Theorem pntlema 27514

Description: Lemma for pnt 27532. Closure for the constants used in the proof. The mammoth expression 𝑊 is a number large enough to satisfy all the lower bounds needed for 𝑍. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝑌 is x₂, 𝑋 is x₁, 𝐶 is the big-O constant in Equation 10.6.29 of [Shapiro], p. 435, and 𝑊 is the unnamed lower bound of "for sufficiently large x" in Equation 10.6.34 of [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w	⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))

Assertion

Ref	Expression
pntlema	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ+)

Distinct variable group:   𝐸,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntlema

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.w	. 2 ⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
2		pntlem1.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
3	2	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
4		4nn 12276	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ
5		nnrp 12970	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ+
7		pntlem1.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
8		pntlem1.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
9		pntlem1.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
10		pntlem1.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
11		pntlem1.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
12		pntlem1.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	pntlemd 27512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐹 ∈ ℝ+))
14	13	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ+)
15		pntlem1.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
16		pntlem1.u2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
17		pntlem1.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
18		pntlem1.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
19	7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 18	pntlemc 27513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)))
20	19	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
21	14, 20	rpmulcld 13018	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+)
22		rpdivcl 12985	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
23	6, 21, 22	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
24	3, 23	rpaddcld 13017	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+)
25		2z 12572	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
26		rpexpcl 14052	. . . 4 ⊢ (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
27	24, 25, 26	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
28		pntlem1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
29	28	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
30	19	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
31		rpexpcl 14052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
32	30, 25, 31	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
33	29, 32	rpmulcld 13018	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+)
34		4z 12574	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
35		rpexpcl 14052	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
36	33, 34, 35	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
37		3nn0 12467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
38		2nn 12266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	37, 38	decnncl 12676	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;32 ∈ ℕ
40		nnrp 12970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;32 ∈ ℕ → ;32 ∈ ℝ+)
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ;32 ∈ ℝ+
42		rpmulcl 12983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;32 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (;32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
43	41, 9, 42	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
44	19	simp3d 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+))
45	44	simp3d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)
46		rpexpcl 14052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
47	20, 25, 46	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
48	14, 47	rpmulcld 13018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · (𝐸↑2)) ∈ ℝ+)
49	45, 48	rpmulcld 13018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℝ+)
50	43, 49	rpdivcld 13019	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) ∈ ℝ+)
51		3rp 12964	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ+
52		rpmulcl 12983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
53	15, 51, 52	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
54		pntlem1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
55	53, 54	rpaddcld 13017	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℝ+)
56	50, 55	rpmulcld 13018	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ+)
57	56	rpred 13002	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ)
58	57	rpefcld 16080	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) ∈ ℝ+)
59	36, 58	rpaddcld 13017	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) ∈ ℝ+)
60	27, 59	rpaddcld 13017	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))))) ∈ ℝ+)
61	1, 60	eqeltrid 2833	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  ℤcz 12536  ;cdc 12656  ℝ⁺crp 12958  (,)cioo 13313  ↑cexp 14033  expce 16034  ψcchp 27010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040

This theorem is referenced by:  pntlemb  27515  pntleme  27526