Theorem faclimlem3 33617

Description: Lemma for faclim 33618. Algebraic manipulation for the final induction. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
faclimlem3	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))

Proof of Theorem faclimlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 12663	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
3		nnrp 12670	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpreccld 12711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (1 / 𝐵) ∈ ℝ+)
5	4	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ+)
6	2, 5	rpaddcld 12716	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
7	6	rpcnd 12703	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℂ)
8		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
9	7, 8	expp1d 13793	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) = (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) · (1 + (1 / 𝐵))))
10	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
11	10, 4	rpaddcld 12716	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
12		nn0z 12273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		rpexpcl 13729	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℝ+)
14	11, 12, 13	syl2anr 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℝ+)
15	14	rpcnd 12703	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℂ)
16		1cnd 10901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
17		nn0nndivcl 12234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝐵) ∈ ℝ)
18	17	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝐵) ∈ ℂ)
19	16, 18	addcomd 11107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) = ((𝑀 / 𝐵) + 1))
20		nn0ge0div 12319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑀 / 𝐵))
21	17, 20	ge0p1rpd 12731	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
22	19, 21	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
23	22	rpcnd 12703	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ∈ ℂ)
24	22	rpne0d 12706	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ≠ 0)
25	15, 23, 24	divcan1d 11682	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) = ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀))
26	25	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (1 / 𝐵))) = (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) · (1 + (1 / 𝐵))))
27	14, 22	rpdivcld 12718	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) ∈ ℝ+)
28	27	rpcnd 12703	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) ∈ ℂ)
29	28, 23, 7	mulassd 10929	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (1 / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))))
30	9, 26, 29	3eqtr2d 2784	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))))
31	30	oveq1d 7270	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))))
32	22, 6	rpmulcld 12717	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) ∈ ℝ+)
33	32	rpcnd 12703	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) ∈ ℂ)
34		nn0p1nn 12202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
35	34	nnrpd 12699	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
36	35	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
37	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
38	36, 37	rpdivcld 12718	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) / 𝐵) ∈ ℝ+)
39	2, 38	rpaddcld 12716	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ∈ ℝ+)
40	39	rpcnd 12703	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ∈ ℂ)
41	39	rpne0d 12706	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ≠ 0)
42	28, 33, 40, 41	divassd 11716	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))
43	31, 42	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   / cdiv 11562  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℝ⁺crp 12659  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  faclim  33618