Theorem rpmulcld 13043

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 13008	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 592	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  (class class class)co 7385   · cmul 11068  ℝ⁺crp 12983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-addrcl 11124  ax-mulrcl 11126  ax-rnegex 11134  ax-cnre 11136  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-ltxr 11211  df-rp 12984

This theorem is referenced by:  reccn2  15600  eirrlem  16212  nrginvrcnlem  24724  ovolscalem1  25548  itg2gt0  25795  aaliou3lem1  26376  aaliou3lem2  26377  aaliou3lem8  26379  cosordlem  26565  logcnlem2  26678  cxp2limlem  27010  lgamgulmlem3  27065  lgamgulmlem4  27066  lgamgulmlem5  27067  lgamgulmlem6  27068  lgsquadlem2  27415  2sqmod  27470  chtppilimlem1  27507  chtppilim  27509  chebbnd2  27511  chto1lb  27512  rplogsumlem1  27518  dchrvmasumlem1  27529  chpdifbndlem1  27587  chpdifbndlem2  27588  selberg3lem1  27591  selberg4lem1  27594  selberg4  27595  pntrlog2bndlem2  27612  pntrlog2bndlem3  27613  pntrlog2bndlem4  27614  pntrlog2bndlem5  27615  pntpbnd2  27621  pntlemd  27628  pntlema  27630  pntlemb  27631  pntlemq  27635  pntlemr  27636  pntlemj  27637  pntlemf  27639  pntlemo  27641  pntlem3  27643  pntleml  27645  pnt  27648  ttgcontlem1  29024  hgt750leme  34909  faclimlem1  36041  faclimlem3  36043  faclim  36044  unbdqndv2  36897  knoppndvlem17  36914  rrndstprj2  38278  aks4d1p1p7  42639  pellfund14  43423  0ellimcdiv  46171  wallispilem3  46589  wallispilem4  46590  wallispi  46592  wallispi2lem1  46593  stirlinglem2  46597  stirlinglem3  46598  stirlinglem4  46599  stirlinglem6  46601  stirlinglem7  46602  stirlinglem10  46605  stirlinglem11  46606  stirlinglem12  46607  stirlinglem13  46608  stirlinglem14  46609  stirlinglem15  46610  stirlingr  46612  dirkertrigeqlem1  46620  dirkercncflem1  46625  dirkercncflem4  46628  hoiqssbllem1  47144  hoiqssbllem2  47145  hoiqssbllem3  47146  gpg3kgrtriexlem2  48654  amgmwlem  50371  amgmw2d  50373