Theorem lbfzo0 13759

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12630	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 722	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13725	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12629	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 306	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  0cc0 11128   < clt 11271  ℕcn 12261  ℤcz 12619  ..^cfzo 13713

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714

This theorem is used by:  elfzo0  13760  fzo0n0  13776  fzo0end  13818  fvf1tp  13854  tpf1ofv0  14565  tpfo  14569  wrdsymb1  14622  ccatfv0  14653  ccat1st1st  14700  ccat2s1p1  14701  lswccats1fst  14707  swrdfv0  14721  pfxn0  14760  pfxfv0  14765  pfxtrcfv0  14767  pfx1  14776  cats1un  14794  revs1  14838  repswfsts  14856  cshwidx0mod  14880  cshw1  14897  scshwfzeqfzo  14901  cats1fvn  14933  pfx2  15022  nnnn0modprm0  16904  cshwrepswhash1  17200  chnccat  18720  efgsval2  19866  efgs1b  19869  efgsp1  19870  efgsres  19871  efgredlemd  19877  efgredlem  19880  efgrelexlemb  19883  pgpfaclem1  20216  dchrisumlem3  27735  tgcgr4  28881  wlkonl1iedg  30131  usgr2pthlem  30236  pthdlem2lem  30240  lfgrn1cycl  30281  uspgrn2crct  30284  crctcshwlkn0lem6  30291  0enwwlksnge1  30340  wwlksm1edg  30357  wwlksnwwlksnon  30391  clwlkclwwlklem2  30478  clwlkclwwlkf1lem3  30484  clwwlkel  30524  clwwlkf1  30527  umgr2cwwk2dif  30542  clwwlknonwwlknonb  30584  upgr3v3e3cycl  30668  upgr4cycl4dv4e  30673  2clwwlk2clwwlk  30838  cycpmco2lem4  33577  cycpmco2lem5  33578  cycpmrn  33591  lmatcl  34334  fib0  34918  signsvtn0  35086  reprpmtf1o  35142  poimirlem3  38380  amgm2d  45046  amgm3d  45047  amgm4d  45048  iccpartigtl  48331  iccpartlt  48332  gpgprismgriedgdmss  48976  gpg3kgrtriex  49013  gpgprismgr4cycllem3  49021  gpgprismgr4cycllem9  49027  gpg5edgnedg  49054  grlimedgnedg  49055  amgmw2d  50830