Theorem rpmulcld 12717

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 12682	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255   · cmul 10807  ℝ⁺crp 12659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-addrcl 10863  ax-mulrcl 10865  ax-rnegex 10873  ax-cnre 10875  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-rp 12660

This theorem is referenced by:  reccn2  15234  eirrlem  15841  nrginvrcnlem  23761  ovolscalem1  24582  itg2gt0  24830  aaliou3lem1  25407  aaliou3lem2  25408  aaliou3lem8  25410  cosordlem  25591  logcnlem2  25703  cxp2limlem  26030  lgamgulmlem3  26085  lgamgulmlem4  26086  lgamgulmlem5  26087  lgamgulmlem6  26088  lgsquadlem2  26434  2sqmod  26489  chtppilimlem1  26526  chtppilim  26528  chebbnd2  26530  chto1lb  26531  rplogsumlem1  26537  dchrvmasumlem1  26548  chpdifbndlem1  26606  chpdifbndlem2  26607  selberg3lem1  26610  selberg4lem1  26613  selberg4  26614  pntrlog2bndlem2  26631  pntrlog2bndlem3  26632  pntrlog2bndlem4  26633  pntrlog2bndlem5  26634  pntpbnd2  26640  pntlemd  26647  pntlema  26649  pntlemb  26650  pntlemq  26654  pntlemr  26655  pntlemj  26656  pntlemf  26658  pntlemo  26660  pntlem3  26662  pntleml  26664  pnt  26667  ttgcontlem1  27155  hgt750leme  32538  faclimlem1  33615  faclimlem3  33617  faclim  33618  unbdqndv2  34618  knoppndvlem17  34635  rrndstprj2  35916  aks4d1p1p7  40010  pellfund14  40636  0ellimcdiv  43080  wallispilem3  43498  wallispilem4  43499  wallispi  43501  wallispi2lem1  43502  stirlinglem2  43506  stirlinglem3  43507  stirlinglem4  43508  stirlinglem6  43510  stirlinglem7  43511  stirlinglem10  43514  stirlinglem11  43515  stirlinglem12  43516  stirlinglem13  43517  stirlinglem14  43518  stirlinglem15  43519  stirlingr  43521  dirkertrigeqlem1  43529  dirkercncflem1  43534  dirkercncflem4  43537  hoiqssbllem1  44050  hoiqssbllem2  44051  hoiqssbllem3  44052  amgmwlem  46392  amgmw2d  46394