Theorem lbfzo0 13721

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12604	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 709	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13687	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12603	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  0cc0 11134   < clt 11274  ℕcn 12245  ℤcz 12593  ..^cfzo 13676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677

This theorem is referenced by:  elfzo0  13722  fzo0n0  13737  fzo0end  13779  fvf1tp  13811  tpf1ofv0  14519  tpfo  14523  wrdsymb1  14576  ccatfv0  14606  ccat1st1st  14651  ccat2s1p1  14652  lswccats1fst  14658  swrdfv0  14672  pfxn0  14709  pfxfv0  14715  pfxtrcfv0  14717  pfx1  14726  cats1un  14744  revs1  14788  repswfsts  14804  cshwidx0mod  14828  cshw1  14845  scshwfzeqfzo  14850  cats1fvn  14882  pfx2  14971  nnnn0modprm0  16831  cshwrepswhash1  17127  efgsval2  19719  efgs1b  19722  efgsp1  19723  efgsres  19724  efgredlemd  19730  efgredlem  19733  efgrelexlemb  19736  pgpfaclem1  20069  dchrisumlem3  27459  tgcgr4  28515  wlkonl1iedg  29650  usgr2pthlem  29750  pthdlem2lem  29754  lfgrn1cycl  29792  uspgrn2crct  29795  crctcshwlkn0lem6  29802  0enwwlksnge1  29851  wwlksm1edg  29868  wwlksnwwlksnon  29902  clwlkclwwlklem2  29986  clwlkclwwlkf1lem3  29992  clwwlkel  30032  clwwlkf1  30035  umgr2cwwk2dif  30050  clwwlknonwwlknonb  30092  upgr3v3e3cycl  30166  upgr4cycl4dv4e  30171  2clwwlk2clwwlk  30336  cycpmco2lem4  33145  cycpmco2lem5  33146  cycpmrn  33159  lmatcl  33852  fib0  34436  signsvtn0  34607  reprpmtf1o  34663  poimirlem3  37652  amgm2d  44189  amgm3d  44190  amgm4d  44191  iccpartigtl  47404  iccpartlt  47405  gpgprismgriedgdmss  48023  gpg3kgrtriex  48058  gpgprismgr4cycllem3  48063  gpgprismgr4cycllem9  48069  amgmw2d  49635