Theorem rpmulcld 12609

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 12574	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2112  (class class class)co 7191   · cmul 10699  ℝ⁺crp 12551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-addrcl 10755  ax-mulrcl 10757  ax-rnegex 10765  ax-cnre 10767  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-ltxr 10837  df-rp 12552

This theorem is referenced by:  reccn2  15123  eirrlem  15728  nrginvrcnlem  23543  ovolscalem1  24364  itg2gt0  24612  aaliou3lem1  25189  aaliou3lem2  25190  aaliou3lem8  25192  cosordlem  25373  logcnlem2  25485  cxp2limlem  25812  lgamgulmlem3  25867  lgamgulmlem4  25868  lgamgulmlem5  25869  lgamgulmlem6  25870  lgsquadlem2  26216  2sqmod  26271  chtppilimlem1  26308  chtppilim  26310  chebbnd2  26312  chto1lb  26313  rplogsumlem1  26319  dchrvmasumlem1  26330  chpdifbndlem1  26388  chpdifbndlem2  26389  selberg3lem1  26392  selberg4lem1  26395  selberg4  26396  pntrlog2bndlem2  26413  pntrlog2bndlem3  26414  pntrlog2bndlem4  26415  pntrlog2bndlem5  26416  pntpbnd2  26422  pntlemd  26429  pntlema  26431  pntlemb  26432  pntlemq  26436  pntlemr  26437  pntlemj  26438  pntlemf  26440  pntlemo  26442  pntlem3  26444  pntleml  26446  pnt  26449  ttgcontlem1  26930  hgt750leme  32304  faclimlem1  33378  faclimlem3  33380  faclim  33381  unbdqndv2  34377  knoppndvlem17  34394  rrndstprj2  35675  aks4d1p1p7  39764  pellfund14  40364  0ellimcdiv  42808  wallispilem3  43226  wallispilem4  43227  wallispi  43229  wallispi2lem1  43230  stirlinglem2  43234  stirlinglem3  43235  stirlinglem4  43236  stirlinglem6  43238  stirlinglem7  43239  stirlinglem10  43242  stirlinglem11  43243  stirlinglem12  43244  stirlinglem13  43245  stirlinglem14  43246  stirlinglem15  43247  stirlingr  43249  dirkertrigeqlem1  43257  dirkercncflem1  43262  dirkercncflem4  43265  hoiqssbllem1  43778  hoiqssbllem2  43779  hoiqssbllem3  43780  amgmwlem  46120  amgmw2d  46122