Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  swrdrn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdrn2 32113
Description: The range of a subword is a subset of the range of that word. Stronger version of swrdrn 14601. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
swrdrn2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ ran 𝑊)

Proof of Theorem swrdrn2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdval2 14595 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))))
21rneqd 5937 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))))
3 eqidd 2733 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
4 simpl1 1191 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
53, 4wrdfd 32097 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
65ffund 6721 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → Fun 𝑊)
7 elfzuz3 13497 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝑁))
873ad2ant3 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝑁))
98adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝑁))
10 fzoss2 13659 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
12 elfzuz 13496 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
13123ad2ant2 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
1413adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
15 fzoss1 13658 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
17 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)))
18 simpl3 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
1918elfzelzd 13501 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑁 ∈ ℤ)
20 simpl2 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
2120elfzelzd 13501 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
22 fzoaddel2 13687 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
2317, 19, 21, 22syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
2416, 23sseldd 3983 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^𝑁))
2511, 24sseldd 3983 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
26 wrddm 14470 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
27263ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
2827adantr 481 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
2925, 28eleqtrrd 2836 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑊)
30 fvelrn 7078 . . . . 5 ((Fun 𝑊 ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑊) → (𝑊‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ ran 𝑊)
316, 29, 30syl2anc 584 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑊‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ ran 𝑊)
3231ralrimiva 3146 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ∀𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))(𝑊‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ ran 𝑊)
33 eqid 2732 . . . 4 (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀)))
3433rnmptss 7121 . . 3 (∀𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))(𝑊‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ ran 𝑊 → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))) ⊆ ran 𝑊)
3532, 34syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))) ⊆ ran 𝑊)
362, 35eqsstrd 4020 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ ran 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wss 3948  cop 4634  cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677  Fun wfun 6537  cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109   + caddc 11112  cmin 11443  cz 12557  cuz 12821  ...cfz 13483  ..^cfzo 13626  chash 14289  Word cword 14463   substr csubstr 14589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-hash 14290  df-word 14464  df-substr 14590
This theorem is referenced by:  cycpmco2f1  32278
  Copyright terms: Public domain W3C validator