Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  faclimlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclimlem1 34372
Description: Lemma for faclim 34375. Closed form for a particular sequence. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
faclimlem1 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1))))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   π‘₯,𝑀

Proof of Theorem faclimlem1
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 1 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜1))
2 1z 12538 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„€
3 seq1 13925 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ β„€ β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜1) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜1))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜1) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜1)
51, 4eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 1 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜1))
6 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 1 β†’ (π‘Ž + 1) = (1 + 1))
7 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 1 β†’ (π‘Ž + (𝑀 + 1)) = (1 + (𝑀 + 1)))
86, 7oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 1 β†’ ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1))) = ((1 + 1) / (1 + (𝑀 + 1))))
98oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 1 β†’ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) Β· ((1 + 1) / (1 + (𝑀 + 1)))))
105, 9eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (π‘Ž = 1 β†’ ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1)))) ↔ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜1) = ((𝑀 + 1) Β· ((1 + 1) / (1 + (𝑀 + 1))))))
1110imbi2d 341 . . . . . 6 (π‘Ž = 1 β†’ ((𝑀 ∈ β„•0 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1))))) ↔ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜1) = ((𝑀 + 1) Β· ((1 + 1) / (1 + (𝑀 + 1)))))))
12 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜))
13 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (π‘Ž + 1) = (π‘˜ + 1))
14 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (π‘Ž + (𝑀 + 1)) = (π‘˜ + (𝑀 + 1)))
1513, 14oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1))) = ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))))
1615oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))))
1712, 16eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1)))) ↔ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))))))
1817imbi2d 341 . . . . . 6 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((𝑀 ∈ β„•0 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1))))) ↔ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))))))
19 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (π‘˜ + 1) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜(π‘˜ + 1)))
20 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (π‘˜ + 1) β†’ (π‘Ž + 1) = ((π‘˜ + 1) + 1))
21 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (π‘˜ + 1) β†’ (π‘Ž + (𝑀 + 1)) = ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1)))
2220, 21oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (π‘˜ + 1) β†’ ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1))) = (((π‘˜ + 1) + 1) / ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1))))
2322oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) Β· (((π‘˜ + 1) + 1) / ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1)))))
2419, 23eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (π‘Ž = (π‘˜ + 1) β†’ ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1)))) ↔ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑀 + 1) Β· (((π‘˜ + 1) + 1) / ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1))))))
2524imbi2d 341 . . . . . 6 (π‘Ž = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝑀 ∈ β„•0 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1))))) ↔ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑀 + 1) Β· (((π‘˜ + 1) + 1) / ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1)))))))
26 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘))
27 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž + 1) = (𝑏 + 1))
28 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž + (𝑀 + 1)) = (𝑏 + (𝑀 + 1)))
2927, 28oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1))) = ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1))))
3029oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) Β· ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1)))))
3126, 30eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1)))) ↔ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘) = ((𝑀 + 1) Β· ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1))))))
3231imbi2d 341 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝑀 ∈ β„•0 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1))))) ↔ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘) = ((𝑀 + 1) Β· ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1)))))))
33 1nn 12169 . . . . . . . 8 1 ∈ β„•
34 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 β†’ (𝑀 / 𝑛) = (𝑀 / 1))
3534oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 β†’ (1 + (𝑀 / 𝑛)) = (1 + (𝑀 / 1)))
36 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 β†’ (1 / 𝑛) = (1 / 1))
3736oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 β†’ (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / 1)))
3835, 37oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 β†’ ((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) = ((1 + (𝑀 / 1)) Β· (1 + (1 / 1))))
39 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 β†’ ((𝑀 + 1) / 𝑛) = ((𝑀 + 1) / 1))
4039oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 β†’ (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)) = (1 + ((𝑀 + 1) / 1)))
4138, 40oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 β†’ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))) = (((1 + (𝑀 / 1)) Β· (1 + (1 / 1))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 1))))
42 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))
43 ovex 7391 . . . . . . . . 9 (((1 + (𝑀 / 1)) Β· (1 + (1 / 1))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 1))) ∈ V
4441, 42, 43fvmpt 6949 . . . . . . . 8 (1 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜1) = (((1 + (𝑀 / 1)) Β· (1 + (1 / 1))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 1))))
4533, 44ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜1) = (((1 + (𝑀 / 1)) Β· (1 + (1 / 1))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 1)))
46 nn0cn 12428 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
4746div1d 11928 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 / 1) = 𝑀)
4847oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (1 + (𝑀 / 1)) = (1 + 𝑀))
49 1div1e1 11850 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 1) = 1
5049oveq2i 7369 . . . . . . . . . . 11 (1 + (1 / 1)) = (1 + 1)
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (1 + (1 / 1)) = (1 + 1))
5248, 51oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((1 + (𝑀 / 1)) Β· (1 + (1 / 1))) = ((1 + 𝑀) Β· (1 + 1)))
53 nn0p1nn 12457 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•)
5453nncnd 12174 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„‚)
5554div1d 11928 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝑀 + 1) / 1) = (𝑀 + 1))
5655oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (1 + ((𝑀 + 1) / 1)) = (1 + (𝑀 + 1)))
5752, 56oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (((1 + (𝑀 / 1)) Β· (1 + (1 / 1))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 1))) = (((1 + 𝑀) Β· (1 + 1)) / (1 + (𝑀 + 1))))
58 1cnd 11155 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„‚)
5958, 46addcomd 11362 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (1 + 𝑀) = (𝑀 + 1))
6059oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((1 + 𝑀) Β· (1 + 1)) = ((𝑀 + 1) Β· (1 + 1)))
6160oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (((1 + 𝑀) Β· (1 + 1)) / (1 + (𝑀 + 1))) = (((𝑀 + 1) Β· (1 + 1)) / (1 + (𝑀 + 1))))
62 ax-1cn 11114 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„‚
6362, 62addcli 11166 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) ∈ β„‚
6463a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (1 + 1) ∈ β„‚)
6533a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„•)
6665, 53nnaddcld 12210 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (1 + (𝑀 + 1)) ∈ β„•)
6766nncnd 12174 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (1 + (𝑀 + 1)) ∈ β„‚)
6866nnne0d 12208 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (1 + (𝑀 + 1)) β‰  0)
6954, 64, 67, 68divassd 11971 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (((𝑀 + 1) Β· (1 + 1)) / (1 + (𝑀 + 1))) = ((𝑀 + 1) Β· ((1 + 1) / (1 + (𝑀 + 1)))))
7057, 61, 693eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (((1 + (𝑀 / 1)) Β· (1 + (1 / 1))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 1))) = ((𝑀 + 1) Β· ((1 + 1) / (1 + (𝑀 + 1)))))
7145, 70eqtrid 2785 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜1) = ((𝑀 + 1) Β· ((1 + 1) / (1 + (𝑀 + 1)))))
72 seqp1 13927 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1))))
73 nnuz 12811 . . . . . . . . . . . 12 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
7472, 73eleq2s 2852 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1))))
7574adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1))))
7675adantr 482 . . . . . . . . 9 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))))) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1))))
77 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))) β†’ ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1))) = (((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1))))
7877adantl 483 . . . . . . . . 9 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))))) β†’ ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1))) = (((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1))))
79 peano2nn 12170 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
80 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑀 / 𝑛) = (𝑀 / (π‘˜ + 1)))
8180oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (1 + (𝑀 / 𝑛)) = (1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))))
82 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (1 / 𝑛) = (1 / (π‘˜ + 1)))
8382oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / (π‘˜ + 1))))
8481, 83oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ ((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) = ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))))
85 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝑀 + 1) / 𝑛) = ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))
8685oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)) = (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1))))
8784, 86oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))) = (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))))
88 ovex 7391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))) ∈ V
8987, 42, 88fvmpt 6949 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ + 1) ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1)) = (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))))
9079, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1)) = (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))))
9190oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1))) = (((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))) Β· (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1))))))
9291adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1))) = (((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))) Β· (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1))))))
9353adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•)
9493nncnd 12174 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„‚)
9579adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
9695nnrpd 12960 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ+)
97 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
9897nnrpd 12960 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
9993nnrpd 12960 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
10098, 99rpaddcld 12977 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + (𝑀 + 1)) ∈ ℝ+)
10196, 100rpdivcld 12979 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) ∈ ℝ+)
102101rpcnd 12964 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) ∈ β„‚)
103 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
104 nn0re 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
105104adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
106105, 95nndivred 12212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 / (π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
107106recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 / (π‘˜ + 1)) ∈ β„‚)
108103, 107addcomd 11362 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) = ((𝑀 / (π‘˜ + 1)) + 1))
109 nn0ge0 12443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝑀)
110109adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ 𝑀)
111105, 96, 110divge0d 13002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (𝑀 / (π‘˜ + 1)))
112106, 111ge0p1rpd 12992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 / (π‘˜ + 1)) + 1) ∈ ℝ+)
113108, 112eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) ∈ ℝ+)
114 1rp 12924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ+
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ ℝ+)
11696rpreccld 12972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (1 / (π‘˜ + 1)) ∈ ℝ+)
117115, 116rpaddcld 12977 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (1 + (1 / (π‘˜ + 1))) ∈ ℝ+)
118113, 117rpmulcld 12978 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) ∈ ℝ+)
11999, 96rpdivcld 12979 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)) ∈ ℝ+)
120115, 119rpaddcld 12977 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1))) ∈ ℝ+)
121118, 120rpdivcld 12979 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))) ∈ ℝ+)
122121rpcnd 12964 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))) ∈ β„‚)
12394, 102, 122mulassd 11183 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))) Β· (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1))))) = ((𝑀 + 1) Β· (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))))))
124101, 118rpmulcld 12978 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1))))) ∈ ℝ+)
125124rpcnd 12964 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1))))) ∈ β„‚)
126120rpcnd 12964 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1))) ∈ β„‚)
12795nncnd 12174 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„‚)
128120rpne0d 12967 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1))) β‰  0)
12995nnne0d 12208 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + 1) β‰  0)
130125, 126, 127, 128, 129divcan5d 11962 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) Β· (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))))) / ((π‘˜ + 1) Β· (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1))))) = ((((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1))))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))))
131118rpcnd 12964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) ∈ β„‚)
132127, 102, 131mul12d 11369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))))) = (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((π‘˜ + 1) Β· ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))))))
133113rpcnd 12964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) ∈ β„‚)
134117rpcnd 12964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (1 + (1 / (π‘˜ + 1))) ∈ β„‚)
135127, 133, 134mulassd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) Β· (1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1)))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) = ((π‘˜ + 1) Β· ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1))))))
136127, 103, 107adddid 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1)))) = (((π‘˜ + 1) Β· 1) + ((π‘˜ + 1) Β· (𝑀 / (π‘˜ + 1)))))
137127mulid1d 11177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· 1) = (π‘˜ + 1))
138 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
139138nn0cnd 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
140139, 127, 129divcan2d 11938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (𝑀 / (π‘˜ + 1))) = 𝑀)
141137, 140oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) Β· 1) + ((π‘˜ + 1) Β· (𝑀 / (π‘˜ + 1)))) = ((π‘˜ + 1) + 𝑀))
14297nncnd 12174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
143142, 103, 139addassd 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) + 𝑀) = (π‘˜ + (1 + 𝑀)))
144103, 139addcomd 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (1 + 𝑀) = (𝑀 + 1))
145144oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + (1 + 𝑀)) = (π‘˜ + (𝑀 + 1)))
146143, 145eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) + 𝑀) = (π‘˜ + (𝑀 + 1)))
147136, 141, 1463eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1)))) = (π‘˜ + (𝑀 + 1)))
148147oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) Β· (1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1)))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) = ((π‘˜ + (𝑀 + 1)) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))))
149135, 148eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1))))) = ((π‘˜ + (𝑀 + 1)) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))))
150149oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((π‘˜ + 1) Β· ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))))) = (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((π‘˜ + (𝑀 + 1)) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1))))))
151100rpcnd 12964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + (𝑀 + 1)) ∈ β„‚)
152102, 151, 134mulassd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) = (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((π‘˜ + (𝑀 + 1)) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1))))))
153100rpne0d 12967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + (𝑀 + 1)) β‰  0)
154127, 151, 153divcan1d 11937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· (π‘˜ + (𝑀 + 1))) = (π‘˜ + 1))
155154oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) = ((π‘˜ + 1) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))))
156116rpcnd 12964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (1 / (π‘˜ + 1)) ∈ β„‚)
157127, 103, 156adddid 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) = (((π‘˜ + 1) Β· 1) + ((π‘˜ + 1) Β· (1 / (π‘˜ + 1)))))
158103, 127, 129divcan2d 11938 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (1 / (π‘˜ + 1))) = 1)
159137, 158oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) Β· 1) + ((π‘˜ + 1) Β· (1 / (π‘˜ + 1)))) = ((π‘˜ + 1) + 1))
160155, 157, 1593eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) = ((π‘˜ + 1) + 1))
161152, 160eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((π‘˜ + (𝑀 + 1)) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1))))) = ((π‘˜ + 1) + 1))
162132, 150, 1613eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))))) = ((π‘˜ + 1) + 1))
163119rpcnd 12964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)) ∈ β„‚)
164127, 103, 163adddid 11184 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))) = (((π‘˜ + 1) Β· 1) + ((π‘˜ + 1) Β· ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))))
16594, 127, 129divcan2d 11938 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1))) = (𝑀 + 1))
166137, 165oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) Β· 1) + ((π‘˜ + 1) Β· ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))) = ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1)))
167164, 166eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))) = ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1)))
168162, 167oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) Β· (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))))) / ((π‘˜ + 1) Β· (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1))))) = (((π‘˜ + 1) + 1) / ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1))))
169102, 131, 126, 128divassd 11971 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1))))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))) = (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1))))))
170130, 168, 1693eqtr3rd 2782 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1))))) = (((π‘˜ + 1) + 1) / ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1))))
171170oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) Β· (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))))) = ((𝑀 + 1) Β· (((π‘˜ + 1) + 1) / ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1)))))
17292, 123, 1713eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1))) = ((𝑀 + 1) Β· (((π‘˜ + 1) + 1) / ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1)))))
173172adantr 482 . . . . . . . . 9 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))))) β†’ (((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1))) = ((𝑀 + 1) Β· (((π‘˜ + 1) + 1) / ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1)))))
17476, 78, 1733eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))))) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑀 + 1) Β· (((π‘˜ + 1) + 1) / ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1)))))
175174exp31 421 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑀 + 1) Β· (((π‘˜ + 1) + 1) / ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1)))))))
176175a2d 29 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑀 ∈ β„•0 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))))) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑀 + 1) Β· (((π‘˜ + 1) + 1) / ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1)))))))
17711, 18, 25, 32, 71, 176nnind 12176 . . . . 5 (𝑏 ∈ β„• β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘) = ((𝑀 + 1) Β· ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1))))))
178177impcom 409 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘) = ((𝑀 + 1) Β· ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1)))))
179 oveq1 7365 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑏 β†’ (π‘₯ + 1) = (𝑏 + 1))
180 oveq1 7365 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑏 β†’ (π‘₯ + (𝑀 + 1)) = (𝑏 + (𝑀 + 1)))
181179, 180oveq12d 7376 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑏 β†’ ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1))) = ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1))))
182181oveq2d 7374 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑏 β†’ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) Β· ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1)))))
183 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1))))) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1)))))
184 ovex 7391 . . . . . 6 ((𝑀 + 1) Β· ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1)))) ∈ V
185182, 183, 184fvmpt 6949 . . . . 5 (𝑏 ∈ β„• β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1)))))β€˜π‘) = ((𝑀 + 1) Β· ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1)))))
186185adantl 483 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1)))))β€˜π‘) = ((𝑀 + 1) Β· ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1)))))
187178, 186eqtr4d 2776 . . 3 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘) = ((π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1)))))β€˜π‘))
188187ralrimiva 3140 . 2 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘ ∈ β„• (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘) = ((π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1)))))β€˜π‘))
189 seqfn 13924 . . . . 5 (1 ∈ β„€ β†’ seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) Fn (β„€β‰₯β€˜1))
1902, 189ax-mp 5 . . . 4 seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) Fn (β„€β‰₯β€˜1)
19173fneq2i 6601 . . . 4 (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) Fn β„• ↔ seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) Fn (β„€β‰₯β€˜1))
192190, 191mpbir 230 . . 3 seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) Fn β„•
193 ovex 7391 . . . 4 ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1)))) ∈ V
194193, 183fnmpti 6645 . . 3 (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1))))) Fn β„•
195 eqfnfv 6983 . . 3 ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) Fn β„• ∧ (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1))))) Fn β„•) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1))))) ↔ βˆ€π‘ ∈ β„• (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘) = ((π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1)))))β€˜π‘)))
196192, 194, 195mp2an 691 . 2 (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1))))) ↔ βˆ€π‘ ∈ β„• (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘) = ((π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1)))))β€˜π‘))
197188, 196sylibr 233 1 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Fn wfn 6492  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   ≀ cle 11195   / cdiv 11817  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  β„+crp 12920  seqcseq 13912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913
This theorem is referenced by:  faclimlem2  34373
  Copyright terms: Public domain W3C validator