Theorem thloc 21677

Description: Orthocomplement on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
thlval.k	⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thloc.c	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
thloc	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Proof of Theorem thloc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6843	. . . 4 ⊢ (toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) ∈ V
2		thloc.c	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
3	2	fvexi 6844	. . . 4 ⊢ ⊥ ∈ V
4		ocid 17339	. . . . 5 ⊢ oc = Slot (oc‘ndx)
5	4	setsid 17171	. . . 4 ⊢ (((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) ∈ V ∧ ⊥ ∈ V) → ⊥ = (oc‘((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩)))
6	1, 3, 5	mp2an 694	. . 3 ⊢ ⊥ = (oc‘((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩))
7		thlval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (ClSubSp‘𝑊) = (ClSubSp‘𝑊)
9		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) = (toInc‘(ClSubSp‘𝑊))
10	7, 8, 9, 2	thlval 21673	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐾 = ((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩))
11	10	fveq2d 6834	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (oc‘𝐾) = (oc‘((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩)))
12	6, 11	eqtr4id 2790	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → ⊥ = (oc‘𝐾))
13	4	str0 17153	. . 3 ⊢ ∅ = (oc‘∅)
14		fvprc 6822	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (ocv‘𝑊) = ∅)
15	2, 14	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ⊥ = ∅)
16		fvprc 6822	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
17	7, 16	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
18	17	fveq2d 6834	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (oc‘𝐾) = (oc‘∅))
19	13, 15, 18	3eqtr4a 2797	. 2 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ⊥ = (oc‘𝐾))
20	12, 19	pm2.61i 183	1 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1543   ∈ wcel 2115  Vcvv 3428  ∅c0 4264  ⟨cop 4564  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   sSet csts 17127  ndxcnx 17157  occoc 17222  toInccipo 18487  ocvcocv 21638  ClSubSpccss 21639  toHLcthl 21640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1970  ax-7 2011  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2148  ax-11 2164  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7681  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 850  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2070  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3061  df-reu 3342  df-rab 3389  df-v 3430  df-sbc 3727  df-csb 3835  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3906  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-2nd 7935  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-ltxr 11178  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-dec 12639  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-ocomp 17235  df-thl 21643

This theorem is referenced by: (None)