Theorem usgrausgrb 29103

Description: The equivalence of the definitions of a simple graph, expressed with the set of vertices and the set of edges. (Contributed by AV, 2-Jan-2020.) (Revised by AV, 15-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ausgr.1	⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑣 ∣ (♯‘𝑥) = 2}}
ausgrusgri.1	⊢ 𝑂 = {𝑓 ∣ 𝑓:dom 𝑓–1-1→ran 𝑓}

Assertion

Ref	Expression
usgrausgrb	⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ↔ 𝐻 ∈ USGraph))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑒,𝑥,𝐻   𝑓,𝐻   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑣,𝑒,𝑓)   𝑂(𝑥,𝑣,𝑒,𝑓)   𝑊(𝑣,𝑒,𝑓)

Proof of Theorem usgrausgrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ausgr.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑣 ∣ (♯‘𝑥) = 2}}
2		ausgrusgri.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = {𝑓 ∣ 𝑓:dom 𝑓–1-1→ran 𝑓}
3	1, 2	ausgrusgri 29102	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → 𝐻 ∈ USGraph)
4	3	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) → ((iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂 → 𝐻 ∈ USGraph)))
5	4	com23 86	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → ((iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂 → ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) → 𝐻 ∈ USGraph)))
6	5	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) → 𝐻 ∈ USGraph))
7	1	usgrausgri 29100	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ USGraph → (Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻))
8	6, 7	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ↔ 𝐻 ∈ USGraph))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2708  {crab 3411   ⊆ wss 3922  𝒫 cpw 4571   class class class wbr 5115  {copab 5177  dom cdm 5646  ran crn 5647  –1-1→wf1 6516  ‘cfv 6519  2c2 12252  ♯chash 14305  Vtxcvtx 28930  iEdgciedg 28931  Edgcedg 28981  USGraphcusgr 29083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-card 9910  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12198  df-2 12260  df-n0 12459  df-z 12546  df-uz 12810  df-fz 13482  df-hash 14306  df-edg 28982  df-usgr 29085

This theorem is referenced by: (None)