Theorem lbfzo0 13747

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12620	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 722	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13713	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12619	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 306	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  0cc0 11118   < clt 11261  ℕcn 12251  ℤcz 12609  ..^cfzo 13701

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702

This theorem is used by:  elfzo0  13748  fzo0n0  13764  fzo0end  13806  fvf1tp  13842  tpf1ofv0  14553  tpfo  14557  wrdsymb1  14610  ccatfv0  14641  ccat1st1st  14688  ccat2s1p1  14689  lswccats1fst  14695  swrdfv0  14709  pfxn0  14748  pfxfv0  14753  pfxtrcfv0  14755  pfx1  14764  cats1un  14782  revs1  14826  repswfsts  14844  cshwidx0mod  14868  cshw1  14885  scshwfzeqfzo  14889  cats1fvn  14921  pfx2  15010  nnnn0modprm0  16891  cshwrepswhash1  17187  chnccat  18707  efgsval2  19834  efgs1b  19837  efgsp1  19838  efgsres  19839  efgredlemd  19845  efgredlem  19848  efgrelexlemb  19851  pgpfaclem1  20184  dchrisumlem3  27692  tgcgr4  28837  wlkonl1iedg  30050  usgr2pthlem  30149  pthdlem2lem  30153  lfgrn1cycl  30191  uspgrn2crct  30194  crctcshwlkn0lem6  30201  0enwwlksnge1  30250  wwlksm1edg  30267  wwlksnwwlksnon  30301  clwlkclwwlklem2  30388  clwlkclwwlkf1lem3  30394  clwwlkel  30434  clwwlkf1  30437  umgr2cwwk2dif  30452  clwwlknonwwlknonb  30494  upgr3v3e3cycl  30568  upgr4cycl4dv4e  30573  2clwwlk2clwwlk  30738  cycpmco2lem4  33480  cycpmco2lem5  33481  cycpmrn  33494  lmatcl  34237  fib0  34821  signsvtn0  34989  reprpmtf1o  35045  poimirlem3  38315  amgm2d  44965  amgm3d  44966  amgm4d  44967  iccpartigtl  48213  iccpartlt  48214  gpgprismgriedgdmss  48858  gpg3kgrtriex  48895  gpgprismgr4cycllem3  48903  gpgprismgr4cycllem9  48909  gpg5edgnedg  48936  grlimedgnedg  48937  amgmw2d  50693