Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rr-groth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rr-groth 44295
Description: An equivalent of ax-groth 10861 using only simple defined symbols. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
rr-groth 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∀𝑓𝑤𝑦 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝑦 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑓,𝑖   𝑦,𝑢,𝑧,𝑤,𝑓,𝑖

Proof of Theorem rr-groth
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑞 𝑝 𝑙 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gruex 44294 . 2 𝑦 ∈ Univ 𝑥𝑦
2 df-rex 3069 . . 3 (∃𝑦 ∈ Univ 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑦))
3 exancom 1859 . . 3 (∃𝑦(𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑦) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦𝑦 ∈ Univ))
4 grumnueq 44283 . . . . . . 7 Univ = {𝑘 ∣ ∀𝑙𝑘 (𝒫 𝑙𝑘 ∧ ∀𝑚𝑛𝑘 (𝒫 𝑙𝑛 ∧ ∀𝑝𝑙 (∃𝑞𝑘 (𝑝𝑞𝑞𝑚) → ∃𝑟𝑚 (𝑝𝑟 𝑟𝑛))))}
54ismnu 44257 . . . . . 6 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ Univ ↔ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∀𝑓𝑤𝑦 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝑦 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))))))
65elv 3483 . . . . 5 (𝑦 ∈ Univ ↔ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∀𝑓𝑤𝑦 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝑦 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤)))))
76anbi2i 623 . . . 4 ((𝑥𝑦𝑦 ∈ Univ) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∀𝑓𝑤𝑦 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝑦 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))))))
87exbii 1845 . . 3 (∃𝑦(𝑥𝑦𝑦 ∈ Univ) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∀𝑓𝑤𝑦 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝑦 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))))))
92, 3, 83bitri 297 . 2 (∃𝑦 ∈ Univ 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∀𝑓𝑤𝑦 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝑦 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))))))
101, 9mpbi 230 1 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∀𝑓𝑤𝑦 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝑦 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1535  wex 1776  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963  𝒫 cpw 4605   cuni 4912  Univcgru 10828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-reg 9630  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501  ax-groth 10861
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-smo 8385  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-oi 9548  df-har 9595  df-tc 9775  df-r1 9802  df-rank 9803  df-card 9977  df-aleph 9978  df-cf 9979  df-acn 9980  df-ac 10154  df-wina 10722  df-ina 10723  df-tsk 10787  df-gru 10829  df-scott 44232  df-coll 44247
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator