Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlema 25737
 Description: Lemma for pnt 25755. Closure for the constants used in the proof. The mammoth expression 𝑊 is a number large enough to satisfy all the lower bounds needed for 𝑍. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝑌 is x2, 𝑋 is x1, 𝐶 is the big-O constant in Equation 10.6.29 of [Shapiro], p. 435, and 𝑊 is the unnamed lower bound of "for sufficiently large x" in Equation 10.6.34 of [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
Assertion
Ref Expression
pntlema (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
Distinct variable group:   𝐸,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntlema
StepHypRef Expression
1 pntlem1.w . 2 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
2 pntlem1.y . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
32simpld 490 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
4 4nn 11459 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ
5 nnrp 12150 . . . . . . 7 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 4 ∈ ℝ+
7 pntlem1.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
8 pntlem1.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
9 pntlem1.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
10 pntlem1.l . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
11 pntlem1.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝐴 + 1)
12 pntlem1.f . . . . . . . . 9 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
137, 8, 9, 10, 11, 12pntlemd 25735 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
1413simp1d 1133 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
15 pntlem1.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
16 pntlem1.u2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝐴)
17 pntlem1.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
18 pntlem1.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
197, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 18pntlemc 25736 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
2019simp1d 1133 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
2114, 20rpmulcld 12197 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+)
22 rpdivcl 12164 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
236, 21, 22sylancr 581 . . . . 5 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
243, 23rpaddcld 12196 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+)
25 2z 11761 . . . 4 2 ∈ ℤ
26 rpexpcl 13197 . . . 4 (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
2724, 25, 26sylancl 580 . . 3 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
28 pntlem1.x . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
2928simpld 490 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
3019simp2d 1134 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
31 rpexpcl 13197 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
3230, 25, 31sylancl 580 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
3329, 32rpmulcld 12197 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+)
34 4z 11763 . . . . 5 4 ∈ ℤ
35 rpexpcl 13197 . . . . 5 (((𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
3633, 34, 35sylancl 580 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
37 3nn0 11662 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
38 2nn 11448 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
3937, 38decnncl 11866 . . . . . . . . . 10 32 ∈ ℕ
40 nnrp 12150 . . . . . . . . . 10 (32 ∈ ℕ → 32 ∈ ℝ+)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . 9 32 ∈ ℝ+
42 rpmulcl 12162 . . . . . . . . 9 ((32 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4341, 9, 42sylancr 581 . . . . . . . 8 (𝜑 → (32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4419simp3d 1135 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
4544simp3d 1135 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)
46 rpexpcl 13197 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
4720, 25, 46sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
4814, 47rpmulcld 12197 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿 · (𝐸↑2)) ∈ ℝ+)
4945, 48rpmulcld 12197 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℝ+)
5043, 49rpdivcld 12198 . . . . . . 7 (𝜑 → ((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) ∈ ℝ+)
51 3nn 11454 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ
52 nnrp 12150 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ+
54 rpmulcl 12162 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
5515, 53, 54sylancl 580 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
56 pntlem1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
5755, 56rpaddcld 12196 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℝ+)
5850, 57rpmulcld 12197 . . . . . 6 (𝜑 → (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ+)
5958rpred 12181 . . . . 5 (𝜑 → (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ)
6059rpefcld 15237 . . . 4 (𝜑 → (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) ∈ ℝ+)
6136, 60rpaddcld 12196 . . 3 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) ∈ ℝ+)
6227, 61rpaddcld 12196 . 2 (𝜑 → (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))))) ∈ ℝ+)
631, 62syl5eqel 2862 1 (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   class class class wbr 4886   ↦ cmpt 4965  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277   < clt 10411   ≤ cle 10412   − cmin 10606   / cdiv 11032  ℕcn 11374  2c2 11430  3c3 11431  4c4 11432  ℤcz 11728  ;cdc 11845  ℝ+crp 12137  (,)cioo 12487  ↑cexp 13178  expce 15194  ψcchp 25271 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-rp 12138  df-ioo 12491  df-ico 12493  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-ef 15200 This theorem is referenced by:  pntlemb  25738  pntleme  25749
 Copyright terms: Public domain W3C validator