Theorem faclimlem3 35275

Description: Lemma for faclim 35276. Algebraic manipulation for the final induction. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
faclimlem3	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))

Proof of Theorem faclimlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 13002	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
3		nnrp 13009	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpreccld 13050	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (1 / 𝐵) ∈ ℝ+)
5	4	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ+)
6	2, 5	rpaddcld 13055	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
7	6	rpcnd 13042	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℂ)
8		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
9	7, 8	expp1d 14135	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) = (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) · (1 + (1 / 𝐵))))
10	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
11	10, 4	rpaddcld 13055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
12		nn0z 12605	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		rpexpcl 14069	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℝ+)
14	11, 12, 13	syl2anr 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℝ+)
15	14	rpcnd 13042	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℂ)
16		1cnd 11231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
17		nn0nndivcl 12565	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝐵) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝐵) ∈ ℂ)
19	16, 18	addcomd 11438	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) = ((𝑀 / 𝐵) + 1))
20		nn0ge0div 12653	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑀 / 𝐵))
21	17, 20	ge0p1rpd 13070	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
22	19, 21	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
23	22	rpcnd 13042	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ∈ ℂ)
24	22	rpne0d 13045	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ≠ 0)
25	15, 23, 24	divcan1d 12013	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) = ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀))
26	25	oveq1d 7429	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (1 / 𝐵))) = (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) · (1 + (1 / 𝐵))))
27	14, 22	rpdivcld 13057	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) ∈ ℝ+)
28	27	rpcnd 13042	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) ∈ ℂ)
29	28, 23, 7	mulassd 11259	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (1 / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))))
30	9, 26, 29	3eqtr2d 2773	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))))
31	30	oveq1d 7429	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))))
32	22, 6	rpmulcld 13056	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) ∈ ℝ+)
33	32	rpcnd 13042	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) ∈ ℂ)
34		nn0p1nn 12533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
35	34	nnrpd 13038	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
36	35	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
37	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
38	36, 37	rpdivcld 13057	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) / 𝐵) ∈ ℝ+)
39	2, 38	rpaddcld 13055	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ∈ ℝ+)
40	39	rpcnd 13042	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ∈ ℂ)
41	39	rpne0d 13045	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ≠ 0)
42	28, 33, 40, 41	divassd 12047	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))
43	31, 42	eqtrd 2767	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414  1c1 11131   + caddc 11133   · cmul 11135   / cdiv 11893  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12494  ℤcz 12580  ℝ⁺crp 12998  ↑cexp 14050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-seq 13991  df-exp 14051

This theorem is referenced by:  faclim  35276