Theorem rpmulcld 12969

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 12934	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360   · cmul 11035  ℝ⁺crp 12909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-addrcl 11091  ax-mulrcl 11093  ax-rnegex 11101  ax-cnre 11103  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-rp 12910

This theorem is referenced by:  reccn2  15524  eirrlem  16133  nrginvrcnlem  24639  ovolscalem1  25474  itg2gt0  25721  aaliou3lem1  26310  aaliou3lem2  26311  aaliou3lem8  26313  cosordlem  26499  logcnlem2  26612  cxp2limlem  26946  lgamgulmlem3  27001  lgamgulmlem4  27002  lgamgulmlem5  27003  lgamgulmlem6  27004  lgsquadlem2  27352  2sqmod  27407  chtppilimlem1  27444  chtppilim  27446  chebbnd2  27448  chto1lb  27449  rplogsumlem1  27455  dchrvmasumlem1  27466  chpdifbndlem1  27524  chpdifbndlem2  27525  selberg3lem1  27528  selberg4lem1  27531  selberg4  27532  pntrlog2bndlem2  27549  pntrlog2bndlem3  27550  pntrlog2bndlem4  27551  pntrlog2bndlem5  27552  pntpbnd2  27558  pntlemd  27565  pntlema  27567  pntlemb  27568  pntlemq  27572  pntlemr  27573  pntlemj  27574  pntlemf  27576  pntlemo  27578  pntlem3  27580  pntleml  27582  pnt  27585  ttgcontlem1  28961  hgt750leme  34817  faclimlem1  35939  faclimlem3  35941  faclim  35942  unbdqndv2  36713  knoppndvlem17  36730  rrndstprj2  38034  aks4d1p1p7  42396  pellfund14  43207  0ellimcdiv  45960  wallispilem3  46378  wallispilem4  46379  wallispi  46381  wallispi2lem1  46382  stirlinglem2  46386  stirlinglem3  46387  stirlinglem4  46388  stirlinglem6  46390  stirlinglem7  46391  stirlinglem10  46394  stirlinglem11  46395  stirlinglem12  46396  stirlinglem13  46397  stirlinglem14  46398  stirlinglem15  46399  stirlingr  46401  dirkertrigeqlem1  46409  dirkercncflem1  46414  dirkercncflem4  46417  hoiqssbllem1  46933  hoiqssbllem2  46934  hoiqssbllem3  46935  gpg3kgrtriexlem2  48397  amgmwlem  50114  amgmw2d  50116