Theorem usgrausgrb 29460

Description: The equivalence of the definitions of a simple graph, expressed with the set of vertices and the set of edges. (Contributed by AV, 2-Jan-2020.) (Revised by AV, 15-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ausgr.1	⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑣 ∣ (♯‘𝑥) = 2}}
ausgrusgri.1	⊢ 𝑂 = {𝑓 ∣ 𝑓:dom 𝑓–1-1→ran 𝑓}

Assertion

Ref	Expression
usgrausgrb	⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ↔ 𝐻 ∈ USGraph))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑒,𝑥,𝐻   𝑓,𝐻   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑣,𝑒,𝑓)   𝑂(𝑥,𝑣,𝑒,𝑓)   𝑊(𝑣,𝑒,𝑓)

Proof of Theorem usgrausgrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ausgr.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑣 ∣ (♯‘𝑥) = 2}}
2		ausgrusgri.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = {𝑓 ∣ 𝑓:dom 𝑓–1-1→ran 𝑓}
3	1, 2	ausgrusgri 29459	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → 𝐻 ∈ USGraph)
4	3	3exp 1135	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) → ((iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂 → 𝐻 ∈ USGraph)))
5	4	com23 87	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → ((iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂 → ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) → 𝐻 ∈ USGraph)))
6	5	imp 411	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) → 𝐻 ∈ USGraph))
7	1	usgrausgri 29457	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ USGraph → (Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻))
8	6, 7	impbid1 228	1 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ↔ 𝐻 ∈ USGraph))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cab 2747  {crab 3423   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4567   class class class wbr 5113  {copab 5177  dom cdm 5662  ran crn 5663  –1-1→wf1 6534  ‘cfv 6537  2c2 12295  ♯chash 14366  Vtxcvtx 29287  iEdgciedg 29288  Edgcedg 29338  USGraphcusgr 29440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-hash 14367  df-edg 29339  df-usgr 29442

This theorem is referenced by: (None)