Theorem rpmulcld 13204

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 13169	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7440   · cmul 11229  ℝ⁺crp 13144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-addrcl 11285  ax-mulrcl 11287  ax-rnegex 11295  ax-cnre 11297  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-ltxr 11372  df-rp 13145

This theorem is used by:  reccn2  15790  eirrlem  16398  nrginvrcnlem  25037  ovolscalem1  25861  itg2gt0  26108  aaliou3lem1  26696  aaliou3lem2  26697  aaliou3lem8  26699  cosordlem  26885  logcnlem2  26998  cxp2limlem  27330  lgamgulmlem3  27385  lgamgulmlem4  27386  lgamgulmlem5  27387  lgamgulmlem6  27388  lgsquadlem2  27735  2sqmod  27790  chtppilimlem1  27827  chtppilim  27829  chebbnd2  27831  chto1lb  27832  rplogsumlem1  27838  dchrvmasumlem1  27849  chpdifbndlem1  27907  chpdifbndlem2  27908  selberg3lem1  27911  selberg4lem1  27914  selberg4  27915  pntrlog2bndlem2  27932  pntrlog2bndlem3  27933  pntrlog2bndlem4  27934  pntrlog2bndlem5  27935  pntpbnd2  27941  pntlemd  27948  pntlema  27950  pntlemb  27951  pntlemq  27955  pntlemr  27956  pntlemj  27957  pntlemf  27959  pntlemo  27961  pntlem3  27963  pntleml  27965  pnt  27968  ttgcontlem1  29489  hgt750leme  35354  faclimlem1  36685  faclimlem3  36687  faclim  36688  unbdqndv2  37554  knoppndvlem17  37571  rrndstprj2  38956  aks4d1p1p7  43315  pellfund14  44096  0ellimcdiv  46862  wallispilem3  47280  wallispilem4  47281  wallispi  47283  wallispi2lem1  47284  stirlinglem2  47288  stirlinglem3  47289  stirlinglem4  47290  stirlinglem6  47292  stirlinglem7  47293  stirlinglem10  47296  stirlinglem11  47297  stirlinglem12  47298  stirlinglem13  47299  stirlinglem14  47300  stirlinglem15  47301  stirlingr  47303  dirkertrigeqlem1  47311  dirkercncflem1  47316  dirkercncflem4  47319  hoiqssbllem1  47835  hoiqssbllem2  47836  hoiqssbllem3  47837  gpg3kgrtriexlem2  49385  amgmwlem  51265  amgmw2d  51267