Theorem lbfzo0 13672

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12569	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1096	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 708	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13638	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12568	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  0cc0 11110   < clt 11248  ℕcn 12212  ℤcz 12558  ..^cfzo 13627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628

This theorem is referenced by:  elfzo0  13673  fzo0n0  13684  fzo0end  13724  wrdsymb1  14503  ccatfv0  14533  ccat1st1st  14578  ccat2s1p1  14579  lswccats1fst  14585  swrdfv0  14599  pfxn0  14636  pfxfv0  14642  pfxtrcfv0  14644  pfx1  14653  cats1un  14671  revs1  14715  repswfsts  14731  cshwidx0mod  14755  cshw1  14772  scshwfzeqfzo  14777  cats1fvn  14809  pfx2  14898  nnnn0modprm0  16739  cshwrepswhash1  17036  efgsval2  19601  efgs1b  19604  efgsp1  19605  efgsres  19606  efgredlemd  19612  efgredlem  19615  efgrelexlemb  19618  pgpfaclem1  19951  dchrisumlem3  26994  tgcgr4  27813  wlkonl1iedg  28953  usgr2pthlem  29051  pthdlem2lem  29055  lfgrn1cycl  29090  uspgrn2crct  29093  crctcshwlkn0lem6  29100  0enwwlksnge1  29149  wwlksm1edg  29166  wwlksnwwlksnon  29200  clwlkclwwlklem2  29284  clwlkclwwlkf1lem3  29290  clwwlkel  29330  clwwlkf1  29333  umgr2cwwk2dif  29348  clwwlknonwwlknonb  29390  upgr3v3e3cycl  29464  upgr4cycl4dv4e  29469  2clwwlk2clwwlk  29634  cycpmco2lem4  32319  cycpmco2lem5  32320  cycpmrn  32333  lmatcl  32827  fib0  33429  signsvtn0  33612  reprpmtf1o  33669  poimirlem3  36539  amgm2d  42998  amgm3d  42999  amgm4d  43000  iccpartigtl  46139  iccpartlt  46140  amgmw2d  47899