Theorem relgamcl 27005

Description: The log-Gamma function is real for positive real input. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
relgamcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log Γ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relgamcl

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpdmgm 26968	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2		lgamcl 26984	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (log Γ‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log Γ‘𝐴) ∈ ℂ)
4		relogcl 26517	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11178	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
6	3, 5	pncand 11510	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) − (log‘𝐴)) = (log Γ‘𝐴))
7		nnuz 12812	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
8		1zzd 12540	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℤ)
9		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
10	9, 1	lgamcvg 26997	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
11		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
12	11	rpred 12971	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
14	13	peano2nnd 12179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
15	14	nnrpd 12969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
16	13	nnrpd 12969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
17	15, 16	rpdivcld 12988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
18	17	relogcld 26565	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
19	12, 18	remulcld 11180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℝ)
20	11, 16	rpdivcld 12988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑚) ∈ ℝ+)
21		1rp 12931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ+
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
23	20, 22	rpaddcld 12986	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑚) + 1) ∈ ℝ+)
24	23	relogcld 26565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)) ∈ ℝ)
25	19, 24	resubcld 11582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))) ∈ ℝ)
26	25	fmpttd 7069	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)))):ℕ⟶ℝ)
27	26	ffvelcdmda 7038	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))‘𝑛) ∈ ℝ)
28	7, 8, 27	serfre 13972	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))):ℕ⟶ℝ)
29	28	ffvelcdmda 7038	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛) ∈ ℝ)
30	7, 8, 10, 29	climrecl 15525	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
31	30, 4	resubcld 11582	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) − (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
32	6, 31	eqeltrrd 2829	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log Γ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3908   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   − cmin 11381   / cdiv 11811  ℕcn 12162  ℤcz 12505  ℝ⁺crp 12927  seqcseq 13942  logclog 26496  log Γclgam 26959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-ef 16009  df-sin 16011  df-cos 16012  df-tan 16013  df-pi 16014  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-mulg 18982  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22866  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-cmp 23307  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-cncf 24804  df-limc 25800  df-dv 25801  df-ulm 26319  df-log 26498  df-cxp 26499  df-lgam 26962

This theorem is referenced by:  rpgamcl  27006