Theorem rpmulcld 12967

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 12932	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358   · cmul 11033  ℝ⁺crp 12907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-addrcl 11089  ax-mulrcl 11091  ax-rnegex 11099  ax-cnre 11101  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-rp 12908

This theorem is referenced by:  reccn2  15522  eirrlem  16131  nrginvrcnlem  24637  ovolscalem1  25472  itg2gt0  25719  aaliou3lem1  26308  aaliou3lem2  26309  aaliou3lem8  26311  cosordlem  26497  logcnlem2  26610  cxp2limlem  26944  lgamgulmlem3  26999  lgamgulmlem4  27000  lgamgulmlem5  27001  lgamgulmlem6  27002  lgsquadlem2  27350  2sqmod  27405  chtppilimlem1  27442  chtppilim  27444  chebbnd2  27446  chto1lb  27447  rplogsumlem1  27453  dchrvmasumlem1  27464  chpdifbndlem1  27522  chpdifbndlem2  27523  selberg3lem1  27526  selberg4lem1  27529  selberg4  27530  pntrlog2bndlem2  27547  pntrlog2bndlem3  27548  pntrlog2bndlem4  27549  pntrlog2bndlem5  27550  pntpbnd2  27556  pntlemd  27563  pntlema  27565  pntlemb  27566  pntlemq  27570  pntlemr  27571  pntlemj  27572  pntlemf  27574  pntlemo  27576  pntlem3  27578  pntleml  27580  pnt  27583  ttgcontlem1  28938  hgt750leme  34794  faclimlem1  35916  faclimlem3  35918  faclim  35919  unbdqndv2  36684  knoppndvlem17  36701  rrndstprj2  38001  aks4d1p1p7  42363  pellfund14  43177  0ellimcdiv  45930  wallispilem3  46348  wallispilem4  46349  wallispi  46351  wallispi2lem1  46352  stirlinglem2  46356  stirlinglem3  46357  stirlinglem4  46358  stirlinglem6  46360  stirlinglem7  46361  stirlinglem10  46364  stirlinglem11  46365  stirlinglem12  46366  stirlinglem13  46367  stirlinglem14  46368  stirlinglem15  46369  stirlingr  46371  dirkertrigeqlem1  46379  dirkercncflem1  46384  dirkercncflem4  46387  hoiqssbllem1  46903  hoiqssbllem2  46904  hoiqssbllem3  46905  gpg3kgrtriexlem2  48367  amgmwlem  50084  amgmw2d  50086