝜑𝐴 ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))), ℝ*, < ))
37 sge0gerp.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
3837, 3sge0sup 46406 . . 3 (𝜑 → (Σ^𝐹) = sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))), ℝ*, < ))
3938eqcomd 2743 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹𝑧))), ℝ*, < ) = (Σ^𝐹))
4036, 39breqtrd 5169 1 (𝜑𝐴 ≤ (Σ^𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  supcsup 9480  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  +crp 13034   +𝑒 cxad 13152  [,]cicc 13390  Σ^csumge0 46377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-sumge0 46378
This theorem is referenced by:  sge0gerpmpt  46417
  Copyright terms: Public domain W3C validator