Theorem lbfzo0 13739

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12624	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1095	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 709	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13705	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12623	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  0cc0 11155   < clt 11295  ℕcn 12266  ℤcz 12613  ..^cfzo 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695

This theorem is referenced by:  elfzo0  13740  fzo0n0  13755  fzo0end  13797  fvf1tp  13829  tpf1ofv0  14535  tpfo  14539  wrdsymb1  14591  ccatfv0  14621  ccat1st1st  14666  ccat2s1p1  14667  lswccats1fst  14673  swrdfv0  14687  pfxn0  14724  pfxfv0  14730  pfxtrcfv0  14732  pfx1  14741  cats1un  14759  revs1  14803  repswfsts  14819  cshwidx0mod  14843  cshw1  14860  scshwfzeqfzo  14865  cats1fvn  14897  pfx2  14986  nnnn0modprm0  16844  cshwrepswhash1  17140  efgsval2  19751  efgs1b  19754  efgsp1  19755  efgsres  19756  efgredlemd  19762  efgredlem  19765  efgrelexlemb  19768  pgpfaclem1  20101  dchrisumlem3  27535  tgcgr4  28539  wlkonl1iedg  29683  usgr2pthlem  29783  pthdlem2lem  29787  lfgrn1cycl  29825  uspgrn2crct  29828  crctcshwlkn0lem6  29835  0enwwlksnge1  29884  wwlksm1edg  29901  wwlksnwwlksnon  29935  clwlkclwwlklem2  30019  clwlkclwwlkf1lem3  30025  clwwlkel  30065  clwwlkf1  30068  umgr2cwwk2dif  30083  clwwlknonwwlknonb  30125  upgr3v3e3cycl  30199  upgr4cycl4dv4e  30204  2clwwlk2clwwlk  30369  cycpmco2lem4  33149  cycpmco2lem5  33150  cycpmrn  33163  lmatcl  33815  fib0  34401  signsvtn0  34585  reprpmtf1o  34641  poimirlem3  37630  amgm2d  44211  amgm3d  44212  amgm4d  44213  iccpartigtl  47410  iccpartlt  47411  gpg3kgrtriex  48045  amgmw2d  49323