Theorem tpf1ofv1 14534

Description: The value of a one-to-one function onto a triple at 1. (Contributed by AV, 20-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
tpf1ofv1	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐹‘1) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem tpf1ofv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpf1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶))))
3		ax-1ne0 11168	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	neii 2958	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1 = 0
5		eqeq1 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 = 0 ↔ 1 = 0))
6	4, 5	mtbiri 330	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ¬ 𝑥 = 0)
7	6	iffalsed 4497	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶))
8		iftrue 4492	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶) = 𝐵)
9	7, 8	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) = 𝐵)
10	9	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 = 1) → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) = 𝐵)
11		1nn0 12519	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		3nn 12319	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		1lt3 12415	. . . 4 ⊢ 1 < 3
14		elfzo0 13729	. . . 4 ⊢ (1 ∈ (0..^3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 1 < 3))
15	11, 12, 13, 14	mpbir3an 1358	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 1 ∈ (0..^3))
17		id 23	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ 𝑉)
18	2, 10, 16, 17	fvmptd 6997	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐹‘1) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ifcif 4486   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11099  1c1 11100   < clt 11242  ℕcn 12232  3c3 12295  ℕ₀cn0 12503  ..^cfzo 13682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13683

This theorem is referenced by:  tpfo  14537  isgrtri  48675