Theorem iprodfac 32979

Description: An infinite product expression for factorial. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
iprodfac	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem iprodfac

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12282	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12014	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
3		facne0 13647	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) ≠ 0)
4		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))))
5	4	faclim 32978	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))))) ⇝ (!‘𝐴))
6		oveq2 7164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (1 / 𝑥) = (1 / 𝑘))
7	6	oveq2d 7172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (1 + (1 / 𝑥)) = (1 + (1 / 𝑘)))
8	7	oveq1d 7171	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) = ((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴))
9		oveq2 7164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐴 / 𝑥) = (𝐴 / 𝑘))
10	9	oveq2d 7172	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (1 + (𝐴 / 𝑥)) = (1 + (𝐴 / 𝑘)))
11	8, 10	oveq12d 7174	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
12		ovex 7189	. . . . 5 ⊢ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) ∈ V
13	11, 4, 12	fvmpt 6768	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))))‘𝑘) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
14	13	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))))‘𝑘) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
15		1rp 12394	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
17		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
18	17	nnrpd 12430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ+)
19	18	rpreccld 12442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
20	16, 19	rpaddcld 12447	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
21		nn0z 12006	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
22	21	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
23	20, 22	rpexpcld 13609	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) ∈ ℝ+)
24		1cnd 10636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
25		nn0nndivcl 11967	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℝ)
26	25	recnd 10669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℂ)
27	24, 26	addcomd 10842	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (𝐴 / 𝑘)) = ((𝐴 / 𝑘) + 1))
28		nn0ge0div 12052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑘))
29	25, 28	ge0p1rpd 12462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) ∈ ℝ+)
30	27, 29	eqeltrd 2913	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (𝐴 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
31	23, 30	rpdivcld 12449	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) ∈ ℝ+)
32	31	rpcnd 12434	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) ∈ ℂ)
33	1, 2, 3, 5, 14, 32	iprodn0 15294	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) = (!‘𝐴))
34	33	eqcomd 2827	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5146  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  1c1 10538   + caddc 10540   / cdiv 11297  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ℝ⁺crp 12390  ↑cexp 13430  !cfa 13634  ∏cprod 15259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-pm 8409  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-hash 13692  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-prod 15260

This theorem is referenced by: (None)