Theorem thloc 21967

Description: Orthocomplement on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
thlval.k	⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thloc.c	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
thloc	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Proof of Theorem thloc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6886	. . . 4 ⊢ (toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) ∈ V
2		thloc.c	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
3	2	fvexi 6887	. . . 4 ⊢ ⊥ ∈ V
4		ocid 17515	. . . . 5 ⊢ oc = Slot (oc‘ndx)
5	4	setsid 17347	. . . 4 ⊢ (((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) ∈ V ∧ ⊥ ∈ V) → ⊥ = (oc‘((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩)))
6	1, 3, 5	mp2an 705	. . 3 ⊢ ⊥ = (oc‘((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩))
7		thlval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
8		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (ClSubSp‘𝑊) = (ClSubSp‘𝑊)
9		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) = (toInc‘(ClSubSp‘𝑊))
10	7, 8, 9, 2	thlval 21963	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐾 = ((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩))
11	10	fveq2d 6877	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (oc‘𝐾) = (oc‘((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩)))
12	6, 11	eqtr4id 2814	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → ⊥ = (oc‘𝐾))
13	4	str0 17329	. . 3 ⊢ ∅ = (oc‘∅)
14		fvprc 6865	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (ocv‘𝑊) = ∅)
15	2, 14	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ⊥ = ∅)
16		fvprc 6865	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
17	7, 16	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
18	17	fveq2d 6877	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (oc‘𝐾) = (oc‘∅))
19	13, 15, 18	3eqtr4a 2821	. 2 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ⊥ = (oc‘𝐾))
20	12, 19	pm2.61i 184	1 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ∅c0 4278  ⟨cop 4589  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   sSet csts 17303  ndxcnx 17333  occoc 17398  toInccipo 18663  ocvcocv 21928  ClSubSpccss 21929  toHLcthl 21930

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-ltxr 11320  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-dec 12785  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-ocomp 17411  df-thl 21933

This theorem is used by: (None)