Theorem relgamcl 27044

Description: The log-Gamma function is real for positive real input. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
relgamcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log Γ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relgamcl

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpdmgm 27007	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2		lgamcl 27023	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (log Γ‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log Γ‘𝐴) ∈ ℂ)
4		relogcl 26558	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11165	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
6	3, 5	pncand 11498	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) − (log‘𝐴)) = (log Γ‘𝐴))
7		nnuz 12819	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
8		1zzd 12550	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℤ)
9		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
10	9, 1	lgamcvg 27036	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
11		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
12	11	rpred 12978	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
14	13	peano2nnd 12183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
15	14	nnrpd 12976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
16	13	nnrpd 12976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
17	15, 16	rpdivcld 12995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
18	17	relogcld 26606	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
19	12, 18	remulcld 11167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℝ)
20	11, 16	rpdivcld 12995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑚) ∈ ℝ+)
21		1rp 12938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ+
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
23	20, 22	rpaddcld 12993	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑚) + 1) ∈ ℝ+)
24	23	relogcld 26606	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)) ∈ ℝ)
25	19, 24	resubcld 11570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))) ∈ ℝ)
26	25	fmpttd 7057	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)))):ℕ⟶ℝ)
27	26	ffvelcdmda 7026	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))‘𝑛) ∈ ℝ)
28	7, 8, 27	serfre 13985	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))):ℕ⟶ℝ)
29	28	ffvelcdmda 7026	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛) ∈ ℝ)
30	7, 8, 10, 29	climrecl 15537	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
31	30, 4	resubcld 11570	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) − (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
32	6, 31	eqeltrrd 2840	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log Γ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ∖ cdif 3880   ↦ cmpt 5154  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ℂcc 11028  ℝcr 11029  1c1 11031   + caddc 11033   · cmul 11035   − cmin 11369   / cdiv 11799  ℕcn 12166  ℤcz 12516  ℝ⁺crp 12934  seqcseq 13955  logclog 26537  log Γclgam 26998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7621  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-q 12891  df-rp 12935  df-xneg 13055  df-xadd 13056  df-xmul 13057  df-ioo 13294  df-ioc 13295  df-ico 13296  df-icc 13297  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-fl 13743  df-mod 13821  df-seq 13956  df-exp 14016  df-fac 14228  df-bc 14257  df-hash 14285  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15425  df-clim 15442  df-rlim 15443  df-sum 15641  df-ef 16024  df-sin 16026  df-cos 16027  df-tan 16028  df-pi 16029  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-starv 17227  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-ip 17230  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ds 17234  df-unif 17235  df-hom 17236  df-cco 17237  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17458  df-qtop 17463  df-imas 17464  df-xps 17466  df-mre 17540  df-mrc 17541  df-acs 17543  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18744  df-mulg 19036  df-cntz 19284  df-cmn 19749  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-fbas 21345  df-fg 21346  df-cnfld 21349  df-top 22878  df-topon 22895  df-topsp 22917  df-bases 22930  df-cld 23003  df-ntr 23004  df-cls 23005  df-nei 23082  df-lp 23120  df-perf 23121  df-cn 23211  df-cnp 23212  df-haus 23299  df-cmp 23371  df-tx 23546  df-hmeo 23739  df-fil 23830  df-fm 23922  df-flim 23923  df-flf 23924  df-xms 24304  df-ms 24305  df-tms 24306  df-cncf 24864  df-limc 25852  df-dv 25853  df-ulm 26361  df-log 26539  df-cxp 26540  df-lgam 27001

This theorem is referenced by:  rpgamcl  27045