Theorem lbfzo0 13757

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12629	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 722	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13723	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12628	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 306	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416  0cc0 11127   < clt 11270  ℕcn 12260  ℤcz 12618  ..^cfzo 13711

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712

This theorem is used by:  elfzo0  13758  fzo0n0  13774  fzo0end  13816  fvf1tp  13852  tpf1ofv0  14563  tpfo  14567  wrdsymb1  14620  ccatfv0  14651  ccat1st1st  14698  ccat2s1p1  14699  lswccats1fst  14705  swrdfv0  14719  pfxn0  14758  pfxfv0  14763  pfxtrcfv0  14765  pfx1  14774  cats1un  14792  revs1  14836  repswfsts  14854  cshwidx0mod  14878  cshw1  14895  scshwfzeqfzo  14899  cats1fvn  14931  pfx2  15020  nnnn0modprm0  16902  cshwrepswhash1  17198  chnccat  18718  efgsval2  19864  efgs1b  19867  efgsp1  19868  efgsres  19869  efgredlemd  19875  efgredlem  19878  efgrelexlemb  19881  pgpfaclem1  20214  dchrisumlem3  27728  tgcgr4  28874  wlkonl1iedg  30124  usgr2pthlem  30229  pthdlem2lem  30233  lfgrn1cycl  30274  uspgrn2crct  30277  crctcshwlkn0lem6  30284  0enwwlksnge1  30333  wwlksm1edg  30350  wwlksnwwlksnon  30384  clwlkclwwlklem2  30471  clwlkclwwlkf1lem3  30477  clwwlkel  30517  clwwlkf1  30520  umgr2cwwk2dif  30535  clwwlknonwwlknonb  30577  upgr3v3e3cycl  30661  upgr4cycl4dv4e  30666  2clwwlk2clwwlk  30831  cycpmco2lem4  33571  cycpmco2lem5  33572  cycpmrn  33585  lmatcl  34328  fib0  34912  signsvtn0  35080  reprpmtf1o  35136  poimirlem3  38374  amgm2d  45040  amgm3d  45041  amgm4d  45042  iccpartigtl  48325  iccpartlt  48326  gpgprismgriedgdmss  48970  gpg3kgrtriex  49007  gpgprismgr4cycllem3  49015  gpgprismgr4cycllem9  49021  gpg5edgnedg  49048  grlimedgnedg  49049  amgmw2d  50824