Theorem tpf1ofv1 14459

Description: The value of a one-to-one function onto a triple at 1. (Contributed by AV, 20-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
tpf1ofv1	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐹‘1) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem tpf1ofv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpf1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶))))
3		ax-1ne0 11107	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	neii 2935	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1 = 0
5		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 = 0 ↔ 1 = 0))
6	4, 5	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ¬ 𝑥 = 0)
7	6	iffalsed 4478	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶))
8		iftrue 4473	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶) = 𝐵)
9	7, 8	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) = 𝐵)
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 = 1) → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) = 𝐵)
11		1nn0 12453	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12		3nn 12260	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		1lt3 12349	. . . 4 ⊢ 1 < 3
14		elfzo0 13655	. . . 4 ⊢ (1 ∈ (0..^3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 1 < 3))
15	11, 12, 13, 14	mpbir3an 1343	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 1 ∈ (0..^3))
17		id 22	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ 𝑉)
18	2, 10, 16, 17	fvmptd 6956	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐹‘1) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4467   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11179  ℕcn 12174  3c3 12237  ℕ₀cn0 12437  ..^cfzo 13608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609

This theorem is referenced by:  tpfo  14462  isgrtri  48413