Theorem swrdrn2 32149

Description: The range of a subword is a subset of the range of that word. Stronger version of swrdrn 14602. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
swrdrn2	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ ran 𝑊)

Proof of Theorem swrdrn2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdval2 14596	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))))
2	1	rneqd 5938	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))))
3		eqidd 2734	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
4		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
5	3, 4	wrdfd 32133	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
6	5	ffund 6722	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → Fun 𝑊)
7		elfzuz3 13498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
8	7	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
9	8	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
10		fzoss2 13660	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
12		elfzuz 13497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
13	12	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
14	13	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
15		fzoss1 13659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
17		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
18		simpl3 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
19	18	elfzelzd 13502	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		simpl2 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
21	20	elfzelzd 13502	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
22		fzoaddel2 13688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
23	17, 19, 21, 22	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (𝑀..^𝑁))
24	16, 23	sseldd 3984	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^𝑁))
25	11, 24	sseldd 3984	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
26		wrddm 14471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
27	26	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
28	27	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
29	25, 28	eleqtrrd 2837	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑊)
30		fvelrn 7079	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝑊 ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ dom 𝑊) → (𝑊‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ ran 𝑊)
31	6, 29, 30	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑊‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ ran 𝑊)
32	31	ralrimiva 3147	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ∀𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))(𝑊‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ ran 𝑊)
33		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀)))
34	33	rnmptss 7122	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))(𝑊‘(𝑥 + 𝑀)) ∈ ran 𝑊 → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))) ⊆ ran 𝑊)
35	32, 34	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝑀))) ⊆ ran 𝑊)
36	2, 35	eqsstrd 4021	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ ran 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   ⊆ wss 3949  ⟨cop 4635   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678  Fun wfun 6538  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110   + caddc 11113   − cmin 11444  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  ♯chash 14290  Word cword 14464   substr csubstr 14590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-substr 14591

This theorem is referenced by:  cycpmco2f1  32314