Theorem lbfzo0 13730

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12603	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 721	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13696	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12602	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 306	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  0cc0 11101   < clt 11244  ℕcn 12234  ℤcz 12592  ..^cfzo 13684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685

This theorem is referenced by:  elfzo0  13731  fzo0n0  13747  fzo0end  13789  fvf1tp  13824  tpf1ofv0  14535  tpfo  14539  wrdsymb1  14592  ccatfv0  14623  ccat1st1st  14668  ccat2s1p1  14669  lswccats1fst  14675  swrdfv0  14689  pfxn0  14726  pfxfv0  14731  pfxtrcfv0  14733  pfx1  14742  cats1un  14760  revs1  14804  repswfsts  14820  cshwidx0mod  14844  cshw1  14861  scshwfzeqfzo  14865  cats1fvn  14897  pfx2  14986  nnnn0modprm0  16867  cshwrepswhash1  17163  chnccat  18683  efgsval2  19804  efgs1b  19807  efgsp1  19808  efgsres  19809  efgredlemd  19815  efgredlem  19818  efgrelexlemb  19821  pgpfaclem1  20154  dchrisumlem3  27633  tgcgr4  28778  wlkonl1iedg  29991  usgr2pthlem  30090  pthdlem2lem  30094  lfgrn1cycl  30132  uspgrn2crct  30135  crctcshwlkn0lem6  30142  0enwwlksnge1  30191  wwlksm1edg  30208  wwlksnwwlksnon  30242  clwlkclwwlklem2  30329  clwlkclwwlkf1lem3  30335  clwwlkel  30375  clwwlkf1  30378  umgr2cwwk2dif  30393  clwwlknonwwlknonb  30435  upgr3v3e3cycl  30509  upgr4cycl4dv4e  30514  2clwwlk2clwwlk  30679  cycpmco2lem4  33427  cycpmco2lem5  33428  cycpmrn  33441  lmatcl  34184  fib0  34767  signsvtn0  34935  reprpmtf1o  34991  poimirlem3  38252  amgm2d  44904  amgm3d  44905  amgm4d  44906  iccpartigtl  48149  iccpartlt  48150  gpgprismgriedgdmss  48794  gpg3kgrtriex  48831  gpgprismgr4cycllem3  48839  gpgprismgr4cycllem9  48845  gpg5edgnedg  48872  grlimedgnedg  48873  amgmw2d  50581