Theorem lbfzo0 13355

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12260	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1093	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 705	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13322	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12259	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 302	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  0cc0 10802   < clt 10940  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ..^cfzo 13311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312

This theorem is referenced by:  elfzo0  13356  fzo0n0  13367  fzo0end  13407  wrdsymb1  14184  ccatfv0  14216  ccat1st1st  14263  ccat2s1p1  14264  ccat2s1p1OLD  14266  lswccats1fst  14273  swrdfv0  14290  pfxn0  14327  pfxfv0  14333  pfxtrcfv0  14335  pfx1  14344  cats1un  14362  revs1  14406  repswfsts  14422  cshwidx0mod  14446  cshw1  14463  scshwfzeqfzo  14467  cats1fvn  14499  pfx2  14588  nnnn0modprm0  16435  cshwrepswhash1  16732  efgsval2  19254  efgs1b  19257  efgsp1  19258  efgsres  19259  efgredlemd  19265  efgredlem  19268  efgrelexlemb  19271  pgpfaclem1  19599  dchrisumlem3  26544  tgcgr4  26796  wlkonl1iedg  27935  usgr2pthlem  28032  pthdlem2lem  28036  lfgrn1cycl  28071  uspgrn2crct  28074  crctcshwlkn0lem6  28081  0enwwlksnge1  28130  wwlksm1edg  28147  wwlksnwwlksnon  28181  clwlkclwwlklem2  28265  clwlkclwwlkf1lem3  28271  clwwlkel  28311  clwwlkf1  28314  umgr2cwwk2dif  28329  clwwlknonwwlknonb  28371  upgr3v3e3cycl  28445  upgr4cycl4dv4e  28450  2clwwlk2clwwlk  28615  cycpmco2lem4  31298  cycpmco2lem5  31299  cycpmrn  31312  lmatcl  31668  fib0  32266  signsvtn0  32449  reprpmtf1o  32506  poimirlem3  35707  amgm2d  41698  amgm3d  41699  amgm4d  41700  iccpartigtl  44763  iccpartlt  44764  amgmw2d  46394