Theorem rpaddcld 12990

Description: Closure law for addition of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpaddcl 12955	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7356   + caddc 11030  ℝ⁺crp 12931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-po 5528  df-so 5529  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7359  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-rp 12932

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13440  01sqrexlem7  15199  rpcoshcl  16113  isosctrlem2  26771  lgamucov  26989  relgamcl  27013  2sqmod  27387  pntrlog2bndlem2  27529  pntrlog2bndlem3  27530  pntrlog2bndlem4  27531  pntibndlem3  27543  pntlema  27547  pntlemb  27548  padicabv  27581  ubthlem2  30930  iprodgam  35912  faclimlem1  35913  faclimlem3  35915  faclim  35916  iprodfac  35917  heicant  37964  ftc1anclem6  38007  heiborlem6  38125  2ap1caineq  42572  pell1qrgaplem  43289  pell14qrgapw  43292  wallispilem4  46484  stirlinglem1  46490  stirlinglem5  46494  fourierdlem30  46553