Theorem rpmulcld 12997

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 12962	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 591	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121  (class class class)co 7360   · cmul 11038  ℝ⁺crp 12937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-addrcl 11094  ax-mulrcl 11096  ax-rnegex 11104  ax-cnre 11106  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179  df-rp 12938

This theorem is referenced by:  reccn2  15554  eirrlem  16166  nrginvrcnlem  24678  ovolscalem1  25502  itg2gt0  25749  aaliou3lem1  26330  aaliou3lem2  26331  aaliou3lem8  26333  cosordlem  26516  logcnlem2  26629  cxp2limlem  26961  lgamgulmlem3  27016  lgamgulmlem4  27017  lgamgulmlem5  27018  lgamgulmlem6  27019  lgsquadlem2  27366  2sqmod  27421  chtppilimlem1  27458  chtppilim  27460  chebbnd2  27462  chto1lb  27463  rplogsumlem1  27469  dchrvmasumlem1  27480  chpdifbndlem1  27538  chpdifbndlem2  27539  selberg3lem1  27542  selberg4lem1  27545  selberg4  27546  pntrlog2bndlem2  27563  pntrlog2bndlem3  27564  pntrlog2bndlem4  27565  pntrlog2bndlem5  27566  pntpbnd2  27572  pntlemd  27579  pntlema  27581  pntlemb  27582  pntlemq  27586  pntlemr  27587  pntlemj  27588  pntlemf  27590  pntlemo  27592  pntlem3  27594  pntleml  27596  pnt  27599  ttgcontlem1  28975  hgt750leme  34854  faclimlem1  35986  faclimlem3  35988  faclim  35989  unbdqndv2  36832  knoppndvlem17  36849  rrndstprj2  38213  aks4d1p1p7  42574  pellfund14  43358  0ellimcdiv  46106  wallispilem3  46524  wallispilem4  46525  wallispi  46527  wallispi2lem1  46528  stirlinglem2  46532  stirlinglem3  46533  stirlinglem4  46534  stirlinglem6  46536  stirlinglem7  46537  stirlinglem10  46540  stirlinglem11  46541  stirlinglem12  46542  stirlinglem13  46543  stirlinglem14  46544  stirlinglem15  46545  stirlingr  46547  dirkertrigeqlem1  46555  dirkercncflem1  46560  dirkercncflem4  46563  hoiqssbllem1  47079  hoiqssbllem2  47080  hoiqssbllem3  47081  gpg3kgrtriexlem2  48589  amgmwlem  50306  amgmw2d  50308