Theorem dvaabl 41003

Description: The constructed partial vector space A for a lattice 𝐾 is an abelian group. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvalvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvalvec.v	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dvaabl	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ Abel)

Proof of Theorem dvaabl

Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvalvec.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5		dvalvec.v	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	dvaset 40984	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩}))
7		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((TGrp‘𝐾)‘𝑊) = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
8	1, 2, 7	tgrpset 40724	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((TGrp‘𝐾)‘𝑊) = {⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩})
9	1, 7	tgrpabl 40730	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((TGrp‘𝐾)‘𝑊) ∈ Abel)
10	8, 9	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → {⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩} ∈ Abel)
11		fvex 6835	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∈ V
12		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩} = {⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}
13	12	grpbase 17193	. . . . . 6 ⊢ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∈ V → ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}))
14		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩})
15	14	lmodbase 17230	. . . . . 6 ⊢ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∈ V → ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩})))
16	13, 15	eqtr3d 2766	. . . . 5 ⊢ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∈ V → (Base‘{⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩})))
17	11, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Base‘{⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩}))
18	11, 11	mpoex 8014	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V
19	12	grpplusg 17194	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}))
20	14	lmodplusg 17231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩})))
21	19, 20	eqtr3d 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V → (+g‘{⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩})))
22	18, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘{⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩}))
23	17, 22	ablprop 19672	. . 3 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩} ∈ Abel ↔ ({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩}) ∈ Abel)
24	10, 23	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩}) ∈ Abel)
25	6, 24	eqeltrd 2828	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∪ cun 3901  {csn 4577  {cpr 4579  {ctp 4581  ⟨cop 4583   ∘ ccom 5623  ‘cfv 6482   ∈ cmpo 7351  ndxcnx 17104  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  Abelcabl 19660  HLchlt 39329  LHypclh 39963  LTrncltrn 40080  TGrpctgrp 40721  TEndoctendo 40731  EDRingcedring 40732  DVecAcdveca 40981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-riotaBAD 38932

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-undef 8206  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-oposet 39155  df-ol 39157  df-oml 39158  df-covers 39245  df-ats 39246  df-atl 39277  df-cvlat 39301  df-hlat 39330  df-llines 39477  df-lplanes 39478  df-lvols 39479  df-lines 39480  df-psubsp 39482  df-pmap 39483  df-padd 39775  df-lhyp 39967  df-laut 39968  df-ldil 40083  df-ltrn 40084  df-trl 40138  df-tgrp 40722  df-dveca 40982

This theorem is referenced by:  dvalveclem  41004