Theorem lbfzo0 13735

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12621	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 709	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13701	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12620	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  0cc0 11152   < clt 11292  ℕcn 12263  ℤcz 12610  ..^cfzo 13690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691

This theorem is referenced by:  elfzo0  13736  fzo0n0  13751  fzo0end  13793  fvf1tp  13825  tpf1ofv0  14531  tpfo  14535  wrdsymb1  14587  ccatfv0  14617  ccat1st1st  14662  ccat2s1p1  14663  lswccats1fst  14669  swrdfv0  14683  pfxn0  14720  pfxfv0  14726  pfxtrcfv0  14728  pfx1  14737  cats1un  14755  revs1  14799  repswfsts  14815  cshwidx0mod  14839  cshw1  14856  scshwfzeqfzo  14861  cats1fvn  14893  pfx2  14982  nnnn0modprm0  16839  cshwrepswhash1  17136  efgsval2  19765  efgs1b  19768  efgsp1  19769  efgsres  19770  efgredlemd  19776  efgredlem  19779  efgrelexlemb  19782  pgpfaclem1  20115  dchrisumlem3  27549  tgcgr4  28553  wlkonl1iedg  29697  usgr2pthlem  29795  pthdlem2lem  29799  lfgrn1cycl  29834  uspgrn2crct  29837  crctcshwlkn0lem6  29844  0enwwlksnge1  29893  wwlksm1edg  29910  wwlksnwwlksnon  29944  clwlkclwwlklem2  30028  clwlkclwwlkf1lem3  30034  clwwlkel  30074  clwwlkf1  30077  umgr2cwwk2dif  30092  clwwlknonwwlknonb  30134  upgr3v3e3cycl  30208  upgr4cycl4dv4e  30213  2clwwlk2clwwlk  30378  cycpmco2lem4  33131  cycpmco2lem5  33132  cycpmrn  33145  lmatcl  33776  fib0  34380  signsvtn0  34563  reprpmtf1o  34619  poimirlem3  37609  amgm2d  44187  amgm3d  44188  amgm4d  44189  iccpartigtl  47347  iccpartlt  47348  amgmw2d  49034