Theorem faclimlem3 35732

Description: Lemma for faclim 35733. Algebraic manipulation for the final induction. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
faclimlem3	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))

Proof of Theorem faclimlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 12955	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
3		nnrp 12963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpreccld 13005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (1 / 𝐵) ∈ ℝ+)
5	4	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ+)
6	2, 5	rpaddcld 13010	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
7	6	rpcnd 12997	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℂ)
8		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
9	7, 8	expp1d 14112	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) = (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) · (1 + (1 / 𝐵))))
10	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
11	10, 4	rpaddcld 13010	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
12		nn0z 12554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		rpexpcl 14045	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℝ+)
14	11, 12, 13	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℝ+)
15	14	rpcnd 12997	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℂ)
16		1cnd 11169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
17		nn0nndivcl 12514	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝐵) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝐵) ∈ ℂ)
19	16, 18	addcomd 11376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) = ((𝑀 / 𝐵) + 1))
20		nn0ge0div 12603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑀 / 𝐵))
21	17, 20	ge0p1rpd 13025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
22	19, 21	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
23	22	rpcnd 12997	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ∈ ℂ)
24	22	rpne0d 13000	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ≠ 0)
25	15, 23, 24	divcan1d 11959	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) = ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀))
26	25	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (1 / 𝐵))) = (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) · (1 + (1 / 𝐵))))
27	14, 22	rpdivcld 13012	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) ∈ ℝ+)
28	27	rpcnd 12997	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) ∈ ℂ)
29	28, 23, 7	mulassd 11197	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (1 / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))))
30	9, 26, 29	3eqtr2d 2770	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))))
31	30	oveq1d 7402	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))))
32	22, 6	rpmulcld 13011	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) ∈ ℝ+)
33	32	rpcnd 12997	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) ∈ ℂ)
34		nn0p1nn 12481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
35	34	nnrpd 12993	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
36	35	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
37	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
38	36, 37	rpdivcld 13012	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) / 𝐵) ∈ ℝ+)
39	2, 38	rpaddcld 13010	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ∈ ℝ+)
40	39	rpcnd 12997	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ∈ ℂ)
41	39	rpne0d 13000	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ≠ 0)
42	28, 33, 40, 41	divassd 11993	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))
43	31, 42	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   / cdiv 11835  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ℝ⁺crp 12951  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-seq 13967  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  faclim  35733