Theorem lbfzo0 13719

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12593	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1109	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 721	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13685	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12592	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 306	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400  0cc0 11088   < clt 11231  ℕcn 12224  ℤcz 12582  ..^cfzo 13673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674

This theorem is referenced by:  elfzo0  13720  fzo0n0  13736  fzo0end  13778  fvf1tp  13813  tpf1ofv0  14523  tpfo  14527  wrdsymb1  14580  ccatfv0  14611  ccat1st1st  14656  ccat2s1p1  14657  lswccats1fst  14663  swrdfv0  14677  pfxn0  14714  pfxfv0  14719  pfxtrcfv0  14721  pfx1  14730  cats1un  14748  revs1  14792  repswfsts  14808  cshwidx0mod  14832  cshw1  14849  scshwfzeqfzo  14853  cats1fvn  14885  pfx2  14974  nnnn0modprm0  16856  cshwrepswhash1  17152  chnccat  18672  efgsval2  19794  efgs1b  19797  efgsp1  19798  efgsres  19799  efgredlemd  19805  efgredlem  19808  efgrelexlemb  19811  pgpfaclem1  20144  dchrisumlem3  27613  tgcgr4  28758  wlkonl1iedg  29922  usgr2pthlem  30021  pthdlem2lem  30025  lfgrn1cycl  30063  uspgrn2crct  30066  crctcshwlkn0lem6  30073  0enwwlksnge1  30122  wwlksm1edg  30139  wwlksnwwlksnon  30173  clwlkclwwlklem2  30260  clwlkclwwlkf1lem3  30266  clwwlkel  30306  clwwlkf1  30309  umgr2cwwk2dif  30324  clwwlknonwwlknonb  30366  upgr3v3e3cycl  30440  upgr4cycl4dv4e  30445  2clwwlk2clwwlk  30610  cycpmco2lem4  33362  cycpmco2lem5  33363  cycpmrn  33376  lmatcl  34123  fib0  34706  signsvtn0  34874  reprpmtf1o  34930  poimirlem3  38134  amgm2d  44786  amgm3d  44787  amgm4d  44788  iccpartigtl  48027  iccpartlt  48028  gpgprismgriedgdmss  48672  gpg3kgrtriex  48709  gpgprismgr4cycllem3  48717  gpgprismgr4cycllem9  48723  gpg5edgnedg  48750  grlimedgnedg  48751  amgmw2d  50433