Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  faclimlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclimlem3 32145
Description: Lemma for faclim 32146. Algebraic manipulation for the final induction. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
faclimlem3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))

Proof of Theorem faclimlem3
StepHypRef Expression
1 1rp 12078 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
21a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
3 nnrp 12087 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
43rpreccld 12127 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → (1 / 𝐵) ∈ ℝ+)
54adantl 474 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ+)
62, 5rpaddcld 12132 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
76rpcnd 12119 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℂ)
8 simpl 475 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
97, 8expp1d 13263 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) = (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) · (1 + (1 / 𝐵))))
101a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
1110, 4rpaddcld 12132 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
12 nn0z 11690 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
13 rpexpcl 13133 . . . . . . . 8 (((1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℝ+)
1411, 12, 13syl2anr 591 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℝ+)
1514rpcnd 12119 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℂ)
16 1cnd 10323 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
17 nn0nndivcl 11651 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝐵) ∈ ℝ)
1817recnd 10357 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝐵) ∈ ℂ)
1916, 18addcomd 10528 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) = ((𝑀 / 𝐵) + 1))
20 nn0ge0div 11736 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑀 / 𝐵))
2117, 20ge0p1rpd 12147 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
2219, 21eqeltrd 2878 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
2322rpcnd 12119 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ∈ ℂ)
2422rpne0d 12122 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ≠ 0)
2515, 23, 24divcan1d 11094 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) = ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀))
2625oveq1d 6893 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (1 / 𝐵))) = (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) · (1 + (1 / 𝐵))))
2714, 22rpdivcld 12134 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) ∈ ℝ+)
2827rpcnd 12119 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) ∈ ℂ)
2928, 23, 7mulassd 10352 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (1 / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))))
309, 26, 293eqtr2d 2839 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))))
3130oveq1d 6893 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))))
3222, 6rpmulcld 12133 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) ∈ ℝ+)
3332rpcnd 12119 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) ∈ ℂ)
34 nn0p1nn 11621 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
3534nnrpd 12115 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
3635adantr 473 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
373adantl 474 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
3836, 37rpdivcld 12134 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) / 𝐵) ∈ ℝ+)
392, 38rpaddcld 12132 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ∈ ℝ+)
4039rpcnd 12119 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ∈ ℂ)
4139rpne0d 12122 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ≠ 0)
4228, 33, 40, 41divassd 11128 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))
4331, 42eqtrd 2833 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  (class class class)co 6878  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229   / cdiv 10976  cn 11312  0cn0 11580  cz 11666  +crp 12074  cexp 13114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-seq 13056  df-exp 13115
This theorem is referenced by:  faclim  32146
  Copyright terms: Public domain W3C validator