Theorem lbfzo0 13627

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12511	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1095	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 710	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13593	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12510	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  0cc0 11038   < clt 11178  ℕcn 12157  ℤcz 12500  ..^cfzo 13582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583

This theorem is referenced by:  elfzo0  13628  fzo0n0  13644  fzo0end  13686  fvf1tp  13721  tpf1ofv0  14431  tpfo  14435  wrdsymb1  14488  ccatfv0  14519  ccat1st1st  14564  ccat2s1p1  14565  lswccats1fst  14571  swrdfv0  14585  pfxn0  14622  pfxfv0  14627  pfxtrcfv0  14629  pfx1  14638  cats1un  14656  revs1  14700  repswfsts  14716  cshwidx0mod  14740  cshw1  14757  scshwfzeqfzo  14761  cats1fvn  14793  pfx2  14882  nnnn0modprm0  16746  cshwrepswhash1  17042  chnccat  18561  efgsval2  19674  efgs1b  19677  efgsp1  19678  efgsres  19679  efgredlemd  19685  efgredlem  19688  efgrelexlemb  19691  pgpfaclem1  20024  dchrisumlem3  27470  tgcgr4  28615  wlkonl1iedg  29749  usgr2pthlem  29848  pthdlem2lem  29852  lfgrn1cycl  29890  uspgrn2crct  29893  crctcshwlkn0lem6  29900  0enwwlksnge1  29949  wwlksm1edg  29966  wwlksnwwlksnon  30000  clwlkclwwlklem2  30087  clwlkclwwlkf1lem3  30093  clwwlkel  30133  clwwlkf1  30136  umgr2cwwk2dif  30151  clwwlknonwwlknonb  30193  upgr3v3e3cycl  30267  upgr4cycl4dv4e  30272  2clwwlk2clwwlk  30437  cycpmco2lem4  33222  cycpmco2lem5  33223  cycpmrn  33236  lmatcl  33993  fib0  34576  signsvtn0  34747  reprpmtf1o  34803  poimirlem3  37868  amgm2d  44548  amgm3d  44549  amgm4d  44550  iccpartigtl  47777  iccpartlt  47778  gpgprismgriedgdmss  48406  gpg3kgrtriex  48443  gpgprismgr4cycllem3  48451  gpgprismgr4cycllem9  48457  gpg5edgnedg  48484  grlimedgnedg  48485  amgmw2d  50157