Theorem mopnex 23581

Description: The topology generated by an extended metric can also be generated by a true metric. Thus, "metrizable topologies" can equivalently be defined in terms of metrics or extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnex.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mopnex	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑑   𝐽,𝑑   𝑋,𝑑

Proof of Theorem mopnex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 12663	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1))
3	2	stdbdmet 23578	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
4	1, 3	mpan2 687	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
5		1xr 10965	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
6		0lt1 11427	. . 3 ⊢ 0 < 1
7		mopnex.1	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
8	2, 7	stdbdmopn 23580	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1))))
9	5, 6, 8	mp3an23 1451	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1))))
10		fveq2 6756	. . 3 ⊢ (𝑑 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1)) → (MetOpen‘𝑑) = (MetOpen‘(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1))))
11	10	rspceeqv 3567	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1)))) → ∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑))
12	4, 9, 11	syl2anc 583	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  ifcif 4456   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  0cc0 10802  1c1 10803  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℝ⁺crp 12659  ∞Metcxmet 20495  Metcmet 20496  MetOpencmopn 20500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-icc 13015  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-bases 22004

This theorem is referenced by:  methaus  23582