Theorem sge0gerp 47374

Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is greater than or equal to a given extended real number if this number can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0gerp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0gerp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0gerp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
sge0gerp.z	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
sge0gerp	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (Σ^‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧   𝑥,𝑋,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥, 𝑧)

Proof of Theorem sge0gerp

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
3		sge0gerp.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5		elinel1 4147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑋)
6		elpwi 4564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑧 ⊆ 𝑋)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ 𝑋)
8	7	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑧 ⊆ 𝑋)
9	4, 8	fssresd 6747	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
10	2, 9	sge0xrcl 47364	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ℝ*)
11	10	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ℝ*)
12		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))
13	12	rnmptss 7121	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ℝ* → ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))) ⊆ ℝ*)
14	11, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))) ⊆ ℝ*)
15		sge0gerp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
16		sge0gerp.z	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥))
17		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+)
18		nfmpt1 5204	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))
19	18	nfrn 5934	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))
20		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧 𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)
21	19, 20	nfrexw 3311	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)
22		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
23		fvexd 6898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ V)
24	12	elrnmpt1 5942	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ V) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))))
25	22, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))))
26	25	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))))
27		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥)) → 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥))
28		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥)
29		oveq1 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) → (𝑦 +𝑒 𝑥) = ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥))
30	29	breq2d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) → (𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥)))
31	28, 30	rspce 3566	. . . . . . 7 ⊢ (((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
32	26, 27, 31	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
33	32	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))))
34	17, 21, 33	rexlimd 3270	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝐴 ≤ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)))
35	16, 34	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧)))𝐴 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
36	1, 14, 15, 35	supxrge 46319	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))), ℝ*, < ))
37		sge0gerp.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
38	37, 3	sge0sup 47370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))), ℝ*, < ))
39	38	eqcomd 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑧))), ℝ*, < ) = (Σ^‘𝐹))
40	36, 39	breqtrd 5131	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (Σ^‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5652   ↾ cres 5653  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Fincfn 8966  supcsup 9425  0cc0 11193  +∞cpnf 11333  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336   ≤ cle 11337  ℝ⁺crp 13113   +_𝑒 cxad 13232  [,]cicc 13472  Σ^{^}csumge0 47341

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-xadd 13235  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-sum 15847  df-sumge0 47342

This theorem is used by:  sge0gerpmpt  47381