Theorem lbfzo0 13756

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12650	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1095	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 708	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13722	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12649	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  0cc0 11184   < clt 11324  ℕcn 12293  ℤcz 12639  ..^cfzo 13711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712

This theorem is referenced by:  elfzo0  13757  fzo0n0  13768  fzo0end  13808  fvf1tp  13840  tpf1ofv0  14545  tpfo  14549  wrdsymb1  14601  ccatfv0  14631  ccat1st1st  14676  ccat2s1p1  14677  lswccats1fst  14683  swrdfv0  14697  pfxn0  14734  pfxfv0  14740  pfxtrcfv0  14742  pfx1  14751  cats1un  14769  revs1  14813  repswfsts  14829  cshwidx0mod  14853  cshw1  14870  scshwfzeqfzo  14875  cats1fvn  14907  pfx2  14996  nnnn0modprm0  16853  cshwrepswhash1  17150  efgsval2  19775  efgs1b  19778  efgsp1  19779  efgsres  19780  efgredlemd  19786  efgredlem  19789  efgrelexlemb  19792  pgpfaclem1  20125  dchrisumlem3  27553  tgcgr4  28557  wlkonl1iedg  29701  usgr2pthlem  29799  pthdlem2lem  29803  lfgrn1cycl  29838  uspgrn2crct  29841  crctcshwlkn0lem6  29848  0enwwlksnge1  29897  wwlksm1edg  29914  wwlksnwwlksnon  29948  clwlkclwwlklem2  30032  clwlkclwwlkf1lem3  30038  clwwlkel  30078  clwwlkf1  30081  umgr2cwwk2dif  30096  clwwlknonwwlknonb  30138  upgr3v3e3cycl  30212  upgr4cycl4dv4e  30217  2clwwlk2clwwlk  30382  cycpmco2lem4  33122  cycpmco2lem5  33123  cycpmrn  33136  lmatcl  33762  fib0  34364  signsvtn0  34547  reprpmtf1o  34603  poimirlem3  37583  amgm2d  44160  amgm3d  44161  amgm4d  44162  iccpartigtl  47297  iccpartlt  47298  amgmw2d  48898