Theorem lbfzo0 13861

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12731	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 722	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13827	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12730	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 306	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  0cc0 11227   < clt 11370  ℕcn 12362  ℤcz 12720  ..^cfzo 13815

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816

This theorem is used by:  elfzo0  13862  fzo0n0  13878  fzo0end  13920  fvf1tp  13956  tpf1ofv0  14668  tpfo  14672  wrdsymb1  14725  ccatfv0  14756  ccat1st1st  14804  ccat2s1p1  14805  lswccats1fst  14811  swrdfv0  14825  pfxn0  14864  pfxfv0  14869  pfxtrcfv0  14871  pfx1  14880  cats1un  14898  revs1  14942  repswfsts  14960  cshwidx0mod  14984  cshw1  15001  scshwfzeqfzo  15005  cats1fvn  15037  pfx2  15127  nnnn0modprm0  17013  cshwrepswhash1  17309  chnccat  18829  efgsval2  19977  efgs1b  19980  efgsp1  19981  efgsres  19982  efgredlemd  19988  efgredlem  19991  efgrelexlemb  19994  pgpfaclem1  20327  dchrisumlem3  27848  tgcgr4  29024  wlkonl1iedg  30274  usgr2pthlem  30379  pthdlem2lem  30383  lfgrn1cycl  30424  uspgrn2crct  30427  crctcshwlkn0lem6  30434  0enwwlksnge1  30483  wwlksm1edg  30500  wwlksnwwlksnon  30534  clwlkclwwlklem2  30621  clwlkclwwlkf1lem3  30627  clwwlkel  30667  clwwlkf1  30670  umgr2cwwk2dif  30685  clwwlknonwwlknonb  30727  upgr3v3e3cycl  30811  upgr4cycl4dv4e  30816  2clwwlk2clwwlk  30981  cycpmco2lem4  33760  cycpmco2lem5  33761  cycpmrn  33774  lmatcl  34518  fib0  35101  signsvtn0  35269  reprpmtf1o  35325  poimirlem3  38733  amgm2d  45390  amgm3d  45391  amgm4d  45392  iccpartigtl  48710  iccpartlt  48711  gpgprismgriedgdmss  49355  gpg3kgrtriex  49392  gpgprismgr4cycllem3  49400  gpgprismgr4cycllem9  49406  gpg5edgnedg  49433  grlimedgnedg  49434  amgmw2d  51269