Theorem rpmulcld 12788

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 12753	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275   · cmul 10876  ℝ⁺crp 12730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-addrcl 10932  ax-mulrcl 10934  ax-rnegex 10942  ax-cnre 10944  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-rp 12731

This theorem is referenced by:  reccn2  15306  eirrlem  15913  nrginvrcnlem  23855  ovolscalem1  24677  itg2gt0  24925  aaliou3lem1  25502  aaliou3lem2  25503  aaliou3lem8  25505  cosordlem  25686  logcnlem2  25798  cxp2limlem  26125  lgamgulmlem3  26180  lgamgulmlem4  26181  lgamgulmlem5  26182  lgamgulmlem6  26183  lgsquadlem2  26529  2sqmod  26584  chtppilimlem1  26621  chtppilim  26623  chebbnd2  26625  chto1lb  26626  rplogsumlem1  26632  dchrvmasumlem1  26643  chpdifbndlem1  26701  chpdifbndlem2  26702  selberg3lem1  26705  selberg4lem1  26708  selberg4  26709  pntrlog2bndlem2  26726  pntrlog2bndlem3  26727  pntrlog2bndlem4  26728  pntrlog2bndlem5  26729  pntpbnd2  26735  pntlemd  26742  pntlema  26744  pntlemb  26745  pntlemq  26749  pntlemr  26750  pntlemj  26751  pntlemf  26753  pntlemo  26755  pntlem3  26757  pntleml  26759  pnt  26762  ttgcontlem1  27252  hgt750leme  32638  faclimlem1  33709  faclimlem3  33711  faclim  33712  unbdqndv2  34691  knoppndvlem17  34708  rrndstprj2  35989  aks4d1p1p7  40082  pellfund14  40720  0ellimcdiv  43190  wallispilem3  43608  wallispilem4  43609  wallispi  43611  wallispi2lem1  43612  stirlinglem2  43616  stirlinglem3  43617  stirlinglem4  43618  stirlinglem6  43620  stirlinglem7  43621  stirlinglem10  43624  stirlinglem11  43625  stirlinglem12  43626  stirlinglem13  43627  stirlinglem14  43628  stirlinglem15  43629  stirlingr  43631  dirkertrigeqlem1  43639  dirkercncflem1  43644  dirkercncflem4  43647  hoiqssbllem1  44160  hoiqssbllem2  44161  hoiqssbllem3  44162  amgmwlem  46506  amgmw2d  46508