Theorem rpmulcld 13090

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 13055	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430   · cmul 11157  ℝ⁺crp 13031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-addrcl 11213  ax-mulrcl 11215  ax-rnegex 11223  ax-cnre 11225  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-rp 13032

This theorem is referenced by:  reccn2  15629  eirrlem  16236  nrginvrcnlem  24727  ovolscalem1  25561  itg2gt0  25809  aaliou3lem1  26398  aaliou3lem2  26399  aaliou3lem8  26401  cosordlem  26586  logcnlem2  26699  cxp2limlem  27033  lgamgulmlem3  27088  lgamgulmlem4  27089  lgamgulmlem5  27090  lgamgulmlem6  27091  lgsquadlem2  27439  2sqmod  27494  chtppilimlem1  27531  chtppilim  27533  chebbnd2  27535  chto1lb  27536  rplogsumlem1  27542  dchrvmasumlem1  27553  chpdifbndlem1  27611  chpdifbndlem2  27612  selberg3lem1  27615  selberg4lem1  27618  selberg4  27619  pntrlog2bndlem2  27636  pntrlog2bndlem3  27637  pntrlog2bndlem4  27638  pntrlog2bndlem5  27639  pntpbnd2  27645  pntlemd  27652  pntlema  27654  pntlemb  27655  pntlemq  27659  pntlemr  27660  pntlemj  27661  pntlemf  27663  pntlemo  27665  pntlem3  27667  pntleml  27669  pnt  27672  ttgcontlem1  28913  hgt750leme  34651  faclimlem1  35722  faclimlem3  35724  faclim  35725  unbdqndv2  36493  knoppndvlem17  36510  rrndstprj2  37817  aks4d1p1p7  42055  pellfund14  42885  0ellimcdiv  45604  wallispilem3  46022  wallispilem4  46023  wallispi  46025  wallispi2lem1  46026  stirlinglem2  46030  stirlinglem3  46031  stirlinglem4  46032  stirlinglem6  46034  stirlinglem7  46035  stirlinglem10  46038  stirlinglem11  46039  stirlinglem12  46040  stirlinglem13  46041  stirlinglem14  46042  stirlinglem15  46043  stirlingr  46045  dirkertrigeqlem1  46053  dirkercncflem1  46058  dirkercncflem4  46061  hoiqssbllem1  46577  hoiqssbllem2  46578  hoiqssbllem3  46579  amgmwlem  49032  amgmw2d  49034