Theorem thloc 21828

Description: Orthocomplement on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
thlval.k	⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thloc.c	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
thloc	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Proof of Theorem thloc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6894	. . . 4 ⊢ (toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) ∈ V
2		thloc.c	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
3	2	fvexi 6895	. . . 4 ⊢ ⊥ ∈ V
4		ocid 17434	. . . . 5 ⊢ oc = Slot (oc‘ndx)
5	4	setsid 17266	. . . 4 ⊢ (((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) ∈ V ∧ ⊥ ∈ V) → ⊥ = (oc‘((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩)))
6	1, 3, 5	mp2an 704	. . 3 ⊢ ⊥ = (oc‘((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩))
7		thlval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (ClSubSp‘𝑊) = (ClSubSp‘𝑊)
9		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) = (toInc‘(ClSubSp‘𝑊))
10	7, 8, 9, 2	thlval 21824	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐾 = ((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩))
11	10	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (oc‘𝐾) = (oc‘((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩)))
12	6, 11	eqtr4id 2815	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → ⊥ = (oc‘𝐾))
13	4	str0 17248	. . 3 ⊢ ∅ = (oc‘∅)
14		fvprc 6873	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (ocv‘𝑊) = ∅)
15	2, 14	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ⊥ = ∅)
16		fvprc 6873	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
17	7, 16	eqtrid 2808	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
18	17	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (oc‘𝐾) = (oc‘∅))
19	13, 15, 18	3eqtr4a 2822	. 2 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ⊥ = (oc‘𝐾))
20	12, 19	pm2.61i 184	1 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ∅c0 4285  ⟨cop 4594  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   sSet csts 17222  ndxcnx 17252  occoc 17317  toInccipo 18582  ocvcocv 21789  ClSubSpccss 21790  toHLcthl 21791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-dec 12711  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-ocomp 17330  df-thl 21794

This theorem is referenced by: (None)