Theorem rpaddcld 13054

Description: Closure law for addition of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpaddcl 13019	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7398   + caddc 11078  ℝ⁺crp 12995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-po 5557  df-so 5558  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-rp 12996

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13504  01sqrexlem7  15277  rpcoshcl  16191  isosctrlem2  26886  lgamucov  27104  relgamcl  27128  2sqmod  27502  pntrlog2bndlem2  27644  pntrlog2bndlem3  27645  pntrlog2bndlem4  27646  pntibndlem3  27658  pntlema  27662  pntlemb  27663  padicabv  27696  ubthlem2  31076  iprodgam  36097  faclimlem1  36098  faclimlem3  36100  faclim  36101  iprodfac  36102  heicant  38159  ftc1anclem6  38202  heiborlem6  38320  2ap1caineq  42767  pell1qrgaplem  43455  pell14qrgapw  43458  wallispilem4  46647  stirlinglem1  46653  stirlinglem5  46657  fourierdlem30  46716