Theorem lbfzo0 13837

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12707	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 722	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13803	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12706	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 306	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  0cc0 11203   < clt 11346  ℕcn 12338  ℤcz 12696  ..^cfzo 13791

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792

This theorem is used by:  elfzo0  13838  fzo0n0  13854  fzo0end  13896  fvf1tp  13932  tpf1ofv0  14644  tpfo  14648  wrdsymb1  14701  ccatfv0  14732  ccat1st1st  14780  ccat2s1p1  14781  lswccats1fst  14787  swrdfv0  14801  pfxn0  14840  pfxfv0  14845  pfxtrcfv0  14847  pfx1  14856  cats1un  14874  revs1  14918  repswfsts  14936  cshwidx0mod  14960  cshw1  14977  scshwfzeqfzo  14981  cats1fvn  15013  pfx2  15103  nnnn0modprm0  16989  cshwrepswhash1  17285  chnccat  18805  efgsval2  19952  efgs1b  19955  efgsp1  19956  efgsres  19957  efgredlemd  19963  efgredlem  19966  efgrelexlemb  19969  pgpfaclem1  20302  dchrisumlem3  27823  tgcgr4  28999  wlkonl1iedg  30249  usgr2pthlem  30354  pthdlem2lem  30358  lfgrn1cycl  30399  uspgrn2crct  30402  crctcshwlkn0lem6  30409  0enwwlksnge1  30458  wwlksm1edg  30475  wwlksnwwlksnon  30509  clwlkclwwlklem2  30596  clwlkclwwlkf1lem3  30602  clwwlkel  30642  clwwlkf1  30645  umgr2cwwk2dif  30660  clwwlknonwwlknonb  30702  upgr3v3e3cycl  30786  upgr4cycl4dv4e  30791  2clwwlk2clwwlk  30956  cycpmco2lem4  33736  cycpmco2lem5  33737  cycpmrn  33750  lmatcl  34494  fib0  35077  signsvtn0  35245  reprpmtf1o  35301  poimirlem3  38634  amgm2d  45291  amgm3d  45292  amgm4d  45293  iccpartigtl  48598  iccpartlt  48599  gpgprismgriedgdmss  49243  gpg3kgrtriex  49280  gpgprismgr4cycllem3  49288  gpgprismgr4cycllem9  49294  gpg5edgnedg  49321  grlimedgnedg  49322  amgmw2d  51157