Theorem lbfzo0 13601

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12486	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 709	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13567	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12485	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  0cc0 11013   < clt 11153  ℕcn 12132  ℤcz 12475  ..^cfzo 13556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557

This theorem is referenced by:  elfzo0  13602  fzo0n0  13618  fzo0end  13660  fvf1tp  13695  tpf1ofv0  14405  tpfo  14409  wrdsymb1  14462  ccatfv0  14493  ccat1st1st  14538  ccat2s1p1  14539  lswccats1fst  14545  swrdfv0  14559  pfxn0  14596  pfxfv0  14601  pfxtrcfv0  14603  pfx1  14612  cats1un  14630  revs1  14674  repswfsts  14690  cshwidx0mod  14714  cshw1  14731  scshwfzeqfzo  14735  cats1fvn  14767  pfx2  14856  nnnn0modprm0  16720  cshwrepswhash1  17016  chnccat  18534  efgsval2  19647  efgs1b  19650  efgsp1  19651  efgsres  19652  efgredlemd  19658  efgredlem  19661  efgrelexlemb  19664  pgpfaclem1  19997  dchrisumlem3  27430  tgcgr4  28510  wlkonl1iedg  29644  usgr2pthlem  29743  pthdlem2lem  29747  lfgrn1cycl  29785  uspgrn2crct  29788  crctcshwlkn0lem6  29795  0enwwlksnge1  29844  wwlksm1edg  29861  wwlksnwwlksnon  29895  clwlkclwwlklem2  29982  clwlkclwwlkf1lem3  29988  clwwlkel  30028  clwwlkf1  30031  umgr2cwwk2dif  30046  clwwlknonwwlknonb  30088  upgr3v3e3cycl  30162  upgr4cycl4dv4e  30167  2clwwlk2clwwlk  30332  cycpmco2lem4  33105  cycpmco2lem5  33106  cycpmrn  33119  lmatcl  33850  fib0  34433  signsvtn0  34604  reprpmtf1o  34660  poimirlem3  37683  amgm2d  44315  amgm3d  44316  amgm4d  44317  iccpartigtl  47547  iccpartlt  47548  gpgprismgriedgdmss  48176  gpg3kgrtriex  48213  gpgprismgr4cycllem3  48221  gpgprismgr4cycllem9  48227  gpg5edgnedg  48254  grlimedgnedg  48255  amgmw2d  49929