Theorem rpmulcld 13058

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 13023	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414   · cmul 11137  ℝ⁺crp 13000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-addrcl 11193  ax-mulrcl 11195  ax-rnegex 11203  ax-cnre 11205  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-ltxr 11277  df-rp 13001

This theorem is referenced by:  reccn2  15567  eirrlem  16174  nrginvrcnlem  24601  ovolscalem1  25435  itg2gt0  25683  aaliou3lem1  26270  aaliou3lem2  26271  aaliou3lem8  26273  cosordlem  26457  logcnlem2  26570  cxp2limlem  26901  lgamgulmlem3  26956  lgamgulmlem4  26957  lgamgulmlem5  26958  lgamgulmlem6  26959  lgsquadlem2  27307  2sqmod  27362  chtppilimlem1  27399  chtppilim  27401  chebbnd2  27403  chto1lb  27404  rplogsumlem1  27410  dchrvmasumlem1  27421  chpdifbndlem1  27479  chpdifbndlem2  27480  selberg3lem1  27483  selberg4lem1  27486  selberg4  27487  pntrlog2bndlem2  27504  pntrlog2bndlem3  27505  pntrlog2bndlem4  27506  pntrlog2bndlem5  27507  pntpbnd2  27513  pntlemd  27520  pntlema  27522  pntlemb  27523  pntlemq  27527  pntlemr  27528  pntlemj  27529  pntlemf  27531  pntlemo  27533  pntlem3  27535  pntleml  27537  pnt  27540  ttgcontlem1  28688  hgt750leme  34280  faclimlem1  35327  faclimlem3  35329  faclim  35330  unbdqndv2  35976  knoppndvlem17  35993  rrndstprj2  37293  aks4d1p1p7  41534  pellfund14  42290  0ellimcdiv  45009  wallispilem3  45427  wallispilem4  45428  wallispi  45430  wallispi2lem1  45431  stirlinglem2  45435  stirlinglem3  45436  stirlinglem4  45437  stirlinglem6  45439  stirlinglem7  45440  stirlinglem10  45443  stirlinglem11  45444  stirlinglem12  45445  stirlinglem13  45446  stirlinglem14  45447  stirlinglem15  45448  stirlingr  45450  dirkertrigeqlem1  45458  dirkercncflem1  45463  dirkercncflem4  45466  hoiqssbllem1  45982  hoiqssbllem2  45983  hoiqssbllem3  45984  amgmwlem  48207  amgmw2d  48209