Theorem rpmulcld 13082

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 13047	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412   · cmul 11111  ℝ⁺crp 13022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-addrcl 11167  ax-mulrcl 11169  ax-rnegex 11177  ax-cnre 11179  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-rp 13023

This theorem is used by:  reccn2  15655  eirrlem  16266  nrginvrcnlem  24859  ovolscalem1  25683  itg2gt0  25930  aaliou3lem1  26516  aaliou3lem2  26517  aaliou3lem8  26519  cosordlem  26706  logcnlem2  26819  cxp2limlem  27151  lgamgulmlem3  27206  lgamgulmlem4  27207  lgamgulmlem5  27208  lgamgulmlem6  27209  lgsquadlem2  27556  2sqmod  27611  chtppilimlem1  27648  chtppilim  27650  chebbnd2  27652  chto1lb  27653  rplogsumlem1  27659  dchrvmasumlem1  27670  chpdifbndlem1  27728  chpdifbndlem2  27729  selberg3lem1  27732  selberg4lem1  27735  selberg4  27736  pntrlog2bndlem2  27753  pntrlog2bndlem3  27754  pntrlog2bndlem4  27755  pntrlog2bndlem5  27756  pntpbnd2  27762  pntlemd  27769  pntlema  27771  pntlemb  27772  pntlemq  27776  pntlemr  27777  pntlemj  27778  pntlemf  27780  pntlemo  27782  pntlem3  27784  pntleml  27786  pnt  27789  ttgcontlem1  29245  hgt750leme  35054  faclimlem1  36243  faclimlem3  36245  faclim  36246  unbdqndv2  37128  knoppndvlem17  37145  rrndstprj2  38510  aks4d1p1p7  42869  pellfund14  43653  0ellimcdiv  46391  wallispilem3  46809  wallispilem4  46810  wallispi  46812  wallispi2lem1  46813  stirlinglem2  46817  stirlinglem3  46818  stirlinglem4  46819  stirlinglem6  46821  stirlinglem7  46822  stirlinglem10  46825  stirlinglem11  46826  stirlinglem12  46827  stirlinglem13  46828  stirlinglem14  46829  stirlinglem15  46830  stirlingr  46832  dirkertrigeqlem1  46840  dirkercncflem1  46845  dirkercncflem4  46848  hoiqssbllem1  47364  hoiqssbllem2  47365  hoiqssbllem3  47366  gpg3kgrtriexlem2  48877  amgmwlem  50677  amgmw2d  50679