Theorem lbfzo0 13072

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11980	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1092	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 708	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13039	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 11979	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 306	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  0cc0 10526   < clt 10664  ℕcn 11625  ℤcz 11969  ..^cfzo 13028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029

This theorem is referenced by:  elfzo0  13073  fzo0n0  13084  fzo0end  13124  wrdsymb1  13896  ccatfv0  13928  ccat1st1st  13975  ccat2s1p1  13976  ccat2s1p1OLD  13978  lswccats1fst  13985  swrdfv0  14002  pfxn0  14039  pfxfv0  14045  pfxtrcfv0  14047  pfx1  14056  cats1un  14074  revs1  14118  repswfsts  14134  cshwidx0mod  14158  cshw1  14175  scshwfzeqfzo  14179  cats1fvn  14211  pfx2  14300  nnnn0modprm0  16133  cshwrepswhash1  16428  efgsval2  18851  efgs1b  18854  efgsp1  18855  efgsres  18856  efgredlemd  18862  efgredlem  18865  efgrelexlemb  18868  pgpfaclem1  19196  dchrisumlem3  26075  tgcgr4  26325  wlkonl1iedg  27455  usgr2pthlem  27552  pthdlem2lem  27556  lfgrn1cycl  27591  uspgrn2crct  27594  crctcshwlkn0lem6  27601  0enwwlksnge1  27650  wwlksm1edg  27667  wwlksnwwlksnon  27701  clwlkclwwlklem2  27785  clwlkclwwlkf1lem3  27791  clwwlkel  27831  clwwlkf1  27834  umgr2cwwk2dif  27849  clwwlknonwwlknonb  27891  upgr3v3e3cycl  27965  upgr4cycl4dv4e  27970  2clwwlk2clwwlk  28135  cycpmco2lem4  30821  cycpmco2lem5  30822  cycpmrn  30835  lmatcl  31169  fib0  31767  signsvtn0  31950  reprpmtf1o  32007  poimirlem3  35060  amgm2d  40904  amgm3d  40905  amgm4d  40906  iccpartigtl  43940  iccpartlt  43941  amgmw2d  45332