Theorem lbfzo0 13652

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12533	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1100	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 715	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13618	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12532	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 304	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  0cc0 11036   < clt 11177  ℕcn 12172  ℤcz 12522  ..^cfzo 13606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607

This theorem is referenced by:  elfzo0  13653  fzo0n0  13669  fzo0end  13711  fvf1tp  13746  tpf1ofv0  14456  tpfo  14460  wrdsymb1  14513  ccatfv0  14544  ccat1st1st  14589  ccat2s1p1  14590  lswccats1fst  14596  swrdfv0  14610  pfxn0  14647  pfxfv0  14652  pfxtrcfv0  14654  pfx1  14663  cats1un  14681  revs1  14725  repswfsts  14741  cshwidx0mod  14765  cshw1  14782  scshwfzeqfzo  14786  cats1fvn  14818  pfx2  14907  nnnn0modprm0  16775  cshwrepswhash1  17071  chnccat  18590  efgsval2  19706  efgs1b  19709  efgsp1  19710  efgsres  19711  efgredlemd  19717  efgredlem  19720  efgrelexlemb  19723  pgpfaclem1  20056  dchrisumlem3  27479  tgcgr4  28624  wlkonl1iedg  29757  usgr2pthlem  29856  pthdlem2lem  29860  lfgrn1cycl  29898  uspgrn2crct  29901  crctcshwlkn0lem6  29908  0enwwlksnge1  29957  wwlksm1edg  29974  wwlksnwwlksnon  30008  clwlkclwwlklem2  30095  clwlkclwwlkf1lem3  30101  clwwlkel  30141  clwwlkf1  30144  umgr2cwwk2dif  30159  clwwlknonwwlknonb  30201  upgr3v3e3cycl  30275  upgr4cycl4dv4e  30280  2clwwlk2clwwlk  30445  cycpmco2lem4  33217  cycpmco2lem5  33218  cycpmrn  33231  lmatcl  34007  fib0  34590  signsvtn0  34761  reprpmtf1o  34817  poimirlem3  37997  amgm2d  44649  amgm3d  44650  amgm4d  44651  iccpartigtl  47905  iccpartlt  47906  gpgprismgriedgdmss  48550  gpg3kgrtriex  48587  gpgprismgr4cycllem3  48595  gpgprismgr4cycllem9  48601  gpg5edgnedg  48628  grlimedgnedg  48629  amgmw2d  50301