Theorem tpf1ofv1 14422

Description: The value of a one-to-one function onto a triple at 1. (Contributed by AV, 20-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
tpf1ofv1	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐹‘1) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem tpf1ofv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpf1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶))))
3		ax-1ne0 11097	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	neii 2927	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1 = 0
5		eqeq1 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 = 0 ↔ 1 = 0))
6	4, 5	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ¬ 𝑥 = 0)
7	6	iffalsed 4489	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶))
8		iftrue 4484	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶) = 𝐵)
9	7, 8	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) = 𝐵)
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 = 1) → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) = 𝐵)
11		1nn0 12418	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		3nn 12225	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		1lt3 12314	. . . 4 ⊢ 1 < 3
14		elfzo0 13621	. . . 4 ⊢ (1 ∈ (0..^3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 1 < 3))
15	11, 12, 13, 14	mpbir3an 1342	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 1 ∈ (0..^3))
17		id 22	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ 𝑉)
18	2, 10, 16, 17	fvmptd 6941	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐹‘1) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4478   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   < clt 11168  ℕcn 12146  3c3 12202  ℕ₀cn0 12402  ..^cfzo 13575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576

This theorem is referenced by:  tpfo  14425  isgrtri  47926