Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvaabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvaabl 38220
Description: The constructed partial vector space A for a lattice 𝐾 is an abelian group. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvalvec.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvalvec.v 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dvaabl ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ Abel)

Proof of Theorem dvaabl
Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvalvec.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2824 . . 3 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 eqid 2824 . . 3 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2824 . . 3 ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5 dvalvec.v . . 3 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5dvaset 38201 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠𝑓))⟩}))
7 eqid 2824 . . . . 5 ((TGrp‘𝐾)‘𝑊) = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
81, 2, 7tgrpset 37941 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((TGrp‘𝐾)‘𝑊) = {⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔))⟩})
91, 7tgrpabl 37947 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((TGrp‘𝐾)‘𝑊) ∈ Abel)
108, 9eqeltrrd 2917 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → {⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔))⟩} ∈ Abel)
11 fvex 6664 . . . . 5 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∈ V
12 eqid 2824 . . . . . . 7 {⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔))⟩} = {⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔))⟩}
1312grpbase 16599 . . . . . 6 (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∈ V → ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔))⟩}))
14 eqid 2824 . . . . . . 7 ({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠𝑓))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠𝑓))⟩})
1514lmodbase 16626 . . . . . 6 (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∈ V → ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠𝑓))⟩})))
1613, 15eqtr3d 2861 . . . . 5 (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∈ V → (Base‘{⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔))⟩}) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠𝑓))⟩})))
1711, 16ax-mp 5 . . . 4 (Base‘{⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔))⟩}) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠𝑓))⟩}))
1811, 11mpoex 7760 . . . . 5 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔)) ∈ V
1912grpplusg 16600 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔)) ∈ V → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔))⟩}))
2014lmodplusg 16627 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔)) ∈ V → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔)) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠𝑓))⟩})))
2119, 20eqtr3d 2861 . . . . 5 ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔)) ∈ V → (+g‘{⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔))⟩}) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠𝑓))⟩})))
2218, 21ax-mp 5 . . . 4 (+g‘{⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔))⟩}) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠𝑓))⟩}))
2317, 22ablprop 18907 . . 3 ({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔))⟩} ∈ Abel ↔ ({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠𝑓))⟩}) ∈ Abel)
2410, 23sylib 221 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠𝑓))⟩}) ∈ Abel)
256, 24eqeltrd 2916 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3479  cun 3916  {csn 4548  {cpr 4550  {ctp 4552  cop 4554  ccom 5540  cfv 6336  cmpo 7140  ndxcnx 16469  Basecbs 16472  +gcplusg 16554  Scalarcsca 16557   ·𝑠 cvsca 16558  Abelcabl 18896  HLchlt 36546  LHypclh 37180  LTrncltrn 37297  TGrpctgrp 37938  TEndoctendo 37948  EDRingcedring 37949  DVecAcdveca 38198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-riotaBAD 36149
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-undef 7922  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-plusg 16567  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-0g 16704  df-proset 17527  df-poset 17545  df-plt 17557  df-lub 17573  df-glb 17574  df-join 17575  df-meet 17576  df-p0 17638  df-p1 17639  df-lat 17645  df-clat 17707  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18095  df-cmn 18897  df-abl 18898  df-oposet 36372  df-ol 36374  df-oml 36375  df-covers 36462  df-ats 36463  df-atl 36494  df-cvlat 36518  df-hlat 36547  df-llines 36694  df-lplanes 36695  df-lvols 36696  df-lines 36697  df-psubsp 36699  df-pmap 36700  df-padd 36992  df-lhyp 37184  df-laut 37185  df-ldil 37300  df-ltrn 37301  df-trl 37355  df-tgrp 37939  df-dveca 38199
This theorem is referenced by:  dvalveclem  38221
  Copyright terms: Public domain W3C validator