Theorem swrdrn2 32924

Description: The range of a subword is a subset of the range of that word. Stronger version of swrdrn 14687. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
swrdrn2	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ ran 𝑊)

Proof of Theorem swrdrn2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdval2 14681	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))))
2	1	rneqd 5952	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))))
3		eqidd 2736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
4		simpl1 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
5	3, 4	wrdfd 32903	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
6	5	ffund 6741	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → Fun 𝑊)
7		elfzuz3 13558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
8	7	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
10		fzoss2 13724	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
12		elfzuz 13557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
13	12	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
14	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
15		fzoss1 13723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
17		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
18		simpl3 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
19	18	elfzelzd 13562	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		simpl2 1191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
21	20	elfzelzd 13562	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
22		fzoaddel2 13756	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
23	17, 19, 21, 22	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
24	16, 23	sseldd 3996	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^𝑁))
25	11, 24	sseldd 3996	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
26		wrddm 14556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
27	26	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
29	25, 28	eleqtrrd 2842	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑊)
30		fvelrn 7096	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝑊 ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑊) → (𝑊‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ ran 𝑊)
31	6, 29, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑊‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ ran 𝑊)
32	31	ralrimiva 3144	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ∀𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))(𝑊‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ ran 𝑊)
33		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀)))
34	33	rnmptss 7143	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))(𝑊‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ ran 𝑊 → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))) ⊆ ran 𝑊)
35	32, 34	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))) ⊆ ran 𝑊)
36	2, 35	eqsstrd 4034	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ ran 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   ⊆ wss 3963  ⟨cop 4637   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5689  ran crn 5690  Fun wfun 6557  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153   + caddc 11156   − cmin 11490  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366  Word cword 14549   substr csubstr 14675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-substr 14676

This theorem is referenced by:  cycpmco2f1  33127