Theorem rpmulcld 12953

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 12918	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349   · cmul 11014  ℝ⁺crp 12893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-addrcl 11070  ax-mulrcl 11072  ax-rnegex 11080  ax-cnre 11082  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-rp 12894

This theorem is referenced by:  reccn2  15504  eirrlem  16113  nrginvrcnlem  24577  ovolscalem1  25412  itg2gt0  25659  aaliou3lem1  26248  aaliou3lem2  26249  aaliou3lem8  26251  cosordlem  26437  logcnlem2  26550  cxp2limlem  26884  lgamgulmlem3  26939  lgamgulmlem4  26940  lgamgulmlem5  26941  lgamgulmlem6  26942  lgsquadlem2  27290  2sqmod  27345  chtppilimlem1  27382  chtppilim  27384  chebbnd2  27386  chto1lb  27387  rplogsumlem1  27393  dchrvmasumlem1  27404  chpdifbndlem1  27462  chpdifbndlem2  27463  selberg3lem1  27466  selberg4lem1  27469  selberg4  27470  pntrlog2bndlem2  27487  pntrlog2bndlem3  27488  pntrlog2bndlem4  27489  pntrlog2bndlem5  27490  pntpbnd2  27496  pntlemd  27503  pntlema  27505  pntlemb  27506  pntlemq  27510  pntlemr  27511  pntlemj  27512  pntlemf  27514  pntlemo  27516  pntlem3  27518  pntleml  27520  pnt  27523  ttgcontlem1  28834  hgt750leme  34642  faclimlem1  35736  faclimlem3  35738  faclim  35739  unbdqndv2  36505  knoppndvlem17  36522  rrndstprj2  37831  aks4d1p1p7  42067  pellfund14  42891  0ellimcdiv  45650  wallispilem3  46068  wallispilem4  46069  wallispi  46071  wallispi2lem1  46072  stirlinglem2  46076  stirlinglem3  46077  stirlinglem4  46078  stirlinglem6  46080  stirlinglem7  46081  stirlinglem10  46084  stirlinglem11  46085  stirlinglem12  46086  stirlinglem13  46087  stirlinglem14  46088  stirlinglem15  46089  stirlingr  46091  dirkertrigeqlem1  46099  dirkercncflem1  46104  dirkercncflem4  46107  hoiqssbllem1  46623  hoiqssbllem2  46624  hoiqssbllem3  46625  gpg3kgrtriexlem2  48088  amgmwlem  49807  amgmw2d  49809