Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rr-groth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rr-groth 41459
Description: An equivalent of ax-groth 10323 using only simple defined symbols. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
rr-groth 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∀𝑓𝑤𝑦 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝑦 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑓,𝑖   𝑦,𝑢,𝑧,𝑤,𝑓,𝑖

Proof of Theorem rr-groth
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑞 𝑝 𝑙 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gruex 41458 . 2 𝑦 ∈ Univ 𝑥𝑦
2 df-rex 3059 . . 3 (∃𝑦 ∈ Univ 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑦))
3 exancom 1868 . . 3 (∃𝑦(𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑦) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦𝑦 ∈ Univ))
4 grumnueq 41447 . . . . . . 7 Univ = {𝑘 ∣ ∀𝑙𝑘 (𝒫 𝑙𝑘 ∧ ∀𝑚𝑛𝑘 (𝒫 𝑙𝑛 ∧ ∀𝑝𝑙 (∃𝑞𝑘 (𝑝𝑞𝑞𝑚) → ∃𝑟𝑚 (𝑝𝑟 𝑟𝑛))))}
54ismnu 41421 . . . . . 6 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ Univ ↔ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∀𝑓𝑤𝑦 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝑦 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))))))
65elv 3404 . . . . 5 (𝑦 ∈ Univ ↔ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∀𝑓𝑤𝑦 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝑦 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤)))))
76anbi2i 626 . . . 4 ((𝑥𝑦𝑦 ∈ Univ) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∀𝑓𝑤𝑦 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝑦 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))))))
87exbii 1854 . . 3 (∃𝑦(𝑥𝑦𝑦 ∈ Univ) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∀𝑓𝑤𝑦 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝑦 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))))))
92, 3, 83bitri 300 . 2 (∃𝑦 ∈ Univ 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∀𝑓𝑤𝑦 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝑦 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))))))
101, 9mpbi 233 1 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∀𝑓𝑤𝑦 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝑦 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wal 1540  wex 1786  wcel 2114  wral 3053  wrex 3054  Vcvv 3398  wss 3843  𝒫 cpw 4488   cuni 4796  Univcgru 10290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-reg 9129  ax-inf2 9177  ax-ac2 9963  ax-groth 10323
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-smo 8012  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-map 8439  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-oi 9047  df-har 9094  df-tc 9252  df-r1 9266  df-rank 9267  df-card 9441  df-aleph 9442  df-cf 9443  df-acn 9444  df-ac 9616  df-wina 10184  df-ina 10185  df-tsk 10249  df-gru 10291  df-scott 41396  df-coll 41411
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator