Theorem lbfzo0 13702

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12576	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1105	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 719	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13668	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12575	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 305	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392  0cc0 11070   < clt 11213  ℕcn 12207  ℤcz 12565  ..^cfzo 13656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657

This theorem is referenced by:  elfzo0  13703  fzo0n0  13719  fzo0end  13761  fvf1tp  13796  tpf1ofv0  14506  tpfo  14510  wrdsymb1  14563  ccatfv0  14594  ccat1st1st  14639  ccat2s1p1  14640  lswccats1fst  14646  swrdfv0  14660  pfxn0  14697  pfxfv0  14702  pfxtrcfv0  14704  pfx1  14713  cats1un  14731  revs1  14775  repswfsts  14791  cshwidx0mod  14815  cshw1  14832  scshwfzeqfzo  14836  cats1fvn  14868  pfx2  14957  nnnn0modprm0  16825  cshwrepswhash1  17121  chnccat  18641  efgsval2  19756  efgs1b  19759  efgsp1  19760  efgsres  19761  efgredlemd  19767  efgredlem  19770  efgrelexlemb  19773  pgpfaclem1  20106  dchrisumlem3  27532  tgcgr4  28677  wlkonl1iedg  29810  usgr2pthlem  29909  pthdlem2lem  29913  lfgrn1cycl  29951  uspgrn2crct  29954  crctcshwlkn0lem6  29961  0enwwlksnge1  30010  wwlksm1edg  30027  wwlksnwwlksnon  30061  clwlkclwwlklem2  30148  clwlkclwwlkf1lem3  30154  clwwlkel  30194  clwwlkf1  30197  umgr2cwwk2dif  30212  clwwlknonwwlknonb  30254  upgr3v3e3cycl  30328  upgr4cycl4dv4e  30333  2clwwlk2clwwlk  30498  cycpmco2lem4  33270  cycpmco2lem5  33271  cycpmrn  33284  lmatcl  34074  fib0  34657  signsvtn0  34828  reprpmtf1o  34884  poimirlem3  38086  amgm2d  44738  amgm3d  44739  amgm4d  44740  iccpartigtl  47993  iccpartlt  47994  gpgprismgriedgdmss  48638  gpg3kgrtriex  48675  gpgprismgr4cycllem3  48683  gpgprismgr4cycllem9  48689  gpg5edgnedg  48716  grlimedgnedg  48717  amgmw2d  50389