Theorem fseqsupubi 13696

Description: The values of a finite real sequence are bounded by their supremum. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fseqsupubi	⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → (𝐹‘𝐾) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))

Proof of Theorem fseqsupubi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6609	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
2	1	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
3		fdm 6611	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → dom 𝐹 = (𝑀...𝑁))
4		ne0i 4270	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
5		dm0rn0 5836	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ ↔ ran 𝐹 = ∅)
6		eqeq1 2742	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝐹 = (𝑀...𝑁) → (dom 𝐹 = ∅ ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
7	6	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 = (𝑀...𝑁) → (dom 𝐹 = ∅ → (𝑀...𝑁) = ∅))
8	5, 7	syl5bir 242	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 = (𝑀...𝑁) → (ran 𝐹 = ∅ → (𝑀...𝑁) = ∅))
9	8	necon3d 2964	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 = (𝑀...𝑁) → ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → ran 𝐹 ≠ ∅))
10	4, 9	mpan9 507	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ dom 𝐹 = (𝑀...𝑁)) → ran 𝐹 ≠ ∅)
11	3, 10	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → ran 𝐹 ≠ ∅)
12		fsequb2 13694	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)
13	12	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)
14		ffn 6602	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
15		fnfvelrn 6960	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝐾) ∈ ran 𝐹)
16	15	ancoms 459	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐹 Fn (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝐾) ∈ ran 𝐹)
17	14, 16	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → (𝐹‘𝐾) ∈ ran 𝐹)
18	2, 11, 13, 17	suprubd 11935	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → (𝐹‘𝐾) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3888  ∅c0 4258   class class class wbr 5076  dom cdm 5591  ran crn 5592   Fn wfn 6430  ⟶wf 6431  ‘cfv 6435  (class class class)co 7277  supcsup 9197  ℝcr 10868   < clt 11007   ≤ cle 11008  ...cfz 13237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946  ax-pre-sup 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-1o 8295  df-er 8496  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-fin 8735  df-sup 9199  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12581  df-fz 13238

This theorem is referenced by: (None)