Theorem rpmulcld 12787

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 12752	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7271   · cmul 10877  ℝ⁺crp 12729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-addrcl 10933  ax-mulrcl 10935  ax-rnegex 10943  ax-cnre 10945  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-ltxr 11015  df-rp 12730

This theorem is referenced by:  reccn2  15304  eirrlem  15911  nrginvrcnlem  23853  ovolscalem1  24675  itg2gt0  24923  aaliou3lem1  25500  aaliou3lem2  25501  aaliou3lem8  25503  cosordlem  25684  logcnlem2  25796  cxp2limlem  26123  lgamgulmlem3  26178  lgamgulmlem4  26179  lgamgulmlem5  26180  lgamgulmlem6  26181  lgsquadlem2  26527  2sqmod  26582  chtppilimlem1  26619  chtppilim  26621  chebbnd2  26623  chto1lb  26624  rplogsumlem1  26630  dchrvmasumlem1  26641  chpdifbndlem1  26699  chpdifbndlem2  26700  selberg3lem1  26703  selberg4lem1  26706  selberg4  26707  pntrlog2bndlem2  26724  pntrlog2bndlem3  26725  pntrlog2bndlem4  26726  pntrlog2bndlem5  26727  pntpbnd2  26733  pntlemd  26740  pntlema  26742  pntlemb  26743  pntlemq  26747  pntlemr  26748  pntlemj  26749  pntlemf  26751  pntlemo  26753  pntlem3  26755  pntleml  26757  pnt  26760  ttgcontlem1  27250  hgt750leme  32634  faclimlem1  33705  faclimlem3  33707  faclim  33708  unbdqndv2  34687  knoppndvlem17  34704  rrndstprj2  35985  aks4d1p1p7  40079  pellfund14  40717  0ellimcdiv  43161  wallispilem3  43579  wallispilem4  43580  wallispi  43582  wallispi2lem1  43583  stirlinglem2  43587  stirlinglem3  43588  stirlinglem4  43589  stirlinglem6  43591  stirlinglem7  43592  stirlinglem10  43595  stirlinglem11  43596  stirlinglem12  43597  stirlinglem13  43598  stirlinglem14  43599  stirlinglem15  43600  stirlingr  43602  dirkertrigeqlem1  43610  dirkercncflem1  43615  dirkercncflem4  43618  hoiqssbllem1  44131  hoiqssbllem2  44132  hoiqssbllem3  44133  amgmwlem  46475  amgmw2d  46477