Theorem lbfzo0 13596

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12476	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 709	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13562	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12475	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  0cc0 11003   < clt 11143  ℕcn 12122  ℤcz 12465  ..^cfzo 13551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-fzo 13552

This theorem is referenced by:  elfzo0  13597  fzo0n0  13613  fzo0end  13655  fvf1tp  13690  tpf1ofv0  14400  tpfo  14404  wrdsymb1  14457  ccatfv0  14488  ccat1st1st  14533  ccat2s1p1  14534  lswccats1fst  14540  swrdfv0  14554  pfxn0  14591  pfxfv0  14596  pfxtrcfv0  14598  pfx1  14607  cats1un  14625  revs1  14669  repswfsts  14685  cshwidx0mod  14709  cshw1  14726  scshwfzeqfzo  14730  cats1fvn  14762  pfx2  14851  nnnn0modprm0  16715  cshwrepswhash1  17011  chnccat  18529  efgsval2  19643  efgs1b  19646  efgsp1  19647  efgsres  19648  efgredlemd  19654  efgredlem  19657  efgrelexlemb  19660  pgpfaclem1  19993  dchrisumlem3  27427  tgcgr4  28507  wlkonl1iedg  29640  usgr2pthlem  29739  pthdlem2lem  29743  lfgrn1cycl  29781  uspgrn2crct  29784  crctcshwlkn0lem6  29791  0enwwlksnge1  29840  wwlksm1edg  29857  wwlksnwwlksnon  29891  clwlkclwwlklem2  29975  clwlkclwwlkf1lem3  29981  clwwlkel  30021  clwwlkf1  30024  umgr2cwwk2dif  30039  clwwlknonwwlknonb  30081  upgr3v3e3cycl  30155  upgr4cycl4dv4e  30160  2clwwlk2clwwlk  30325  cycpmco2lem4  33093  cycpmco2lem5  33094  cycpmrn  33107  lmatcl  33824  fib0  34407  signsvtn0  34578  reprpmtf1o  34634  poimirlem3  37662  amgm2d  44230  amgm3d  44231  amgm4d  44232  iccpartigtl  47453  iccpartlt  47454  gpgprismgriedgdmss  48082  gpg3kgrtriex  48119  gpgprismgr4cycllem3  48127  gpgprismgr4cycllem9  48133  gpg5edgnedg  48160  grlimedgnedg  48161  amgmw2d  49835