Theorem rpmulcld 12979

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 12944	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7370   · cmul 11045  ℝ⁺crp 12919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-addrcl 11101  ax-mulrcl 11103  ax-rnegex 11111  ax-cnre 11113  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-ltxr 11185  df-rp 12920

This theorem is referenced by:  reccn2  15534  eirrlem  16143  nrginvrcnlem  24652  ovolscalem1  25487  itg2gt0  25734  aaliou3lem1  26323  aaliou3lem2  26324  aaliou3lem8  26326  cosordlem  26512  logcnlem2  26625  cxp2limlem  26959  lgamgulmlem3  27014  lgamgulmlem4  27015  lgamgulmlem5  27016  lgamgulmlem6  27017  lgsquadlem2  27365  2sqmod  27420  chtppilimlem1  27457  chtppilim  27459  chebbnd2  27461  chto1lb  27462  rplogsumlem1  27468  dchrvmasumlem1  27479  chpdifbndlem1  27537  chpdifbndlem2  27538  selberg3lem1  27541  selberg4lem1  27544  selberg4  27545  pntrlog2bndlem2  27562  pntrlog2bndlem3  27563  pntrlog2bndlem4  27564  pntrlog2bndlem5  27565  pntpbnd2  27571  pntlemd  27578  pntlema  27580  pntlemb  27581  pntlemq  27585  pntlemr  27586  pntlemj  27587  pntlemf  27589  pntlemo  27591  pntlem3  27593  pntleml  27595  pnt  27598  ttgcontlem1  28975  hgt750leme  34842  faclimlem1  35965  faclimlem3  35967  faclim  35968  unbdqndv2  36739  knoppndvlem17  36756  rrndstprj2  38111  aks4d1p1p7  42473  pellfund14  43284  0ellimcdiv  46036  wallispilem3  46454  wallispilem4  46455  wallispi  46457  wallispi2lem1  46458  stirlinglem2  46462  stirlinglem3  46463  stirlinglem4  46464  stirlinglem6  46466  stirlinglem7  46467  stirlinglem10  46470  stirlinglem11  46471  stirlinglem12  46472  stirlinglem13  46473  stirlinglem14  46474  stirlinglem15  46475  stirlingr  46477  dirkertrigeqlem1  46485  dirkercncflem1  46490  dirkercncflem4  46493  hoiqssbllem1  47009  hoiqssbllem2  47010  hoiqssbllem3  47011  gpg3kgrtriexlem2  48473  amgmwlem  50190  amgmw2d  50192