Theorem lbfzo0 13654

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12535	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1095	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 710	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13620	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12534	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  0cc0 11038   < clt 11179  ℕcn 12174  ℤcz 12524  ..^cfzo 13608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609

This theorem is referenced by:  elfzo0  13655  fzo0n0  13671  fzo0end  13713  fvf1tp  13748  tpf1ofv0  14458  tpfo  14462  wrdsymb1  14515  ccatfv0  14546  ccat1st1st  14591  ccat2s1p1  14592  lswccats1fst  14598  swrdfv0  14612  pfxn0  14649  pfxfv0  14654  pfxtrcfv0  14656  pfx1  14665  cats1un  14683  revs1  14727  repswfsts  14743  cshwidx0mod  14767  cshw1  14784  scshwfzeqfzo  14788  cats1fvn  14820  pfx2  14909  nnnn0modprm0  16777  cshwrepswhash1  17073  chnccat  18592  efgsval2  19708  efgs1b  19711  efgsp1  19712  efgsres  19713  efgredlemd  19719  efgredlem  19722  efgrelexlemb  19725  pgpfaclem1  20058  dchrisumlem3  27454  tgcgr4  28599  wlkonl1iedg  29732  usgr2pthlem  29831  pthdlem2lem  29835  lfgrn1cycl  29873  uspgrn2crct  29876  crctcshwlkn0lem6  29883  0enwwlksnge1  29932  wwlksm1edg  29949  wwlksnwwlksnon  29983  clwlkclwwlklem2  30070  clwlkclwwlkf1lem3  30076  clwwlkel  30116  clwwlkf1  30119  umgr2cwwk2dif  30134  clwwlknonwwlknonb  30176  upgr3v3e3cycl  30250  upgr4cycl4dv4e  30255  2clwwlk2clwwlk  30420  cycpmco2lem4  33190  cycpmco2lem5  33191  cycpmrn  33204  lmatcl  33960  fib0  34543  signsvtn0  34714  reprpmtf1o  34770  poimirlem3  37944  amgm2d  44625  amgm3d  44626  amgm4d  44627  iccpartigtl  47883  iccpartlt  47884  gpgprismgriedgdmss  48528  gpg3kgrtriex  48565  gpgprismgr4cycllem3  48573  gpgprismgr4cycllem9  48579  gpg5edgnedg  48606  grlimedgnedg  48607  amgmw2d  50279