Theorem lbfzo0 13615

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12499	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 709	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13581	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12498	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  0cc0 11026   < clt 11166  ℕcn 12145  ℤcz 12488  ..^cfzo 13570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571

This theorem is referenced by:  elfzo0  13616  fzo0n0  13632  fzo0end  13674  fvf1tp  13709  tpf1ofv0  14419  tpfo  14423  wrdsymb1  14476  ccatfv0  14507  ccat1st1st  14552  ccat2s1p1  14553  lswccats1fst  14559  swrdfv0  14573  pfxn0  14610  pfxfv0  14615  pfxtrcfv0  14617  pfx1  14626  cats1un  14644  revs1  14688  repswfsts  14704  cshwidx0mod  14728  cshw1  14745  scshwfzeqfzo  14749  cats1fvn  14781  pfx2  14870  nnnn0modprm0  16734  cshwrepswhash1  17030  chnccat  18549  efgsval2  19662  efgs1b  19665  efgsp1  19666  efgsres  19667  efgredlemd  19673  efgredlem  19676  efgrelexlemb  19679  pgpfaclem1  20012  dchrisumlem3  27458  tgcgr4  28603  wlkonl1iedg  29737  usgr2pthlem  29836  pthdlem2lem  29840  lfgrn1cycl  29878  uspgrn2crct  29881  crctcshwlkn0lem6  29888  0enwwlksnge1  29937  wwlksm1edg  29954  wwlksnwwlksnon  29988  clwlkclwwlklem2  30075  clwlkclwwlkf1lem3  30081  clwwlkel  30121  clwwlkf1  30124  umgr2cwwk2dif  30139  clwwlknonwwlknonb  30181  upgr3v3e3cycl  30255  upgr4cycl4dv4e  30260  2clwwlk2clwwlk  30425  cycpmco2lem4  33211  cycpmco2lem5  33212  cycpmrn  33225  lmatcl  33973  fib0  34556  signsvtn0  34727  reprpmtf1o  34783  poimirlem3  37820  amgm2d  44435  amgm3d  44436  amgm4d  44437  iccpartigtl  47665  iccpartlt  47666  gpgprismgriedgdmss  48294  gpg3kgrtriex  48331  gpgprismgr4cycllem3  48339  gpgprismgr4cycllem9  48345  gpg5edgnedg  48372  grlimedgnedg  48373  amgmw2d  50045