Theorem rpmulcld 13180

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 13145	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420   · cmul 11205  ℝ⁺crp 13120

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-addrcl 11261  ax-mulrcl 11263  ax-rnegex 11271  ax-cnre 11273  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-rp 13121

This theorem is used by:  reccn2  15764  eirrlem  16372  nrginvrcnlem  25010  ovolscalem1  25834  itg2gt0  26081  aaliou3lem1  26669  aaliou3lem2  26670  aaliou3lem8  26672  cosordlem  26858  logcnlem2  26971  cxp2limlem  27303  lgamgulmlem3  27358  lgamgulmlem4  27359  lgamgulmlem5  27360  lgamgulmlem6  27361  lgsquadlem2  27708  2sqmod  27763  chtppilimlem1  27800  chtppilim  27802  chebbnd2  27804  chto1lb  27805  rplogsumlem1  27811  dchrvmasumlem1  27822  chpdifbndlem1  27880  chpdifbndlem2  27881  selberg3lem1  27884  selberg4lem1  27887  selberg4  27888  pntrlog2bndlem2  27905  pntrlog2bndlem3  27906  pntrlog2bndlem4  27907  pntrlog2bndlem5  27908  pntpbnd2  27914  pntlemd  27921  pntlema  27923  pntlemb  27924  pntlemq  27928  pntlemr  27929  pntlemj  27930  pntlemf  27932  pntlemo  27934  pntlem3  27936  pntleml  27938  pnt  27941  ttgcontlem1  29462  hgt750leme  35287  faclimlem1  36508  faclimlem3  36510  faclim  36511  unbdqndv2  37377  knoppndvlem17  37394  rrndstprj2  38766  aks4d1p1p7  43125  pellfund14  43905  0ellimcdiv  46659  wallispilem3  47077  wallispilem4  47078  wallispi  47080  wallispi2lem1  47081  stirlinglem2  47085  stirlinglem3  47086  stirlinglem4  47087  stirlinglem6  47089  stirlinglem7  47090  stirlinglem10  47093  stirlinglem11  47094  stirlinglem12  47095  stirlinglem13  47096  stirlinglem14  47097  stirlinglem15  47098  stirlingr  47100  dirkertrigeqlem1  47108  dirkercncflem1  47113  dirkercncflem4  47116  hoiqssbllem1  47632  hoiqssbllem2  47633  hoiqssbllem3  47634  gpg3kgrtriexlem2  49182  amgmwlem  50987  amgmw2d  50989