Theorem rpmulcld 13032

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 12997	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409   · cmul 11115  ℝ⁺crp 12974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-addrcl 11171  ax-mulrcl 11173  ax-rnegex 11181  ax-cnre 11183  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-rp 12975

This theorem is referenced by:  reccn2  15541  eirrlem  16147  nrginvrcnlem  24208  ovolscalem1  25030  itg2gt0  25278  aaliou3lem1  25855  aaliou3lem2  25856  aaliou3lem8  25858  cosordlem  26039  logcnlem2  26151  cxp2limlem  26480  lgamgulmlem3  26535  lgamgulmlem4  26536  lgamgulmlem5  26537  lgamgulmlem6  26538  lgsquadlem2  26884  2sqmod  26939  chtppilimlem1  26976  chtppilim  26978  chebbnd2  26980  chto1lb  26981  rplogsumlem1  26987  dchrvmasumlem1  26998  chpdifbndlem1  27056  chpdifbndlem2  27057  selberg3lem1  27060  selberg4lem1  27063  selberg4  27064  pntrlog2bndlem2  27081  pntrlog2bndlem3  27082  pntrlog2bndlem4  27083  pntrlog2bndlem5  27084  pntpbnd2  27090  pntlemd  27097  pntlema  27099  pntlemb  27100  pntlemq  27104  pntlemr  27105  pntlemj  27106  pntlemf  27108  pntlemo  27110  pntlem3  27112  pntleml  27114  pnt  27117  ttgcontlem1  28142  hgt750leme  33670  faclimlem1  34713  faclimlem3  34715  faclim  34716  unbdqndv2  35387  knoppndvlem17  35404  rrndstprj2  36699  aks4d1p1p7  40939  pellfund14  41636  0ellimcdiv  44365  wallispilem3  44783  wallispilem4  44784  wallispi  44786  wallispi2lem1  44787  stirlinglem2  44791  stirlinglem3  44792  stirlinglem4  44793  stirlinglem6  44795  stirlinglem7  44796  stirlinglem10  44799  stirlinglem11  44800  stirlinglem12  44801  stirlinglem13  44802  stirlinglem14  44803  stirlinglem15  44804  stirlingr  44806  dirkertrigeqlem1  44814  dirkercncflem1  44819  dirkercncflem4  44822  hoiqssbllem1  45338  hoiqssbllem2  45339  hoiqssbllem3  45340  amgmwlem  47849  amgmw2d  47851