Theorem mopnex 24503

Description: The topology generated by an extended metric can also be generated by a true metric. Thus, "metrizable topologies" can equivalently be defined in terms of metrics or extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnex.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mopnex	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑑   𝐽,𝑑   𝑋,𝑑

Proof of Theorem mopnex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 12938	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1))
3	2	stdbdmet 24500	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
4	1, 3	mpan2 697	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
5		1xr 11196	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
6		0lt1 11664	. . 3 ⊢ 0 < 1
7		mopnex.1	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
8	2, 7	stdbdmopn 24502	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1))))
9	5, 6, 8	mp3an23 1461	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1))))
10		fveq2 6828	. . 3 ⊢ (𝑑 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1)) → (MetOpen‘𝑑) = (MetOpen‘(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1))))
11	10	rspceeqv 3583	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐷𝑦) ≤ 1, (𝑥𝐷𝑦), 1)))) → ∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑))
12	4, 9, 11	syl2anc 590	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063  ifcif 4455   class class class wbr 5073  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  0cc0 11030  1c1 11031  ℝ^*cxr 11170   < clt 11171   ≤ cle 11172  ℝ⁺crp 12934  ∞Metcxmet 21333  Metcmet 21334  MetOpencmopn 21338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-q 12891  df-rp 12935  df-xneg 13055  df-xadd 13056  df-xmul 13057  df-icc 13297  df-topgen 17398  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-bases 22930

This theorem is referenced by:  methaus  24504