Theorem rpmulcld 13076

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 13041	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411   · cmul 11105  ℝ⁺crp 13016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-addrcl 11161  ax-mulrcl 11163  ax-rnegex 11171  ax-cnre 11173  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-rp 13017

This theorem is referenced by:  reccn2  15648  eirrlem  16260  nrginvrcnlem  24817  ovolscalem1  25641  itg2gt0  25888  aaliou3lem1  26472  aaliou3lem2  26473  aaliou3lem8  26475  cosordlem  26661  logcnlem2  26774  cxp2limlem  27106  lgamgulmlem3  27161  lgamgulmlem4  27162  lgamgulmlem5  27163  lgamgulmlem6  27164  lgsquadlem2  27511  2sqmod  27566  chtppilimlem1  27603  chtppilim  27605  chebbnd2  27607  chto1lb  27608  rplogsumlem1  27614  dchrvmasumlem1  27625  chpdifbndlem1  27683  chpdifbndlem2  27684  selberg3lem1  27687  selberg4lem1  27690  selberg4  27691  pntrlog2bndlem2  27708  pntrlog2bndlem3  27709  pntrlog2bndlem4  27710  pntrlog2bndlem5  27711  pntpbnd2  27717  pntlemd  27724  pntlema  27726  pntlemb  27727  pntlemq  27731  pntlemr  27732  pntlemj  27733  pntlemf  27735  pntlemo  27737  pntlem3  27739  pntleml  27741  pnt  27744  ttgcontlem1  29175  hgt750leme  34990  faclimlem1  36168  faclimlem3  36170  faclim  36171  unbdqndv2  37023  knoppndvlem17  37040  rrndstprj2  38405  aks4d1p1p7  42766  pellfund14  43552  0ellimcdiv  46290  wallispilem3  46708  wallispilem4  46709  wallispi  46711  wallispi2lem1  46712  stirlinglem2  46716  stirlinglem3  46717  stirlinglem4  46718  stirlinglem6  46720  stirlinglem7  46721  stirlinglem10  46724  stirlinglem11  46725  stirlinglem12  46726  stirlinglem13  46727  stirlinglem14  46728  stirlinglem15  46729  stirlingr  46731  dirkertrigeqlem1  46739  dirkercncflem1  46744  dirkercncflem4  46747  hoiqssbllem1  47263  hoiqssbllem2  47264  hoiqssbllem3  47265  gpg3kgrtriexlem2  48773  amgmwlem  50511  amgmw2d  50513