Theorem mopnex 24853

Description: The topology generated by an extended metric can also be generated by a true metric. Thus, "metrizable topologies" can equivalently be defined in terms of metrics or extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnex.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mopnex	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑑   𝐽,𝑑   𝑋,𝑑

Proof of Theorem mopnex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 13137	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1))
3	2	stdbdmet 24850	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
4	1, 3	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
5		1xr 11381	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
6		0lt1 11851	. . 3 ⊢ 0 < 1
7		mopnex.1	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
8	2, 7	stdbdmopn 24852	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1))))
9	5, 6, 8	mp3an23 1482	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1))))
10		fveq2 6896	. . 3 ⊢ (𝑑 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1)) → (MetOpen‘𝑑) = (MetOpen‘(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1))))
11	10	rspceeqv 3602	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1)))) → ∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑))
12	4, 9, 11	syl2anc 596	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3090  ifcif 4485   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430   ∈ cmpo 7432  0cc0 11213  1c1 11214  ℝ^*cxr 11355   < clt 11356   ≤ cle 11357  ℝ⁺crp 13133  ∞Metcxmet 21678  Metcmet 21679  MetOpencmopn 21683

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-sup 9447  df-inf 9448  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-xneg 13254  df-xadd 13255  df-xmul 13256  df-icc 13496  df-topgen 17629  df-psmet 21685  df-xmet 21686  df-met 21687  df-bl 21688  df-mopn 21689  df-bases 23279

This theorem is used by:  methaus  24854