Theorem lbfzo0 13645

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12526	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1095	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 710	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13611	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12525	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  0cc0 11029   < clt 11170  ℕcn 12165  ℤcz 12515  ..^cfzo 13599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600

This theorem is referenced by:  elfzo0  13646  fzo0n0  13662  fzo0end  13704  fvf1tp  13739  tpf1ofv0  14449  tpfo  14453  wrdsymb1  14506  ccatfv0  14537  ccat1st1st  14582  ccat2s1p1  14583  lswccats1fst  14589  swrdfv0  14603  pfxn0  14640  pfxfv0  14645  pfxtrcfv0  14647  pfx1  14656  cats1un  14674  revs1  14718  repswfsts  14734  cshwidx0mod  14758  cshw1  14775  scshwfzeqfzo  14779  cats1fvn  14811  pfx2  14900  nnnn0modprm0  16768  cshwrepswhash1  17064  chnccat  18583  efgsval2  19699  efgs1b  19702  efgsp1  19703  efgsres  19704  efgredlemd  19710  efgredlem  19713  efgrelexlemb  19716  pgpfaclem1  20049  dchrisumlem3  27468  tgcgr4  28613  wlkonl1iedg  29747  usgr2pthlem  29846  pthdlem2lem  29850  lfgrn1cycl  29888  uspgrn2crct  29891  crctcshwlkn0lem6  29898  0enwwlksnge1  29947  wwlksm1edg  29964  wwlksnwwlksnon  29998  clwlkclwwlklem2  30085  clwlkclwwlkf1lem3  30091  clwwlkel  30131  clwwlkf1  30134  umgr2cwwk2dif  30149  clwwlknonwwlknonb  30191  upgr3v3e3cycl  30265  upgr4cycl4dv4e  30270  2clwwlk2clwwlk  30435  cycpmco2lem4  33205  cycpmco2lem5  33206  cycpmrn  33219  lmatcl  33976  fib0  34559  signsvtn0  34730  reprpmtf1o  34786  poimirlem3  37958  amgm2d  44643  amgm3d  44644  amgm4d  44645  iccpartigtl  47895  iccpartlt  47896  gpgprismgriedgdmss  48540  gpg3kgrtriex  48577  gpgprismgr4cycllem3  48585  gpgprismgr4cycllem9  48591  gpg5edgnedg  48618  grlimedgnedg  48619  amgmw2d  50291