Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  swrdrn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdrn2 31989
Description: The range of a subword is a subset of the range of that word. Stronger version of swrdrn 14584. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
swrdrn2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ ran 𝑊)

Proof of Theorem swrdrn2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdval2 14578 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))))
21rneqd 5929 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))))
3 eqidd 2732 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
4 simpl1 1191 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
53, 4wrdfd 31973 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
65ffund 6708 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → Fun 𝑊)
7 elfzuz3 13480 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝑁))
873ad2ant3 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝑁))
98adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝑁))
10 fzoss2 13642 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
12 elfzuz 13479 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
13123ad2ant2 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
1413adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
15 fzoss1 13641 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
17 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)))
18 simpl3 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
1918elfzelzd 13484 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑁 ∈ ℤ)
20 simpl2 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
2120elfzelzd 13484 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
22 fzoaddel2 13670 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
2317, 19, 21, 22syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
2416, 23sseldd 3979 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^𝑁))
2511, 24sseldd 3979 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
26 wrddm 14453 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
27263ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
2827adantr 481 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
2925, 28eleqtrrd 2835 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑊)
30 fvelrn 7063 . . . . 5 ((Fun 𝑊 ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑊) → (𝑊‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ ran 𝑊)
316, 29, 30syl2anc 584 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑊‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ ran 𝑊)
3231ralrimiva 3145 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ∀𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))(𝑊‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ ran 𝑊)
33 eqid 2731 . . . 4 (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀)))
3433rnmptss 7106 . . 3 (∀𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))(𝑊‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ ran 𝑊 → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))) ⊆ ran 𝑊)
3532, 34syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))) ⊆ ran 𝑊)
362, 35eqsstrd 4016 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ ran 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3060  wss 3944  cop 4628  cmpt 5224  dom cdm 5669  ran crn 5670  Fun wfun 6526  cfv 6532  (class class class)co 7393  0cc0 11092   + caddc 11095  cmin 11426  cz 12540  cuz 12804  ...cfz 13466  ..^cfzo 13609  chash 14272  Word cword 14446   substr csubstr 14572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-hash 14273  df-word 14447  df-substr 14573
This theorem is referenced by:  cycpmco2f1  32154
  Copyright terms: Public domain W3C validator