Theorem faclimlem3 35789

Description: Lemma for faclim 35790. Algebraic manipulation for the final induction. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
faclimlem3	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))

Proof of Theorem faclimlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 12894	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
3		nnrp 12902	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpreccld 12944	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (1 / 𝐵) ∈ ℝ+)
5	4	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ+)
6	2, 5	rpaddcld 12949	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
7	6	rpcnd 12936	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℂ)
8		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
9	7, 8	expp1d 14054	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) = (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) · (1 + (1 / 𝐵))))
10	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
11	10, 4	rpaddcld 12949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
12		nn0z 12493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		rpexpcl 13987	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℝ+)
14	11, 12, 13	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℝ+)
15	14	rpcnd 12936	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℂ)
16		1cnd 11107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
17		nn0nndivcl 12453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝐵) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝐵) ∈ ℂ)
19	16, 18	addcomd 11315	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) = ((𝑀 / 𝐵) + 1))
20		nn0ge0div 12542	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑀 / 𝐵))
21	17, 20	ge0p1rpd 12964	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
22	19, 21	eqeltrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
23	22	rpcnd 12936	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ∈ ℂ)
24	22	rpne0d 12939	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ≠ 0)
25	15, 23, 24	divcan1d 11898	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) = ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀))
26	25	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (1 / 𝐵))) = (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) · (1 + (1 / 𝐵))))
27	14, 22	rpdivcld 12951	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) ∈ ℝ+)
28	27	rpcnd 12936	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) ∈ ℂ)
29	28, 23, 7	mulassd 11135	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (1 / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))))
30	9, 26, 29	3eqtr2d 2772	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))))
31	30	oveq1d 7361	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))))
32	22, 6	rpmulcld 12950	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) ∈ ℝ+)
33	32	rpcnd 12936	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) ∈ ℂ)
34		nn0p1nn 12420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
35	34	nnrpd 12932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
36	35	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
37	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
38	36, 37	rpdivcld 12951	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) / 𝐵) ∈ ℝ+)
39	2, 38	rpaddcld 12949	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ∈ ℝ+)
40	39	rpcnd 12936	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ∈ ℂ)
41	39	rpne0d 12939	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ≠ 0)
42	28, 33, 40, 41	divassd 11932	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))
43	31, 42	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   / cdiv 11774  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ℝ⁺crp 12890  ↑cexp 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  faclim  35790