Theorem rpmulcld 12950

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 12915	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346   · cmul 11011  ℝ⁺crp 12890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-addrcl 11067  ax-mulrcl 11069  ax-rnegex 11077  ax-cnre 11079  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-rp 12891

This theorem is referenced by:  reccn2  15504  eirrlem  16113  nrginvrcnlem  24606  ovolscalem1  25441  itg2gt0  25688  aaliou3lem1  26277  aaliou3lem2  26278  aaliou3lem8  26280  cosordlem  26466  logcnlem2  26579  cxp2limlem  26913  lgamgulmlem3  26968  lgamgulmlem4  26969  lgamgulmlem5  26970  lgamgulmlem6  26971  lgsquadlem2  27319  2sqmod  27374  chtppilimlem1  27411  chtppilim  27413  chebbnd2  27415  chto1lb  27416  rplogsumlem1  27422  dchrvmasumlem1  27433  chpdifbndlem1  27491  chpdifbndlem2  27492  selberg3lem1  27495  selberg4lem1  27498  selberg4  27499  pntrlog2bndlem2  27516  pntrlog2bndlem3  27517  pntrlog2bndlem4  27518  pntrlog2bndlem5  27519  pntpbnd2  27525  pntlemd  27532  pntlema  27534  pntlemb  27535  pntlemq  27539  pntlemr  27540  pntlemj  27541  pntlemf  27543  pntlemo  27545  pntlem3  27547  pntleml  27549  pnt  27552  ttgcontlem1  28863  hgt750leme  34671  faclimlem1  35787  faclimlem3  35789  faclim  35790  unbdqndv2  36555  knoppndvlem17  36572  rrndstprj2  37870  aks4d1p1p7  42166  pellfund14  42990  0ellimcdiv  45746  wallispilem3  46164  wallispilem4  46165  wallispi  46167  wallispi2lem1  46168  stirlinglem2  46172  stirlinglem3  46173  stirlinglem4  46174  stirlinglem6  46176  stirlinglem7  46177  stirlinglem10  46180  stirlinglem11  46181  stirlinglem12  46182  stirlinglem13  46183  stirlinglem14  46184  stirlinglem15  46185  stirlingr  46187  dirkertrigeqlem1  46195  dirkercncflem1  46200  dirkercncflem4  46203  hoiqssbllem1  46719  hoiqssbllem2  46720  hoiqssbllem3  46721  gpg3kgrtriexlem2  48183  amgmwlem  49902  amgmw2d  49904