Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mopnex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mopnex 23214
 Description: The topology generated by an extended metric can also be generated by a true metric. Thus, "metrizable topologies" can equivalently be defined in terms of metrics or extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mopnex.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
mopnex (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑑   𝐽,𝑑   𝑋,𝑑

Proof of Theorem mopnex
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 12427 . . 3 1 ∈ ℝ+
2 eqid 2759 . . . 4 (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1)) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1))
32stdbdmet 23211 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
41, 3mpan2 691 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
5 1xr 10731 . . 3 1 ∈ ℝ*
6 0lt1 11193 . . 3 0 < 1
7 mopnex.1 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
82, 7stdbdmopn 23213 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1))))
95, 6, 8mp3an23 1451 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1))))
10 fveq2 6659 . . 3 (𝑑 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1)) → (MetOpen‘𝑑) = (MetOpen‘(𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1))))
1110rspceeqv 3557 . 2 (((𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘(𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1)))) → ∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑))
124, 9, 11syl2anc 588 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3072  ifcif 4421   class class class wbr 5033  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151   ∈ cmpo 7153  0cc0 10568  1c1 10569  ℝ*cxr 10705   < clt 10706   ≤ cle 10707  ℝ+crp 12423  ∞Metcxmet 20144  Metcmet 20145  MetOpencmopn 20149 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-sup 8932  df-inf 8933  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-q 12382  df-rp 12424  df-xneg 12541  df-xadd 12542  df-xmul 12543  df-icc 12779  df-topgen 16768  df-psmet 20151  df-xmet 20152  df-met 20153  df-bl 20154  df-mopn 20155  df-bases 21639 This theorem is referenced by:  methaus  23215
 Copyright terms: Public domain W3C validator