Theorem lbfzo0 13427

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12330	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 706	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13393	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12329	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  0cc0 10871   < clt 11009  ℕcn 11973  ℤcz 12319  ..^cfzo 13382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383

This theorem is referenced by:  elfzo0  13428  fzo0n0  13439  fzo0end  13479  wrdsymb1  14256  ccatfv0  14288  ccat1st1st  14335  ccat2s1p1  14336  ccat2s1p1OLD  14338  lswccats1fst  14345  swrdfv0  14362  pfxn0  14399  pfxfv0  14405  pfxtrcfv0  14407  pfx1  14416  cats1un  14434  revs1  14478  repswfsts  14494  cshwidx0mod  14518  cshw1  14535  scshwfzeqfzo  14539  cats1fvn  14571  pfx2  14660  nnnn0modprm0  16507  cshwrepswhash1  16804  efgsval2  19339  efgs1b  19342  efgsp1  19343  efgsres  19344  efgredlemd  19350  efgredlem  19353  efgrelexlemb  19356  pgpfaclem1  19684  dchrisumlem3  26639  tgcgr4  26892  wlkonl1iedg  28033  usgr2pthlem  28131  pthdlem2lem  28135  lfgrn1cycl  28170  uspgrn2crct  28173  crctcshwlkn0lem6  28180  0enwwlksnge1  28229  wwlksm1edg  28246  wwlksnwwlksnon  28280  clwlkclwwlklem2  28364  clwlkclwwlkf1lem3  28370  clwwlkel  28410  clwwlkf1  28413  umgr2cwwk2dif  28428  clwwlknonwwlknonb  28470  upgr3v3e3cycl  28544  upgr4cycl4dv4e  28549  2clwwlk2clwwlk  28714  cycpmco2lem4  31396  cycpmco2lem5  31397  cycpmrn  31410  lmatcl  31766  fib0  32366  signsvtn0  32549  reprpmtf1o  32606  poimirlem3  35780  amgm2d  41809  amgm3d  41810  amgm4d  41811  iccpartigtl  44875  iccpartlt  44876  amgmw2d  46508