MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbfzo0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbfzo0 13078
Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of . (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
lbfzo0 (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0
StepHypRef Expression
1 0z 11993 . . 3 0 ∈ ℤ
2 3anass 1091 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
31, 2mpbiran 707 . 2 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4 fzolb 13045 . 2 (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5 elnnz 11992 . 2 (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
63, 4, 53bitr4i 305 1 (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 208  wa 398  w3a 1083  wcel 2114   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  0cc0 10537   < clt 10675  cn 11638  cz 11982  ..^cfzo 13034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035
This theorem is referenced by:  elfzo0  13079  fzo0n0  13090  fzo0end  13130  wrdsymb1  13905  ccatfv0  13937  ccat1st1st  13984  ccat2s1p1  13985  ccat2s1p1OLD  13987  lswccats1fst  13994  swrdfv0  14011  pfxn0  14048  pfxfv0  14054  pfxtrcfv0  14056  pfx1  14065  cats1un  14083  revs1  14127  repswfsts  14143  cshwidx0mod  14167  cshw1  14184  scshwfzeqfzo  14188  cats1fvn  14220  pfx2  14309  nnnn0modprm0  16143  cshwrepswhash1  16436  efgsval2  18859  efgs1b  18862  efgsp1  18863  efgsres  18864  efgredlemd  18870  efgredlem  18873  efgrelexlemb  18876  pgpfaclem1  19203  dchrisumlem3  26067  tgcgr4  26317  wlkonl1iedg  27447  usgr2pthlem  27544  pthdlem2lem  27548  lfgrn1cycl  27583  uspgrn2crct  27586  crctcshwlkn0lem6  27593  0enwwlksnge1  27642  wwlksm1edg  27659  wwlksnwwlksnon  27694  clwlkclwwlklem2  27778  clwlkclwwlkf1lem3  27784  clwwlkel  27825  clwwlkf1  27828  umgr2cwwk2dif  27843  clwwlknonwwlknonb  27885  upgr3v3e3cycl  27959  upgr4cycl4dv4e  27964  2clwwlk2clwwlk  28129  cycpmco2lem4  30771  cycpmco2lem5  30772  cycpmrn  30785  lmatcl  31081  fib0  31657  signsvtn0  31840  reprpmtf1o  31897  poimirlem3  34910  amgm2d  40571  amgm3d  40572  amgm4d  40573  iccpartigtl  43603  iccpartlt  43604  amgmw2d  44925
  Copyright terms: Public domain W3C validator