Theorem rpmulcld 13115

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 13080	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448   · cmul 11189  ℝ⁺crp 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-addrcl 11245  ax-mulrcl 11247  ax-rnegex 11255  ax-cnre 11257  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-rp 13058

This theorem is referenced by:  reccn2  15643  eirrlem  16252  nrginvrcnlem  24733  ovolscalem1  25567  itg2gt0  25815  aaliou3lem1  26402  aaliou3lem2  26403  aaliou3lem8  26405  cosordlem  26590  logcnlem2  26703  cxp2limlem  27037  lgamgulmlem3  27092  lgamgulmlem4  27093  lgamgulmlem5  27094  lgamgulmlem6  27095  lgsquadlem2  27443  2sqmod  27498  chtppilimlem1  27535  chtppilim  27537  chebbnd2  27539  chto1lb  27540  rplogsumlem1  27546  dchrvmasumlem1  27557  chpdifbndlem1  27615  chpdifbndlem2  27616  selberg3lem1  27619  selberg4lem1  27622  selberg4  27623  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem3  27641  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem5  27643  pntpbnd2  27649  pntlemd  27656  pntlema  27658  pntlemb  27659  pntlemq  27663  pntlemr  27664  pntlemj  27665  pntlemf  27667  pntlemo  27669  pntlem3  27671  pntleml  27673  pnt  27676  ttgcontlem1  28917  hgt750leme  34635  faclimlem1  35705  faclimlem3  35707  faclim  35708  unbdqndv2  36477  knoppndvlem17  36494  rrndstprj2  37791  aks4d1p1p7  42031  pellfund14  42854  0ellimcdiv  45570  wallispilem3  45988  wallispilem4  45989  wallispi  45991  wallispi2lem1  45992  stirlinglem2  45996  stirlinglem3  45997  stirlinglem4  45998  stirlinglem6  46000  stirlinglem7  46001  stirlinglem10  46004  stirlinglem11  46005  stirlinglem12  46006  stirlinglem13  46007  stirlinglem14  46008  stirlinglem15  46009  stirlingr  46011  dirkertrigeqlem1  46019  dirkercncflem1  46024  dirkercncflem4  46027  hoiqssbllem1  46543  hoiqssbllem2  46544  hoiqssbllem3  46545  amgmwlem  48896  amgmw2d  48898