Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iprodfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodfac 35727
Description: An infinite product expression for factorial. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
iprodfac (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem iprodfac
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12919 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12646 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
3 facne0 14322 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) ≠ 0)
4 eqid 2735 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))))
54faclim 35726 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))))) ⇝ (!‘𝐴))
6 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (1 / 𝑥) = (1 / 𝑘))
76oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (1 + (1 / 𝑥)) = (1 + (1 / 𝑘)))
87oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → ((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) = ((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴))
9 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝐴 / 𝑥) = (𝐴 / 𝑘))
109oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (1 + (𝐴 / 𝑥)) = (1 + (𝐴 / 𝑘)))
118, 10oveq12d 7449 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
12 ovex 7464 . . . . 5 (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) ∈ V
1311, 4, 12fvmpt 7016 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))))‘𝑘) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
1413adantl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑥))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑥))))‘𝑘) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
15 1rp 13036 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
1615a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
17 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
1817nnrpd 13073 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ+)
1918rpreccld 13085 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
2016, 19rpaddcld 13090 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
21 nn0z 12636 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
2221adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
2320, 22rpexpcld 14283 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) ∈ ℝ+)
24 1cnd 11254 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
25 nn0nndivcl 12596 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℝ)
2625recnd 11287 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℂ)
2724, 26addcomd 11461 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (𝐴 / 𝑘)) = ((𝐴 / 𝑘) + 1))
28 nn0ge0div 12685 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑘))
2925, 28ge0p1rpd 13105 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) ∈ ℝ+)
3027, 29eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (𝐴 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
3123, 30rpdivcld 13092 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) ∈ ℝ+)
3231rpcnd 13077 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) ∈ ℂ)
331, 2, 3, 5, 14, 32iprodn0 15973 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) = (!‘𝐴))
3433eqcomd 2741 1 (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  +crp 13032  cexp 14099  !cfa 14309  cprod 15936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-prod 15937
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator