Theorem lbfzo0 13660

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12540	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 709	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13626	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12539	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  0cc0 11068   < clt 11208  ℕcn 12186  ℤcz 12529  ..^cfzo 13615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616

This theorem is referenced by:  elfzo0  13661  fzo0n0  13677  fzo0end  13719  fvf1tp  13751  tpf1ofv0  14461  tpfo  14465  wrdsymb1  14518  ccatfv0  14548  ccat1st1st  14593  ccat2s1p1  14594  lswccats1fst  14600  swrdfv0  14614  pfxn0  14651  pfxfv0  14657  pfxtrcfv0  14659  pfx1  14668  cats1un  14686  revs1  14730  repswfsts  14746  cshwidx0mod  14770  cshw1  14787  scshwfzeqfzo  14792  cats1fvn  14824  pfx2  14913  nnnn0modprm0  16777  cshwrepswhash1  17073  efgsval2  19663  efgs1b  19666  efgsp1  19667  efgsres  19668  efgredlemd  19674  efgredlem  19677  efgrelexlemb  19680  pgpfaclem1  20013  dchrisumlem3  27402  tgcgr4  28458  wlkonl1iedg  29593  usgr2pthlem  29693  pthdlem2lem  29697  lfgrn1cycl  29735  uspgrn2crct  29738  crctcshwlkn0lem6  29745  0enwwlksnge1  29794  wwlksm1edg  29811  wwlksnwwlksnon  29845  clwlkclwwlklem2  29929  clwlkclwwlkf1lem3  29935  clwwlkel  29975  clwwlkf1  29978  umgr2cwwk2dif  29993  clwwlknonwwlknonb  30035  upgr3v3e3cycl  30109  upgr4cycl4dv4e  30114  2clwwlk2clwwlk  30279  cycpmco2lem4  33086  cycpmco2lem5  33087  cycpmrn  33100  lmatcl  33806  fib0  34390  signsvtn0  34561  reprpmtf1o  34617  poimirlem3  37617  amgm2d  44187  amgm3d  44188  amgm4d  44189  iccpartigtl  47421  iccpartlt  47422  gpgprismgriedgdmss  48040  gpg3kgrtriex  48077  gpgprismgr4cycllem3  48084  gpgprismgr4cycllem9  48090  amgmw2d  49790