MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpmulcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpmulcld 12439
Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpmulcld (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpaddcld.1 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 rpmulcl 12404 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
41, 2, 3syl2anc 587 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2112  (class class class)co 7139   · cmul 10535  +crp 12381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-addrcl 10591  ax-mulrcl 10593  ax-rnegex 10601  ax-cnre 10603  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-rp 12382
This theorem is referenced by:  reccn2  14948  eirrlem  15552  nrginvrcnlem  23300  ovolscalem1  24120  itg2gt0  24367  aaliou3lem1  24941  aaliou3lem2  24942  aaliou3lem8  24944  cosordlem  25125  logcnlem2  25237  cxp2limlem  25564  lgamgulmlem3  25619  lgamgulmlem4  25620  lgamgulmlem5  25621  lgamgulmlem6  25622  lgsquadlem2  25968  2sqmod  26023  chtppilimlem1  26060  chtppilim  26062  chebbnd2  26064  chto1lb  26065  rplogsumlem1  26071  dchrvmasumlem1  26082  chpdifbndlem1  26140  chpdifbndlem2  26141  selberg3lem1  26144  selberg4lem1  26147  selberg4  26148  pntrlog2bndlem2  26165  pntrlog2bndlem3  26166  pntrlog2bndlem4  26167  pntrlog2bndlem5  26168  pntpbnd2  26174  pntlemd  26181  pntlema  26183  pntlemb  26184  pntlemq  26188  pntlemr  26189  pntlemj  26190  pntlemf  26192  pntlemo  26194  pntlem3  26196  pntleml  26198  pnt  26201  ttgcontlem1  26682  hgt750leme  32037  faclimlem1  33083  faclimlem3  33085  faclim  33086  unbdqndv2  33958  knoppndvlem17  33975  rrndstprj2  35262  pellfund14  39826  0ellimcdiv  42278  wallispilem3  42696  wallispilem4  42697  wallispi  42699  wallispi2lem1  42700  stirlinglem2  42704  stirlinglem3  42705  stirlinglem4  42706  stirlinglem6  42708  stirlinglem7  42709  stirlinglem10  42712  stirlinglem11  42713  stirlinglem12  42714  stirlinglem13  42715  stirlinglem14  42716  stirlinglem15  42717  stirlingr  42719  dirkertrigeqlem1  42727  dirkercncflem1  42732  dirkercncflem4  42735  hoiqssbllem1  43248  hoiqssbllem2  43249  hoiqssbllem3  43250  amgmwlem  45317  amgmw2d  45319
  Copyright terms: Public domain W3C validator