Theorem lbfzo0 13620

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12500	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 709	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13586	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12499	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  0cc0 11028   < clt 11168  ℕcn 12146  ℤcz 12489  ..^cfzo 13575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576

This theorem is referenced by:  elfzo0  13621  fzo0n0  13637  fzo0end  13679  fvf1tp  13711  tpf1ofv0  14421  tpfo  14425  wrdsymb1  14478  ccatfv0  14508  ccat1st1st  14553  ccat2s1p1  14554  lswccats1fst  14560  swrdfv0  14574  pfxn0  14611  pfxfv0  14616  pfxtrcfv0  14618  pfx1  14627  cats1un  14645  revs1  14689  repswfsts  14705  cshwidx0mod  14729  cshw1  14746  scshwfzeqfzo  14751  cats1fvn  14783  pfx2  14872  nnnn0modprm0  16736  cshwrepswhash1  17032  efgsval2  19630  efgs1b  19633  efgsp1  19634  efgsres  19635  efgredlemd  19641  efgredlem  19644  efgrelexlemb  19647  pgpfaclem1  19980  dchrisumlem3  27418  tgcgr4  28494  wlkonl1iedg  29627  usgr2pthlem  29726  pthdlem2lem  29730  lfgrn1cycl  29768  uspgrn2crct  29771  crctcshwlkn0lem6  29778  0enwwlksnge1  29827  wwlksm1edg  29844  wwlksnwwlksnon  29878  clwlkclwwlklem2  29962  clwlkclwwlkf1lem3  29968  clwwlkel  30008  clwwlkf1  30011  umgr2cwwk2dif  30026  clwwlknonwwlknonb  30068  upgr3v3e3cycl  30142  upgr4cycl4dv4e  30147  2clwwlk2clwwlk  30312  cycpmco2lem4  33084  cycpmco2lem5  33085  cycpmrn  33098  lmatcl  33782  fib0  34366  signsvtn0  34537  reprpmtf1o  34593  poimirlem3  37602  amgm2d  44171  amgm3d  44172  amgm4d  44173  iccpartigtl  47408  iccpartlt  47409  gpgprismgriedgdmss  48037  gpg3kgrtriex  48074  gpgprismgr4cycllem3  48082  gpgprismgr4cycllem9  48088  gpg5edgnedg  48115  grlimedgnedg  48116  amgmw2d  49790