Theorem fseqsupubi 13626

Description: The values of a finite real sequence are bounded by their supremum. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fseqsupubi	⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → (𝐹‘𝐾) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))

Proof of Theorem fseqsupubi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frn 6591	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
3		fdm 6593	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → dom 𝐹 = (𝑀...𝑁))
4		ne0i 4265	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
5		dm0rn0 5823	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ ↔ ran 𝐹 = ∅)
6		eqeq1 2742	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝐹 = (𝑀...𝑁) → (dom 𝐹 = ∅ ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
7	6	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 = (𝑀...𝑁) → (dom 𝐹 = ∅ → (𝑀...𝑁) = ∅))
8	5, 7	syl5bir 242	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 = (𝑀...𝑁) → (ran 𝐹 = ∅ → (𝑀...𝑁) = ∅))
9	8	necon3d 2963	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 = (𝑀...𝑁) → ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → ran 𝐹 ≠ ∅))
10	4, 9	mpan9 506	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ dom 𝐹 = (𝑀...𝑁)) → ran 𝐹 ≠ ∅)
11	3, 10	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → ran 𝐹 ≠ ∅)
12		fsequb2 13624	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)
13	12	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)
14		ffn 6584	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
15		fnfvelrn 6940	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝐾) ∈ ran 𝐹)
16	15	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐹 Fn (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝐾) ∈ ran 𝐹)
17	14, 16	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → (𝐹‘𝐾) ∈ ran 𝐹)
18	2, 11, 13, 17	suprubd 11867	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ) → (𝐹‘𝐾) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  ran crn 5581   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  supcsup 9129  ℝcr 10801   < clt 10940   ≤ cle 10941  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by: (None)