Theorem hash3tpb 14457

Description: A set of size three is a proper unordered triple. (Contributed by AV, 21-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
hash3tpb	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem hash3tpb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash3tpexb 14456	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
2		vex 3434	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑎 ∈ V
3	2	tpid1 4713	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏, 𝑐}
4		vex 3434	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ∈ V
5	4	tpid2 4715	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑏 ∈ {𝑎, 𝑏, 𝑐}
6		vex 3434	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑐 ∈ V
7	6	tpid3 4718	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑐 ∈ {𝑎, 𝑏, 𝑐}
8	3, 5, 7	3pm3.2i 1341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ 𝑏 ∈ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ 𝑐 ∈ {𝑎, 𝑏, 𝑐})
9		eleq2 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝑎 ∈ 𝑉 ↔ 𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
10		eleq2 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝑏 ∈ 𝑉 ↔ 𝑏 ∈ {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
11		eleq2 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝑐 ∈ 𝑉 ↔ 𝑐 ∈ {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
12	9, 10, 11	3anbi123d 1439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ↔ (𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ 𝑏 ∈ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ 𝑐 ∈ {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
13	8, 12	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉))
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉))
15	14	pm4.71ri 560	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
16	15	3exbii 1852	. . 3 ⊢ (∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) ↔ ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
17	16	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) ↔ ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))))
18		r3ex 3177	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) ↔ ∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
19	18	bicomi 224	. . 3 ⊢ (∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (∃𝑎∃𝑏∃𝑐((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
21	1, 17, 20	3bitrd 305	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  {ctp 4572  ‘cfv 6499  3c3 12237  ♯chash 14292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-3o 8407  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-hash 14293

This theorem is referenced by:  grtriprop  48411