Theorem pntlema 27479

Description: Lemma for pnt 27497. Closure for the constants used in the proof. The mammoth expression 𝑊 is a number large enough to satisfy all the lower bounds needed for 𝑍. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝑌 is x₂, 𝑋 is x₁, 𝐶 is the big-O constant in Equation 10.6.29 of [Shapiro], p. 435, and 𝑊 is the unnamed lower bound of "for sufficiently large x" in Equation 10.6.34 of [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w	⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))

Assertion

Ref	Expression
pntlema	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ+)

Distinct variable group:   𝐸,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntlema

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.w	. 2 ⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
2		pntlem1.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
3	2	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
4		4nn 12296	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ
5		nnrp 12988	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ+
7		pntlem1.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
8		pntlem1.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
9		pntlem1.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
10		pntlem1.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
11		pntlem1.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
12		pntlem1.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	pntlemd 27477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐹 ∈ ℝ+))
14	13	simp1d 1139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ+)
15		pntlem1.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
16		pntlem1.u2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
17		pntlem1.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
18		pntlem1.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
19	7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 18	pntlemc 27478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)))
20	19	simp1d 1139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
21	14, 20	rpmulcld 13035	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+)
22		rpdivcl 13002	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
23	6, 21, 22	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
24	3, 23	rpaddcld 13034	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+)
25		2z 12595	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
26		rpexpcl 14048	. . . 4 ⊢ (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
27	24, 25, 26	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
28		pntlem1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
29	28	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
30	19	simp2d 1140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
31		rpexpcl 14048	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
32	30, 25, 31	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
33	29, 32	rpmulcld 13035	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+)
34		4z 12597	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
35		rpexpcl 14048	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
36	33, 34, 35	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
37		3nn0 12491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
38		2nn 12286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	37, 38	decnncl 12698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;32 ∈ ℕ
40		nnrp 12988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;32 ∈ ℕ → ;32 ∈ ℝ+)
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ;32 ∈ ℝ+
42		rpmulcl 13000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;32 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (;32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
43	41, 9, 42	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
44	19	simp3d 1141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+))
45	44	simp3d 1141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)
46		rpexpcl 14048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
47	20, 25, 46	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
48	14, 47	rpmulcld 13035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · (𝐸↑2)) ∈ ℝ+)
49	45, 48	rpmulcld 13035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℝ+)
50	43, 49	rpdivcld 13036	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) ∈ ℝ+)
51		3rp 12983	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ+
52		rpmulcl 13000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
53	15, 51, 52	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
54		pntlem1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
55	53, 54	rpaddcld 13034	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℝ+)
56	50, 55	rpmulcld 13035	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ+)
57	56	rpred 13019	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ)
58	57	rpefcld 16052	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) ∈ ℝ+)
59	36, 58	rpaddcld 13034	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) ∈ ℝ+)
60	27, 59	rpaddcld 13034	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))))) ∈ ℝ+)
61	1, 60	eqeltrid 2831	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114   < clt 11249   ≤ cle 11250   − cmin 11445   / cdiv 11872  ℕcn 12213  2c2 12268  3c3 12269  4c4 12270  ℤcz 12559  ;cdc 12678  ℝ⁺crp 12977  (,)cioo 13327  ↑cexp 14029  expce 16008  ψcchp 26975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15017  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-ef 16014

This theorem is referenced by:  pntlemb  27480  pntleme  27491