Theorem iprodfac 36172

Description: An infinite product expression for factorial. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
iprodfac	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem iprodfac

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12901	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12625	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
3		facne0 14322	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) ≠ 0)
4		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))))
5	4	faclim 36171	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))))) ⇝ (!‘𝐴))
6		oveq2 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (1 / 𝑥) = (1 / 𝑘))
7	6	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (1 + (1 / 𝑥)) = (1 + (1 / 𝑘)))
8	7	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) = ((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴))
9		oveq2 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐴 / 𝑥) = (𝐴 / 𝑘))
10	9	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (1 + (𝐴 / 𝑥)) = (1 + (𝐴 / 𝑘)))
11	8, 10	oveq12d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
12		ovex 7444	. . . . 5 ⊢ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) ∈ V
13	11, 4, 12	fvmpt 6990	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))))‘𝑘) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
14	13	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))))‘𝑘) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
15		1rp 13020	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
17		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
18	17	nnrpd 13058	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ+)
19	18	rpreccld 13070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
20	16, 19	rpaddcld 13075	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
21		nn0z 12615	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
22	21	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
23	20, 22	rpexpcld 14283	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) ∈ ℝ+)
24		1cnd 11202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
25		nn0nndivcl 12576	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℂ)
27	24, 26	addcomd 11412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (𝐴 / 𝑘)) = ((𝐴 / 𝑘) + 1))
28		nn0ge0div 12665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑘))
29	25, 28	ge0p1rpd 13090	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) ∈ ℝ+)
30	27, 29	eqeltrd 2869	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (𝐴 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
31	23, 30	rpdivcld 13077	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) ∈ ℝ+)
32	31	rpcnd 13062	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) ∈ ℂ)
33	1, 2, 3, 5, 14, 32	iprodn0 15994	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) = (!‘𝐴))
34	33	eqcomd 2775	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1c1 11101   + caddc 11103   / cdiv 11871  ℕcn 12233  ℕ₀cn0 12504  ℤcz 12591  ℝ⁺crp 13016  ↑cexp 14097  !cfa 14309  ∏cprod 15957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-hash 14367  df-shft 15104  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-prod 15958

This theorem is referenced by: (None)