Theorem rpmulcld 13065

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 13030	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7403   · cmul 11132  ℝ⁺crp 13006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-addrcl 11188  ax-mulrcl 11190  ax-rnegex 11198  ax-cnre 11200  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-rp 13007

This theorem is referenced by:  reccn2  15611  eirrlem  16220  nrginvrcnlem  24628  ovolscalem1  25464  itg2gt0  25711  aaliou3lem1  26300  aaliou3lem2  26301  aaliou3lem8  26303  cosordlem  26489  logcnlem2  26602  cxp2limlem  26936  lgamgulmlem3  26991  lgamgulmlem4  26992  lgamgulmlem5  26993  lgamgulmlem6  26994  lgsquadlem2  27342  2sqmod  27397  chtppilimlem1  27434  chtppilim  27436  chebbnd2  27438  chto1lb  27439  rplogsumlem1  27445  dchrvmasumlem1  27456  chpdifbndlem1  27514  chpdifbndlem2  27515  selberg3lem1  27518  selberg4lem1  27521  selberg4  27522  pntrlog2bndlem2  27539  pntrlog2bndlem3  27540  pntrlog2bndlem4  27541  pntrlog2bndlem5  27542  pntpbnd2  27548  pntlemd  27555  pntlema  27557  pntlemb  27558  pntlemq  27562  pntlemr  27563  pntlemj  27564  pntlemf  27566  pntlemo  27568  pntlem3  27570  pntleml  27572  pnt  27575  ttgcontlem1  28810  hgt750leme  34636  faclimlem1  35706  faclimlem3  35708  faclim  35709  unbdqndv2  36475  knoppndvlem17  36492  rrndstprj2  37801  aks4d1p1p7  42033  pellfund14  42868  0ellimcdiv  45626  wallispilem3  46044  wallispilem4  46045  wallispi  46047  wallispi2lem1  46048  stirlinglem2  46052  stirlinglem3  46053  stirlinglem4  46054  stirlinglem6  46056  stirlinglem7  46057  stirlinglem10  46060  stirlinglem11  46061  stirlinglem12  46062  stirlinglem13  46063  stirlinglem14  46064  stirlinglem15  46065  stirlingr  46067  dirkertrigeqlem1  46075  dirkercncflem1  46080  dirkercncflem4  46083  hoiqssbllem1  46599  hoiqssbllem2  46600  hoiqssbllem3  46601  gpg3kgrtriexlem2  48034  amgmwlem  49561  amgmw2d  49563