Theorem swrdrn2 33307

Description: The range of a subword is a subset of the range of that word. Stronger version of swrdrn 14713. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
swrdrn2	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ ran 𝑊)

Proof of Theorem swrdrn2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdval2 14706	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))))
2	1	rneqd 5933	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))))
3		eqidd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
4		simpl1 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
5	3, 4	wrdfd 14576	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
6	5	ffund 6717	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → Fun 𝑊)
7		elfzuz3 13567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
8	7	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
9	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
10		fzoss2 13735	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
11	9, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
12		elfzuz 13566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
13	12	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
14	13	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
15		fzoss1 13734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
16	14, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
17		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
18		simpl3 1212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
19	18	elfzelzd 13571	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		simpl2 1211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
21	20	elfzelzd 13571	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
22		fzoaddel2 13768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
23	17, 19, 21, 22	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
24	16, 23	sseldd 3941	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^𝑁))
25	11, 24	sseldd 3941	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
26		wrddm 14578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
27	26	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
28	27	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
29	25, 28	eleqtrrd 2869	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑊)
30		fvelrn 7078	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝑊 ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑊) → (𝑊‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ ran 𝑊)
31	6, 29, 30	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑊‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ ran 𝑊)
32	31	ralrimiva 3160	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ∀𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))(𝑊‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ ran 𝑊)
33		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀)))
34	33	rnmptss 7125	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))(𝑊‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ ran 𝑊 → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))) ⊆ ran 𝑊)
35	32, 34	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))) ⊆ ran 𝑊)
36	2, 35	eqsstrd 3974	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ ran 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082   ⊆ wss 3908  ⟨cop 4600   ↦ cmpt 5197  dom cdm 5666  ran crn 5667  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118   + caddc 11121   − cmin 11459  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553  ..^cfzo 13701  ♯chash 14386  Word cword 14570   substr csubstr 14700

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-substr 14701

This theorem is used by:  cycpmco2f1  33475