Theorem rpmulcld 13011

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 12976	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387   · cmul 11073  ℝ⁺crp 12951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-addrcl 11129  ax-mulrcl 11131  ax-rnegex 11139  ax-cnre 11141  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-rp 12952

This theorem is referenced by:  reccn2  15563  eirrlem  16172  nrginvrcnlem  24579  ovolscalem1  25414  itg2gt0  25661  aaliou3lem1  26250  aaliou3lem2  26251  aaliou3lem8  26253  cosordlem  26439  logcnlem2  26552  cxp2limlem  26886  lgamgulmlem3  26941  lgamgulmlem4  26942  lgamgulmlem5  26943  lgamgulmlem6  26944  lgsquadlem2  27292  2sqmod  27347  chtppilimlem1  27384  chtppilim  27386  chebbnd2  27388  chto1lb  27389  rplogsumlem1  27395  dchrvmasumlem1  27406  chpdifbndlem1  27464  chpdifbndlem2  27465  selberg3lem1  27468  selberg4lem1  27471  selberg4  27472  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem3  27490  pntrlog2bndlem4  27491  pntrlog2bndlem5  27492  pntpbnd2  27498  pntlemd  27505  pntlema  27507  pntlemb  27508  pntlemq  27512  pntlemr  27513  pntlemj  27514  pntlemf  27516  pntlemo  27518  pntlem3  27520  pntleml  27522  pnt  27525  ttgcontlem1  28812  hgt750leme  34649  faclimlem1  35730  faclimlem3  35732  faclim  35733  unbdqndv2  36499  knoppndvlem17  36516  rrndstprj2  37825  aks4d1p1p7  42062  pellfund14  42886  0ellimcdiv  45647  wallispilem3  46065  wallispilem4  46066  wallispi  46068  wallispi2lem1  46069  stirlinglem2  46073  stirlinglem3  46074  stirlinglem4  46075  stirlinglem6  46077  stirlinglem7  46078  stirlinglem10  46081  stirlinglem11  46082  stirlinglem12  46083  stirlinglem13  46084  stirlinglem14  46085  stirlinglem15  46086  stirlingr  46088  dirkertrigeqlem1  46096  dirkercncflem1  46101  dirkercncflem4  46104  hoiqssbllem1  46620  hoiqssbllem2  46621  hoiqssbllem3  46622  gpg3kgrtriexlem2  48075  amgmwlem  49791  amgmw2d  49793