Theorem thloc 21719

Description: Orthocomplement on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
thlval.k	⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thloc.c	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
thloc	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Proof of Theorem thloc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6919	. . . 4 ⊢ (toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) ∈ V
2		thloc.c	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
3	2	fvexi 6920	. . . 4 ⊢ ⊥ ∈ V
4		ocid 17426	. . . . 5 ⊢ oc = Slot (oc‘ndx)
5	4	setsid 17244	. . . 4 ⊢ (((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) ∈ V ∧ ⊥ ∈ V) → ⊥ = (oc‘((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩)))
6	1, 3, 5	mp2an 692	. . 3 ⊢ ⊥ = (oc‘((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩))
7		thlval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (ClSubSp‘𝑊) = (ClSubSp‘𝑊)
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) = (toInc‘(ClSubSp‘𝑊))
10	7, 8, 9, 2	thlval 21713	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐾 = ((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩))
11	10	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (oc‘𝐾) = (oc‘((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩)))
12	6, 11	eqtr4id 2796	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → ⊥ = (oc‘𝐾))
13	4	str0 17226	. . 3 ⊢ ∅ = (oc‘∅)
14		fvprc 6898	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (ocv‘𝑊) = ∅)
15	2, 14	eqtrid 2789	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ⊥ = ∅)
16		fvprc 6898	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
17	7, 16	eqtrid 2789	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
18	17	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (oc‘𝐾) = (oc‘∅))
19	13, 15, 18	3eqtr4a 2803	. 2 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ⊥ = (oc‘𝐾))
20	12, 19	pm2.61i 182	1 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ∅c0 4333  ⟨cop 4632  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   sSet csts 17200  ndxcnx 17230  occoc 17305  toInccipo 18572  ocvcocv 21678  ClSubSpccss 21679  toHLcthl 21680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-dec 12734  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-ocomp 17318  df-thl 21683

This theorem is referenced by: (None)