Theorem tpf1ofv0 14561

Description: The value of a one-to-one function onto a triple at 0. (Contributed by AV, 20-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
tpf1ofv0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹‘0) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem tpf1ofv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpf1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶))))
3		iftrue 4491	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) = 𝐴)
4	3	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 = 0) → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) = 𝐴)
5		3nn 12345	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
6		lbfzo0 13755	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^3) ↔ 3 ∈ ℕ)
7	5, 6	mpbir 234	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 0 ∈ (0..^3))
9		id 23	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝑉)
10	2, 4, 8, 9	fvmptd 6998	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹‘0) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4485   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11125  1c1 11126  ℕcn 12258  3c3 12321  ..^cfzo 13709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13562  df-fzo 13710

This theorem is used by:  tpfo  14565  isgrtri  48844