Theorem rpmulcld 13028

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 12993	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7405   · cmul 11111  ℝ⁺crp 12970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-addrcl 11167  ax-mulrcl 11169  ax-rnegex 11177  ax-cnre 11179  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-rp 12971

This theorem is referenced by:  reccn2  15537  eirrlem  16143  nrginvrcnlem  24199  ovolscalem1  25021  itg2gt0  25269  aaliou3lem1  25846  aaliou3lem2  25847  aaliou3lem8  25849  cosordlem  26030  logcnlem2  26142  cxp2limlem  26469  lgamgulmlem3  26524  lgamgulmlem4  26525  lgamgulmlem5  26526  lgamgulmlem6  26527  lgsquadlem2  26873  2sqmod  26928  chtppilimlem1  26965  chtppilim  26967  chebbnd2  26969  chto1lb  26970  rplogsumlem1  26976  dchrvmasumlem1  26987  chpdifbndlem1  27045  chpdifbndlem2  27046  selberg3lem1  27049  selberg4lem1  27052  selberg4  27053  pntrlog2bndlem2  27070  pntrlog2bndlem3  27071  pntrlog2bndlem4  27072  pntrlog2bndlem5  27073  pntpbnd2  27079  pntlemd  27086  pntlema  27088  pntlemb  27089  pntlemq  27093  pntlemr  27094  pntlemj  27095  pntlemf  27097  pntlemo  27099  pntlem3  27101  pntleml  27103  pnt  27106  ttgcontlem1  28131  hgt750leme  33658  faclimlem1  34701  faclimlem3  34703  faclim  34704  unbdqndv2  35375  knoppndvlem17  35392  rrndstprj2  36687  aks4d1p1p7  40927  pellfund14  41621  0ellimcdiv  44351  wallispilem3  44769  wallispilem4  44770  wallispi  44772  wallispi2lem1  44773  stirlinglem2  44777  stirlinglem3  44778  stirlinglem4  44779  stirlinglem6  44781  stirlinglem7  44782  stirlinglem10  44785  stirlinglem11  44786  stirlinglem12  44787  stirlinglem13  44788  stirlinglem14  44789  stirlinglem15  44790  stirlingr  44792  dirkertrigeqlem1  44800  dirkercncflem1  44805  dirkercncflem4  44808  hoiqssbllem1  45324  hoiqssbllem2  45325  hoiqssbllem3  45326  amgmwlem  47802  amgmw2d  47804