Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thloc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem thloc 20392
 Description: Orthocomplement on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thloc.c = (ocv‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
thloc = (oc‘𝐾)

Proof of Theorem thloc
StepHypRef Expression
1 fvex 6662 . . . 4 (toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) ∈ V
2 thloc.c . . . . 5 = (ocv‘𝑊)
32fvexi 6663 . . . 4 ∈ V
4 ocid 16670 . . . . 5 oc = Slot (oc‘ndx)
54setsid 16534 . . . 4 (((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) ∈ V ∧ ∈ V) → = (oc‘((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⟩)))
61, 3, 5mp2an 691 . . 3 = (oc‘((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⟩))
7 thlval.k . . . . 5 𝐾 = (toHL‘𝑊)
8 eqid 2801 . . . . 5 (ClSubSp‘𝑊) = (ClSubSp‘𝑊)
9 eqid 2801 . . . . 5 (toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) = (toInc‘(ClSubSp‘𝑊))
107, 8, 9, 2thlval 20388 . . . 4 (𝑊 ∈ V → 𝐾 = ((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⟩))
1110fveq2d 6653 . . 3 (𝑊 ∈ V → (oc‘𝐾) = (oc‘((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⟩)))
126, 11eqtr4id 2855 . 2 (𝑊 ∈ V → = (oc‘𝐾))
134str0 16531 . . 3 ∅ = (oc‘∅)
14 fvprc 6642 . . . 4 𝑊 ∈ V → (ocv‘𝑊) = ∅)
152, 14syl5eq 2848 . . 3 𝑊 ∈ V → = ∅)
16 fvprc 6642 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
177, 16syl5eq 2848 . . . 4 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
1817fveq2d 6653 . . 3 𝑊 ∈ V → (oc‘𝐾) = (oc‘∅))
1913, 15, 183eqtr4a 2862 . 2 𝑊 ∈ V → = (oc‘𝐾))
2012, 19pm2.61i 185 1 = (oc‘𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444  ∅c0 4246  ⟨cop 4534  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ndxcnx 16476   sSet csts 16477  occoc 16569  toInccipo 17757  ocvcocv 20353  ClSubSpccss 20354  toHLcthl 20355 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-dec 12091  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-sets 16486  df-ocomp 16582  df-thl 20358 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator