MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlema 26960
Description: Lemma for pnt 26978. Closure for the constants used in the proof. The mammoth expression ๐‘Š is a number large enough to satisfy all the lower bounds needed for ๐‘. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, ๐‘Œ is x2, ๐‘‹ is x1, ๐ถ is the big-O constant in Equation 10.6.29 of [Shapiro], p. 435, and ๐‘Š is the unnamed lower bound of "for sufficiently large x" in Equation 10.6.34 of [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
pntlem1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
pntlem1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
pntlem1.l (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
pntlem1.d ๐ท = (๐ด + 1)
pntlem1.f ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
pntlem1.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
pntlem1.u2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
pntlem1.e ๐ธ = (๐‘ˆ / ๐ท)
pntlem1.k ๐พ = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ))
pntlem1.y (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
pntlem1.x (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹))
pntlem1.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
pntlem1.w ๐‘Š = (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))))
Assertion
Ref Expression
pntlema (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„+)
Distinct variable group:   ๐ธ,๐‘Ž
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘Ž)   ๐ด(๐‘Ž)   ๐ต(๐‘Ž)   ๐ถ(๐‘Ž)   ๐ท(๐‘Ž)   ๐‘…(๐‘Ž)   ๐‘ˆ(๐‘Ž)   ๐น(๐‘Ž)   ๐พ(๐‘Ž)   ๐ฟ(๐‘Ž)   ๐‘Š(๐‘Ž)   ๐‘‹(๐‘Ž)   ๐‘Œ(๐‘Ž)

Proof of Theorem pntlema
StepHypRef Expression
1 pntlem1.w . 2 ๐‘Š = (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))))
2 pntlem1.y . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
32simpld 496 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„+)
4 4nn 12243 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„•
5 nnrp 12933 . . . . . . 7 (4 โˆˆ โ„• โ†’ 4 โˆˆ โ„+)
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„+
7 pntlem1.r . . . . . . . . 9 ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
8 pntlem1.a . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
9 pntlem1.b . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
10 pntlem1.l . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
11 pntlem1.d . . . . . . . . 9 ๐ท = (๐ด + 1)
12 pntlem1.f . . . . . . . . 9 ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
137, 8, 9, 10, 11, 12pntlemd 26958 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง ๐น โˆˆ โ„+))
1413simp1d 1143 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„+)
15 pntlem1.u . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
16 pntlem1.u2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
17 pntlem1.e . . . . . . . . 9 ๐ธ = (๐‘ˆ / ๐ท)
18 pntlem1.k . . . . . . . . 9 ๐พ = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ))
197, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 18pntlemc 26959 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ โˆˆ โ„+ โˆง ๐พ โˆˆ โ„+ โˆง (๐ธ โˆˆ (0(,)1) โˆง 1 < ๐พ โˆง (๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„+)))
2019simp1d 1143 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
2114, 20rpmulcld 12980 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ ยท ๐ธ) โˆˆ โ„+)
22 rpdivcl 12947 . . . . . 6 ((4 โˆˆ โ„+ โˆง (๐ฟ ยท ๐ธ) โˆˆ โ„+) โ†’ (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)) โˆˆ โ„+)
236, 21, 22sylancr 588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)) โˆˆ โ„+)
243, 23rpaddcld 12979 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ))) โˆˆ โ„+)
25 2z 12542 . . . 4 2 โˆˆ โ„ค
26 rpexpcl 13993 . . . 4 (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ))) โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) โˆˆ โ„+)
2724, 25, 26sylancl 587 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) โˆˆ โ„+)
28 pntlem1.x . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹))
2928simpld 496 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„+)
3019simp2d 1144 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„+)
31 rpexpcl 13993 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„+)
3230, 25, 31sylancl 587 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„+)
3329, 32rpmulcld 12980 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„+)
34 4z 12544 . . . . 5 4 โˆˆ โ„ค
35 rpexpcl 13993 . . . . 5 (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„+ โˆง 4 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) โˆˆ โ„+)
3633, 34, 35sylancl 587 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) โˆˆ โ„+)
37 3nn0 12438 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„•0
38 2nn 12233 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•
3937, 38decnncl 12645 . . . . . . . . . 10 32 โˆˆ โ„•
40 nnrp 12933 . . . . . . . . . 10 (32 โˆˆ โ„• โ†’ 32 โˆˆ โ„+)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . 9 32 โˆˆ โ„+
42 rpmulcl 12945 . . . . . . . . 9 ((32 โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (32 ยท ๐ต) โˆˆ โ„+)
4341, 9, 42sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (32 ยท ๐ต) โˆˆ โ„+)
4419simp3d 1145 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ โˆˆ (0(,)1) โˆง 1 < ๐พ โˆง (๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„+))
4544simp3d 1145 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„+)
46 rpexpcl 13993 . . . . . . . . . . 11 ((๐ธ โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„+)
4720, 25, 46sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„+)
4814, 47rpmulcld 12980 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)) โˆˆ โ„+)
4945, 48rpmulcld 12980 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2))) โˆˆ โ„+)
5043, 49rpdivcld 12981 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) โˆˆ โ„+)
51 3rp 12928 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„+
52 rpmulcl 12945 . . . . . . . . 9 ((๐‘ˆ โˆˆ โ„+ โˆง 3 โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ˆ ยท 3) โˆˆ โ„+)
5315, 51, 52sylancl 587 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ ยท 3) โˆˆ โ„+)
54 pntlem1.c . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
5553, 54rpaddcld 12979 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) โˆˆ โ„+)
5650, 55rpmulcld 12980 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)) โˆˆ โ„+)
5756rpred 12964 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)) โˆˆ โ„)
5857rpefcld 15994 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ))) โˆˆ โ„+)
5936, 58rpaddcld 12979 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))) โˆˆ โ„+)
6027, 59rpaddcld 12979 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ))))) โˆˆ โ„+)
611, 60eqeltrid 2842 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  โ„คcz 12506  cdc 12625  โ„+crp 12922  (,)cioo 13271  โ†‘cexp 13974  expce 15951  ฯˆcchp 26458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957
This theorem is referenced by:  pntlemb  26961  pntleme  26972
  Copyright terms: Public domain W3C validator