Theorem rpmulcld 13034

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 12999	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7411   · cmul 11117  ℝ⁺crp 12976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-addrcl 11173  ax-mulrcl 11175  ax-rnegex 11183  ax-cnre 11185  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-ltxr 11255  df-rp 12977

This theorem is referenced by:  reccn2  15543  eirrlem  16149  nrginvrcnlem  24215  ovolscalem1  25037  itg2gt0  25285  aaliou3lem1  25862  aaliou3lem2  25863  aaliou3lem8  25865  cosordlem  26046  logcnlem2  26158  cxp2limlem  26487  lgamgulmlem3  26542  lgamgulmlem4  26543  lgamgulmlem5  26544  lgamgulmlem6  26545  lgsquadlem2  26891  2sqmod  26946  chtppilimlem1  26983  chtppilim  26985  chebbnd2  26987  chto1lb  26988  rplogsumlem1  26994  dchrvmasumlem1  27005  chpdifbndlem1  27063  chpdifbndlem2  27064  selberg3lem1  27067  selberg4lem1  27070  selberg4  27071  pntrlog2bndlem2  27088  pntrlog2bndlem3  27089  pntrlog2bndlem4  27090  pntrlog2bndlem5  27091  pntpbnd2  27097  pntlemd  27104  pntlema  27106  pntlemb  27107  pntlemq  27111  pntlemr  27112  pntlemj  27113  pntlemf  27115  pntlemo  27117  pntlem3  27119  pntleml  27121  pnt  27124  ttgcontlem1  28180  hgt750leme  33739  faclimlem1  34782  faclimlem3  34784  faclim  34785  unbdqndv2  35473  knoppndvlem17  35490  rrndstprj2  36785  aks4d1p1p7  41025  pellfund14  41718  0ellimcdiv  44444  wallispilem3  44862  wallispilem4  44863  wallispi  44865  wallispi2lem1  44866  stirlinglem2  44870  stirlinglem3  44871  stirlinglem4  44872  stirlinglem6  44874  stirlinglem7  44875  stirlinglem10  44878  stirlinglem11  44879  stirlinglem12  44880  stirlinglem13  44881  stirlinglem14  44882  stirlinglem15  44883  stirlingr  44885  dirkertrigeqlem1  44893  dirkercncflem1  44898  dirkercncflem4  44901  hoiqssbllem1  45417  hoiqssbllem2  45418  hoiqssbllem3  45419  amgmwlem  47927  amgmw2d  47929