MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlema 27549
Description: Lemma for pnt 27567. Closure for the constants used in the proof. The mammoth expression ๐‘Š is a number large enough to satisfy all the lower bounds needed for ๐‘. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, ๐‘Œ is x2, ๐‘‹ is x1, ๐ถ is the big-O constant in Equation 10.6.29 of [Shapiro], p. 435, and ๐‘Š is the unnamed lower bound of "for sufficiently large x" in Equation 10.6.34 of [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
pntlem1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
pntlem1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
pntlem1.l (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
pntlem1.d ๐ท = (๐ด + 1)
pntlem1.f ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
pntlem1.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
pntlem1.u2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
pntlem1.e ๐ธ = (๐‘ˆ / ๐ท)
pntlem1.k ๐พ = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ))
pntlem1.y (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
pntlem1.x (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹))
pntlem1.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
pntlem1.w ๐‘Š = (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))))
Assertion
Ref Expression
pntlema (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„+)
Distinct variable group:   ๐ธ,๐‘Ž
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘Ž)   ๐ด(๐‘Ž)   ๐ต(๐‘Ž)   ๐ถ(๐‘Ž)   ๐ท(๐‘Ž)   ๐‘…(๐‘Ž)   ๐‘ˆ(๐‘Ž)   ๐น(๐‘Ž)   ๐พ(๐‘Ž)   ๐ฟ(๐‘Ž)   ๐‘Š(๐‘Ž)   ๐‘‹(๐‘Ž)   ๐‘Œ(๐‘Ž)

Proof of Theorem pntlema
StepHypRef Expression
1 pntlem1.w . 2 ๐‘Š = (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))))
2 pntlem1.y . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
32simpld 493 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„+)
4 4nn 12333 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„•
5 nnrp 13025 . . . . . . 7 (4 โˆˆ โ„• โ†’ 4 โˆˆ โ„+)
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„+
7 pntlem1.r . . . . . . . . 9 ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
8 pntlem1.a . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
9 pntlem1.b . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
10 pntlem1.l . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
11 pntlem1.d . . . . . . . . 9 ๐ท = (๐ด + 1)
12 pntlem1.f . . . . . . . . 9 ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
137, 8, 9, 10, 11, 12pntlemd 27547 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง ๐น โˆˆ โ„+))
1413simp1d 1139 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„+)
15 pntlem1.u . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
16 pntlem1.u2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
17 pntlem1.e . . . . . . . . 9 ๐ธ = (๐‘ˆ / ๐ท)
18 pntlem1.k . . . . . . . . 9 ๐พ = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ))
197, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 18pntlemc 27548 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ โˆˆ โ„+ โˆง ๐พ โˆˆ โ„+ โˆง (๐ธ โˆˆ (0(,)1) โˆง 1 < ๐พ โˆง (๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„+)))
2019simp1d 1139 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
2114, 20rpmulcld 13072 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ ยท ๐ธ) โˆˆ โ„+)
22 rpdivcl 13039 . . . . . 6 ((4 โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ ยท ๐ธ) โˆˆ โ„+) โ†’ (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)) โˆˆ โ„+)
236, 21, 22sylancr 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)) โˆˆ โ„+)
243, 23rpaddcld 13071 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ))) โˆˆ โ„+)
25 2z 12632 . . . 4 2 โˆˆ โ„ค
26 rpexpcl 14085 . . . 4 (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ))) โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) โˆˆ โ„+)
2724, 25, 26sylancl 584 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) โˆˆ โ„+)
28 pntlem1.x . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹))
2928simpld 493 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„+)
3019simp2d 1140 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„+)
31 rpexpcl 14085 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„+)
3230, 25, 31sylancl 584 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„+)
3329, 32rpmulcld 13072 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„+)
34 4z 12634 . . . . 5 4 โˆˆ โ„ค
35 rpexpcl 14085 . . . . 5 (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„+ โˆง 4 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) โˆˆ โ„+)
3633, 34, 35sylancl 584 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) โˆˆ โ„+)
37 3nn0 12528 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„•0
38 2nn 12323 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•
3937, 38decnncl 12735 . . . . . . . . . 10 32 โˆˆ โ„•
40 nnrp 13025 . . . . . . . . . 10 (32 โˆˆ โ„• โ†’ 32 โˆˆ โ„+)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . 9 32 โˆˆ โ„+
42 rpmulcl 13037 . . . . . . . . 9 ((32 โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (32 ยท ๐ต) โˆˆ โ„+)
4341, 9, 42sylancr 585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (32 ยท ๐ต) โˆˆ โ„+)
4419simp3d 1141 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ โˆˆ (0(,)1) โˆง 1 < ๐พ โˆง (๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„+))
4544simp3d 1141 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„+)
46 rpexpcl 14085 . . . . . . . . . . 11 ((๐ธ โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„+)
4720, 25, 46sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„+)
4814, 47rpmulcld 13072 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)) โˆˆ โ„+)
4945, 48rpmulcld 13072 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2))) โˆˆ โ„+)
5043, 49rpdivcld 13073 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) โˆˆ โ„+)
51 3rp 13020 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„+
52 rpmulcl 13037 . . . . . . . . 9 ((๐‘ˆ โˆˆ โ„+ โˆง 3 โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ˆ ยท 3) โˆˆ โ„+)
5315, 51, 52sylancl 584 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ ยท 3) โˆˆ โ„+)
54 pntlem1.c . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
5553, 54rpaddcld 13071 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) โˆˆ โ„+)
5650, 55rpmulcld 13072 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)) โˆˆ โ„+)
5756rpred 13056 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)) โˆˆ โ„)
5857rpefcld 16089 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ))) โˆˆ โ„+)
5936, 58rpaddcld 13071 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))) โˆˆ โ„+)
6027, 59rpaddcld 13071 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ))))) โˆˆ โ„+)
611, 60eqeltrid 2833 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5152   โ†ฆ cmpt 5235  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151   < clt 11286   โ‰ค cle 11287   โˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  โ„•cn 12250  2c2 12305  3c3 12306  4c4 12307  โ„คcz 12596  cdc 12715  โ„+crp 13014  (,)cioo 13364  โ†‘cexp 14066  expce 16045  ฯˆcchp 27045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051
This theorem is referenced by:  pntlemb  27550  pntleme  27561
  Copyright terms: Public domain W3C validator