Theorem iprodfac 35747

Description: An infinite product expression for factorial. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
iprodfac	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem iprodfac

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12921	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12648	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
3		facne0 14325	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) ≠ 0)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))))
5	4	faclim 35746	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))))) ⇝ (!‘𝐴))
6		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (1 / 𝑥) = (1 / 𝑘))
7	6	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (1 + (1 / 𝑥)) = (1 + (1 / 𝑘)))
8	7	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) = ((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴))
9		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐴 / 𝑥) = (𝐴 / 𝑘))
10	9	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (1 + (𝐴 / 𝑥)) = (1 + (𝐴 / 𝑘)))
11	8, 10	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
12		ovex 7464	. . . . 5 ⊢ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) ∈ V
13	11, 4, 12	fvmpt 7016	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))))‘𝑘) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
14	13	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))))‘𝑘) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
15		1rp 13038	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
17		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
18	17	nnrpd 13075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ+)
19	18	rpreccld 13087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
20	16, 19	rpaddcld 13092	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
21		nn0z 12638	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
23	20, 22	rpexpcld 14286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) ∈ ℝ+)
24		1cnd 11256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
25		nn0nndivcl 12598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℂ)
27	24, 26	addcomd 11463	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (𝐴 / 𝑘)) = ((𝐴 / 𝑘) + 1))
28		nn0ge0div 12687	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑘))
29	25, 28	ge0p1rpd 13107	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) ∈ ℝ+)
30	27, 29	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (𝐴 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
31	23, 30	rpdivcld 13094	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) ∈ ℝ+)
32	31	rpcnd 13079	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) ∈ ℂ)
33	1, 2, 3, 5, 14, 32	iprodn0 15976	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) = (!‘𝐴))
34	33	eqcomd 2743	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158   / cdiv 11920  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℝ⁺crp 13034  ↑cexp 14102  !cfa 14312  ∏cprod 15939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-prod 15940

This theorem is referenced by: (None)