Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  faclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclim 32077
Description: An infinite product expression relating to factorials. Originally due to Euler. (Contributed by Scott Fenton, 22-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
faclim.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
faclim (𝐴 ∈ ℕ0 → seq1( · , 𝐹) ⇝ (!‘𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem faclim
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 faclim.1 . . 3 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑛))))
2 seqeq3 13013 . . 3 (𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑛)))) → seq1( · , 𝐹) = seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑛))))))
31, 2ax-mp 5 . 2 seq1( · , 𝐹) = seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑛)))))
4 oveq2 6850 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → ((1 + (1 / 𝑛))↑𝑎) = ((1 + (1 / 𝑛))↑0))
5 oveq1 6849 . . . . . . . 8 (𝑎 = 0 → (𝑎 / 𝑛) = (0 / 𝑛))
65oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → (1 + (𝑎 / 𝑛)) = (1 + (0 / 𝑛)))
74, 6oveq12d 6860 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑎) / (1 + (𝑎 / 𝑛))) = (((1 + (1 / 𝑛))↑0) / (1 + (0 / 𝑛))))
87mpteq2dv 4904 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑎) / (1 + (𝑎 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑0) / (1 + (0 / 𝑛)))))
98seqeq3d 13016 . . . 4 (𝑎 = 0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑎) / (1 + (𝑎 / 𝑛))))) = seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑0) / (1 + (0 / 𝑛))))))
10 fveq2 6375 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (!‘𝑎) = (!‘0))
11 fac0 13267 . . . . 5 (!‘0) = 1
1210, 11syl6eq 2815 . . . 4 (𝑎 = 0 → (!‘𝑎) = 1)
139, 12breq12d 4822 . . 3 (𝑎 = 0 → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑎) / (1 + (𝑎 / 𝑛))))) ⇝ (!‘𝑎) ↔ seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑0) / (1 + (0 / 𝑛))))) ⇝ 1))
14 oveq2 6850 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑚 → ((1 + (1 / 𝑛))↑𝑎) = ((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚))
15 oveq1 6849 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑚 → (𝑎 / 𝑛) = (𝑚 / 𝑛))
1615oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑚 → (1 + (𝑎 / 𝑛)) = (1 + (𝑚 / 𝑛)))
1714, 16oveq12d 6860 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑚 → (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑎) / (1 + (𝑎 / 𝑛))) = (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))
1817mpteq2dv 4904 . . . . 5 (𝑎 = 𝑚 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑎) / (1 + (𝑎 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛)))))
1918seqeq3d 13016 . . . 4 (𝑎 = 𝑚 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑎) / (1 + (𝑎 / 𝑛))))) = seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))))
20 fveq2 6375 . . . 4 (𝑎 = 𝑚 → (!‘𝑎) = (!‘𝑚))
2119, 20breq12d 4822 . . 3 (𝑎 = 𝑚 → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑎) / (1 + (𝑎 / 𝑛))))) ⇝ (!‘𝑎) ↔ seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))) ⇝ (!‘𝑚)))
22 oveq2 6850 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑚 + 1) → ((1 + (1 / 𝑛))↑𝑎) = ((1 + (1 / 𝑛))↑(𝑚 + 1)))
23 oveq1 6849 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑚 + 1) → (𝑎 / 𝑛) = ((𝑚 + 1) / 𝑛))
2423oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑚 + 1) → (1 + (𝑎 / 𝑛)) = (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛)))
2522, 24oveq12d 6860 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑚 + 1) → (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑎) / (1 + (𝑎 / 𝑛))) = (((1 + (1 / 𝑛))↑(𝑚 + 1)) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))
2625mpteq2dv 4904 . . . . 5 (𝑎 = (𝑚 + 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑎) / (1 + (𝑎 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑(𝑚 + 1)) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛)))))
2726seqeq3d 13016 . . . 4 (𝑎 = (𝑚 + 1) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑎) / (1 + (𝑎 / 𝑛))))) = seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑(𝑚 + 1)) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))))
28 fveq2 6375 . . . 4 (𝑎 = (𝑚 + 1) → (!‘𝑎) = (!‘(𝑚 + 1)))
2927, 28breq12d 4822 . . 3 (𝑎 = (𝑚 + 1) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑎) / (1 + (𝑎 / 𝑛))))) ⇝ (!‘𝑎) ↔ seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑(𝑚 + 1)) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (!‘(𝑚 + 1))))
30 oveq2 6850 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → ((1 + (1 / 𝑛))↑𝑎) = ((1 + (1 / 𝑛))↑𝐴))
31 oveq1 6849 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 / 𝑛) = (𝐴 / 𝑛))
3231oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (1 + (𝑎 / 𝑛)) = (1 + (𝐴 / 𝑛)))
3330, 32oveq12d 6860 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑎) / (1 + (𝑎 / 𝑛))) = (((1 + (1 / 𝑛))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑛))))
3433mpteq2dv 4904 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑎) / (1 + (𝑎 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑛)))))
3534seqeq3d 13016 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑎) / (1 + (𝑎 / 𝑛))))) = seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑛))))))
36 fveq2 6375 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (!‘𝑎) = (!‘𝐴))
3735, 36breq12d 4822 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑎) / (1 + (𝑎 / 𝑛))))) ⇝ (!‘𝑎) ↔ seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑛))))) ⇝ (!‘𝐴)))
38 1red 10294 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
39 nnrecre 11314 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
4038, 39readdcld 10323 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (1 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
4140recnd 10322 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 + (1 / 𝑛)) ∈ ℂ)
4241exp0d 13209 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((1 + (1 / 𝑛))↑0) = 1)
43 nncn 11283 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
44 nnne0 11310 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
4543, 44div0d 11054 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (0 / 𝑛) = 0)
4645oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 + (0 / 𝑛)) = (1 + 0))
47 1p0e1 11403 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
4846, 47syl6eq 2815 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (1 + (0 / 𝑛)) = 1)
4942, 48oveq12d 6860 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (((1 + (1 / 𝑛))↑0) / (1 + (0 / 𝑛))) = (1 / 1))
50 1div1e1 10971 . . . . . . . 8 (1 / 1) = 1
5149, 50syl6eq 2815 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((1 + (1 / 𝑛))↑0) / (1 + (0 / 𝑛))) = 1)
5251mpteq2ia 4899 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑0) / (1 + (0 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)
53 fconstmpt 5333 . . . . . 6 (ℕ × {1}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)
5452, 53eqtr4i 2790 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑0) / (1 + (0 / 𝑛)))) = (ℕ × {1})
55 seqeq3 13013 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑0) / (1 + (0 / 𝑛)))) = (ℕ × {1}) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑0) / (1 + (0 / 𝑛))))) = seq1( · , (ℕ × {1})))
5654, 55ax-mp 5 . . . 4 seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑0) / (1 + (0 / 𝑛))))) = seq1( · , (ℕ × {1}))
57 nnuz 11923 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
58 1zzd 11655 . . . . . 6 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
5957, 58climprod1 14978 . . . . 5 (⊤ → seq1( · , (ℕ × {1})) ⇝ 1)
6059mptru 1660 . . . 4 seq1( · , (ℕ × {1})) ⇝ 1
6156, 60eqbrtri 4830 . . 3 seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑0) / (1 + (0 / 𝑛))))) ⇝ 1
62 1zzd 11655 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))) ⇝ (!‘𝑚)) → 1 ∈ ℤ)
63 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))) ⇝ (!‘𝑚)) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))) ⇝ (!‘𝑚))
64 seqex 13010 . . . . . . 7 seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑(𝑚 + 1)) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))) ∈ V
6564a1i 11 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))) ⇝ (!‘𝑚)) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑(𝑚 + 1)) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))) ∈ V)
66 faclimlem2 32075 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑚 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (𝑚 + 1))
6766adantr 472 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))) ⇝ (!‘𝑚)) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑚 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (𝑚 + 1))
68 elnnuz 11924 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℕ ↔ 𝑎 ∈ (ℤ‘1))
6968biimpi 207 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ (ℤ‘1))
7069adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ (ℤ‘1))
71 1rp 12032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ+
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
73 nnrp 12041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
7473rpreccld 12080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
7574adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
7672, 75rpaddcld 12085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ+)
77 nn0z 11647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℤ)
7877adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
7976, 78rpexpcld 13239 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) ∈ ℝ+)
80 1cnd 10288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
81 nn0nndivcl 11609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℝ)
8281recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ)
8380, 82addcomd 10492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (1 + (𝑚 / 𝑛)) = ((𝑚 / 𝑛) + 1))
84 nn0ge0div 11693 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑚 / 𝑛))
8581, 84ge0p1rpd 12100 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 / 𝑛) + 1) ∈ ℝ+)
8683, 85eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (1 + (𝑚 / 𝑛)) ∈ ℝ+)
8779, 86rpdivcld 12087 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))) ∈ ℝ+)
8887rpcnd 12072 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))) ∈ ℂ)
8988fmpttd 6575 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛)))):ℕ⟶ℂ)
90 elfznn 12577 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (1...𝑎) → 𝑏 ∈ ℕ)
91 ffvelrn 6547 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛)))):ℕ⟶ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))‘𝑏) ∈ ℂ)
9289, 90, 91syl2an 589 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (1...𝑎)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))‘𝑏) ∈ ℂ)
9392adantlr 706 . . . . . . . 8 (((𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑎)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))‘𝑏) ∈ ℂ)
94 mulcl 10273 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑏 · 𝑥) ∈ ℂ)
9594adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℕ) ∧ (𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑏 · 𝑥) ∈ ℂ)
9670, 93, 95seqcl 13028 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℕ) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛)))))‘𝑎) ∈ ℂ)
9796adantlr 706 . . . . . 6 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))) ⇝ (!‘𝑚)) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛)))))‘𝑎) ∈ ℂ)
9886, 76rpmulcld 12086 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → ((1 + (𝑚 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ+)
99 nn0p1nn 11579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
10099nnrpd 12068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
101 rpdivcl 12054 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 + 1) ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑚 + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
102100, 73, 101syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
10372, 102rpaddcld 12085 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛)) ∈ ℝ+)
10498, 103rpdivcld 12087 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (((1 + (𝑚 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))) ∈ ℝ+)
105104rpcnd 12072 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (((1 + (𝑚 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))) ∈ ℂ)
106105fmpttd 6575 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑚 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛)))):ℕ⟶ℂ)
107 ffvelrn 6547 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑚 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛)))):ℕ⟶ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑚 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))‘𝑏) ∈ ℂ)
108106, 90, 107syl2an 589 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (1...𝑎)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑚 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))‘𝑏) ∈ ℂ)
109108adantlr 706 . . . . . . . 8 (((𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑎)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑚 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))‘𝑏) ∈ ℂ)
11070, 109, 95seqcl 13028 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℕ) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑚 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛)))))‘𝑎) ∈ ℂ)
111110adantlr 706 . . . . . 6 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))) ⇝ (!‘𝑚)) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑚 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛)))))‘𝑎) ∈ ℂ)
112 faclimlem3 32076 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝑏))↑(𝑚 + 1)) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑏))) = ((((1 + (1 / 𝑏))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑏))) · (((1 + (𝑚 / 𝑏)) · (1 + (1 / 𝑏))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑏)))))
113 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑏 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑏))
114113oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑏 → (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / 𝑏)))
115114oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑏 → ((1 + (1 / 𝑛))↑(𝑚 + 1)) = ((1 + (1 / 𝑏))↑(𝑚 + 1)))
116 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑏 → ((𝑚 + 1) / 𝑛) = ((𝑚 + 1) / 𝑏))
117116oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑏 → (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛)) = (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑏)))
118115, 117oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑏 → (((1 + (1 / 𝑛))↑(𝑚 + 1)) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))) = (((1 + (1 / 𝑏))↑(𝑚 + 1)) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑏))))
119 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑(𝑚 + 1)) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑(𝑚 + 1)) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))
120 ovex 6874 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 + (1 / 𝑏))↑(𝑚 + 1)) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑏))) ∈ V
121118, 119, 120fvmpt 6471 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑(𝑚 + 1)) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))‘𝑏) = (((1 + (1 / 𝑏))↑(𝑚 + 1)) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑏))))
122121adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑(𝑚 + 1)) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))‘𝑏) = (((1 + (1 / 𝑏))↑(𝑚 + 1)) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑏))))
123114oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑏 → ((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) = ((1 + (1 / 𝑏))↑𝑚))
124 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑏 → (𝑚 / 𝑛) = (𝑚 / 𝑏))
125124oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑏 → (1 + (𝑚 / 𝑛)) = (1 + (𝑚 / 𝑏)))
126123, 125oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑏 → (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))) = (((1 + (1 / 𝑏))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑏))))
127 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))
128 ovex 6874 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 + (1 / 𝑏))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑏))) ∈ V
129126, 127, 128fvmpt 6471 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))‘𝑏) = (((1 + (1 / 𝑏))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑏))))
130125, 114oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑏 → ((1 + (𝑚 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) = ((1 + (𝑚 / 𝑏)) · (1 + (1 / 𝑏))))
131130, 117oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑏 → (((1 + (𝑚 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))) = (((1 + (𝑚 / 𝑏)) · (1 + (1 / 𝑏))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑏))))
132 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑚 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑚 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))
133 ovex 6874 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 + (𝑚 / 𝑏)) · (1 + (1 / 𝑏))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑏))) ∈ V
134131, 132, 133fvmpt 6471 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑚 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))‘𝑏) = (((1 + (𝑚 / 𝑏)) · (1 + (1 / 𝑏))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑏))))
135129, 134oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))‘𝑏) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑚 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))‘𝑏)) = ((((1 + (1 / 𝑏))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑏))) · (((1 + (𝑚 / 𝑏)) · (1 + (1 / 𝑏))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑏)))))
136135adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))‘𝑏) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑚 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))‘𝑏)) = ((((1 + (1 / 𝑏))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑏))) · (((1 + (𝑚 / 𝑏)) · (1 + (1 / 𝑏))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑏)))))
137112, 122, 1363eqtr4d 2809 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑(𝑚 + 1)) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))‘𝑏) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))‘𝑏) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑚 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))‘𝑏)))
13890, 137sylan2 586 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (1...𝑎)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑(𝑚 + 1)) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))‘𝑏) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))‘𝑏) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑚 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))‘𝑏)))
139138adantlr 706 . . . . . . . 8 (((𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑎)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑(𝑚 + 1)) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))‘𝑏) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))‘𝑏) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑚 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))‘𝑏)))
14070, 93, 109, 139prodfmul 14905 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℕ) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑(𝑚 + 1)) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛)))))‘𝑎) = ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛)))))‘𝑎) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑚 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛)))))‘𝑎)))
141140adantlr 706 . . . . . 6 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))) ⇝ (!‘𝑚)) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑(𝑚 + 1)) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛)))))‘𝑎) = ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛)))))‘𝑎) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑚 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛)))))‘𝑎)))
14257, 62, 63, 65, 67, 97, 111, 141climmul 14648 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))) ⇝ (!‘𝑚)) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑(𝑚 + 1)) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))) ⇝ ((!‘𝑚) · (𝑚 + 1)))
143 facp1 13269 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑚 + 1)) = ((!‘𝑚) · (𝑚 + 1)))
144143adantr 472 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))) ⇝ (!‘𝑚)) → (!‘(𝑚 + 1)) = ((!‘𝑚) · (𝑚 + 1)))
145142, 144breqtrrd 4837 . . . 4 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))) ⇝ (!‘𝑚)) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑(𝑚 + 1)) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (!‘(𝑚 + 1)))
146145ex 401 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ0 → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝑚) / (1 + (𝑚 / 𝑛))))) ⇝ (!‘𝑚) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑(𝑚 + 1)) / (1 + ((𝑚 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (!‘(𝑚 + 1))))
14713, 21, 29, 37, 61, 146nn0ind 11719 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (1 / 𝑛))↑𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑛))))) ⇝ (!‘𝐴))
1483, 147syl5eqbr 4844 1 (𝐴 ∈ ℕ0 → seq1( · , 𝐹) ⇝ (!‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wtru 1653  wcel 2155  Vcvv 3350  {csn 4334   class class class wbr 4809  cmpt 4888   × cxp 5275  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   / cdiv 10938  cn 11274  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886  +crp 12028  ...cfz 12533  seqcseq 13008  cexp 13067  !cfa 13264  cli 14500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-rlim 14505
This theorem is referenced by:  iprodfac  32078
  Copyright terms: Public domain W3C validator