Theorem rpmulcld 12991

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 12956	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7356   · cmul 11032  ℝ⁺crp 12931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-addrcl 11088  ax-mulrcl 11090  ax-rnegex 11098  ax-cnre 11100  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-rp 12932

This theorem is referenced by:  reccn2  15548  eirrlem  16160  nrginvrcnlem  24644  ovolscalem1  25468  itg2gt0  25715  aaliou3lem1  26296  aaliou3lem2  26297  aaliou3lem8  26299  cosordlem  26482  logcnlem2  26595  cxp2limlem  26927  lgamgulmlem3  26982  lgamgulmlem4  26983  lgamgulmlem5  26984  lgamgulmlem6  26985  lgsquadlem2  27332  2sqmod  27387  chtppilimlem1  27424  chtppilim  27426  chebbnd2  27428  chto1lb  27429  rplogsumlem1  27435  dchrvmasumlem1  27446  chpdifbndlem1  27504  chpdifbndlem2  27505  selberg3lem1  27508  selberg4lem1  27511  selberg4  27512  pntrlog2bndlem2  27529  pntrlog2bndlem3  27530  pntrlog2bndlem4  27531  pntrlog2bndlem5  27532  pntpbnd2  27538  pntlemd  27545  pntlema  27547  pntlemb  27548  pntlemq  27552  pntlemr  27553  pntlemj  27554  pntlemf  27556  pntlemo  27558  pntlem3  27560  pntleml  27562  pnt  27565  ttgcontlem1  28941  hgt750leme  34790  faclimlem1  35913  faclimlem3  35915  faclim  35916  unbdqndv2  36759  knoppndvlem17  36776  rrndstprj2  38140  aks4d1p1p7  42501  pellfund14  43314  0ellimcdiv  46065  wallispilem3  46483  wallispilem4  46484  wallispi  46486  wallispi2lem1  46487  stirlinglem2  46491  stirlinglem3  46492  stirlinglem4  46493  stirlinglem6  46495  stirlinglem7  46496  stirlinglem10  46499  stirlinglem11  46500  stirlinglem12  46501  stirlinglem13  46502  stirlinglem14  46503  stirlinglem15  46504  stirlingr  46506  dirkertrigeqlem1  46514  dirkercncflem1  46519  dirkercncflem4  46522  hoiqssbllem1  47038  hoiqssbllem2  47039  hoiqssbllem3  47040  gpg3kgrtriexlem2  48548  amgmwlem  50265  amgmw2d  50267