Theorem pntlema 27584

Description: Lemma for pnt 27602. Closure for the constants used in the proof. The mammoth expression 𝑊 is a number large enough to satisfy all the lower bounds needed for 𝑍. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝑌 is x₂, 𝑋 is x₁, 𝐶 is the big-O constant in Equation 10.6.29 of [Shapiro], p. 435, and 𝑊 is the unnamed lower bound of "for sufficiently large x" in Equation 10.6.34 of [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w	⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))

Assertion

Ref	Expression
pntlema	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ+)

Distinct variable group:   𝐸,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntlema

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.w	. 2 ⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
2		pntlem1.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
3	2	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
4		4nn 12262	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ
5		nnrp 12952	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ+
7		pntlem1.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
8		pntlem1.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
9		pntlem1.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
10		pntlem1.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
11		pntlem1.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
12		pntlem1.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	pntlemd 27582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐹 ∈ ℝ+))
14	13	simp1d 1148	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ+)
15		pntlem1.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
16		pntlem1.u2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
17		pntlem1.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
18		pntlem1.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
19	7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 18	pntlemc 27583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)))
20	19	simp1d 1148	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
21	14, 20	rpmulcld 13000	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+)
22		rpdivcl 12967	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
23	6, 21, 22	sylancr 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
24	3, 23	rpaddcld 12999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+)
25		2z 12557	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
26		rpexpcl 14040	. . . 4 ⊢ (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
27	24, 25, 26	sylancl 592	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
28		pntlem1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
29	28	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
30	19	simp2d 1149	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
31		rpexpcl 14040	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
32	30, 25, 31	sylancl 592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
33	29, 32	rpmulcld 13000	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+)
34		4z 12559	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
35		rpexpcl 14040	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
36	33, 34, 35	sylancl 592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
37		3nn0 12453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
38		2nn 12252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	37, 38	decnncl 12662	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;32 ∈ ℕ
40		nnrp 12952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;32 ∈ ℕ → ;32 ∈ ℝ+)
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ;32 ∈ ℝ+
42		rpmulcl 12965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;32 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (;32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
43	41, 9, 42	sylancr 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
44	19	simp3d 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+))
45	44	simp3d 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)
46		rpexpcl 14040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
47	20, 25, 46	sylancl 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
48	14, 47	rpmulcld 13000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · (𝐸↑2)) ∈ ℝ+)
49	45, 48	rpmulcld 13000	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℝ+)
50	43, 49	rpdivcld 13001	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) ∈ ℝ+)
51		3rp 12946	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ+
52		rpmulcl 12965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
53	15, 51, 52	sylancl 592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
54		pntlem1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
55	53, 54	rpaddcld 12999	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℝ+)
56	50, 55	rpmulcld 13000	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ+)
57	56	rpred 12984	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ)
58	57	rpefcld 16070	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) ∈ ℝ+)
59	36, 58	rpaddcld 12999	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) ∈ ℝ+)
60	27, 59	rpaddcld 12999	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))))) ∈ ℝ+)
61	1, 60	eqeltrid 2844	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375   / cdiv 11805  ℕcn 12172  2c2 12234  3c3 12235  4c4 12236  ℤcz 12522  ;cdc 12642  ℝ⁺crp 12940  (,)cioo 13296  ↑cexp 14021  expce 16024  ψcchp 27081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-rp 12941  df-ioo 13300  df-ico 13302  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15027  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-ef 16030

This theorem is referenced by:  pntlemb  27585  pntleme  27596