Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  faclimlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclimlem3 34438
Description: Lemma for faclim 34439. Algebraic manipulation for the final induction. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
faclimlem3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 + (1 / ๐ต))โ†‘(๐‘€ + 1)) / (1 + ((๐‘€ + 1) / ๐ต))) = ((((1 + (1 / ๐ต))โ†‘๐‘€) / (1 + (๐‘€ / ๐ต))) ยท (((1 + (๐‘€ / ๐ต)) ยท (1 + (1 / ๐ต))) / (1 + ((๐‘€ + 1) / ๐ต)))))

Proof of Theorem faclimlem3
StepHypRef Expression
1 1rp 12943 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„+
21a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
3 nnrp 12950 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
43rpreccld 12991 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ๐ต) โˆˆ โ„+)
54adantl 482 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ๐ต) โˆˆ โ„+)
62, 5rpaddcld 12996 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (1 + (1 / ๐ต)) โˆˆ โ„+)
76rpcnd 12983 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (1 + (1 / ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
8 simpl 483 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
97, 8expp1d 14077 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 + (1 / ๐ต))โ†‘(๐‘€ + 1)) = (((1 + (1 / ๐ต))โ†‘๐‘€) ยท (1 + (1 / ๐ต))))
101a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
1110, 4rpaddcld 12996 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (1 + (1 / ๐ต)) โˆˆ โ„+)
12 nn0z 12548 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
13 rpexpcl 14011 . . . . . . . 8 (((1 + (1 / ๐ต)) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 + (1 / ๐ต))โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„+)
1411, 12, 13syl2anr 597 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 + (1 / ๐ต))โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„+)
1514rpcnd 12983 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 + (1 / ๐ต))โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
16 1cnd 11174 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
17 nn0nndivcl 12508 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ / ๐ต) โˆˆ โ„)
1817recnd 11207 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1916, 18addcomd 11381 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (1 + (๐‘€ / ๐ต)) = ((๐‘€ / ๐ต) + 1))
20 nn0ge0div 12596 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘€ / ๐ต))
2117, 20ge0p1rpd 13011 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ / ๐ต) + 1) โˆˆ โ„+)
2219, 21eqeltrd 2832 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (1 + (๐‘€ / ๐ต)) โˆˆ โ„+)
2322rpcnd 12983 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (1 + (๐‘€ / ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2422rpne0d 12986 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (1 + (๐‘€ / ๐ต)) โ‰  0)
2515, 23, 24divcan1d 11956 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((((1 + (1 / ๐ต))โ†‘๐‘€) / (1 + (๐‘€ / ๐ต))) ยท (1 + (๐‘€ / ๐ต))) = ((1 + (1 / ๐ต))โ†‘๐‘€))
2625oveq1d 7392 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (((((1 + (1 / ๐ต))โ†‘๐‘€) / (1 + (๐‘€ / ๐ต))) ยท (1 + (๐‘€ / ๐ต))) ยท (1 + (1 / ๐ต))) = (((1 + (1 / ๐ต))โ†‘๐‘€) ยท (1 + (1 / ๐ต))))
2714, 22rpdivcld 12998 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 + (1 / ๐ต))โ†‘๐‘€) / (1 + (๐‘€ / ๐ต))) โˆˆ โ„+)
2827rpcnd 12983 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 + (1 / ๐ต))โ†‘๐‘€) / (1 + (๐‘€ / ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
2928, 23, 7mulassd 11202 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (((((1 + (1 / ๐ต))โ†‘๐‘€) / (1 + (๐‘€ / ๐ต))) ยท (1 + (๐‘€ / ๐ต))) ยท (1 + (1 / ๐ต))) = ((((1 + (1 / ๐ต))โ†‘๐‘€) / (1 + (๐‘€ / ๐ต))) ยท ((1 + (๐‘€ / ๐ต)) ยท (1 + (1 / ๐ต)))))
309, 26, 293eqtr2d 2777 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 + (1 / ๐ต))โ†‘(๐‘€ + 1)) = ((((1 + (1 / ๐ต))โ†‘๐‘€) / (1 + (๐‘€ / ๐ต))) ยท ((1 + (๐‘€ / ๐ต)) ยท (1 + (1 / ๐ต)))))
3130oveq1d 7392 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 + (1 / ๐ต))โ†‘(๐‘€ + 1)) / (1 + ((๐‘€ + 1) / ๐ต))) = (((((1 + (1 / ๐ต))โ†‘๐‘€) / (1 + (๐‘€ / ๐ต))) ยท ((1 + (๐‘€ / ๐ต)) ยท (1 + (1 / ๐ต)))) / (1 + ((๐‘€ + 1) / ๐ต))))
3222, 6rpmulcld 12997 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 + (๐‘€ / ๐ต)) ยท (1 + (1 / ๐ต))) โˆˆ โ„+)
3332rpcnd 12983 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 + (๐‘€ / ๐ต)) ยท (1 + (1 / ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
34 nn0p1nn 12476 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„•)
3534nnrpd 12979 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„+)
3635adantr 481 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„+)
373adantl 482 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
3836, 37rpdivcld 12998 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„+)
392, 38rpaddcld 12996 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (1 + ((๐‘€ + 1) / ๐ต)) โˆˆ โ„+)
4039rpcnd 12983 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (1 + ((๐‘€ + 1) / ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
4139rpne0d 12986 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (1 + ((๐‘€ + 1) / ๐ต)) โ‰  0)
4228, 33, 40, 41divassd 11990 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (((((1 + (1 / ๐ต))โ†‘๐‘€) / (1 + (๐‘€ / ๐ต))) ยท ((1 + (๐‘€ / ๐ต)) ยท (1 + (1 / ๐ต)))) / (1 + ((๐‘€ + 1) / ๐ต))) = ((((1 + (1 / ๐ต))โ†‘๐‘€) / (1 + (๐‘€ / ๐ต))) ยท (((1 + (๐‘€ / ๐ต)) ยท (1 + (1 / ๐ต))) / (1 + ((๐‘€ + 1) / ๐ต)))))
4331, 42eqtrd 2771 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 + (1 / ๐ต))โ†‘(๐‘€ + 1)) / (1 + ((๐‘€ + 1) / ๐ต))) = ((((1 + (1 / ๐ต))โ†‘๐‘€) / (1 + (๐‘€ / ๐ต))) ยท (((1 + (๐‘€ / ๐ต)) ยท (1 + (1 / ๐ต))) / (1 + ((๐‘€ + 1) / ๐ต)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  (class class class)co 7377  1c1 11076   + caddc 11078   ยท cmul 11080   / cdiv 11836  โ„•cn 12177  โ„•0cn0 12437  โ„คcz 12523  โ„+crp 12939  โ†‘cexp 13992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-rp 12940  df-seq 13932  df-exp 13993
This theorem is referenced by:  faclim  34439
  Copyright terms: Public domain W3C validator