Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  faclimlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclimlem3 35725
Description: Lemma for faclim 35726. Algebraic manipulation for the final induction. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
faclimlem3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))

Proof of Theorem faclimlem3
StepHypRef Expression
1 1rp 13036 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
21a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
3 nnrp 13044 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
43rpreccld 13085 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → (1 / 𝐵) ∈ ℝ+)
54adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ+)
62, 5rpaddcld 13090 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
76rpcnd 13077 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℂ)
8 simpl 482 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
97, 8expp1d 14184 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) = (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) · (1 + (1 / 𝐵))))
101a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
1110, 4rpaddcld 13090 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
12 nn0z 12636 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
13 rpexpcl 14118 . . . . . . . 8 (((1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℝ+)
1411, 12, 13syl2anr 597 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℝ+)
1514rpcnd 13077 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℂ)
16 1cnd 11254 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
17 nn0nndivcl 12596 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝐵) ∈ ℝ)
1817recnd 11287 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝐵) ∈ ℂ)
1916, 18addcomd 11461 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) = ((𝑀 / 𝐵) + 1))
20 nn0ge0div 12685 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑀 / 𝐵))
2117, 20ge0p1rpd 13105 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
2219, 21eqeltrd 2839 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
2322rpcnd 13077 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ∈ ℂ)
2422rpne0d 13080 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ≠ 0)
2515, 23, 24divcan1d 12042 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) = ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀))
2625oveq1d 7446 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (1 / 𝐵))) = (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) · (1 + (1 / 𝐵))))
2714, 22rpdivcld 13092 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) ∈ ℝ+)
2827rpcnd 13077 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) ∈ ℂ)
2928, 23, 7mulassd 11282 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (1 / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))))
309, 26, 293eqtr2d 2781 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))))
3130oveq1d 7446 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))))
3222, 6rpmulcld 13091 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) ∈ ℝ+)
3332rpcnd 13077 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) ∈ ℂ)
34 nn0p1nn 12563 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
3534nnrpd 13073 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
3635adantr 480 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
373adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
3836, 37rpdivcld 13092 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) / 𝐵) ∈ ℝ+)
392, 38rpaddcld 13090 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ∈ ℝ+)
4039rpcnd 13077 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ∈ ℂ)
4139rpne0d 13080 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ≠ 0)
4228, 33, 40, 41divassd 12076 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))
4331, 42eqtrd 2775 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  +crp 13032  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by:  faclim  35726
  Copyright terms: Public domain W3C validator