Theorem faclimlem3 34438

Description: Lemma for faclim 34439. Algebraic manipulation for the final induction. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
faclimlem3	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))

Proof of Theorem faclimlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 12943	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
3		nnrp 12950	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpreccld 12991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (1 / 𝐵) ∈ ℝ+)
5	4	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ+)
6	2, 5	rpaddcld 12996	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
7	6	rpcnd 12983	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℂ)
8		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
9	7, 8	expp1d 14077	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) = (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) · (1 + (1 / 𝐵))))
10	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
11	10, 4	rpaddcld 12996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
12		nn0z 12548	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		rpexpcl 14011	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℝ+)
14	11, 12, 13	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℝ+)
15	14	rpcnd 12983	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℂ)
16		1cnd 11174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
17		nn0nndivcl 12508	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝐵) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝐵) ∈ ℂ)
19	16, 18	addcomd 11381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) = ((𝑀 / 𝐵) + 1))
20		nn0ge0div 12596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑀 / 𝐵))
21	17, 20	ge0p1rpd 13011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
22	19, 21	eqeltrd 2832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
23	22	rpcnd 12983	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ∈ ℂ)
24	22	rpne0d 12986	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ≠ 0)
25	15, 23, 24	divcan1d 11956	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) = ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀))
26	25	oveq1d 7392	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (1 / 𝐵))) = (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) · (1 + (1 / 𝐵))))
27	14, 22	rpdivcld 12998	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) ∈ ℝ+)
28	27	rpcnd 12983	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) ∈ ℂ)
29	28, 23, 7	mulassd 11202	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (1 / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))))
30	9, 26, 29	3eqtr2d 2777	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))))
31	30	oveq1d 7392	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))))
32	22, 6	rpmulcld 12997	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) ∈ ℝ+)
33	32	rpcnd 12983	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) ∈ ℂ)
34		nn0p1nn 12476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
35	34	nnrpd 12979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
36	35	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
37	3	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
38	36, 37	rpdivcld 12998	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) / 𝐵) ∈ ℝ+)
39	2, 38	rpaddcld 12996	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ∈ ℝ+)
40	39	rpcnd 12983	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ∈ ℂ)
41	39	rpne0d 12986	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ≠ 0)
42	28, 33, 40, 41	divassd 11990	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))
43	31, 42	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7377  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   / cdiv 11836  ℕcn 12177  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12523  ℝ⁺crp 12939  ↑cexp 13992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-rp 12940  df-seq 13932  df-exp 13993

This theorem is referenced by:  faclim  34439