Theorem rpmulcld 13018

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 12983	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390   · cmul 11080  ℝ⁺crp 12958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-addrcl 11136  ax-mulrcl 11138  ax-rnegex 11146  ax-cnre 11148  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-rp 12959

This theorem is referenced by:  reccn2  15570  eirrlem  16179  nrginvrcnlem  24586  ovolscalem1  25421  itg2gt0  25668  aaliou3lem1  26257  aaliou3lem2  26258  aaliou3lem8  26260  cosordlem  26446  logcnlem2  26559  cxp2limlem  26893  lgamgulmlem3  26948  lgamgulmlem4  26949  lgamgulmlem5  26950  lgamgulmlem6  26951  lgsquadlem2  27299  2sqmod  27354  chtppilimlem1  27391  chtppilim  27393  chebbnd2  27395  chto1lb  27396  rplogsumlem1  27402  dchrvmasumlem1  27413  chpdifbndlem1  27471  chpdifbndlem2  27472  selberg3lem1  27475  selberg4lem1  27478  selberg4  27479  pntrlog2bndlem2  27496  pntrlog2bndlem3  27497  pntrlog2bndlem4  27498  pntrlog2bndlem5  27499  pntpbnd2  27505  pntlemd  27512  pntlema  27514  pntlemb  27515  pntlemq  27519  pntlemr  27520  pntlemj  27521  pntlemf  27523  pntlemo  27525  pntlem3  27527  pntleml  27529  pnt  27532  ttgcontlem1  28819  hgt750leme  34656  faclimlem1  35737  faclimlem3  35739  faclim  35740  unbdqndv2  36506  knoppndvlem17  36523  rrndstprj2  37832  aks4d1p1p7  42069  pellfund14  42893  0ellimcdiv  45654  wallispilem3  46072  wallispilem4  46073  wallispi  46075  wallispi2lem1  46076  stirlinglem2  46080  stirlinglem3  46081  stirlinglem4  46082  stirlinglem6  46084  stirlinglem7  46085  stirlinglem10  46088  stirlinglem11  46089  stirlinglem12  46090  stirlinglem13  46091  stirlinglem14  46092  stirlinglem15  46093  stirlingr  46095  dirkertrigeqlem1  46103  dirkercncflem1  46108  dirkercncflem4  46111  hoiqssbllem1  46627  hoiqssbllem2  46628  hoiqssbllem3  46629  gpg3kgrtriexlem2  48079  amgmwlem  49795  amgmw2d  49797