Theorem pntlema 27980

Description: Lemma for pnt 27998. Closure for the constants used in the proof. The mammoth expression 𝑊 is a number large enough to satisfy all the lower bounds needed for 𝑍. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝑌 is x₂, 𝑋 is x₁, 𝐶 is the big-O constant in Equation 10.6.29 of [Shapiro], p. 435, and 𝑊 is the unnamed lower bound of "for sufficiently large x" in Equation 10.6.34 of [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w	⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))

Assertion

Ref	Expression
pntlema	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ+)

Distinct variable group:   𝐸,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntlema

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.w	. 2 ⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
2		pntlem1.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
3	2	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
4		4nn 12466	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ
5		nnrp 13172	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ+
7		pntlem1.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
8		pntlem1.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
9		pntlem1.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
10		pntlem1.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
11		pntlem1.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
12		pntlem1.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	pntlemd 27978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐹 ∈ ℝ+))
14	13	simp1d 1160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ+)
15		pntlem1.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
16		pntlem1.u2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
17		pntlem1.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
18		pntlem1.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
19	7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 18	pntlemc 27979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)))
20	19	simp1d 1160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
21	14, 20	rpmulcld 13220	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+)
22		rpdivcl 13187	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
23	6, 21, 22	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
24	3, 23	rpaddcld 13219	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+)
25		2z 12768	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
26		rpexpcl 14263	. . . 4 ⊢ (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
27	24, 25, 26	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
28		pntlem1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
29	28	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
30	19	simp2d 1161	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
31		rpexpcl 14263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
32	30, 25, 31	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
33	29, 32	rpmulcld 13220	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+)
34		4z 12770	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
35		rpexpcl 14263	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
36	33, 34, 35	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
37		3nn0 12664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
38		2nn 12456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	37, 38	decnncl 12878	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;32 ∈ ℕ
40		nnrp 13172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;32 ∈ ℕ → ;32 ∈ ℝ+)
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ;32 ∈ ℝ+
42		rpmulcl 13185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;32 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (;32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
43	41, 9, 42	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
44	19	simp3d 1162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+))
45	44	simp3d 1162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)
46		rpexpcl 14263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
47	20, 25, 46	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
48	14, 47	rpmulcld 13220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · (𝐸↑2)) ∈ ℝ+)
49	45, 48	rpmulcld 13220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℝ+)
50	43, 49	rpdivcld 13221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) ∈ ℝ+)
51		3rp 13166	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ+
52		rpmulcl 13185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
53	15, 51, 52	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
54		pntlem1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
55	53, 54	rpaddcld 13219	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℝ+)
56	50, 55	rpmulcld 13220	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ+)
57	56	rpred 13204	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ)
58	57	rpefcld 16317	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) ∈ ℝ+)
59	36, 58	rpaddcld 13219	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) ∈ ℝ+)
60	27, 59	rpaddcld 13219	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))))) ∈ ℝ+)
61	1, 60	eqeltrid 2868	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580   / cdiv 12013  ℕcn 12375  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  ℤcz 12733  ;cdc 12854  ℝ⁺crp 13160  (,)cioo 13516  ↑cexp 14244  expce 16271  ψcchp 27477

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-ioo 13520  df-ico 13522  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277

This theorem is used by:  pntlemb  27981  pntleme  27992