Theorem pntlema 26180

Description: Lemma for pnt 26198. Closure for the constants used in the proof. The mammoth expression 𝑊 is a number large enough to satisfy all the lower bounds needed for 𝑍. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝑌 is x₂, 𝑋 is x₁, 𝐶 is the big-O constant in Equation 10.6.29 of [Shapiro], p. 435, and 𝑊 is the unnamed lower bound of "for sufficiently large x" in Equation 10.6.34 of [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w	⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))

Assertion

Ref	Expression
pntlema	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ+)

Distinct variable group:   𝐸,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntlema

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.w	. 2 ⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
2		pntlem1.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
3	2	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
4		4nn 11708	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ
5		nnrp 12388	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ+
7		pntlem1.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
8		pntlem1.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
9		pntlem1.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
10		pntlem1.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
11		pntlem1.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
12		pntlem1.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	pntlemd 26178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐹 ∈ ℝ+))
14	13	simp1d 1139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ+)
15		pntlem1.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
16		pntlem1.u2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
17		pntlem1.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
18		pntlem1.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
19	7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 18	pntlemc 26179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)))
20	19	simp1d 1139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
21	14, 20	rpmulcld 12435	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+)
22		rpdivcl 12402	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
23	6, 21, 22	sylancr 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
24	3, 23	rpaddcld 12434	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+)
25		2z 12002	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
26		rpexpcl 13444	. . . 4 ⊢ (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
27	24, 25, 26	sylancl 589	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
28		pntlem1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
29	28	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
30	19	simp2d 1140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
31		rpexpcl 13444	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
32	30, 25, 31	sylancl 589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
33	29, 32	rpmulcld 12435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+)
34		4z 12004	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
35		rpexpcl 13444	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
36	33, 34, 35	sylancl 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
37		3nn0 11903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
38		2nn 11698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	37, 38	decnncl 12106	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;32 ∈ ℕ
40		nnrp 12388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;32 ∈ ℕ → ;32 ∈ ℝ+)
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ;32 ∈ ℝ+
42		rpmulcl 12400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;32 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (;32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
43	41, 9, 42	sylancr 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
44	19	simp3d 1141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+))
45	44	simp3d 1141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)
46		rpexpcl 13444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
47	20, 25, 46	sylancl 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
48	14, 47	rpmulcld 12435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · (𝐸↑2)) ∈ ℝ+)
49	45, 48	rpmulcld 12435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℝ+)
50	43, 49	rpdivcld 12436	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) ∈ ℝ+)
51		3rp 12383	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ+
52		rpmulcl 12400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
53	15, 51, 52	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
54		pntlem1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
55	53, 54	rpaddcld 12434	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℝ+)
56	50, 55	rpmulcld 12435	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ+)
57	56	rpred 12419	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ)
58	57	rpefcld 15450	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) ∈ ℝ+)
59	36, 58	rpaddcld 12434	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) ∈ ℝ+)
60	27, 59	rpaddcld 12434	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))))) ∈ ℝ+)
61	1, 60	eqeltrid 2894	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859   / cdiv 11286  ℕcn 11625  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  ℤcz 11969  ;cdc 12086  ℝ⁺crp 12377  (,)cioo 12726  ↑cexp 13425  expce 15407  ψcchp 25678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413

This theorem is referenced by:  pntlemb  26181  pntleme  26192