Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  faclimlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclimlem3 32970
Description: Lemma for faclim 32971. Algebraic manipulation for the final induction. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
faclimlem3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))

Proof of Theorem faclimlem3
StepHypRef Expression
1 1rp 12385 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
21a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
3 nnrp 12392 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
43rpreccld 12433 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → (1 / 𝐵) ∈ ℝ+)
54adantl 484 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ+)
62, 5rpaddcld 12438 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
76rpcnd 12425 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℂ)
8 simpl 485 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
97, 8expp1d 13503 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) = (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) · (1 + (1 / 𝐵))))
101a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
1110, 4rpaddcld 12438 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
12 nn0z 11997 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
13 rpexpcl 13440 . . . . . . . 8 (((1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℝ+)
1411, 12, 13syl2anr 598 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℝ+)
1514rpcnd 12425 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℂ)
16 1cnd 10628 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
17 nn0nndivcl 11958 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝐵) ∈ ℝ)
1817recnd 10661 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝐵) ∈ ℂ)
1916, 18addcomd 10834 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) = ((𝑀 / 𝐵) + 1))
20 nn0ge0div 12043 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑀 / 𝐵))
2117, 20ge0p1rpd 12453 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
2219, 21eqeltrd 2911 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
2322rpcnd 12425 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ∈ ℂ)
2422rpne0d 12428 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ≠ 0)
2515, 23, 24divcan1d 11409 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) = ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀))
2625oveq1d 7163 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (1 / 𝐵))) = (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) · (1 + (1 / 𝐵))))
2714, 22rpdivcld 12440 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) ∈ ℝ+)
2827rpcnd 12425 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) ∈ ℂ)
2928, 23, 7mulassd 10656 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (1 / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))))
309, 26, 293eqtr2d 2860 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))))
3130oveq1d 7163 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))))
3222, 6rpmulcld 12439 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) ∈ ℝ+)
3332rpcnd 12425 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) ∈ ℂ)
34 nn0p1nn 11928 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
3534nnrpd 12421 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
3635adantr 483 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
373adantl 484 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
3836, 37rpdivcld 12440 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) / 𝐵) ∈ ℝ+)
392, 38rpaddcld 12438 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ∈ ℝ+)
4039rpcnd 12425 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ∈ ℂ)
4139rpne0d 12428 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ≠ 0)
4228, 33, 40, 41divassd 11443 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))
4331, 42eqtrd 2854 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  (class class class)co 7148  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   / cdiv 11289  cn 11630  0cn0 11889  cz 11973  +crp 12381  cexp 13421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13362  df-exp 13422
This theorem is referenced by:  faclim  32971
  Copyright terms: Public domain W3C validator