Theorem iprodfac 35984

Description: An infinite product expression for factorial. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
iprodfac	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem iprodfac

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12819	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12550	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
3		facne0 14240	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) ≠ 0)
4		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))))
5	4	faclim 35983	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))))) ⇝ (!‘𝐴))
6		oveq2 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (1 / 𝑥) = (1 / 𝑘))
7	6	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (1 + (1 / 𝑥)) = (1 + (1 / 𝑘)))
8	7	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) = ((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴))
9		oveq2 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐴 / 𝑥) = (𝐴 / 𝑘))
10	9	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (1 + (𝐴 / 𝑥)) = (1 + (𝐴 / 𝑘)))
11	8, 10	oveq12d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
12		ovex 7390	. . . . 5 ⊢ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) ∈ V
13	11, 4, 12	fvmpt 6936	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))))‘𝑘) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
14	13	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))))‘𝑘) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
15		1rp 12938	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
17		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
18	17	nnrpd 12976	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ+)
19	18	rpreccld 12988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
20	16, 19	rpaddcld 12993	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
21		nn0z 12540	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
22	21	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
23	20, 22	rpexpcld 14201	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) ∈ ℝ+)
24		1cnd 11131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
25		nn0nndivcl 12501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℂ)
27	24, 26	addcomd 11340	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (𝐴 / 𝑘)) = ((𝐴 / 𝑘) + 1))
28		nn0ge0div 12590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑘))
29	25, 28	ge0p1rpd 13008	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) ∈ ℝ+)
30	27, 29	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (𝐴 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
31	23, 30	rpdivcld 12995	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) ∈ ℝ+)
32	31	rpcnd 12980	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) ∈ ℂ)
33	1, 2, 3, 5, 14, 32	iprodn0 15897	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) = (!‘𝐴))
34	33	eqcomd 2745	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ↦ cmpt 5154  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  1c1 11031   + caddc 11033   / cdiv 11799  ℕcn 12166  ℕ₀cn0 12429  ℤcz 12516  ℝ⁺crp 12934  ↑cexp 14015  !cfa 14227  ∏cprod 15860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-rp 12935  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-fl 13743  df-seq 13956  df-exp 14016  df-fac 14228  df-hash 14285  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15442  df-rlim 15443  df-prod 15861

This theorem is referenced by: (None)