Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rr-groth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rr-groth 42671
Description: An equivalent of ax-groth 10767 using only simple defined symbols. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
rr-groth 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∀𝑓𝑤𝑦 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝑦 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑓,𝑖   𝑦,𝑢,𝑧,𝑤,𝑓,𝑖

Proof of Theorem rr-groth
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑞 𝑝 𝑙 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gruex 42670 . 2 𝑦 ∈ Univ 𝑥𝑦
2 df-rex 3071 . . 3 (∃𝑦 ∈ Univ 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑦))
3 exancom 1865 . . 3 (∃𝑦(𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑦) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦𝑦 ∈ Univ))
4 grumnueq 42659 . . . . . . 7 Univ = {𝑘 ∣ ∀𝑙𝑘 (𝒫 𝑙𝑘 ∧ ∀𝑚𝑛𝑘 (𝒫 𝑙𝑛 ∧ ∀𝑝𝑙 (∃𝑞𝑘 (𝑝𝑞𝑞𝑚) → ∃𝑟𝑚 (𝑝𝑟 𝑟𝑛))))}
54ismnu 42633 . . . . . 6 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ Univ ↔ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∀𝑓𝑤𝑦 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝑦 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))))))
65elv 3453 . . . . 5 (𝑦 ∈ Univ ↔ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∀𝑓𝑤𝑦 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝑦 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤)))))
76anbi2i 624 . . . 4 ((𝑥𝑦𝑦 ∈ Univ) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∀𝑓𝑤𝑦 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝑦 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))))))
87exbii 1851 . . 3 (∃𝑦(𝑥𝑦𝑦 ∈ Univ) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∀𝑓𝑤𝑦 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝑦 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))))))
92, 3, 83bitri 297 . 2 (∃𝑦 ∈ Univ 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∀𝑓𝑤𝑦 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝑦 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))))))
101, 9mpbi 229 1 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝒫 𝑧𝑦 ∧ ∀𝑓𝑤𝑦 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝑦 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wal 1540  wex 1782  wcel 2107  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3447  wss 3914  𝒫 cpw 4564   cuni 4869  Univcgru 10734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-reg 9536  ax-inf2 9585  ax-ac2 10407  ax-groth 10767
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-smo 8296  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-oi 9454  df-har 9501  df-tc 9681  df-r1 9708  df-rank 9709  df-card 9883  df-aleph 9884  df-cf 9885  df-acn 9886  df-ac 10060  df-wina 10628  df-ina 10629  df-tsk 10693  df-gru 10735  df-scott 42608  df-coll 42623
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator