Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  faclimlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclimlem1 34782
Description: Lemma for faclim 34785. Closed form for a particular sequence. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
faclimlem1 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1))))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   π‘₯,𝑀

Proof of Theorem faclimlem1
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 1 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜1))
2 1z 12594 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„€
3 seq1 13981 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ β„€ β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜1) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜1))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜1) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜1)
51, 4eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 1 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜1))
6 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 1 β†’ (π‘Ž + 1) = (1 + 1))
7 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 1 β†’ (π‘Ž + (𝑀 + 1)) = (1 + (𝑀 + 1)))
86, 7oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 1 β†’ ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1))) = ((1 + 1) / (1 + (𝑀 + 1))))
98oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 1 β†’ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) Β· ((1 + 1) / (1 + (𝑀 + 1)))))
105, 9eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (π‘Ž = 1 β†’ ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1)))) ↔ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜1) = ((𝑀 + 1) Β· ((1 + 1) / (1 + (𝑀 + 1))))))
1110imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘Ž = 1 β†’ ((𝑀 ∈ β„•0 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1))))) ↔ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜1) = ((𝑀 + 1) Β· ((1 + 1) / (1 + (𝑀 + 1)))))))
12 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜))
13 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (π‘Ž + 1) = (π‘˜ + 1))
14 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (π‘Ž + (𝑀 + 1)) = (π‘˜ + (𝑀 + 1)))
1513, 14oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1))) = ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))))
1615oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))))
1712, 16eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1)))) ↔ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))))))
1817imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((𝑀 ∈ β„•0 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1))))) ↔ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))))))
19 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (π‘˜ + 1) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜(π‘˜ + 1)))
20 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (π‘˜ + 1) β†’ (π‘Ž + 1) = ((π‘˜ + 1) + 1))
21 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (π‘˜ + 1) β†’ (π‘Ž + (𝑀 + 1)) = ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1)))
2220, 21oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (π‘˜ + 1) β†’ ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1))) = (((π‘˜ + 1) + 1) / ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1))))
2322oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) Β· (((π‘˜ + 1) + 1) / ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1)))))
2419, 23eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (π‘Ž = (π‘˜ + 1) β†’ ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1)))) ↔ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑀 + 1) Β· (((π‘˜ + 1) + 1) / ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1))))))
2524imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘Ž = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝑀 ∈ β„•0 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1))))) ↔ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑀 + 1) Β· (((π‘˜ + 1) + 1) / ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1)))))))
26 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘))
27 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž + 1) = (𝑏 + 1))
28 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž + (𝑀 + 1)) = (𝑏 + (𝑀 + 1)))
2927, 28oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1))) = ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1))))
3029oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) Β· ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1)))))
3126, 30eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1)))) ↔ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘) = ((𝑀 + 1) Β· ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1))))))
3231imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝑀 ∈ β„•0 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘Ž) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘Ž + 1) / (π‘Ž + (𝑀 + 1))))) ↔ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘) = ((𝑀 + 1) Β· ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1)))))))
33 1nn 12225 . . . . . . . 8 1 ∈ β„•
34 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 β†’ (𝑀 / 𝑛) = (𝑀 / 1))
3534oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 β†’ (1 + (𝑀 / 𝑛)) = (1 + (𝑀 / 1)))
36 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 β†’ (1 / 𝑛) = (1 / 1))
3736oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 β†’ (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / 1)))
3835, 37oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 β†’ ((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) = ((1 + (𝑀 / 1)) Β· (1 + (1 / 1))))
39 oveq2 7419 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 β†’ ((𝑀 + 1) / 𝑛) = ((𝑀 + 1) / 1))
4039oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 β†’ (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)) = (1 + ((𝑀 + 1) / 1)))
4138, 40oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 β†’ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))) = (((1 + (𝑀 / 1)) Β· (1 + (1 / 1))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 1))))
42 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))
43 ovex 7444 . . . . . . . . 9 (((1 + (𝑀 / 1)) Β· (1 + (1 / 1))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 1))) ∈ V
4441, 42, 43fvmpt 6998 . . . . . . . 8 (1 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜1) = (((1 + (𝑀 / 1)) Β· (1 + (1 / 1))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 1))))
4533, 44ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜1) = (((1 + (𝑀 / 1)) Β· (1 + (1 / 1))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 1)))
46 nn0cn 12484 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
4746div1d 11984 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 / 1) = 𝑀)
4847oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (1 + (𝑀 / 1)) = (1 + 𝑀))
49 1div1e1 11906 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 1) = 1
5049oveq2i 7422 . . . . . . . . . . 11 (1 + (1 / 1)) = (1 + 1)
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (1 + (1 / 1)) = (1 + 1))
5248, 51oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((1 + (𝑀 / 1)) Β· (1 + (1 / 1))) = ((1 + 𝑀) Β· (1 + 1)))
53 nn0p1nn 12513 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•)
5453nncnd 12230 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„‚)
5554div1d 11984 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝑀 + 1) / 1) = (𝑀 + 1))
5655oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (1 + ((𝑀 + 1) / 1)) = (1 + (𝑀 + 1)))
5752, 56oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (((1 + (𝑀 / 1)) Β· (1 + (1 / 1))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 1))) = (((1 + 𝑀) Β· (1 + 1)) / (1 + (𝑀 + 1))))
58 1cnd 11211 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„‚)
5958, 46addcomd 11418 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (1 + 𝑀) = (𝑀 + 1))
6059oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((1 + 𝑀) Β· (1 + 1)) = ((𝑀 + 1) Β· (1 + 1)))
6160oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (((1 + 𝑀) Β· (1 + 1)) / (1 + (𝑀 + 1))) = (((𝑀 + 1) Β· (1 + 1)) / (1 + (𝑀 + 1))))
62 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„‚
6362, 62addcli 11222 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) ∈ β„‚
6463a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (1 + 1) ∈ β„‚)
6533a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„•)
6665, 53nnaddcld 12266 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (1 + (𝑀 + 1)) ∈ β„•)
6766nncnd 12230 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (1 + (𝑀 + 1)) ∈ β„‚)
6866nnne0d 12264 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (1 + (𝑀 + 1)) β‰  0)
6954, 64, 67, 68divassd 12027 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (((𝑀 + 1) Β· (1 + 1)) / (1 + (𝑀 + 1))) = ((𝑀 + 1) Β· ((1 + 1) / (1 + (𝑀 + 1)))))
7057, 61, 693eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (((1 + (𝑀 / 1)) Β· (1 + (1 / 1))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 1))) = ((𝑀 + 1) Β· ((1 + 1) / (1 + (𝑀 + 1)))))
7145, 70eqtrid 2784 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜1) = ((𝑀 + 1) Β· ((1 + 1) / (1 + (𝑀 + 1)))))
72 seqp1 13983 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1))))
73 nnuz 12867 . . . . . . . . . . . 12 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
7472, 73eleq2s 2851 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1))))
7574adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1))))
7675adantr 481 . . . . . . . . 9 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))))) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1))))
77 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))) β†’ ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1))) = (((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1))))
7877adantl 482 . . . . . . . . 9 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))))) β†’ ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1))) = (((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1))))
79 peano2nn 12226 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
80 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑀 / 𝑛) = (𝑀 / (π‘˜ + 1)))
8180oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (1 + (𝑀 / 𝑛)) = (1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))))
82 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (1 / 𝑛) = (1 / (π‘˜ + 1)))
8382oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / (π‘˜ + 1))))
8481, 83oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ ((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) = ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))))
85 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝑀 + 1) / 𝑛) = ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))
8685oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)) = (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1))))
8784, 86oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))) = (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))))
88 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))) ∈ V
8987, 42, 88fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ + 1) ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1)) = (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))))
9079, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1)) = (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))))
9190oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1))) = (((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))) Β· (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1))))))
9291adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1))) = (((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))) Β· (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1))))))
9353adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•)
9493nncnd 12230 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„‚)
9579adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
9695nnrpd 13016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ+)
97 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
9897nnrpd 13016 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
9993nnrpd 13016 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
10098, 99rpaddcld 13033 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + (𝑀 + 1)) ∈ ℝ+)
10196, 100rpdivcld 13035 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) ∈ ℝ+)
102101rpcnd 13020 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) ∈ β„‚)
103 1cnd 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
104 nn0re 12483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
105104adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
106105, 95nndivred 12268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 / (π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
107106recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 / (π‘˜ + 1)) ∈ β„‚)
108103, 107addcomd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) = ((𝑀 / (π‘˜ + 1)) + 1))
109 nn0ge0 12499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝑀)
110109adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ 𝑀)
111105, 96, 110divge0d 13058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (𝑀 / (π‘˜ + 1)))
112106, 111ge0p1rpd 13048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 / (π‘˜ + 1)) + 1) ∈ ℝ+)
113108, 112eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) ∈ ℝ+)
114 1rp 12980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ+
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ ℝ+)
11696rpreccld 13028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (1 / (π‘˜ + 1)) ∈ ℝ+)
117115, 116rpaddcld 13033 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (1 + (1 / (π‘˜ + 1))) ∈ ℝ+)
118113, 117rpmulcld 13034 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) ∈ ℝ+)
11999, 96rpdivcld 13035 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)) ∈ ℝ+)
120115, 119rpaddcld 13033 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1))) ∈ ℝ+)
121118, 120rpdivcld 13035 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))) ∈ ℝ+)
122121rpcnd 13020 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))) ∈ β„‚)
12394, 102, 122mulassd 11239 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))) Β· (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1))))) = ((𝑀 + 1) Β· (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))))))
124101, 118rpmulcld 13034 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1))))) ∈ ℝ+)
125124rpcnd 13020 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1))))) ∈ β„‚)
126120rpcnd 13020 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1))) ∈ β„‚)
12795nncnd 12230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„‚)
128120rpne0d 13023 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1))) β‰  0)
12995nnne0d 12264 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + 1) β‰  0)
130125, 126, 127, 128, 129divcan5d 12018 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) Β· (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))))) / ((π‘˜ + 1) Β· (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1))))) = ((((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1))))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))))
131118rpcnd 13020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) ∈ β„‚)
132127, 102, 131mul12d 11425 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))))) = (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((π‘˜ + 1) Β· ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))))))
133113rpcnd 13020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) ∈ β„‚)
134117rpcnd 13020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (1 + (1 / (π‘˜ + 1))) ∈ β„‚)
135127, 133, 134mulassd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) Β· (1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1)))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) = ((π‘˜ + 1) Β· ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1))))))
136127, 103, 107adddid 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1)))) = (((π‘˜ + 1) Β· 1) + ((π‘˜ + 1) Β· (𝑀 / (π‘˜ + 1)))))
137127mulridd 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· 1) = (π‘˜ + 1))
138 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
139138nn0cnd 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
140139, 127, 129divcan2d 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (𝑀 / (π‘˜ + 1))) = 𝑀)
141137, 140oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) Β· 1) + ((π‘˜ + 1) Β· (𝑀 / (π‘˜ + 1)))) = ((π‘˜ + 1) + 𝑀))
14297nncnd 12230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
143142, 103, 139addassd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) + 𝑀) = (π‘˜ + (1 + 𝑀)))
144103, 139addcomd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (1 + 𝑀) = (𝑀 + 1))
145144oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + (1 + 𝑀)) = (π‘˜ + (𝑀 + 1)))
146143, 145eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) + 𝑀) = (π‘˜ + (𝑀 + 1)))
147136, 141, 1463eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1)))) = (π‘˜ + (𝑀 + 1)))
148147oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) Β· (1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1)))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) = ((π‘˜ + (𝑀 + 1)) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))))
149135, 148eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1))))) = ((π‘˜ + (𝑀 + 1)) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))))
150149oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((π‘˜ + 1) Β· ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))))) = (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((π‘˜ + (𝑀 + 1)) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1))))))
151100rpcnd 13020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + (𝑀 + 1)) ∈ β„‚)
152102, 151, 134mulassd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) = (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((π‘˜ + (𝑀 + 1)) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1))))))
153100rpne0d 13023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + (𝑀 + 1)) β‰  0)
154127, 151, 153divcan1d 11993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· (π‘˜ + (𝑀 + 1))) = (π‘˜ + 1))
155154oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) = ((π‘˜ + 1) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))))
156116rpcnd 13020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (1 / (π‘˜ + 1)) ∈ β„‚)
157127, 103, 156adddid 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) = (((π‘˜ + 1) Β· 1) + ((π‘˜ + 1) Β· (1 / (π‘˜ + 1)))))
158103, 127, 129divcan2d 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (1 / (π‘˜ + 1))) = 1)
159137, 158oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) Β· 1) + ((π‘˜ + 1) Β· (1 / (π‘˜ + 1)))) = ((π‘˜ + 1) + 1))
160155, 157, 1593eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) = ((π‘˜ + 1) + 1))
161152, 160eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((π‘˜ + (𝑀 + 1)) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1))))) = ((π‘˜ + 1) + 1))
162132, 150, 1613eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))))) = ((π‘˜ + 1) + 1))
163119rpcnd 13020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)) ∈ β„‚)
164127, 103, 163adddid 11240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))) = (((π‘˜ + 1) Β· 1) + ((π‘˜ + 1) Β· ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))))
16594, 127, 129divcan2d 11994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1))) = (𝑀 + 1))
166137, 165oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) Β· 1) + ((π‘˜ + 1) Β· ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))) = ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1)))
167164, 166eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))) = ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1)))
168162, 167oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) Β· (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))))) / ((π‘˜ + 1) Β· (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1))))) = (((π‘˜ + 1) + 1) / ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1))))
169102, 131, 126, 128divassd 12027 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· ((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1))))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))) = (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1))))))
170130, 168, 1693eqtr3rd 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1))))) = (((π‘˜ + 1) + 1) / ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1))))
171170oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) Β· (((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) Β· (((1 + (𝑀 / (π‘˜ + 1))) Β· (1 + (1 / (π‘˜ + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (π‘˜ + 1)))))) = ((𝑀 + 1) Β· (((π‘˜ + 1) + 1) / ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1)))))
17292, 123, 1713eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1))) = ((𝑀 + 1) Β· (((π‘˜ + 1) + 1) / ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1)))))
173172adantr 481 . . . . . . . . 9 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))))) β†’ (((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))β€˜(π‘˜ + 1))) = ((𝑀 + 1) Β· (((π‘˜ + 1) + 1) / ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1)))))
17476, 78, 1733eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))))) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑀 + 1) Β· (((π‘˜ + 1) + 1) / ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1)))))
175174exp31 420 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑀 + 1) Β· (((π‘˜ + 1) + 1) / ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1)))))))
176175a2d 29 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑀 ∈ β„•0 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘˜) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))))) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑀 + 1) Β· (((π‘˜ + 1) + 1) / ((π‘˜ + 1) + (𝑀 + 1)))))))
17711, 18, 25, 32, 71, 176nnind 12232 . . . . 5 (𝑏 ∈ β„• β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘) = ((𝑀 + 1) Β· ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1))))))
178177impcom 408 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘) = ((𝑀 + 1) Β· ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1)))))
179 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑏 β†’ (π‘₯ + 1) = (𝑏 + 1))
180 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑏 β†’ (π‘₯ + (𝑀 + 1)) = (𝑏 + (𝑀 + 1)))
181179, 180oveq12d 7429 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑏 β†’ ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1))) = ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1))))
182181oveq2d 7427 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑏 β†’ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) Β· ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1)))))
183 eqid 2732 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1))))) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1)))))
184 ovex 7444 . . . . . 6 ((𝑀 + 1) Β· ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1)))) ∈ V
185182, 183, 184fvmpt 6998 . . . . 5 (𝑏 ∈ β„• β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1)))))β€˜π‘) = ((𝑀 + 1) Β· ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1)))))
186185adantl 482 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1)))))β€˜π‘) = ((𝑀 + 1) Β· ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1)))))
187178, 186eqtr4d 2775 . . 3 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘) = ((π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1)))))β€˜π‘))
188187ralrimiva 3146 . 2 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘ ∈ β„• (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘) = ((π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1)))))β€˜π‘))
189 seqfn 13980 . . . . 5 (1 ∈ β„€ β†’ seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) Fn (β„€β‰₯β€˜1))
1902, 189ax-mp 5 . . . 4 seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) Fn (β„€β‰₯β€˜1)
19173fneq2i 6647 . . . 4 (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) Fn β„• ↔ seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) Fn (β„€β‰₯β€˜1))
192190, 191mpbir 230 . . 3 seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) Fn β„•
193 ovex 7444 . . . 4 ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1)))) ∈ V
194193, 183fnmpti 6693 . . 3 (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1))))) Fn β„•
195 eqfnfv 7032 . . 3 ((seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) Fn β„• ∧ (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1))))) Fn β„•) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1))))) ↔ βˆ€π‘ ∈ β„• (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘) = ((π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1)))))β€˜π‘)))
196192, 194, 195mp2an 690 . 2 (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1))))) ↔ βˆ€π‘ ∈ β„• (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))β€˜π‘) = ((π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1)))))β€˜π‘))
197188, 196sylibr 233 1 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘₯ + 1) / (π‘₯ + (𝑀 + 1))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Fn wfn 6538  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   ≀ cle 11251   / cdiv 11873  β„•cn 12214  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  β„+crp 12976  seqcseq 13968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-seq 13969
This theorem is referenced by:  faclimlem2  34783
  Copyright terms: Public domain W3C validator