MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbfzo0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbfzo0 13072
Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of . (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
lbfzo0 (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0
StepHypRef Expression
1 0z 11986 . . 3 0 ∈ ℤ
2 3anass 1089 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
31, 2mpbiran 705 . 2 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4 fzolb 13039 . 2 (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5 elnnz 11985 . 2 (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
63, 4, 53bitr4i 304 1 (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3a 1081  wcel 2107   class class class wbr 5063  (class class class)co 7150  0cc0 10531   < clt 10669  cn 11632  cz 11975  ..^cfzo 13028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12888  df-fzo 13029
This theorem is referenced by:  elfzo0  13073  fzo0n0  13084  fzo0end  13124  wrdsymb1  13900  ccatfv0  13932  ccat1st1st  13979  ccat2s1p1  13980  ccat2s1p1OLD  13982  lswccats1fst  13989  swrdfv0  14006  pfxn0  14043  pfxfv0  14049  pfxtrcfv0  14051  pfx1  14060  cats1un  14078  revs1  14122  repswfsts  14138  cshwidx0mod  14162  cshw1  14179  scshwfzeqfzo  14183  cats1fvn  14215  pfx2  14304  nnnn0modprm0  16138  cshwrepswhash1  16431  efgsval2  18795  efgs1b  18798  efgsp1  18799  efgsres  18800  efgredlemd  18806  efgredlem  18809  efgrelexlemb  18812  pgpfaclem1  19139  dchrisumlem3  26000  tgcgr4  26250  wlkonl1iedg  27380  usgr2pthlem  27477  pthdlem2lem  27481  lfgrn1cycl  27516  uspgrn2crct  27519  crctcshwlkn0lem6  27526  0enwwlksnge1  27575  wwlksm1edg  27592  wwlksnwwlksnon  27627  clwlkclwwlklem2  27711  clwlkclwwlkf1lem3  27717  clwwlkel  27758  clwwlkf1  27761  umgr2cwwk2dif  27776  clwwlknonwwlknonb  27818  upgr3v3e3cycl  27892  upgr4cycl4dv4e  27897  2clwwlk2clwwlk  28062  cycpmco2lem4  30704  cycpmco2lem5  30705  cycpmrn  30718  lmatcl  30986  fib0  31562  signsvtn0  31745  reprpmtf1o  31802  poimirlem3  34781  amgm2d  40436  amgm3d  40437  amgm4d  40438  iccpartigtl  43434  iccpartlt  43435  amgmw2d  44807
  Copyright terms: Public domain W3C validator