Theorem rpmulcld 13104

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 13069	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416   · cmul 11132  ℝ⁺crp 13044

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-addrcl 11188  ax-mulrcl 11190  ax-rnegex 11198  ax-cnre 11200  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-rp 13045

This theorem is used by:  reccn2  15686  eirrlem  16296  nrginvrcnlem  24918  ovolscalem1  25742  itg2gt0  25989  aaliou3lem1  26575  aaliou3lem2  26576  aaliou3lem8  26578  cosordlem  26765  logcnlem2  26878  cxp2limlem  27210  lgamgulmlem3  27265  lgamgulmlem4  27266  lgamgulmlem5  27267  lgamgulmlem6  27268  lgsquadlem2  27615  2sqmod  27670  chtppilimlem1  27707  chtppilim  27709  chebbnd2  27711  chto1lb  27712  rplogsumlem1  27718  dchrvmasumlem1  27729  chpdifbndlem1  27787  chpdifbndlem2  27788  selberg3lem1  27791  selberg4lem1  27794  selberg4  27795  pntrlog2bndlem2  27812  pntrlog2bndlem3  27813  pntrlog2bndlem4  27814  pntrlog2bndlem5  27815  pntpbnd2  27821  pntlemd  27828  pntlema  27830  pntlemb  27831  pntlemq  27835  pntlemr  27836  pntlemj  27837  pntlemf  27839  pntlemo  27841  pntlem3  27843  pntleml  27845  pnt  27848  ttgcontlem1  29327  hgt750leme  35153  faclimlem1  36309  faclimlem3  36311  faclim  36312  unbdqndv2  37195  knoppndvlem17  37212  rrndstprj2  38568  aks4d1p1p7  42927  pellfund14  43726  0ellimcdiv  46464  wallispilem3  46882  wallispilem4  46883  wallispi  46885  wallispi2lem1  46886  stirlinglem2  46890  stirlinglem3  46891  stirlinglem4  46892  stirlinglem6  46894  stirlinglem7  46895  stirlinglem10  46898  stirlinglem11  46899  stirlinglem12  46900  stirlinglem13  46901  stirlinglem14  46902  stirlinglem15  46903  stirlingr  46905  dirkertrigeqlem1  46913  dirkercncflem1  46918  dirkercncflem4  46921  hoiqssbllem1  47437  hoiqssbllem2  47438  hoiqssbllem3  47439  gpg3kgrtriexlem2  48987  amgmwlem  50807  amgmw2d  50809