Theorem lbfzo0 13814

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12685	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 722	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13780	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12684	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 306	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  0cc0 11181   < clt 11324  ℕcn 12316  ℤcz 12674  ..^cfzo 13768

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769

This theorem is used by:  elfzo0  13815  fzo0n0  13831  fzo0end  13873  fvf1tp  13909  tpf1ofv0  14621  tpfo  14625  wrdsymb1  14678  ccatfv0  14709  ccat1st1st  14756  ccat2s1p1  14757  lswccats1fst  14763  swrdfv0  14777  pfxn0  14816  pfxfv0  14821  pfxtrcfv0  14823  pfx1  14832  cats1un  14850  revs1  14894  repswfsts  14912  cshwidx0mod  14936  cshw1  14953  scshwfzeqfzo  14957  cats1fvn  14989  pfx2  15078  nnnn0modprm0  16964  cshwrepswhash1  17260  chnccat  18780  efgsval2  19927  efgs1b  19930  efgsp1  19931  efgsres  19932  efgredlemd  19938  efgredlem  19941  efgrelexlemb  19944  pgpfaclem1  20277  dchrisumlem3  27800  tgcgr4  28976  wlkonl1iedg  30226  usgr2pthlem  30331  pthdlem2lem  30335  lfgrn1cycl  30376  uspgrn2crct  30379  crctcshwlkn0lem6  30386  0enwwlksnge1  30435  wwlksm1edg  30452  wwlksnwwlksnon  30486  clwlkclwwlklem2  30573  clwlkclwwlkf1lem3  30579  clwwlkel  30619  clwwlkf1  30622  umgr2cwwk2dif  30637  clwwlknonwwlknonb  30679  upgr3v3e3cycl  30763  upgr4cycl4dv4e  30768  2clwwlk2clwwlk  30933  cycpmco2lem4  33672  cycpmco2lem5  33673  cycpmrn  33686  lmatcl  34430  fib0  35014  signsvtn0  35182  reprpmtf1o  35238  poimirlem3  38509  amgm2d  45157  amgm3d  45158  amgm4d  45159  iccpartigtl  48449  iccpartlt  48450  gpgprismgriedgdmss  49094  gpg3kgrtriex  49131  gpgprismgr4cycllem3  49139  gpgprismgr4cycllem9  49145  gpg5edgnedg  49172  grlimedgnedg  49173  amgmw2d  50933