Theorem rpmulcld 13067

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 13032	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405   · cmul 11134  ℝ⁺crp 13008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-addrcl 11190  ax-mulrcl 11192  ax-rnegex 11200  ax-cnre 11202  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-rp 13009

This theorem is referenced by:  reccn2  15613  eirrlem  16222  nrginvrcnlem  24630  ovolscalem1  25466  itg2gt0  25713  aaliou3lem1  26302  aaliou3lem2  26303  aaliou3lem8  26305  cosordlem  26491  logcnlem2  26604  cxp2limlem  26938  lgamgulmlem3  26993  lgamgulmlem4  26994  lgamgulmlem5  26995  lgamgulmlem6  26996  lgsquadlem2  27344  2sqmod  27399  chtppilimlem1  27436  chtppilim  27438  chebbnd2  27440  chto1lb  27441  rplogsumlem1  27447  dchrvmasumlem1  27458  chpdifbndlem1  27516  chpdifbndlem2  27517  selberg3lem1  27520  selberg4lem1  27523  selberg4  27524  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem3  27542  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem5  27544  pntpbnd2  27550  pntlemd  27557  pntlema  27559  pntlemb  27560  pntlemq  27564  pntlemr  27565  pntlemj  27566  pntlemf  27568  pntlemo  27570  pntlem3  27572  pntleml  27574  pnt  27577  ttgcontlem1  28864  hgt750leme  34690  faclimlem1  35760  faclimlem3  35762  faclim  35763  unbdqndv2  36529  knoppndvlem17  36546  rrndstprj2  37855  aks4d1p1p7  42087  pellfund14  42921  0ellimcdiv  45678  wallispilem3  46096  wallispilem4  46097  wallispi  46099  wallispi2lem1  46100  stirlinglem2  46104  stirlinglem3  46105  stirlinglem4  46106  stirlinglem6  46108  stirlinglem7  46109  stirlinglem10  46112  stirlinglem11  46113  stirlinglem12  46114  stirlinglem13  46115  stirlinglem14  46116  stirlinglem15  46117  stirlingr  46119  dirkertrigeqlem1  46127  dirkercncflem1  46132  dirkercncflem4  46135  hoiqssbllem1  46651  hoiqssbllem2  46652  hoiqssbllem3  46653  gpg3kgrtriexlem2  48086  amgmwlem  49666  amgmw2d  49668